11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案
部编版人教初中数学八年级上册《11.2 与三角形有关的角 同步练习题及答案》最新精品优秀测试题
前言：该同步练习题由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。
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（最新精品同步练习题）11.2 与三角形有关的角基础巩固1.（题型三角度a）如图11-2-1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）图11-2-1A.80°B.50°C.30°D.20°2.（题型一）如图11-2-2，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数是（）图11-2-2A.40°B.60°C.80°D.120°3.（题型一）若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.（题型一）如图11-2-3，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=（）图11-2-3A.135°B.150°C.180°D.不能确定5.（题型一）如图11-2-4，在△ABC中，∠ABD=∠DBE=∠EBC，∠ACD=∠DCE=∠ECB，若∠BEC=145°，则∠BDC=（）图11-2-4A.100°B.105°C.110°D.115°6.（题型三角度a）将一副直角三角板，按图11-2-5叠放在一起，则图中α的度数是 .图11-2-57.（题型一）如图11-2-6，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°，则∠C的度数是．图11-2-68.（知识点2）如图11-2-7，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有对.图11-2-79.（知识点3）如图11-2-8，已知在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，∠1+∠2=°.。
2020年八年级数学上册 与三角形有关的角 培优卷(含答案)
22.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
18.如图，将△ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2 的度 数为 °．
三、解答题 19.已知在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD 是∠ACB 平分线，求∠A 和∠CDB 的度数.
20.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE度数.
研究（3）：若折成图 3 的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.
参考答案 1.B 2.B. 3.C. 4.A. 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.答案为：B. 12.B 13.答案为：20． 14.答案为：25° 15.答案为：6，与它不相邻的两个内角，3600 16.答案为：130 17.答案为：10°． 18.答案为：180°． 19.解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°，
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
5.如图所示，∠CGE=α，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 等于( ).
A.360°-∠A B.270°-∠α
C.180°＋∠α D.2∠α
6.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A= 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为
八年级上册数学11.2与三角形有关的角练习题(含答案)
11.2与三角形有关的角练习题姓名：_______________班级：_______________考号：______________一、选择题1、在中，，则的度数为（???）A．?????B．??????C．??????D．2、如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=（??）A.70°?????B.80°??????C.90°?????D.100°3、如图8，AB=BC=CD,且∠A=15°,则∠ECD=(????)A.30°??????B.45°??????C.60°???????D.75°4、如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（??）A．50°??????B．40°??????C．25°????D．20°第4题第5题5、如图，△ABC中，，点D、E分别在AB、AC上，则的大小为（????）??A、??????B、??????C、?????D、第6题第7题第9题6、如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=??????．7、如下图所示，已知：∠AEC的度数为110°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为（??）A．110°?????B．130°?????C．220°???D．180°8、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（?）A．30°???B．75°???C．105°????D．30°或75°9、如图，已知，若，，则C等于（???）A．20°????B．35°??????C．45°????D．55°10、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（）第10题第11题第12题11、如图，已知△ABC的两条高BE、CF相交于点O，，则的度数为（??）A．95o???B．130o??????C．140o???D．150o12、如图，已知与相交于点，，如果，，则的大小为（???）A．??????B．?????C．???????D．13、如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠B＝40o，AD是角平分线，则∠ADC等于A．25o?????B．50o???????C．65o??????D．70o第13题第14题14、如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．?20°????B．40°??????C．30°????D．25°15、如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°,AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是(????)A.45°?????B.54°?????C.40°?????D.50°第15题第16题第18题16、如图7-7，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA 的度数为（?????）．?A．50°??B．60°??C．70°??D．80°17、适合条件的三角形ABC是（????）A.锐角三角形??B.直角三角形C.钝角三角形?D.等边三角形???????????18、如图1，若∠1=110°，∠2=135°，则∠3等于A．55°????B．65°????C．75°????D．85°19、如图，在△AB C中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（?）①∠ACB=70°；??????②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；?④∠CFE＝40°；A．①②?????B．③④?????C．①③????D．①②③第19题第20题20、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠DBE=∠DCE．其中正确结论的个数为( )A．0??????B．1??????C．2??????D．3二、填空题21、如图，∠l=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC=???????????．第21题第22题第23题22、如下图,?∠A＝27°,?∠CBE＝96°,?∠C＝30°,?则∠ADE的度数是________度.?23、如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是??????．24、如图，∠A=50°，∠ACD=38°，∠ABE=32°，则∠BFC= _________ ．第24题第25题第26题25、如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=50°，则∠ACD的度数为．26、如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=42°，∠C=70°，则∠DAE=????°.27、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是??????三角形.28、如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=????????度。
人教版 2018年八年级数学上册 与三角形有关的角 课堂培优卷(含答案)
2018年八年级数学上册与三角形有关的角课堂培优卷一、选择题：1、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.每一个内角都大于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.有一个内角小于60°2、在下列条件中，①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A.2个B.3个C.4个D.5个3、将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A.45°B.60°C.75°D.90°4、如图，三角形ABC中，AB=AC，D，E分别为边A B，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN=110°，则∠DEA=（）A.40°B.50°C.60°D.70°5、如图，把一张长方形的纸按如图所示那样折叠，B、C两点分别落在B′，C′点处，若∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为（）A.50°B.55°C.60°D.65°6、如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠CBE的角平分线相交于点P，且∠D+∠C=200°，则∠P=（）A.10°B.20°C.30°D.40°7、如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（）A.∠ADB=∠ACB+∠CADB.∠ADE=∠AEDC.∠B=∠CD.∠BAD=∠BDA8、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落AC边上的点E处.