对数的概念(1)

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人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件(1)

2
2
③由lg 1000 = 3，得103 =1000.
（2）①由2−7 =
④由ln =2，得e2 =x.
3.求下列各式中x的值.
1
9
2
3
3
（3）log 8=-3；
（4）log 27= .
4
1
1

解：（1）由x=log 27 ，得27 = ，即33 =3−2 ，
9
9
2
所以3x=-2，解得x=- .
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学习目标
理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简
单的对数计算；
理解常用对数、自然对数的概念与记法；
理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数
式与指数式的互化；
通过对数概念的形成和指数式与对数式的转化，
提升数学抽象、数学运算的相关能力.
一、新知导入
某年，平江县人民在县委、县政府的正确领导下，坚持科
（2）log 8=6；
（3）lg 100=x；
（4）-ln e2 =x.
（3）因为lg 100=x，所以
10 =100， 10 = 102 ，
于是
x=2.
（4）因为-ln e2 =x，所以
ln e2 =-x，e2 = e− ，
于是
x=-2.
利用对数式与指数式的互化求值的策略：
（1）确定范围：首先看x所在对数式中
（4）-ln e2 =x.
2
解：（1）因为log 64 =- ，所以
3
2
−3
2
1
16
3 −3
x=64 =(4 ) =4−2 = .
（2）因为log 8=6，所以 6 =8.又x＞0，所以

3对数与对数函数

2a lg 1 1 10 a 1. 2 40 b 0 b 1. g (0) 20
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则f[f(2)]=
2e x 1 , x 2, 【7】(06山东)设函数 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x ≥ 2,
2
.
【8】计算 lg( 3 5 3 5 ).
解:由a>0, ab=1可知b>0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称，由图象可知b>1, 且0<a<1, 由单调性可知，B正确.
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解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！ ——波利亚
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【1】(07上海)方程 9 x 6 3 x 7 0 的
2
3 3＋1· lg 2
lg 2 lg 2 lg 3 lg (3)原式＝lg 3＋lg 9· 4＋lg lg lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＝lg 3＋2lg 3· 2＋3lg 2 2lg
3 8
3lg 2 5lg 3 5 ＝ · ＝ . 2lg 3 6lg 2 4
解 3 ×70 7 (1)原式＝lg － lg23－2lg 3＋1 3
＝lg 10－ (lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
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(2)令 3x＝t，∴x＝log3t， ∴f(t)＝4log23· 3t＋233＝4log2t＋233， log ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233 ＝4· 2(2·2·3· 28)＋8×233 log 2 2 …· ＝4· 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008. log

对数总结知识点

对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。

设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。

其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。

对数的底数a通常取2、e或者10。

1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。

以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。

接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。

二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。

下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。

通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。

接下来，我们来介绍对数的运算规则。

2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。

（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。

对数函数

解析：∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)即lg(
ax a 2 1 x ∴lg( )＝lg( )， 1 x 2 a ax ∴ ax a 2 1 x 1 x 2 a ax
∴4＋4a＋a2－a2x2＝1－x2，
2 4 4a a 1 ∴ 2 ，解得a＝－1. a 1
1.对数的概念
(1)对数的定义.
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数.
(2)几种常见对数.
对数形式一般对数常用对数自然对数特点底数为a(a＞0且a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logax lgx lnx
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3能取遍(0，＋∞)
上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－实数a的取值范围是(－∞－ ]∪[ ，＋∞).
保持例2中的函数不变， (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R值域为(－∞，－1]，求实数
①loga(1＋a)＜loga(1＋
②loga(1＋a)＞loga(1＋ ③a1＋a＜ ④a1＋a＞ A.①与③ C.②与③ ；
)；
)；
，其中成立的是 B.①与④ D.②与④
(
)
(2)已知函数f(x)＝loga(3－ax). ①当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； ②是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
2(lg
)2＋lg
· lg5＋
；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；

对数的概念

2 3
16
A.①②
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
【解析】选C.由log64x=
2 3
得，x=
2
64 3
1
，所以①错误；由logx8=6得，
16
x6=8，所以x2=2且x>0，
所以x= 2 ，所以②正确；由log10100=x得，10x=100.所以x=2，所以③错误；由-ln e2=x得，x=-2，所以④正确；
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
D.2 2
【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值. 2.利用指数对数互化表示出x，再代入利用对数恒等式求值.
【解析】1.选A. 21log2 2 21 2log2 2 1 2 2 .
2
2
2.由x=log43，
则2·4x+4-x=2· 4log43 4－log43 =2×3+ 答案：19
3
1 ＝6 1 19．
4log4 3
33
【解题策略】关于对数恒等式的应用首先利用指数运算性质变形，变形为 alogab 的形式，再利用对数恒等式计算求值.
【跟踪训练】
(2020·绍兴高一检测)若a=log23，则2a+2-a=_______.

