过圆上一点的切线方程
高一数学知识点总结_圆与方程知识点
高一数学知识点总结_圆与方程知识点高一数学怎么学?首先应做好课前的物质准备和精神准备，以使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r;(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题).②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条;当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;当时，两圆内含;当时，为同心圆。
高一数学知识点总结(二)直线、圆的位置关系由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.(2)相切：直线和圆有公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,的公共点叫做切点.(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系(1)点P在⊙O内dr.2、归纳概括：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)直线l和⊙O相交dr.练习题：1.直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相切或相交2.圆的的弦长为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么()A.d<6cmB.6cmC.d≥6cmD.d>12cm3.P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是()A.α=βB.α+β=90°C.α+2β=180°D.2α+β=180°4.在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为()A.x2+12x+28=0B.x2-12x+28=0C.x2-11x+12=0D.x2+11x+12=0高一数学知识点总结(三)空间直角坐标系空间直角坐标系定义：过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x 轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。
过圆上一点作圆的切线的做法
要在圆上某点作圆的切线，可以按照以下步骤进行：
给定一个圆和一个点P，将点P与圆心连接，得到半径OP。
根据圆的性质，半径OP与切线的斜率垂直，因此可以求出OP的斜率。
使用点斜式或一般式等方法，根据点P的坐标和OP的斜率，得到切线的方程。
确定切点，即切线与圆的交点。
切点是切线上距离点P最近的圆上的点。
检查结果，确保切线与圆的切点处相切。
需要注意的是，如果点P在圆内部或圆外，将会有不同的情况和处理方式。
在处理过程中，要注意使用合适的数学方法和公式，以确保正确地作出圆的切线。
圆的方程专题2：直线系与圆系方程-高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (解析版)
直线系与圆系方程1 直线系方程(1)过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零)(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+C0=0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx−Ay+C0=0；(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意)【例】写出与直线x−2y+1=0平行、垂直的直线系方程.解与直线x−2y+1=0平行的直线系方程分别为x−2y+m=0，与直线x−2y+1=0垂直的直线系方程分别为2x+y+m=0.2 圆系方程(1)以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x−a)2+(y−b)2=λ(λ>0)；(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0；(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x−2y+1=0，圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2:x2+y2+x+y= 0，写出过直线l与圆C1交点的圆系方程，过圆C1与圆C2交点的曲线方程，过圆C1与圆C2交点的公共弦方程.解过直线l与圆C1交点的圆系方程为x2+y2+2x−2y+1+λ(x−2y+1)=0，化简为x2+y2+(2+λ)x−(2+2λ)y+1+λ=0；过圆C1与圆C2交点的曲线方程x2+y2+2x−2y+1+λ(x2+y2+x+y)=0，化简为(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2+λ)x+(λ−2)y+1=0，令λ=−1，得过圆C1与圆C2交点的公共弦方程x−3y+1=0.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x0 ,y0)作圆⨀M:(x−a)2+(y−b)2=r2的切线l方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.解 切线方程为(1+2)(x +2)+(−2+1)(y +1)=1，化简为3x −y +4=0.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．解析 直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点为(1,5)，方法一(1)当斜率为−12时，由直线的点斜式方程得：直线方程为y −5=−12(x −1)．