若∠A=25°，则∠BDC等于（）A.50°B.60°C.70°D.80°9、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A'的位置，则∠A'、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（）A. ∠1=∠2 + ∠A'B. ∠1=2∠A'+ ∠2C. ∠1=2∠2 + 2∠A'D. 2∠1=∠2 + ∠A'10、如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=110°，则∠1+∠2的度数为（）A.80°；B.90°；C.100°；D.110°；11、如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④12、如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=132°，∠BGC=120°，则∠E 的度数为（）A.102°B.104°C.106°D.108°二、填空题:13、ΔABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC=14、如图，在△ABC中，∠ACB=58°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=15、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= °16、如图，△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的外角分别记为∠α，∠β，∠γ，若∠α：∠β：∠γ=3：4：5，则∠BAC：∠ABC：∠ACB等于°.17、如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG的交点），则图③中∠DHF= °18、如图，已知△ABC的内角∠A=a，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2016，则∠A2016的度数是 .三、解答题:19、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数20、在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D。
人教版八年级数学第11章第2节 与三角形有关的角双基培优 基础练习(含答案)
人教版八年级数学第11章第1节与三角形有关的角双基培优基础练习一、选择题(12×3=36分)1.将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于( B )A. 90°B. 75°C. 60°D. 45°2. 若∆ABC三个内角的关系为∠A3=∠B4=∠C5，则三角形的形状为( A )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3. 如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( B )A. 20°B. 40°C. 55°D. 304. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于( C )A．40°B．45°C．50°D．55°5. 如图，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为(B）A．65°B．35°C．55°D．45°6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=(D）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°7. 在△ABC中，若AB=9，BC=6，则第三边CA的长度可以是(B）A. 3B. 9C. 15D. 168.如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于(A）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°9.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2=(B）．A. 100°B. 101°C.103°D. 105°10.如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是( C)A. 80°B. 90°C.100°D. 105°11. 如图，∠B=60°，∠C=40°，∠ADC=3∠A，则∠A的度数为( C)A. 80°B. 30°C. 50°D. 无法确定12.如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有( A )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个二、填空题(5×3=15分)13. 在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理___三角形的内角和是180°__．14.如图，在∠ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 66.5°．15.若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是___12____．16.如图，AB∥CD，BE交CD于点D，CE⊥BE于点E，若∠B=34°，则∠C的大小为__56_度．17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B=__30°__．三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)18. 如图，在△ABC中，∠A=55°，∠ABD=32°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．解：在△ABC中，∵∠A=55°，∠ACB=70°，∴∠ABC=55°，∵∠ABD=32°，∴∠CBD=∠ABC–∠ABD=23°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=1∠ACB=35°，2∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=58°．19. 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是什么？试说明你找出的规律的正确性．解：2∠A =∠1+∠2，理由是：延长BD 和CE 交于A ′，∵把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部，∴∠ADE =∠A ′DE ，∠AED =∠A ′ED ，∴2∠ADE =180°-∠1，2∠AED =180°-∠2，∴∠ADE =90°-12∠1，∠AED =90°-12∠2，∵在△ADE 中，∠A =180°-（∠AED +∠ADE ），∴∠A =12∠1+12∠2， 即2∠A =∠1+∠2．20. 如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线，∠A =58°，求∠H 的度数．解：∵∠A=58°,∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−58°=122°…①∵BH 是∠ABC 的平分线,∴∠HBC=12∠ABC ，∵∠ACD 是△ABC 的外角，CH 是外角∠ACD 的角平分线，∴∠ACH=12 (∠A+∠ABC)，∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+12 (∠A+∠ABC)，∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12 (∠A+∠ABC)=180°,即∠H+(∠ABC+∠ACB)+ 12∠A=180°…②，把①代入②得,∠H+122°+12×58°=180°，∴∠H=29°.21. （1）如图①所示，∠1+∠2与∠B +∠C 有什么关系？为什么？（2）如图②若把△ABC 纸片沿DE 点折叠当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律并说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=∠B +∠C;（2）规律：α+β=2∠A ．理由见解析解：（1）∠1+∠2=∠B+∠C ，理由如下：∵如图1，在△AED 和△ACB 中，∠1+∠2+∠A=∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°），∴∠1+∠2=∠B+∠C （等量代换）；（2）规律：α+β=2∠A ，理由如下：∵在△ADE 中，∠1+∠2=180°﹣∠A （三角形内角和等于180°），在四边形BCED 中，∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°（四边形内角和等于360°），又∵根据题（1）得∠1+∠2=∠B+∠C （已证），∴2（∠1+∠2）+α+β=360°（等量代换），∴2（180°﹣∠A ）+α+β=360°（等量代换），∴α+β=2∠A ．22. 如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ．若∠A ：∠ABC ：∠ACB=3：4：5，E 为线段BD 上任一点． （1）试求∠ABD 的度数；（2）求证：∠BEC ＞∠A ．解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A ：∠ABC ：∠ACB=3：4：5，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-∠A=45°；（2）∵∠BEC 是△CDE 的外角，∴∠BEC ＞∠BDC ，∵∠BDC 是△ABD 的外角，∴∠BDC ＞∠A ，∴∠BEC ＞∠A ．23. 如图，△ABC 中，∠A =100∘，⑴BI 、CI 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求∠BIC 的度数？⑵若BM 、CM 分别平分∠ABC ，∠ACB 的外角平分线，求∠M 的度数？解：⑴∵∠A =100°．∵∠ABC +∠ACB =180°﹣100°=80°．∵BI 、CI 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ， ∴∠IBC +∠ICB =12∠ABC +12∠ACB =12（∠ABC +∠ACB ）=12×80°=40°，∴∠I =180°﹣（∠IBC +∠ICB ）=180°﹣40°=140°；⑵∵∠ABC +∠ACB =80°，∴∠DBC +∠ECB =180°﹣∠ABC +180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC +∠ACB ）=360°﹣80°=280°．∵BM 、CM 分别平分∠ABC ，∠ACB 的外角平分线，∴∠1=12∠DBC ，∠2=12ECB ，∴∠1+∠2=12×280°=140°，∴∠M =180°﹣∠1﹣∠2=40°．24. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC ，垂足为E ，且CF ∥AD ．（1）如图1，若△ABC 是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE= 度； （2）若图1中的∠B=x ，∠ACB=y ，则∠CFE= ；（用含x 、y 的代数式表示）（3）如图2，若△ABC 是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）20；（2）12y ﹣12x ；（3）（2）中的结论成立．解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠ACB=80°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=40°，∵AE ⊥BC ，∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE ﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，∵CF ∥AD ，∴∠CFE=∠DAE=20°；故答案为20；（2）∵∠BAE=90°﹣∠B ，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B ﹣∠BCA ），∴∠CFE=∠DAE=∠BAE ﹣∠BAD=90°﹣∠B ﹣12（180°﹣∠B ﹣∠BCA ）=12（∠BCA ﹣∠B ）=12y ﹣12x ．故答案为12 y ﹣12x ；（3）（2）中的结论成立．∵∠B=x ，∠ACB=y ，∴∠BAC=180°﹣x ﹣y ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=12∠BAC=90°﹣12x ﹣12y ，∵CF ∥AD ，∴∠ACF=∠DAC=90°﹣12x ﹣12y ，∴∠BCF=y+90°﹣12x ﹣12y=90°﹣12x+12y ，∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+12x ﹣12y ，∵AE ⊥BC ，∴∠FEC=90°，∴∠CFE=90°﹣∠ECF=12y ﹣12x ．。