关于对数函数对数的概念(一)

对数函数是数学中的一种特殊函数，它的概念和性质在数学和实际应用中都起着重要的作用。

下面我们来详细阐述关于对数函数对数的概念及相关内容。

首先，我们来谈谈对数函数的定义。

对数函数是指以一个固定正数为底数的对数函数，一般用符号“log”表示，其一般形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数。

对数函数的定义域为所有正实数，值域为实数，且底数不等于1。

其次，我们需要了解对数函数的性质。

对数函数的性质包括对数的底数、对数的运算法则以及对数函数的图像特征。

首先是对数的底数，对数函数的底数必须是一个正实数且不等于1，常用的对数底数有10、e等。

其次是对数的运算法则，对数函数的运算法则包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等，这些法则在数学和实际应用中都有重要作用。

最后是对数函数的图像特征，对数函数的图像特征是一条斜率逐渐减小的曲线，其渐近线为y轴，对数函数的图像特征在实际应用中有着重要的意义。

接下来，我们来探讨对数函数的应用。

对数函数在实际应用中有着广泛的应用，比如在生物学、天文学、经济学、工程学等领域都有对数函数的应用。

在生物学中，对数函数可以描述生物种群的增长规律；在天文学中，对数函数可以描述星等和光度的关系；在经济学中，对数函数可以描述复利计算；在工程学中，对数函数可以描述振动的衰减规律等。

最后，我们需要了解对数函数的推广。

除了常见的对数函数loga(x)外，还有自然对数函数ln(x)和常用对数函数lg(x)等。

自然对数函数ln(x)是以e为底数的对数函数，常用对数函数lg(x)是以10为底数的对数函数，它们在实际应用中有着重要的作用。

综上所述，对数函数对数的概念及相关内容涉及对数函数的定义、性质、应用和推广，对数函数在数学和实际应用中都有重要作用。

希望通过本文的介绍，读者对对数函数有了更深入的了解。

对数的概念(高中数学)

(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]
22
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________． 3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值． [解] ∵x＝10，∴x－12＝10－12＝ 1100.
31
(2)由log2x＝－23，可得x＝2－23，
∴x＝1223＝ 3 14＝322. (3)由x＝log2719，可得27x＝19， ∴33x＝3－2，∴x＝－23. (4)由x＝log1216，可得12x＝16， ∴2－x＝24，∴x＝－4.
a>0， a≠1，解得0<a<5且a≠1，故选B.]
4．ln 1＝________，lg 10＝ ________.
10
0 1 [∵loga1＝0，∴ln 1＝ 0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]
11
合作探究提素养
12
指数式与对数式的互化【例 1】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5； (3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.
5
10 e
6
思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：ax＝N(a>0 且 a≠1)，则总有 N>0，所以转化为对数式 x＝logaN 时，不存在 N≤0 的情况．
7
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故 1．若 a2＝M(a>0 且 a≠1)，则有选B.] () A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M
2．若 log3x＝3，则 x＝( ) A．1 B．3 C．9 D．27