直线方程为x +2y －11=0．(2)过点P(2,3)时，由两点式得：y －5=3−52−1(x －1)即为y =−2x +7．直线方程为2x +y −7=0．(3)平行于直线3x +y =1时，得直线斜率为k =－3，直线方程为y −5=−3(x －1)， 即直线方程为3x +y −8=0．方法二 由直线系方程可设所求直线为2x +3−y +λ(3x −y +2)=0(1) 2x +3−y +λ(3x −y +2)=0⇒(2+3λ)x −(λ+1)y +2λ+3=0直线的斜率为−12时，2+3λλ+1=−12，解得λ=−57， 故所求直线方程为x +2y －11=0．(2) 过点P(2,3)时，代入方程得4+5λ=0⇒ λ=−45，故所求直线方程为2x +y －7=0．(3) 平行于直线3x +y =1时，2+3λλ+1=−3，解得λ=−56,故所求直线方程为3x +y －8=0．点拨 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.【巩固练习】1.求过两直线x −2y +4=0和x +y −2=0的交点P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点(2 ,1)； (2)和直线3x −4y +5=0垂直．答案 (1) x +2y −4=0 (2) 4x +3y −6=0解析 由{x −2y +4=0x +y −2=0 解得{x =0y =2，∴P(0 ,2)．(1)设过点P 的直线方程为x −2y +4+λ(x +y −2)=0，∵过点(2 ,1)，∴2−2+4+λ=0⇒λ=−4，故所求直线方程为x −2y +4−4(x +y −2)=0⇒x +2y −4=0.(2) 设所求直线为4x +3y +λ=0,∵过点P(0 ,2)，∴0+6+λ=0⇒λ=−6，故所求直线方程为4x +3y −6=0.【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线l 的方程．解析 方法一 当直线l 斜率不存在时，方程为x =−1，显然不是切线，故可设切线方程为y =k (x +1)+4，∵直线l 与圆相切，∴圆心(2 ,3)到直线l 的距离等于半径1，故√1+k 2=1，解得k =0或−34，故所求直线l 的方程为y =4或3x +4y −13=0．方法二 如方法一，设切线方程为y =k (x +1)+4，由{y =k (x +1)+4(x −2)2+(y −3)2=1得(1+k 2)x 2+(2k 2+2k −4)x +k 2+2k −4=0其判别式∆=(2k 2+2k −4)2−4(1+k 2)(k 2+2k −4)=0 , 解得k =0或−34 ,故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法三因为切线过点P(−1 ,4)，故可设所求直线的方程为A(x+1)+B(y−4)=0(其中A ,B不全为零)，∵直线l与圆相切，=1∴圆心(2 ,3)到直线l的距离等于半径1，故√A2+B2,B≠0．整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．点拨本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点(x0 ,y0)的直线系方程为A(x−x0)+ B(y−y0)=0(其中A ,B不全为零) , 它比起斜截式y=kx+b的设法好在不用对k的存在进行讨论.【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x=1或5x+12y+31=0解析因为切线过点P(1 ,3)，故设所求直线的方程为A(x−1)+B(y−3)=0(其中A ,B不全为零)，=2，∵直线l与圆相切，∴圆心(−1 ,0)到直线l的距离等于半径2，故√A2+B2,≠0，整理得B(5B+12A)=0，即B=0(这时A≠0)或A=−512故所求直线l的方程为x=1或5x+12y+31=0．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．答案x+√3y−3=0.解析易发现点P(0,√3)在圆(x+1)2+y2=4上，故直线l的方程为(0+1)(x+1)+√3y=4，化简得x+√3y−3=0，即所求直线l的方程为x+√3y−3=0.【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．解析方法一(面积最小的圆是以两个交点为直径的圆)∵圆x2+y2+2x−4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y−2)2=4．∴圆心坐标为(−1 ,2)，半径为r=2；∴圆心到直线2x−y+3=0的距离为d=，√5设直线2x−y+3=0和圆x2+y2+2x−4y+1=0的交点为A ,B，则|AB|=2√r 2−d 2=2√4−15=√19√5，∴过点A ,B 的最小圆半径为√19√5，联立{2x −y +3=0x 2+y 2+2x −4y +1=0得5x 2+6x −2=0，故x 1+x 2=−65，则圆心的横坐标为：12(x 1+x 2)=−35，纵坐标为2×(−35)+3=95，∴最小圆的圆心为(−35 ,95)，∴最小圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195．方法二 依题意，可设过点A 、B 两点圆的方程为x 2+y 2+2x －4y +1+λ(2x −y +3)=0，(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得(x +λ+1)2+(y −4+λ2)2=54λ2+λ+4 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即54λ2+λ+4取到最小值，而54λ2+λ+4=54(λ+25)2+195≥195，当λ=−25时取到最小值，此时圆的方程为(x +35)2+(y −95)2=195.