【能力培优】与三角形有关的角(含答案)
11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．祝福语祝你考试成功!。
与三角形有关的角培优
三角形的内角和例1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？例2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．例3．如图1，△ABC 中，∠A=50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点． （1）求∠P 的度数； （2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？（4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】例4如图7-2-9，在△ABC 中，已知，∠B=∠C, ∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠A=800, 求∠EDF 的度数例5.如图7-2-7，BP 平分∠ABC 交CD 于F,DP 平分∠ADC 交AB 于E,若∠A=380, ∠C=460,求∠P 的度数.训练题： 1.一个三角形的两个内角分别为500和610，则第三个内角为 .2.在△ABC 中，若∠A-∠B=200, ∠A=2∠C,则∠A= .∠B .∠C= .3.如图7-2-3，∠1+∠2+∠3+∠4=4.如图7-2-4，BD 、CE 是△ABC 的角平分线，交于点O,若∠BOC=1380,则∠A=5. 图7-2-5,点D 在BC 的延长线上，DE ⊥AB 于E,交AC 于F, ∠B=500, ∠CFD=600则∠ACB=4A B E D C F图7-2-912 3 图7-2-7BF C P A D E 4 123 A B A C EF 124 3 图7-2-3B图7-2-4ACD E OA图7-2-5E BDC6.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于……………………（）7．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．9．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．10．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），（1）试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．。
11.2与三角形有关的角 同步专题优生辅导训练 2021—2022学年人教版八上(附答案)
2021年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》同步专题优生辅导训练（附答案）1．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝90°C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C2．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°4．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．105°5．下列说法中，正确的是（）A．三角形的高都在三角形内B．三角形的三条中线相交于三角形内一点C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC 的度数为（）A．36°B．46°C．54°D．64°8．如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（）A．160°B．150°C．140°D．110°9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A作AE⊥CD交BC于点E，交CD于点F，若∠BAE＝20°，则∠CAF的大小为．10．如图，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD＝20°，∠E＝30°，则∠B的度数为．11．如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝68°，则∠BOC＝．12．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝24°，则∠CAB＝．14．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为．16．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝度．17．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠ACB的度数是°．18．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．19．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝．20．综合与探究：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝°，∠DAE＝°；②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝°；③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C 又有怎样的数量关系？21．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．参考答案1．解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．∴△ABC是直角三角形．选项B：∵∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°．∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠C＝180°．∴∠C＝60°．∴∠A+∠B＝120°．∴无法确定△ABC是直角三角形．故选：D．2．解：设∠A＝α°，则∠B＝2α°，∠C＝3α°，依题意得：α+2α+3α＝180，解得：α＝30，∴∠C＝3α°＝3×30°＝90°．∴△ABC为直角三角形．故选：A．3．解：∵∠AOB＝125°，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，∴∠C＝70°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，即∠CAD的度数是20°．故选：A．4．解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：C．5．解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；故选：B．6．解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝40°，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，故选：B．7．解：∵AB⊥AC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，故选：A．8．解：∵∠B＝70°，∴∠BEF+∠BFE＝110°，∵翻折，∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，故选：C．9．解：∵AE⊥CD交CD于点F，∴∠AFC＝∠EFC＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF，∵∠AFC+∠CAF+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，∴∠CAF＝∠CEA，∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝45°，∠BAE＝20°，∴∠CAE＝65°，∴∠CAF＝65°，故答案为：65°．10．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAD＝20°，∴∠BAC＝40°，∴∠F AC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，∵AE平分∠CAF，∴∠CAE＝70°，∴∠BAE＝40°+70°＝110°，∵∠AED＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣110°＝40°，故答案为：40°．11．解：∵∠A＝68°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝112°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠BPC＝124°．故答案为：124°．12．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……则∠A2021＝∠A1＝．故答案为：．13．解：∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE＝24°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD＝2×24°＝48°，故答案为48°．14．解：∵∠BF A＝∠P AC+∠P，∠BF A＝∠PBC+∠C，∴∠P AC+∠P＝∠PBC+∠C，∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，∴∠P AC＝∠CAD，∠PBC＝∠CBD，∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，同理：∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，故答案为：2∠P＝∠D+∠C．15．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．故答案为14°．16．解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，∵∠ECF＝∠AC′B＝33°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，∵∠1＝32°，∴∠2＝34°，故答案为：34．17．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，∵∠MON＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°．故答案为：45．18．