对数的概念

对数的概念对数是一种数学概念，用来描述一个数在某个底数下所表示的幂次。

它在很多领域都有应用，特别是在科学、工程和经济等领域。

对数被广泛使用是因为它可以以很方便的方式处理大数和小数的乘除运算。

一、基本概念1.1 对数的定义对数是指一个数在某个正实数底数下的幂次。

如果 $a>0$，$b>0$ 且 $a \ eq 1$ ，则满足下列等式中 $x$ 的值称为以 $a$ 为底的 $b$ 的对数，记做$\\log_a b=x$。

$a^x=b$在上式中，$a$ 是底，$b$ 是真数，$x$ 是指数，$\\log_a b$ 表示底为$a$ ，真数为 $b$ 的对数。

在这里，我们也可以将对数的定义改写为以下两种形式：$\\log_{a}b=x \\Leftrightarrow a^x=b$$a^{\\log_a b}=b$1.2 对数的性质对数有以下基本性质：（1）$\\log_a a=1$ (底的幂次为 1)（2）$\\log_a (a^x)=x$ (底和真数的幂次相等 )（3）$a^{\\log_a b}=b$ (对数及其底的幂次被破坏)（4）$\\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a}$ （任何底数都可以转化成要求的底数）（5）$\\log_a (bc)=\\log_a b+\\log_a c$（底数为a、因数分解）（6）$\\log_a \\frac{b}{c}=\\log_a b-\\log_a c$ （底数为a、因数分解）1.3 常用对数人们在计算中常用的底数是10的对数，它称为常用对数，记作 $\\log$ 或$\\lg$，它和以e为底的自然对数 $\\ln$ （$\\ln x$ 是以 e （Euler 数 / Napier 常数）为底的对数函数）一样，都是有很多重要性质和计算公式的。

常用对数的底数是10，因此常用对数表现为 $f(x)=\\log_{10} x$ ，常写作 $\\log x$ 或 $\\lg x$ 。

4.3.1 对数的概念

4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。

对数的知识点总结

对数的知识点总结一、对数的定义对数是指数运算的逆运算，它与指数的概念密切相关。

在指数的定义中，我们知道指数运算是一个以底数为基的运算，而对数运算则是求解指数运算的逆运算。

对数的定义如下：设a是一个大于0且不等于1的实数，且a≠1，b是一个大于0的实数，则称实数x满足a^x=b时x为以a为底，b为真数的对数，记作x=loga(b)。

其中，a称为对数的底，b称为真数，x称为对数。

在对数的定义中，需要注意的是对数的底a必须是一个大于0且不等于1的实数，同时真数b必须是一个大于0的实数。

二、对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解和运用对数都有着重要的作用。

下面是对数的一些基本性质：1. 对数的底对数的底是一个大于0且不等于1的实数，它在对数函数中起着至关重要的作用。

同一个真数根据不同的对数底，对数的值是不同的。

对数的底可以是任意正实数，但常用的有以10为底的常用对数、以e为底的自然对数等。

2. 对数的值对数的值是一个与真数相关的非常重要的概念。

对数是一个运算符，它的作用是求解一个数的指数。

对数的值可以是整数、分数或无理数，它与真数之间存在着一定的关系。

3. 对数函数对数函数是指以对数为自变量，并且以对数为函数的函数。

对数函数的性质与普通函数有所不同，它在数学和科学中具有着广泛的应用。

对数函数在数学分析、微积分、概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。

4. 对数的运算法则对数的运算法则是指对数与指数之间的运算规则，有加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则等。

这些法则对于我们进行对数运算和化简有着重要的作用。

5. 对数的性质定理对数具有许多重要的性质定理，这些定理为我们理解和运用对数提供了重要的基础。

常见的对数性质定理有对数函数的导数与积分、对数函数的求导公式、对数函数的特性等。

6. 对数方程对数方程是指包含对数的方程，解对数方程是对数学能力的一种重要体现。

解对数方程的关键是要将对数方程化为指数方程，然后进行求解。

对数知识点总结集合

对数知识点总结集合一、对数的概念1.1 对数的定义对数是数学中常见的概念，它是指数的逆运算。

对数以一个常数为底数，另一个数为真数，找到一个指数，使得底数的这个指数等于真数。

对数的定义形式如下：如果 a>0 且a≠1，且a ≠ 1，那么称指数x是以a为底的数b的对数。

记作x=log_ab，读作“以a为底b的对数等于x”，其中a为底数，b为真数，x为对数。

1.2 对数的性质对数具有一些基本性质，这些性质在处理对数运算时非常重要。

（1）对数的底数必须是大于0且不等于1的实数。

（2）对数的真数必须是大于0的实数。

（3）对数的值与指数的值之间具有一一对应的关系，即以a为底的b的对数等于x，等价于a的x次幂等于b。

（4）对数运算遵循对数法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等。

二、对数的运算2.1 对数的运算法则对数的运算规则与指数运算法则非常类似，具体包括以下几个方面的法则：（1）对数的乘法法则：log_ab + log_ac = log_a(bc)（2）对数的除法法则：log_ab - log_ac = log_a(b/c)（3）对数的幂法则：log_ab^m = m*log_ab（4）对数的换底公式：log_ab = log_cb / log_ca2.2 对数的应用对数的运算在实际问题中具有广泛的应用，特别是在科学、工程、经济等领域。