点拨 本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.【典题2】 已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0．(1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程．解析 (1)证明：(圆心距C 1C 2∈(R −r ,R +r)⇔两圆相交)圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16∴C 2(−1 ,−1)，r =4∵圆C 1：x 2+y 2=10的圆心坐标为(0 ,0)，半径为R =√10∴|C 1C 2|=√2 ,∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；(2)(两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程)将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；(3)方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接)由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10解得{x =3y =−1或{x =−1y =3，(这里还是有些计算量的)则交点为A (3 ,−1) ,B(−1 ,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P(6−n ,n)，则AP =BP ，解得n =3，故圆心P(3 ,3)，半径r =AP =4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．方法二 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x +2y −14+λ(x 2+y 2−10)=0(λ≠−1) 即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+2x +2y −14−10λ=0 ∴圆心坐标为(−11+λ ,−11+λ)代入直线x +y −6=0可得：−11+λ−11+λ−6=0，∴λ=−43∴所求圆的方程为x 2+y 2−6x −6y +2=0．点拨 此题是过圆与圆交点的圆系问题.① 两圆之间的位置关系看圆心距O 1O 2与两圆半径R 与r 之间的关系；② 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等.【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0和直线x －y +7=0的两个交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+5x －3y =0解析 (1)设圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21+λ(x －y +7)=0，代入(0,0)，可得21+7λ=0，∴λ=－3，∴圆的方程为x 2+y 2+8x －6y +21－3(x －y +5)=0，即x 2+y 2+5x －3y =0.2.求经过圆x 2+y 2+8x －6y +21=0与直线x －y +5=0的交点且在y 轴上的弦长为2√33的圆的方程．答案 x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0解析 设所求的圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)+k(x −y +5)=0，且与y 轴的交点坐标为y 1、y 2，令x =0得(y 2−6y +21)+k(−y +5)=0，化简得y 2−(k +6)y +21+5k =0， ∴y 1+y 2=k +6，y 1⋅y 2=5k +21，由|y 1−y 2|=2√33两边平方得(y 1+y 2)2－4y 1⋅y 2=132，∴(k +6)2－4(5k +21)=132，化简得k 2－8k －180=0，解得k =－10或k =18，∴所求圆的方程为(x 2+y 2+8x −6y +21)－10(x −y +5)=0，或(x 2+y 2+8x −6y +21)+18(x −y +5)=0，∴所求圆的方程为x 2+y 2−2x +4y −29=0或x 2+y 2+26x −24y +111=0.3.求经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点，并且圆心在直线x −y −4=0上的圆的方程．答案 x 2+y 2−x +7y －32=0解析 设经过两圆x 2+y 2+6x −4=0和x 2+y 2+6y −28=0的交点的圆的方程，为(x 2+y 2+6x －4)+λ(x 2+y 2+6y －28)=0，即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy −4+28λ1+λ=0， 则它的圆心坐标为(−31+λ,−3λ1+λ)．再根据圆心在直线x −y −4=0上，可得−31+λ+3λ1+λ−4=0，解得λ=−7，故所求的圆的方程为x 2+y 2−x +7y －32=0．4.已知圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程． 答案 (1) x +y −3=0,√6 (2) (x −32)2+(y −32)2=32解析 (1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标是圆C 1：x 2+y 2−3x −3y +3=0，圆C 2：x 2+y 2−2x −2y =0，联立方程组的解，两方程相减得：x +y −3=0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x +y −3=0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x −1)2+(y −1)2=2，∴圆心C 2(1,1)，半径r =√2． 