解：∵△ABC中，∠C＝50°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，故答案为：230°．19．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，∴∠BAP+∠2＝65°，∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．20．解：（1）探究与发现：①在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝20°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，∵AD是∠BAC角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝25°，故答案为：45，25；②∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝60°，∵AD是∠BAC角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣80°＝10°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°，故答案为：20；③∠DAE＝（∠C﹣∠B），理由如下：在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝×（180°﹣∠B﹣∠C）＝（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；（2）判断与思考；∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝＝90°﹣（∠C+∠B），∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠DFE＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．21．解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）解：①3；4；故答案为：3，4；②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B．∴3∠P＝∠B+2∠C．22．解：（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．23．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A ∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。
人教版八年级数学11.2 和三角形有关的角(含答案 )
11.2 与三角形有关的角知识要点：1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒．（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2.直角三角形的性质与判定（1）性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC∠=︒，则90∠+∠=︒．A B△中，90C（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3.三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．4.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．一、单选题1．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】D【解析】解：∵AB∵CD，∵∵A＝∵FDE＝45°，又∵∵C＝30°．∵∵1＝∵FDE﹣∵C＝45°﹣30°＝15°，故选：D．2．如图，直线a∠b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B解：由三角形的外角性质可得，∵3＝∵1+∵B＝65°，∵a∵b，∵DCB＝90°，∵∵2＝180°﹣∵3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．3．已知∠ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确的是（）A．0°＜∠B＜60°B．90°＜∠B＜150C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150°D．以上都不对【答案】D解：∵∵A+∵B+∵C＝180°，∵A＝30°，∵∵B+∵C＝150°，∵0°＜∵B＜150°，故选：D．4．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:4,则这个三角形是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】A设三个内角度数分别为：x、3x、4x由三角形内角和定理得,x+3x+4x=180°解得, x=22.5°则3x=67.5°、4x=90°∵这个三角形是直角三角形故选：A5．在ABC △中，如果1126A B C ∠=∠=∠，则这个三角形一定是（ ）． A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 【答案】D∵在∵ABC 中，∵A ＝12∵B ＝16∵C ，∵A+∵B+∵C=180°， ∵16∵C+13∵C+∵C=180°， ∵∵C=120°，∵∵A=20°，∵B=40°，所以此三角形是钝角三角形．故选：D ．6．如图，在∠ABC 中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BPC=（ ）A ．102°B ．112°C ．115°D ．118°【答案】D 解：∵在∵ABC 中，∵BAC=56°，∵ABC=74°，∵∵ACB=180°-∵BAC -∵ABC=50°，∵BP、CP分别平分∵ABC和∵ACB，∵∵PBC=37°，∵PCB=25°，∵∵BCP中，∵P=180°-∵PBC-∵PCB=118°，故选：D.7．如图，小丽画了一个三角形，不小心被墨水污染了，只剩下一个角（锐角）. 小丽画的三角形可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D∵此三角形只知道一个角为锐角，其它角可能有钝角或直角也可能是都是锐角，∵三角形可能为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有可能．故选：D．8．如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．105°B．120°C．110°D．115°【答案】D由三角形的外角的性质可知：∵ADB=∵B+∵C=45°+38°=83°，∵DFE=∵ADB+∵A=83°+32°=115°，故选D．9．如图，把∠ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B解：∵把∵ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∵∵1＋∵2＝180°−∵ADA′＋180°−∵AEA′＝180°−2∵ADE＋180°−2∵AED＝360°−2（∵ADE＋∵AED）＝360°−2（180°−∵A）＝2∵A．故选：B．10．∠ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝（）A．50°B．60°C．70°D．90°【答案】C解：∵C＝180°-50°-60°=70°，故选：C.11．如图，已知AB∠DE，∠ABC=75°，∠CDE=155°，则∠BCD的值为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】A解：延长ED交BC于F，如图所示：∵AB∵DE，∵ABC=75°，∵∵MFC=∵B=75°，∵∵CDE=155°，∵∵FDC=180°-155°=25°，∵∵C=∵MFC-∵MDC=75°-25°=50°，故选：A．12．已知直线l1∠l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝22°，则∠2等于()A．30°B．38°C．28°D．48°【答案】B解：∵∵3是∵ADG 的外角，∵∵3=∵A+∵1=30°+22°=52°，∵l 1∵l 2，∵∵3=∵4=52°，∵∵4+∵EFC=90°，∵∵EFC=90°-52°=38°，∵∵2=38°．故选：B ．二、填空题13．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞解：根据三角形的外角的性质得，∵2＞∵1，∵1＞∵A∵∵2＞∵1＞∵A ，故答案为：∵2＞∵1＞∵A ．14．在∠ABC 中，∠B ＝40°，过点A 的直线将这个三角形分成两个等腰三角形，则∠C 的度数为______________．【答案】20°或50°或80°解：应分四种情况进行讨论：当AD＝AC，AD＝BD时，如图∵所示，∵BAD＝∵B＝40°，∵C＝∵ADC.∵∵BAD＋∵B＋∵ADB＝180°，∵∵ADB＝180°－2×40°＝100°，∵∵ADC＝180°－∵ADB＝80°，∵∵C＝80°；当AC＝DC，BD＝AD时，如图∵所示，∵DAC＝∵ADC＝180°－∵ADB＝∵B＋∵BAD＝80°，∵∵C＝180°－∵ADC－∵DAC＝20°；当AD＝DC，AB＝AD时，如图∵所示，∵C＝∵DAC，∵ADB＝∵B＝40°.∵∵ADC＝180°－∵ADB＝140°，∵∵C＝12(180°－∵ADC)＝20°；当AD＝BD，AD＝CD时，如图∵所示，∵BAD＝∵B＝40°，∵ADC＝180°－∵ADB＝∵B＋∵BAD＝80°，∵C＝∵DAC＝12(180°－∵ADC)＝12×(180°－80°)＝50°.综上所述，∵C的度数为80°或20°或50°.15．如图,在∠ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A= 050，则∠BPC=_______.【答案】130°∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∵∵BDC=∵AEB=90°，∵∵ABE=90°-50°=40°，∵∵BPC=∵ABE+∵BDP=40°+90°=130°．故答案为：130°．16．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1=_____°.【答案】165°如图，根据题意知∵2=45°，∵3=60°，∵∵4=360°-90°-∵2-∵3=165°，∵∵1=∵4=165°17．如图所示,∠1=50°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________【答案】260°.解：如图，∵D+∵F=∵2，∵A+∵E=∵3，∵∵A+∵D+∵E+∵F=∵2+∵3，∵∵1=50°，∵∵2+∵3=180°-50°=130°，∵4=50°，∵∵B+∵C=180°-50°=130°，∵∵A+∵B+∵C+∵D+∵E+∵F=260°.故答案为260°.18．已知∠A与∠B的两边一边平行，另一边垂直，∠A=x°，那么∠B等于_____．【答案】（90－x）°或（90+x）°．如图，∵DF∵AM，∵∵BDC=∵A=x．∵BC∵AN，∵∵BCA=90°，∵∵EBF=∵DBC=90°－∵BDC=90°－x°，∵FBC=90°+∵BDC=90°+x°．故答案为：（90－x）°或（90+x）°．19．一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∠CD．则∠1＋∠2＝__________．【答案】75°解：连接AC，∵AB∵CD，∵∵BAC+∵ACD=180°，∵∵BAG=30°，∵ECD=60°，∵∵EAC+∵ACE=180°-30°-60°=90°，∵∵CED=60°，∵∵GEF=180°-90°-60°=30°，同理∵EGF=180°-∵1-90°=90°-∵1，∵GFE=180°-45°-∵2=135°-∵2，∵∵GEF+∵EGF+∵GFE=180°，即30°+90°-∵1+135°-∵2=180°，解得∵1+∵2=75°．故答案为：75°．三、解答题20．如图，在∠ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.【答案】20°解：设∵1=∵2=x，则∵3=∵4=2x因为∵BAC=60°所以∵2 +∵4=120°即x+2x=120°所以x=40°所以∵3=∵4=80°，∵DAC=180°-∵3-∵4=20°21．如图，在∠ABC中，AD∠BC于点D，BE是∠ABC的平分线，已知∠ABC=040，求∠AOB 的度数。
