人教新课标版数学高一人教A必修1学案 .2分段函数及映射

第2课时 分段函数及映射

[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．

[知识链接]

1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .

2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念

映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．

要点一 分段函数求值

例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，

2x －1，x ≥2.

(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－5

2)]的值；

(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．

解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －5

2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.

∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－3

2

<2， ∴f [f (－52)]＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－3

4. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．

当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.

规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1x ＋1，x <1，

x －1，x >1，则f (2)等于( )

A ．0 B.1

3 C ．1 D ．2

答案 C 解析 f (2)＝

2－1＝1.

要点二 分段函数的图象及应用

例2 已知f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2 (－1≤x ≤1)，

1 (x ＞1或x ＜－1)，

(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．

解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．

(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .

由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，

当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，

所以f(x)的值域为[0,1]．

规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．

2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．

3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．

跟踪演练2作出y＝错误!的图象，并求y的值域．

解y＝错误!值域为y∈[－7,7]．

图象如下图．

要点三映射的概念

例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？

(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．

(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．

规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．

跟踪演练3 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )

①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1

x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：

x →y ＝1

|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N .

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．②④ 答案 D

解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.

1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )

答案 D

解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D.

2．函数y ＝|x |的图象是( )