圆心C 2到直线AB 的距离d =√2=√2，|AB|=√6．即两圆的公共弦长为√6．(2)C 1(32,32),C 2(1,1)，直线C 1C 2方程：x −y =0．{x −y =0x +y −3=0，交点为(32,32)， 即为圆的圆心，半径r =√32， 所以圆的方程是：(x −32)2+(y −32)2=32．【A 组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l 1：x −2y +2=0，l 2：2x −y −2=0；答案 y =x解析 方法一 方程组{x −2y +2=02x −y −2=0得{x =2y =2所以，l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y =kx ，把点(2,2)的坐标代入以上方程，得k =1，所以所求直线方程为y =x ．方法二 过直线l 1与l 2的交点的直线可设为x −2y +2+λ(2x −y −2)=0因为过原点，故2−2λ=0⇒λ=1，则所求直线方程为y =x .2.已知直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0的交点为A 、B ，(1)求弦长AB ；(2)求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．答案 (1) 45√5 (2) (x −45)2+(y +25)2=45解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线x +2y =0与圆x 2+y 2−2x =0联立，消去x ，可得5y 2+4y =0，∴y 1=0,y 2=−45,∴{x1=0y 1=0,{x 2=85y 2=−45，∴|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=45√5.(2)所求圆的圆心为AB 中点C(45,−25)，所求面积最小的圆的方程是(x −45)2+(y +25)2=45.3.求圆心在直线3x +4y −1=0上，且过两圆x 2+y 2−x +y －2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程．答案 x 2+y 2+2x −2y −11=0解析设所求圆的方程为(x2+y2−x+y−2)+m(x2+y2−5)=0．整理得(1+m)x2+(1+m)y2−x+y−2−5m=0．圆心坐标为(12(1+m),−12(1+m))代入3x+4y−1=0得m=−32，∴所求圆的方程为x2+y2+2x−2y−11=0．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.答案x+y=4解析设B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，则过圆x2+y2=4上的B,C点的切线方程分别为：xx1+yy1=4,xx2+yy2=4，P点在切线上；∴x0x1+y0y1=4，x0x2+y0y2=4；∴直线BC的方程为：xx0+yy0=4；直线BC过点A(1,1)；∴x0+y0=4；∴点P的轨迹方程为x+y=4．故答案为：x+y=4．5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．答案(1)3x2+3y2−5x−14=0(2) 2x−2y=3.解析(1)设圆的方程为x2+y2+3x+λ(x2+y2−3)=0，因为点M(2,－2)在圆上，所以λ=−145，所求圆的方程是3x2+3y2−5x−14=0；(2)以MO为直径的圆C的方程为x2+y2−2x+2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB方程为是2x−2y=3．若切点弦的公式可直接得到2x−2y=3.6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．答案(1)(x−2)2+y2=4 (2)(−1 ,−3)和(2 ,0)解析(1)设圆C的圆心为(a,0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．由题意可得，d2+(√3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a =2或a =−12(舍)．∴圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4；(2)证明：∵P 是直线x +y +4=0上的点，∴P(m,−m −4)．∵PA 为圆的切线，∴PA ⊥AC,即过A,B,C 三点的圆是以PC 为直径的圆．设圆上任意一点Q(x,y)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y +m +4)，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m)(x −2)+y(y +m +4)=0，即x 2+y 2－2x +4y +m(－x +y +2)=0．故{x 2+y 2−2x +4y =0−x +y +2=0，解得{x =−1y =−3或{x =2y =0．因此经过A,P,C 三点的圆必过定点(－1,－3)和(2,0)．【B 组---提高题】1.已知圆C ：x 2+y 2=1，直线l ：x +y +2=0，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 过定点( )A ．(−12,−12)B ．(−1,−1)C ．(−12,12)D ．