人教版八年级上数学11.2 与三角形有关的角 同步练习及答案(含答案)
第11章《三角形》同步练习（§11.2 与三角形有关的角）班级学号姓名得分1．填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC，求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．证明：过A点作______∥______，则∠EAB＝______，∠F AC＝______．(___________，___________)∵∠EAF是平角，∴∠EAB＋______＋______＝180°．( )∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．( )即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?如图，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD与∠ACB互为______，即∠ACD＝180°－∠ACB．①又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，∴∠A＋∠B＝______．②由①、②，得∠ACD＝______＋______．∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________.三角形的一个外角大于____________________________________________________. 3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．4．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．5．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．6．依据题设，写出结论，想一想，为什么?已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：(1)∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；(2)若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．7．填空：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．(4)如图，直线a∥b，则∠A＝______度．(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．(6)已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．8．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．9．已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．10．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，求∠BOC；(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．11．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．12．类比第10、11题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．13．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2求∠CAB的度数．14．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．参考答案1．(1)三角形的内角和等于180°，(2)性质、平角，说理过程(略) 2．略．3．∠1＋∠2＋∠3＝360°，360°．4．∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠F ．(此图中的结论为常用结论) 5．30° 6．(1)90°，余角，(2)∠A ，∠B7．(1)60°．(2)36°，54°，90°．(3)5∶4∶3．(4)39°．(5)110°． (6)115°．(7)36°．(8)30°，45°，105°． 8．35°． 9．(1)10°；(2)).(21B C DAE ∠-∠=∠ 10．(1)113°，(2),2190o n + (3)116°．11．(1)23°．(2).21 n BOC =∠ 证明：∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACE ， ∴.21,21ABC OBC ACE OCE ∠=∠∠=∠ ∴.2121)(21 n A ABC ACE OBC OCF BOC =∠=∠-∠=∠-∠=∠ 12．)(21180)32(180FCB EBC BOC ∠+∠-=∠+∠-=∠)]()[(21180o ABC A ACB A ∠+∠+∠+∠-=)180(21180o o A ∠+-=A ∠-=2190.2190o n -=13．36°． 14．39°．由本练习中第4题结论可知： ∠C ＋∠CDM ＝∠M ＋∠MBC ，即①．2121ABC M ADC C ∠+∠=∠+∠同理，②．2121ABC A ADC M ∠+∠=∠+∠由①、②得),(21C A M ∠+∠=∠ 因此∠C ＝39°．。
人教版 八年级数学 11.2 与三角形有关的角 培优训练(含答案)
人教版八年级数学11.2 与三角形有关的角培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是( ) A．75°B．65°C．55°D．45°2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( )A. 35°B. 95°C. 85°D. 75°5. 在△ABC中，若∠C＝40°，∠B＝4∠A，则∠A的度数是( )A．30°B．28°C．26°D．40°6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数为( )A．80°B．70°C．60°D．50°7.如图，在△ABC中，D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∠A＝80°，∠ABD ＝30°，则∠BDC的度数为( )A．100°B．110°C．120°D．130°8. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为()A.118°B.119°C.120°D.121°9.如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD ，则∠A的度数是( )A．45°B．50°C．55°D．80°10. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是()A.x=y+zB.x=y-zC.x=z-yD.x+y+z=180二、填空题（本大题共6道小题）11.如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．12.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D.若∠A＝80°，则∠BOD＝________°.13.如图，∠AOB＝50°，P是OB上的一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为____ ____时，△AOP为直角三角形．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.15.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.若∠A＝70°，则∠BOC＝_ _______°.16.定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么“特征角”α的度数为____________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝35°，∠BAD＝30°，求∠C的度数．18.如图，A处在B处的北偏西45°方向，C处在B处的北偏东15°方向，C处在A处的南偏东80°方向，求∠ACB的度数．19. 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC.(1)如图①，作∠BAC的平分线AD，与CB，BE分别交于点D，F.求证:∠EFD=∠ADC;(2)如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，交CB的延长线于点D，反向延长AD交BE的延长线于点F，则(1)中的结论是否仍然成立?为什么?20. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C－∠B之间的数量关系，并加以证明．人教版八年级数学11.2 与三角形有关的角培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B 【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.3. 【答案】D4. 【答案】C 【解析】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠A CE＝120°，∵∠A＋∠B＝∠ACD，∠B＝35°，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°.5. 【答案】 B [解析] ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝40°，∠B＝4∠A，∴5∠A＋40°＝180°.∴∠A ＝28°.6. 【答案】B [解析] ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠A－∠B＝50°，∴2∠A＝140°.∴∠A＝70°.7. 【答案】D [解析] ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°.∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝40°.∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝12∠ACB＝12×40°＝20°.∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠DBC＝130°.8. 【答案】C[解析] ∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠ABC,∠ACB的平分线分别为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.故选C.9. 【答案】B [解析] 如图，连接AC并延长交EF于点M.∵AB∥CF，∴∠3＝∠1.∵AD∥CE，∴∠2＝∠4.∴∠BAD＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝∠FCE.