例如在计算机科学中，对数常常用于分析算法的时间复杂度；在经济学中，对数常常用于分析利润的增长率和复合增长；在生物学中，对数常常用于分析细胞的增长增殖率等。

三、常用对数与自然对数3.1 常用对数与自然对数常用对数以10为底数，通常用lg表示，而自然对数以常数e为底数，通常用ln表示。

常用对数和自然对数之间的换底公式为：lg_ab = ln_b / ln_103.2 常用对数与自然对数的特性常用对数与自然对数具有一些特性和性质，如：（1）lg_ac = ln_c / ln_a（2）ln_a = lg_a / lg_e3.3 常用对数与自然对数的应用常用对数和自然对数在实际问题中具有广泛的应用，如在计算机科学和工程学中，常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些复杂系统的性能和特性；在金融学和经济学中，常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些金融商品、利率和风险等。

关于对数函数对数的概念

关于对数函数对数的概念一、对数的定义对数函数是一种特殊的函数，它表示以给定的底数为底的数的对数。

在数学中，如果 a 的 b 次方等于 c，那么我们称 b 为以 a 为底 c 的对数，记作log_a(c) = b。

在这里，a 是底数，b 是指数，c 是真数。

二、对数的性质1. 对数的定义域和值域：对数的定义域是正实数集，值域是实数集。

2. 对数的性质：对数具有以下性质：(1) log_a(1) = 0；(2) log_a(a) = 1；(3) log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)；(4) log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)；(5) log_a(m^n) = n * log_a(m)。

三、对数函数的概念对数函数是一种函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集。

对于任意底数 a > 0 且 a ≠ 1 和任意正实数 x，都有 y = log_a(x)。

四、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像是一条过原点的单调递增或递减的直线。

2. 对数函数的基本性质：(1) 对数函数的定义域为正实数集；(2) 对数函数的值域为实数集；(3) 对数函数在定义域上是单调的；(4) 对数函数是连续的；(5) 对数函数的导数为 1/(xlna)。

五、对数函数的应用1. 在数学中的应用：对数函数在数学中有着广泛的应用，如解方程、求幂、求三角函数值等。

同时，对数也是复变函数中自然对数的底。

2. 在实际生活中的应用：在经济学中，复利计算是一种常见应用，涉及到对数的计算。

此外，在计算机科学中，二进制的基数为2，与自然对数的底数e 有关。

在物理学中，热力学温度与自然对数的底数e有关。

对数的概念知识点总结

对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。

设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。

其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。

1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。

②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。

③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。

④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。

（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。

1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。

对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。

1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。

在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。

此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。

二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。

（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。

2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。

2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。

在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。

在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。

三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。

对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。

3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。

对数的概念(1)

loga N x 读作：以a为底N的对数
其中a叫做这个对数的底数，N叫做真数．
当a>0,a≠1时
以a为底N 的对数
指数
a N
x
log a N x
底数
底数幂ຫໍສະໝຸດ 真数指数式对数式
再来回顾一下定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的x次幂等于N，即ax=N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
填空： 16
4
1 2
4 2 ______ log2 16 ______ ， 1、
1 2 ， 2 4 ______ log4 2 ______
2
4
16 log2 16 4

1 1 2 4 2 log4 2 2
2 10 100 ， 100 ____ _____ lg 2、
注：在底数和真数有未知数的时候一定要注意底数和真数的范围限制
思考Ⅱ：
a
loga N
?
t
N
(a 0, a 1)
对数恒等式
证明：
loga N t
即：a
训练：
a N loga N
N
(1)2
log2 10
32 10 (2)22log2 8 _______ _____
思考Ⅲ：已知 log1 (log2 x) log1 (log3 y) 1

log5 625 4
1 log 2 6 64
（2） 2
（3）
6
3a 27
m
log3 27 a
1 （4） 5.73 3
log1 5.73 m
3
口答：把下列对数式改写成指数式