(12,−12)答案 A解析 根据题意，P 为直线l ：x +y +2=0上的动点，设P 的坐标为(t,−2−t)，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A,B ，则PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C(0,0),P(t,−2−t)，则以PC 为直径的圆的方程为x(x −t)+y(y +2+t)=0， 变形可得：x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，则有{x 2+y 2=1x 2+y 2−tx +(t +2)y =0，联立可得：1−tx +(t +2)y =0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，即直线AB 的方程为1+2y −t(x −y)=0，变形可得：1+2y −t(x −y)=0，则有{1+2y =0x −y =0，解可得{x =−12y =−12，故直线AB 过定点(−12,−12)，故选：A ．2.已知圆C 的方程为(x +2)2+y 2=4，点M 在圆C 上运动，点N 的坐标是(2,0)．(1)若线段MN 的中点形成的轨迹为G ，求轨迹G 的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．答案(1)x2+y2=1(2) (18,0)解析(1)设线段MN的中点(x,y)，则M(2x−2,2y)∵NM在圆(x+2)2+y2=4上运动∴(2x−2+2)2+(2y)2=4,即x2+y2=1①；(2)连接OA,OB，∵PA,PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP,OB⊥BP，∴A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8,b),b∈R，则线段OP的中点坐标为(4,b2)∴以OP为直径的圆方程化简得：x2+y2－8x－by=0,b∈R，②∵AB为两圆的公共弦，∴①－②得：直线AB的方程为8x+by=1,b∈R，即8(x−18)+by=0，则直线AB恒过定点(18,0)．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．答案(1)x2+y2=2(2) ±√3(3)(12,−1)解析(1)设点Q(x ,y)，依题意知|QM||QN|=√(x+2)2+y2√(x+1)2+y2=√2 ，整理得x 2+y 2=2，∴曲线C 的方程为x 2+y 2=2；(2)∵点O 为圆心，∠AOB =π2，∴点O 到l 的距离d =√22r ，∴√k 2+1=√22⋅√2⇒k =±√3 ；(3)由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆)设P(t ,12t −2)，则圆心(t 2 ,t 4−1)，半径√t 24+(t4−1)2得(x −t 2)2+(y −t 4+1)2=t 24+(t 4−1)2即x 2−tx +y 2−(12t −2)y =0 又C 、D 在圆O ：x 2+y 2=2上∴l CD ：tx +(12t −2)y −2=0即 (x +y2)t −2y −2=0(直线CD 是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由{x +y 2=02y +2=0得 {x =12y =−1，∴直线CD 过定点(12 ,−1).。
过圆外一点的切线方程
过圆外一点的切线方程
“过圆外一点的切线方程”是指一条直线通过圆外一点，且切点在圆上的切线方程。
它是椭圆、双曲线及其他
曲线的重要特征之一，也是几何学中常见的问题。
“过圆外一点的切线方程”可以用符号表示如下:
Q(x,y) = 0
其中Q(x,y)是指该切线方程的函数，x和y分别为切线的坐标。
“过圆外一点的切线方程”的求解过程可以分为三步:
1、首先，根据圆的标准方程C(x,y)=0，我们可以求
出圆上的切点坐标(a,b)；
2、然后，根据圆外一点的坐标(x0,y0)，我们可以求出这条切线的斜率k= (y0-b)/(x0-a)；
3、最后，我们可以根据斜率k，连同圆外一点的坐标(x0,y0)，求出这条切线的方程式，即Q(x,y) = 0。
“过圆外一点的切线方程”的应用非常广泛，它能够解决几何学中的许多具体问题，如求解两个圆的交点、求
解两个圆的公切线等。
以求解两个圆的公切线为例，我们
可以先根据两个圆的标准方程，求出两个圆上的切点坐
标；然后，在两个圆外取一点，求出该点到两个圆上的切
点，所形成的两条切线的斜率；最后，根据斜率，求出两条切线的方程式，即可找到这两条切线的位置。
“过圆外一点的切线方程”对于理解几何学中的曲线性质，解决几何学中的具体问题，都有着重要的意义。
熟练掌握“过圆外一点的切线方程”，可以帮助我们更好地理解几何学中的曲线性质，并有效解决几何学中的具体问题。
圆的切线方程
例 : 求 点 (2,4)向 x + y = 4所 2 过 A 圆 引
2 2
的 线 程 切 方 。
解：设所求圆的切线方程为 : y − 4 = k ( x − 2)
y A( 2,4 )
∵圆 (0,0), r = 2, kx − y + 4 − 2k = 0 心 ∴ k ×0 − 0 + 4 − 2k 1+ k
为何值时， 与圆(x-1)2+(y-2)2=1 例 3 当k为何值时，直线 为何值时 直线y=kx与圆 与圆 相交，相切，相离？ 相交，相切，相离？ 法一：代数法：方程组有无实数解。 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。 法二：圆心为（ ， ），到直线y=kx即 ），到直线 法二：圆心为（1，2），到直线 即 kx-y=0的距离为 的距离为
M ( x0 , y0 )
O
x
结论二： 结论二：
过圆( x − a) + ( y − b) = r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2
(x 线方程为： 0 − a)( x − a) + ( y0 − b)( y − b) = r .