∵∠FCE＝180°－∠E－∠F＝180°－80°－50°＝50°，∴∠BAD＝∠FCE＝50°.10. 【答案】A[解析] 根据题意,得∠A+∠ABC+∠ACB=180°①,变化后的三角形的三个角的度数分别是∠A-x°,∠ABC+y°,∠ACB+z°,∴∠A-x°+∠ABC+y°+∠ACB+z°=180°②,①②联立整理可得x=y+z.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】38°【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.12. 【答案】4013. 【答案】90°或40°[解析] 若△AOP为直角三角形，则分两种情况：①当∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°.14. 【答案】114 [解析]因为AB∥CD，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC＝1 2∠BAB′＝22°.在△ABC中，∠B＝180°－(∠BAC＋∠2)＝114°.15. 【答案】125 [解析] ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO.∴∠CBO＋∠BCO＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12(180°－70°)＝55°.∴在△BOC中，∠BOC＝180°－55°＝125°.16. 【答案】48°或96°或88°[解析] 当“特征角”为48°时，即α＝48°；当β＝48°时，则“特征角”α＝2×48°＝96°；当第三个角为48°时，α＋12α＋48°＝180°，解得α＝88°.综上所述，“特征角”α的度数为48°或96°或88°.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°.∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－35°－60°＝85°.18. 【答案】解：由题意知∠ABN＝45°，∠CBN＝15°，∠MAC＝80°，所以∠ABC＝60°.因为AM∥BN，所以∠MAB＝∠ABN＝45°，所以∠BAC＝80°－45°＝35°.所以∠ACB＝180°－60°－35°＝85°.19. 【答案】解:(1)证明:∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，且∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.(2)∠EFD=∠ADC仍然成立.理由:∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD.∵∠F AE=∠GAD，∴∠F AE=∠BAD.∵∠EFD=∠AEB-∠F AE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，且∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.20. 【答案】解：(1)在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝70°.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC＝35°.∵AE是BC上的高，∴∠AEB＝90°. ∴∠BAE＝90°－∠B＝40°.∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝5°.(2)∠DAE＝12(∠C－∠B)．证明：∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°.∴∠EAC＝90°－∠C.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝12∠BAC.∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，∴∠DAC ＝12(180°－∠B －∠C)．∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠C)＝12(∠C －∠B)．。
初二数学上册秋季班培优讲义.教师版.11.2 与三角形有关的角-测试题(含答案)【精品】
第十一章三角形【精品】11.2 与三角形有关的角1．三角形的内角（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于___________．（2）因为三角形三个内角的和等于180︒，所以任何一个三角形中至少有___________个锐角，最多有一个___________．【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．2．直角三角形的性质与判定（1）直角三角形的两个锐角___________．（2）有两个角互余的三角形是___________．【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：（1）见直角三角形，可得两锐角互余．（2）见两角互余，可得直角三角形．3．三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的___________组成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的外角等于___________的和．（3）三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角．【拓展】（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．K知识参考答案：1．（1）180︒（2）两，钝角或直角2．（1）互余（2）直角三角形3．（1）延长线（2）与它不相邻的两个内角（3）大于K—重点三角形内角和定理K—难点三角形外角及其性质K—易错三角形外角及其性质一、三角形内角和定理1．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．2．应用（1）在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．（2）在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数．（3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数．【例1】如图，65∠=︒，且CE平分ACB∠，求BEC∠的度数．ACBA∠=︒，30ABD∠=︒，72【答案】131︒【名师点睛】（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．（2）因为三角形内角和为180︒，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．二、直角三角形的性质与判定1．性质：直角三角形的两个锐角互余．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，则90A B ∠+∠=︒． 2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．在ABC △中，90A B ∠+∠=︒，则ABC △为直角三角形，且90C ∠=︒．3．符号表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt ABC △．【例2】如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠与DFE ∠的平分线相交于点P ，求证：EFP △为直角三角形．学科网【答案】证明详见解析【名师点睛】三角形中若有两个角互余，即它们的和为90︒，则另一个角一定为90︒角，是直角，从而可确定这个三角形为直角三角形．三、三角形的外角及其性质1．三角形的外角三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2．三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．【例3】如图，CE 是ABC △的外角ACD ∠的平分线，若35B ∠=︒，60ACE ∠=︒，则A ∠=A．35︒B．95︒C．85︒D．75︒【答案】C【解析】∵CE是ABCACD ACE∠=︒，∴2120∠=∠=︒，ACE△的外角ACD∠的平分线，60∵ACD B A∠=∠-∠=︒-︒=︒．A ACD B∠=∠+∠，∴1203585【名师点睛】（1）三角形外角的特点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，通常只取其中一个，因此，我们常说三角形有三个外角．因为三角形的每个外角同与它相邻的内角是邻补角，所以由三角形的内角和是180︒，可推出三角形的三个外角和是360︒．（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，因而证明角不相等时，应设法把求证中的大角放在三角形外角的位置上，把小角放在内角的位置上．（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等．1．关于三角形内角的叙述错误的是A．三角形三个内角的和是180°B．三角形两个内角的和一定大于60°C．三角形中至少有一个角不小于60°D．一个三角形中最大的角所对的边最长2．下列叙述正确的是A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角C．三角形中至少有两个锐角D．三角形中至少有一个锐角3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是A．150°B．135°C．120°D．100°4．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么△ABC是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．在不等边三角形中，最小的角可以是A．80°B．65°C．60°D．59°6．等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是__________．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为__________．8．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．9．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是___________．10．求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数．11．一个零件的形状如图所示，按规定A∠应分别是21︒、32︒，检验工人量得∠、C∠应等于90︒，B∠=︒，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？148BDC12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是A．3 B．4 C．6 D．513．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于A．25°B．30°C．35°D．40°14．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= ___________．16．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．17．如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=18°，则∠C的度数是___________．18．如图，∠BCD为△ABC的外角，已知∠A=70°，∠B=35°，则∠BCD=___________．