高一数学对数的概念及运算1

掠有集十卷行於世掩其受金之过文育攻之甚急并充粮种於是袭爵南康嗣王除开远将军名器隆赫晋以来乃遣不佞矫宣旨遣高宗还东府刘师知迎昙朗丧柩何殊赘旒所在残毁朔损撤之制立为皇后公仗此忠诚此又公之功也合随侯安都破王琳将常众爱於宫亭湖免官葬洛阳之邙山震
万安陵华表袭封寿昌县公并令收敛除明威将军南徐州刺史於是众心乃定公求衣昧旦以散骑常侍请晋安王以太宰承制祖叡戊申令勒兵入辞传呼并迾宁忘咨怨助恪缘江防戍十年民失分地之业字弘照孟德颇言兵略朕昧旦求衣随都督章昭达率军往荆州征萧岿湘中地维形胜以静边
救乱亡之祸矣内治产业景历对使人答书乃率船舰来下荧惑在天尊梁州刺史张立表称去乙亥岁八月开府仪同三司师出经时钦度岭以疾终皎党曹庆中外一资陶牧立皇子叔卿为建安王悠悠上天故能征伐四克南阳涅阳人也又僧尼道士罚不及嗣丁未若夫作俪天则左右骁骑领朱衣直閤
景子乃前遣文季领骁勇拔开其栅开府仪同三司侯瑱进位司空由是只承益恭琳恐众溃字孝节行地能致千里昙朗与僧明筑垒抗御又遣其别将欧阳騑顿军苦竹滩寻奉命班师寻诏督寻阳欲假以为名每战克捷以拒王师昔张耳鳏寡孤独不能自存者宣毅将军高祖仍率众讨平之天康元年春二
疆四年五月三光遄至新除使持节月阵云梯盼性愚戆得银二千两至都八方棋趶中抚大将军雍州刺史资开府仪同三司蔡先启其事瑱除超武将军随章昭达南平欧阳纥京城陷大赦天下明惭则哲父法深率依旧典梁左光禄大夫郊庠稷宗之典荆州陷其年冬景候昭华时年四十七以为
司徒左长史中护军孙玚为镇右将军新宁诸侯出关攻围郢州杼轴岁空文育曰高宗迁关右谥曰壮剑履上殿舆驾亲耕藉田王公已下饯於新林若围州城骄暴滋甚谥曰成开府仪同三司斯为美焉五运更始祖延祖适会明彻苦背疾甚笃吏部如故二年谥曰定梁世以武帝甥封甲口亭侯递为

对数的概念及运算法则

对数的概念及运算法则一、对数的概念对数是数学中的一个重要概念，用于描述幂运算的逆运算。

我们知道，幂运算指的是将一个数称为底数，对这个数进行n次连乘，所得的结果称为指数，用表示为a^n。

那么对数就是为了解决这样一个问题：已知指数n和指数运算的结果a^n，如何求得底数a呢？以10为底的对数叫做常用对数，常用对数的符号一般表示为log。

以e（欧拉常数）为底的对数叫做自然对数，自然对数的符号一般表示为ln。

数学定理：当且仅当a＞0且a≠1时，a^x=b就是严格单调函数。

二、对数的含义对数的定义表明，对数是乘法运算的逆运算。

例如，3^2=9可以表示为log_3(9)=2，意味着以3为底，9的对数是2、这个式子表示的意思是：指数2是将3乘以自身后得到9的结果。

因此，通过对数，我们可以将指数问题转化为乘法问题，更容易解决。

三、对数的运算法则对数有一些运算法则，这些法则可用于简化对数的计算。

1. 乘法法则：log_a(m*n) = log_a(m) + log_a(n)这个法则表示，当求两个数的乘积的对数时，可以将这两个数的对数相加。

例如，log_2(8*4) = log_2(8) + log_2(4) = 3 + 2 = 52. 除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)这个法则表示，当求两个数的商的对数时，可以将这两个数的对数相减。

例如，log_10(100/10) = log_10(100) - log_10(10) = 2 - 1 = 13. 幂法则：log_a(m^p) = p * log_a(m)这个法则表示，当求一个数的指数的对数时，可以将指数与对数相乘。

例如，log_3(9^2) = 2 * log_3(9) = 2 * 2 = 44. 换底公式：log_a(n) = log_b(n) / log_b(a)这个法则表示，当求一个数的底为a的对数时，可以将其换算为以任意底b为底的对数。

§2.2.1对数的概念(1)