2
y
M ( x0 , y0 )
(a,b)
O
x
结论三： 结论三：
•
答案： 答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0 或 ， • B(-3，-3)
已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点 例 2. 已知圆的方程是 求过点 (-2,4)的圆的切线方程 的圆的切线方程. 的圆的切线方程 解:∵圆心 圆心(1,0)到点 到点(-2,4)的距离为 大于半径 的距离为5大于半径 到点 的距离为 大于半径3 在已知圆外,过该点的圆的切线有 ∴点(-2,4)在已知圆外 过该点的圆的切线有两条 在已知圆外 过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为 的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即 设过点 的圆的切线方程为 kx-y+2k+4=0 ① 由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径 得 到该切线的距离等于半径,得 由圆心 到该切线的距离等于半径 k-0+2k+4 =3 解得 k=- 7 解得: 2+1 K 24 代入① 代入①得- 7 x-y-2×7 +4=0 即 7x+24y-82=0标轴上时， 在坐标轴上时 可以验证， 可以验证，上面方程 同样适用. 同样适用
过圆上一点求圆切线方法
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法近日在带领学生复习《圆的方程》一章时，遇到这样一个问题：已知圆的方程为x2+y2=25，求过点（3，4）的圆的切线方程。
本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案：3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题，是高考的考点，也是平时学习的重点，求圆的切线过程比较复杂，运算麻烦，所以容易出错，是学生比较头疼的一个问题，在求圆的切线问题中有两种情况，一种是求过圆外一点求圆的切线，另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题，本人对第二种情况进行了归纳、推导，得出快速求解的方法，此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义，故介绍如下。
设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，经过圆上一点（x0，y0）的切线方程是什么？，我们把圆的方程写成（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2形式，把其中一个x换成 x0，一个y换成y0，则得到（x0-a）（x-a）+（ y0-b）（y-b）=r2，然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。
此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径，学生可应用此法快速解决选择题，填空题，或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。
此方法的特点是速度快，不易错，容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导：先从简单情况入手，当a=0，b=0时，那么圆的圆心在原点上，圆的方程为x2+y2= r2，设点（x0，y0）在圆上，如上图所示，那么经过这个点的直径与切线互相垂直，两者斜率互为负倒数即k直径=y0/ x0，k切线=—x 0/ y 0，又因为切线过点（x0，y0），根据点斜式直线方程得：（y— y0）=—x 0/ y 0（x— x0），整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02，由于点（x0，y0）在圆上且圆心在原点，所以x02+ y 02=r2，由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2，即我们所讨论的方法的特殊形式（圆心在原点）。
圆的切线方程
x
经过点M 的切线方程是 x0 y y ( x x ), 0 0 y 0
因为点 M在圆上,所以 x2 y 2 r 2, 0 0 所求的切线方程是 x x y y r 2. 0 0
当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程 同样适用.