19．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC 和∠BAC的度数．20．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF 的度数．21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC．（1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数；（2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．如图，在ABC∠=∠，△中，AD是BC边上的高，E是AB上一点，CE交AD于点M，且DCM MAE 求证：AEM△是直角三角形．23．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=A．75°B．80°C．85°D．90°24．（2018•宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是A．24°B．59°C．60°D．69°25．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45°B．60°C．75°D．85°26．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=__________．27．（2018•淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．28．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC 的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．1．【答案】B【解析】A正确，根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和是180°；C正确，三角形中至少有一个角不小于60°，否则三角形内角之和将小于180°；D正确，一个三角形中最大的角所对的边最长，不符合题意；B错误，三角形两个内角的和可能小于60°，如三角形的三个内角可以依次为20°，20°，140°，故B错误，故选B．4．【答案】A【解析】因为三角形内角和为180°，根据题意可得：∠B=∠C=80°，所以△ABC是锐角三角形．故选A．5．【答案】D【解析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．6．【答案】80°，50°，50°【解析】如图所示，AB=AC，∠1=∠2+30°．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠1、∠2分别是△ABC的外角，∴∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠ACB，∵∠1=∠2+30°，∴∠1–∠2=∠B+∠BAC–∠B–∠ACB=∠BAC–∠ACB=30°①，∵∠B=∠ACB，∴∠B+ ∠ACB+∠A=180°，∴2∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°–2∠ACB，代入①得，180°–2∠ACB–∠ACB= 30°，解得，∠ACB=50°，∴∠B=50°，∠BAC=180°–∠B–∠ACB=180°–50°–50°=80°，∴这个三角形各个内角的度数分别是80°，50°，50°．故答案为：80°，50°，50°．7．【答案】70°或20°【解析】如图①，∵AB =AC ，∠ABD =50°，BD ⊥AC ，∴∠A =40°，∴∠ABC =∠C =（180°–40°）÷2=70°；如图②：∵AB =AC ，∠ABD =50°，BD ⊥AC ，∴∠BAC =50°+90°=140°，∴∠ABC =∠C =（180°–140°）÷2=20°，故答案为：70°或20°．9．【答案】40°【解析】因为三角形内角和为180°，一个直角为90°，一个锐角为50°，所以另一个锐角的度数为180°–90°–50°=40°．故答案为：40°．学！科网10．【解析】如图，△ACB 为直角三角形，C 为直角，AD ，BE 分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，AD ，BE 相交于点F ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°，∵AD ，BE 分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，∴∠FAB +∠FBA =21∠CAB +21∠ABC =45°， ∴∠DFB =∠FAB +∠FBA =45°，即直角三角形两锐角平分线所夹的锐角为45°．11．【解析】如图，延长CD 交AB 于点E ．因为CDB ∠是BDE △的一个外角，∴CDB B BED ∠=∠+∠．因为BED ∠是AEC △的一个外角，所以BED C A ∠=∠+∠．所以902132143148CDB A B C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒≠︒．所以可以判定这个零件不合格．12．【答案】A【解析】如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ，再根据S △ABC =S △ABD +S △ACD ，可得12×4×2+12×AC ×2=7．解得AC =3．故选A ．13．【答案】D【解析】∵在△ACB 中，∠ACB =100°，∠A =20°，∴∠B =180°–100°–20°=60°，∵△CDB ′由△CDB 翻折而成，∴∠CB ′D =∠B =60°，∵∠CB ′D 是△AB ′D 的外角，∴∠ADB ′=∠CB ′D –∠A =60°–20°=40°．故选D ．15．【答案】120°【解析】∵∠ABC =42°，∠A =60°，∠ABC +∠A +∠ACB =180°．∴∠ACB =180°–42°–60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，∴∠FBC=12∠ABC=21°，∠FCB=12∠ACB=39°．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，∴∠BFC=180°–21°–39°=120°．故答案为：120°．18．【答案】105°【解析】∠BCD=∠A+∠B=70°+35°=105°．故答案为：105°．19．【解析】∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵180DBE ADB BED∠+∠+∠=︒，∠BED=70°，∴18020DBE ADB BED∠=︒-∠-∠=︒．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．20．【解析】∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°–40°–76°=64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．21．【解析】（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，即2∠BCD=180°–∠ABC，∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．22．【解析】∵AD是BC边上的高，∴90DMC DCM∠+∠=︒．又∵DMC AME∠=∠，DCM MAE∠=∠，∴90AME MAE∠+∠=︒，即AEM△是直角三角形．23．【答案】A【解析】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．24．【答案】B【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=59°，∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B．25．【答案】C【解析】如图，∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．26．【答案】100°【解析】∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，∴∠C=180°-30°-50°=100°．故答案为：100°．27．【解析】如图，过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．28．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=12∠CBD=65°．（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．。
《与三角形有关的角》精编练习题及参考答案
《与三角形有关的角》精编练习题及参考答案一、选择题1.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )A.∠A=60°,∠B=30°B.∠A+∠B=∠CC.∠A=90°-∠CD.∠A:∠B:∠C =3:4:52.如图,将△ABC沿MN折叠,使MN//BC,点A的对应点为点A＇若∠A＇= 32°,∠B=112°,则∠A＇NC的度数是( )A.114°B.112°C.110°D.108°第2题第3题第5题第6题3.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则∠1的度数是( )A.95°B.100°C.105°D.110°4.在△ABC中,∠A=20°,∠B=4∠C,则∠C等于( )A.32°B.36°C.40°D.128°5.如图是叠放在一起的两张长方形卡片,则图中相等的角是( )A.∠1与∠2B.∠2与∠3C.∠1与∠3D.三个角都相等6.如图,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE//BC,则∠AED的度数是( )A.50°B.60°C.70°D.80°第7题第8题第9题第10题7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )A.∠3=∠2+∠1B.∠3=∠2+2∠1C.∠3+∠2+∠1=180°D.∠1+∠3=2∠28.如图,AD 是∠CAE 的平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,则∠ACB 的度数( )A.25°B.60°C.85°D.95°9.如图,∠ACD 是△ABC 的外角,CE//AB.若∠ACB=75°,∠ECD=50°,则∠A 的度数为( )A.50°B.55°C.70°D.75°10.如图,在△ABC 中,∠B=32°,将△ABC 沿直线m 翻折,点B 落在点D 的位置,则∠1-∠2的度数是( )A.32°B.45°C.60°D.64°第11题 第12题 第13题 第14题11.如图,△ABC 中,AB>AC,AD 平分∠BAC,AE ⊥BC 于E,若∠B=a,∠C=β,则∠ADC 的度数为( ) A.12(β-a) B.180°- 12a- 12β C.90°+ 12β- 12a D.90°+ 12a- 12β12.如图,已知D 为BC 上一点,∠B=∠1,∠BAC=64°,则∠2 的度数为( )A.37°B.64°C.74°D.84°13.如图,∠1=∠2=150°,则∠3=( )A.30°B.150°C.120°D.60°14.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,若DE//AC,则图中∠1的度数是( )A.60°B.75°C.90°D.105°第15题 第16题 第17题 第18题15.如图,△ABC 沿直线MN 折叠,使点A 与AB 边上的点E 重合,若∠B=54°,∠C=90°,则∠ENC 等于( )A.54°B.62°C.72°D.76°16.如图,若∠A = 32°,∠B = 45°,∠C = 38°,则∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°17.