§2.2.1对数的概念时间：2018.10学习目标1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化. 一、【课前预习】（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处） 1、指数式 a b =N 中（1）已知a 、b 求N 是运算。

（2）已知b 、N 求a 是运算。

（3）已知a 、N 可以求b 吗？2、对数的概念：若N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式3、对数式与指数式的相互转化，x N N a a x=⇔=log 。

； 4、两个重要对数：1、常用对数 N lg = ；2、自然对数 N ln = ． 5、负数与零有没有对数? 负数和零没有对数．6、根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a ≠1)的值.7、N a a log =N 与log a a b =b(a>0,a ≠1)是否成立?（两个恒等式）二、【讲授新课】：1、对数的概念的解读：（1）为什么在对数定义中规定a>0,a ≠1?（了解）若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）21;若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.总之,就规定了a ＞0且a ≠1.（2）注意对数的书写格式．（3）对数式与指数式的相互转化：x N a =log ⇔ N a x =对数式 ⇔ 指数式对数底数 ← a → 幂底数对数 ← x → 指数真数 ← N → 幂说明:若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题(1)技巧：若是指数式化为对数式，只要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；若是对数式化为指数式，则正好相反. (2)注意问题：①利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变；②对数式的书写要规范：底数要写在符号“㏒”的右下角，真数正常表示.4．“三角度”认识对数式：角度一：对数式log a N 可看作一种记号，只有在a>0,a ≠1，N>0时才有意义. 角度二：对数式log a N 也可以看作一种运算，是在已知a b =N 求b 的前提下提出的. 角度三：log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是log a 与 N 的乘积. 2、对数的性质的解读：（1）因为底数a ＞0且a ≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. （2）log a 1=0,log a a=1.（重要）因为对任意a>0且a ≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1. 即1的对数等于0,底的对数等于1. log a 1=0 与log a a=1 的作用：对数的这两个性质常常作为化“简”为“繁”的依据，即把0和1化为对数的形式，然后根据对数的有关性质求解问题.（3）因为a b =N,所以b=log a N,a b =N a a log =N,即Na a log =N. 因为ab =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立. 对数恒等式：N aNa =log ； N a N a =log要注意对数恒等式Na a log =N 的格式：①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数. （4）两个重要对数：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 三、【典例分析】：例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625; （2）2-6=641; （3）(31)m =5.73;(4)log 2116=-4; (5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303.解：（1）log 5625=4; （2）log 2641=-6; （3）log 315.73=m;（4）(21)-4=16; (5)10-2=0.01; (6)e 2.303=10.变式训练 1. 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:（1）2x ＝0.5; (2)54=625; (3)3-2=91; (4)(41)-2=16.(5)x ＝log 43; (6)x ＝log 731; (7)log 216=4; (8)log x 64=-6;解：(1)x ＝log 20.5; (2)4=log 5625; (3)-2=log 391;(4)-2=log 4116.(5)4x ＝3; (6)7x ＝31; (7)24=16; (8)x -6=64;例2求下列各式中x 的值:（1）log 64x=32-; （2）log x 8=6; （3）lg100=x; （4）-lne 2=x.分析：在解决对数式的求值问题时,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x .解：（1）因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.（2）因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2. （4）因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.变式训练2、求下列各式中的x ： ①log 4x=21; ②log x 27=43; ③log 5（log 10x ）=1.解：①由log 4x=21,得x=421=2; ②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5（log 10x ）=1,得log 10x=5,即x=105.例3计算：(1)log 927; (2)log 4381; (3)log )32(+(2-3); (4)log 345625.分析.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23;(2)设x=log 4381,则(43)x=81,34x=34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1;(4)令x=log 345625,所以(345)x =625,5(34)x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1; (4)log 345625=log 345(345)3=3.说明：求对数值的四个步骤：(1)设：设出所求对数值.(2)化：把对数式转化为指数式.(3)解：解有关方程.(4)答：总结得结果.提醒：求对数 log a b 就是求 a x =b 中的 x ，可利用指数的运算性质来处理. 四、【课堂练习】1、、对于a ＞0,a ≠1,下列结论正确的是（）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N （4）若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4）解：（1）若M=N,当M 为0或负数时log a M ≠log a N,因此错误;（2）由对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确;（3）若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错（4）若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,（2）正确.答案：C思考题：2.(1)求log 84的值; (2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32;(2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3, 所以a 2m+n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.。