例 2 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程. y
圆的切线方程
北师大版必修2
回顾：
1 圆的标准方程： （x-a)2+(y-b)2=r2 特例：
2+y2=r2 x
2 使用圆的标准方程的条件：
所给条件与圆心坐标及半径联系紧 密。
练习：已知圆过点P（2，-1）和直线
x-y=1相切，它的圆心在直线
y=-2x上，求圆的方程。 答案： (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
本节要求：
1 掌握求圆的切线方程的方法。
2 会判断直线与圆的位置关系。
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 y 圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
解:设切线的斜率为 k , OM x 0 y0 1 . k， k 则 k OM x k 0. y 0
M ( x0 , y0 )
k-2 d= 2 k +1
总结：
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为： 2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法. 3 直线和圆的位置关系：
方法 关系
x0x+y0y=r2
代数法 △＜0
几何法 r＜d
相离 相切 相交
△＝0 △＞0
r＝d r ＞d
高考数学专题《过曲线上一点的切线、切点弦》填选压轴题及答案
专题37 过曲线上一点的切线、切点弦【方法点拨】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 说明：（1）上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入，将原方程作如下方法替换求出，20x x x →，20y y y →，02x xx +→，02y yy +→). （2）椭圆、抛物线也有类似结论，如过椭圆2222:1x y C a b +=上一点P (x 0，y 0)且与椭圆相切的直线方程是：00221x x y ya b+=，等等，不再赘述.【典型题示例】例1 已知抛物线C ：y 2＝2x ，过直线上y ＝x+2上一点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点 ． 【答案】(2,1)【解析】设P 点坐标为（x 0，x 0+2） 显然点P 不在抛物线C 上根据切点弦的公式，“抄一代一”得直线AB 的方程为：(x 0+2) y ＝x 0+x 即(x －2 y )＋x 0(1－y ) ＝0 所以直线AB 恒过定点(2,1).例2 过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝ ．【答案】316【解析一】设11(,)P x y ，22(,)Q x y则l 1，l 2的方程分别是111()2y y x x =+，221()2y y x x =+由11221()21()2y y x x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得，121242y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即1212(,)42y y y y M + 又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以12121212211222413323244y y x x y y y y y x y x ⎧++⎪=⎪⎪+⎪⎪++⎨=⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩，解之得121233y y y y =-⎧⎨+=⎩，故33(,)42M - 将33(,)42M -代入x 2＝2py 得316p =.【解析二】设200(,)2x M x p则PQ 的方程为2002()2x y x x p=+ 由20022()24x y x x p y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消x 得220040py x y px -+= 所以2012x y y p +=，1204y y x =（11(,)P x y ，22(,)Q x y ）()422012120211844x x x y y x p ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以400022200184133232x x x p x x p p ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解之得031634p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.例3 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.（二）将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析一】易知p =2，y 2＝4x 由阿基米德三角形得AB 为切点弦所以AB 方程是－y ＝2（x －1），即y ＝－2 x ＋2 代入y 2＝4x 消y 得：x 2－3x ＋1=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=3 ∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 【解析二】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C.例4 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），圆C 的弦 MN 过点T (3，4)，分别过 M 、N 作圆C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为 ．【答案】285 5【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.【解析】设点P坐标为(a，b )则切点弦MN的方程为：(a - 2)(x - 2)+ (b - 2)(y - 2)＝20又因为弦MN 过点T(3，4)，故(a - 2)(3 - 2)+ (b - 2)(4- 2)＝20，即a +2b - 26＝0即点P的轨迹方程是x +2y - 26＝0点A（－2,0）到该直线的距离为285 5，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A（－2,0）到该直线的距离2855即为AP 的最小值.例 5 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l与椭圆22:14xC y+=、圆222(12)x y r r+=<<都相切，切点分别是点A、B，则当线段AB长度最大时，圆的半径r的值为．【答案】2【分析】先设出点B坐标，写出直线l的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于r ，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出AB 关于r 的目标函数，求出最值及取得最值时r 的值．【解析】设点B 坐标为(2cos ,sin )B αα（R α∈）则过点B 的椭圆的切线，即直线l 的方程为：2cos sin 14xy αα+=， 即cos 2sin 20x y αα+-=又因为直线l 与圆222x y r +=r =，且OA AB⊥在Rt OAB 中，222222244cos sin cos 4sin AB OB OA αααα=-=+-+2245[(13sin )]13sin αα=-+++而224(13sin )413sin αα++≥=+，当且仅当sin α=时，“=”成立，此时r ==AB 的最大值为1 所以当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的．