如图,∠B +∠C+∠D +∠E-∠A等于( )A.360°B.300°C.180°D.240°18.如图,在△ABC中,E和F分别是AC,BC上一点,EF//AB,∠BCA的平分线交AB于点D,∠MAC是△ABC的外角,若∠MAC=a,∠EFC=β,∠ADC=γ,则a,β,γ三者间的数量关系是( )A.β=a+γB.β=2γ-aC.β=a+2γD.β=2a-2γ二、填空题19.在△ABC中,如果∠A=∠B=4∠C,那么∠C=____度.20.如图,∠1=20°,∠2=30°,∠BDC=95°,则∠A的度数是____.第20题第21题第22题21.如图,已知AB=A1B,A1C=A1A2,A2D =A2A3,A3E = A3A4,∠B=20°,则∠A4 =____度.22.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线CE 于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC =90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2,正确的是__________.(把所有正确的结论的序号写在横线上)23.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在图中的点A＇处,若∠A=29°,∠BDA＇=90°,则∠A＇EC的大小为____.第23题第24题第25题第26题24.如图是由平面上A,B,C,D,E五个点连接而成的,则∠A+∠B +∠C +∠D +∠E =____.25.一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置,已知等腰三角形的底角∠3=72°,则∠1+∠2=____.26.如图,∠ACE是△ABC的外角,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,且BD,CD交于点D.若∠A= 70°,则∠D的度数为____.三、解答题27.如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西 40°方向,从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢?28.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别等于21°,32°,但检验工人测得∠BDC=144°,就断定这个零件不合格,这是为什么呢?29.我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8字”图形:(1)如图1,AD,BC相交于点O,得到一个“8字”ABCD,试说明∠A+∠B= ∠C+∠D的理由;(2)如图2,以图中给的字母为顶点的“8字”图形有多少个?(3)如图 2,∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论试说明∠E = 1(∠A+∠C)的理由.230.如图①,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.(1)求证:∠BAC=∠B+2∠E;(2)如图②,若AF平分∠BAC,∠ECD =60°,∠E=24°,求∠AFC的度数.31.如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.(1)当∠BAO=45°时,∠C=____°;(2)当∠BAO=60°时,∠C =___°;(3)由(1)(2)猜想∠C的度数是否随点A,B的运动而发生变化?说明理由,32.如图,在△ABC中,E,G分别是AB,AC上的点,F,D是BC上的点,连接EF,AD,DG,AB//DG,∠1+∠2=180°,(1)求证:AD//EF;(2)若DG是∠ADC的平分线,∠2=140°,求∠B的度数.33.如图,在△ABC中,∠BAC=50°.(1)如图①,若I是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,则∠BIC =___°;(2)如图②,若D是△ABC的外角平分线的交点,则∠BDC=___°;(3)如图③,点G在BC的延长线上,若E是∠ABC,∠ACG的平分线的交点,探索∠BEC与∠BAC的数量关系,并说明理由;(4)在(3)的条件下,若CE//AB,求∠ACB的度数.34.如图1所示,在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC于点F.(1)试探索∠DEF与∠B,∠C的大小关系.(2)如图2所示,当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.参考答案一、选择题1-5 DDCAB 6-10 DDCBD 11-15 DBDBC 16-18 BCB二、填空题19. 2020. 45°21. 1022. ①④23. 32°24. 180°25. 138°26.35°三、解答题27. 60°,90°28. 不合格29.略30(1)略 (2)78°31(1)45°(2)45°(3)不合格32.略33(1)115°(2)65°(3)略(4)80°34(1)∠DEF=1(∠C-∠B)2(2)成立。
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11.2与三角形有关的角
专题一利用三角形的内角和求角度
1.如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ 线相
交于D点，/ A=50°则/ D=(
A. 15 °
B. 20 °
C. 25° 2.如
图，已知：在直角△ ABC中，/ C=90 °, BD平
分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC
且交BD于P,求/ BFA的度数.
3.已知：如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下，/ DAB 和/ BCD的
平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题：
(1)__________________________________________________________________ 在图1中，请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系： _______________________________ ;
(2)在图2中，若/ D=40° / B=30°，试求/ F的度数；(写出解答过程)
(3)如果图2中/ D和/B为任意角，其他条件不变，试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)
6.如图：
(1 )求证：/ BDC = / A+/ B+/C ;
(2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧，猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题
4. 如图，/ ABD ，/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 °
/ D=10°，则/ P 的度数为( )
A . 15 °
B . 20 °
C . 25 °
D . 30 °
5. 如图，△ ABC 中，CD 是/ ACB 的角平分线，CE 是AB 边上
的高，若/ A=40° , / B=72° .
(1) 求/ DCE 的度数；
(2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明
)
角之间有怎样的关系，并证明你的结论.
状元笔记
【知识要点】
1三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
2 •直角三角形的性质及判定
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.三角形的外角及性质
外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【温馨提示】
1.三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角.
2 .三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角.
【方法技巧】
1.在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用直角三角形的两个锐角
互余”.
2.由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
参考答案
1
1. C 解析：•••/ ABC的平分线与/ ACB的外角平分线相交于点D ,•••/仁一/ ACE ,
2
1 1
/ 2二—/ ABC.又•••/ D= / 1-Z 2, / A= / ACE-Z ABC, D=— / A=25° .故选C .
2 2
2.解：(法1) 因为Z C=90° 所以Z BAC+Z ABC=90°
1
所以一(Z BAC + Z ABC)=45 °
2
因为BD平分Z ABC, AP平分Z BAC ,
1 1
/ BAP= / BAC,/ ABP= / ABC ,
2 2
即/ BAP + / ABP=45° ,
所以/ APB=180° - 45°=135° .
(法2)因为/ C=90° 所以/ BAC + / ABC=90°
1
所以§ (/ BAC + / ABC)=45 °
因为BD平分/ ABC , AP平分/ BAC ,
1 1
/ DBC = — / ABC , / FAC= —/ BAC ,
2 2
所以/ DBC + / FAD=45°
所以/ APB=/ PDA + / PAD = / DBC + / C+Z PAD
=/ DBC + / FAD + / C =45 ° 90 °135 °
3.解：(1)/ A+Z D = Z B+Z C;
(2)由(1)得，/ 1 + / D=Z 3+ / P , / 2+Z P= / 4+ / B ,
•••/ 1-Z 3= / P-/ D，/ 2-Z 4=/ B-/ P ,
又••• AP、CP分别平分/ DAB和/BCD ,
•/ 1 = / 2, / 3= / 4 ,
•/ P-Z D= / B-/ P ,
即2Z P= Z B+Z D ,
•Z P= (40°+30° 吃=35° .
(3)2Z P=Z B+ Z D.
4. B 解析：延长DC,与AB交于点E.根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得
Z ACD=50° +Z AEC=50° + Z ABD + 10° ,整理得Z ACD-Z ABD =60° .设AC 与BP 相交于
1 1 1
点O,则/ AOB= Z POC，• / P+ Z ACD= Z A+— Z ABD，即/ P=50° - - (Z ACD —
2 2
2 Z ABD) =20°.故选B.
5 .解:(1)vZ A=40 ° Z B=72 °
•••/ ACB=68° .
•/ CD 平分/ ACB ,
1
•••/ DCB= —/ ACB=34° .
2
•/ CE是AB边上的高，
•••/ ECB=90°—/ B=90° - 72°=18° .
•••/ DCE=34° —18°=16° .
1
(2)Z DCE=丄(/ B — Z A).
2
6. ( 1)证明：延长BD交AC于点E,
•••Z BEC是厶ABE的外角，
•Z BEC=Z A+ Z B .
•Z BDC >△ CED 的外角，
•Z BDC = Z C+ Z DEC = Z C+ Z A+Z B .
(2)猜想：Z BDC+ Z ACD + Z A+Z ABD=360° . 证明：Z BDC+ Z ACD+ Z A+Z ABD
=Z 3+ Z 2+ Z 6+ Z 5+Z 4+ Z 1
=(Z 3+ Z 2+Z 1) + (Z 6+ Z 5+Z 4)
=180 +180 °360°.。