【巩固训练】1.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．2. 已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．4.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _ __.5. 已知P 为椭圆22:143x y C +=上的一个动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原(3,1)22(1)1x y -+=A B AB 230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=点，O 到椭圆C 在P 点处的切线为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ．6. 已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（ ） ABC ．2D7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(2)4x y -+=，点A 是直线20x y -+=的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点圆P 向圆C ：224x y +=引两条切线PC 、PD ，切点分别是C 、D ，设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 ．【答案或提示】1.【答案】A【解析】将(3,1)直接“一抄一代”得(31)(1)1x y --+=，即230x y +-=，选A. 2.【答案】A【解析】设P ()00,2x x --则直线AB 的方程是()0021x x x y -+=，即()()0210x x y y --+=令0210x y y -=⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ . 3.【答案】[3【提示】设A ()0,0x则直线PQ 的方程是()0332x x y --=，即0370x x y -+= 所以直线PQ 过定点70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.则PQ 长的最小值是过70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭且平行于x 轴的弦，易得此时PQ ，直径是其上界.4.【答案】x 25＋y 24＝1【提示】AB 的方程是2x ＋y －2＝0，令x =0，y ＝2；令y =0，x ＝1.故c ＝2，b ＝1.5.【提示】P 1x y +=. 6.【答案】D【解析】设(,4)P a a -，则直线AB 的方程是(4)40ax a y +--=，即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立， 所以直线AB 过定点N (1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，||MN =所以点M (3，2)到直线AB 故选:D7.【答案】)⎡⎣【解析】设点的坐标为00(,2)A x x + 则PQ 的方程为00(2)(2)(2)4x x x y --++=， 分参得0(2)(22)0x y x x y +-+-+=所以20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解之得11x y =⎧⎨=⎩，直线PQ 恒过点（1,1）易求得过点（1,1）最短的弦长为4（取不得）故线段PQ 长的取值范围为)⎡⎣. 说明：引圆外一点A 到圆心O 的距离为参数，建立PQ 与AO 的目标函数，再利用基本不等式解决也可以.8.【答案】【解析】设点的坐标为00(,4)P x x + 则CD 的方程为00(4)4x x x y ++=， 分参得0()(44)0x y x y ++-=所以0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解之得11x y =-⎧⎨=⎩，直线CD 恒过点N （－1,1）又因为OM⊥CD，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是22111222 x y⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2 AM==。
圆的切线方程
在直角三角形 OMP 中 由勾股定理： 2 2 OM + MP = OP 2
x 0x + y 0 y = r2
P(x
, y )
M ( x0 , y0 )
O
x
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 的切线的方程. 2x+ 6 y=10
6)
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点 (-2,4)的圆的 切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3 ∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条 设过点(-2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即kxy+2k+4=0 ① 由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径,得 k-0+2k+4 =3 解得: k=- 7 K2+1 24 代入①得- 7 x-y-2× 7 +4=0 即 7x+24y-82=0 24 24
2
2+(y-1)2=1,求该圆的 设圆的方程为x
斜率为1的切线方程. x-y+1± 2 =0
例 3 当k为何值时，直线y=kx与圆(x-1)2+(y-2)2=1
相交，相切，相离？ 解： 法一：代数法：方程组有无实数解。 法二：圆心为（1，2），到直线y=kx即 kx-y=0的距离为
当d＜1 即 k＞ 3 时，直线与圆相交。 4 3 时，直线与圆相切。 当d=1 即 k= 4 当d＞1 即 k＜ 3 时，直线与圆相离。 4
又圆心到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也 是圆的方程
因此,所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0. (-2,4)
过点作圆的切线 求切线方程
过点作圆的切线1. 引言在几何学中，切线是一条与曲线相切的直线。
本文将讨论如何求解过给定点作圆的切线方程。
这个问题在数学和物理学中都有广泛的应用，尤其是在曲线的研究和问题求解中。
2. 基本概念在讨论过点作圆的切线之前，我们先来了解一些基本概念。
2.1 圆圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点所组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而所有到圆心距离相等的距离被称为半径。
2.2 切线切线是一条与曲线相切且只与曲线有一个公共交点的直线。
在几何学中，我们经常使用切线来研究曲线的性质和求解相关问题。
3. 求解过点作圆的切线方程3.1 圆心和半径已知情况下假设我们已知一个圆心坐标为(a,b)，半径为r，以及一个外部点P(x0,y0)。
我们需要求解过点P作圆的切线方程。
首先，我们需要确定点P与圆的位置关系。
根据勾股定理，点P到圆心的距离为：d=√(x0−a)2+(y0−b)2如果d<r，则点P在圆内；如果d=r，则点P在圆上；如果d>r，则点P在圆外。
对于切线方程的求解，我们只需要考虑d<r的情况。
在这种情况下，我们可以得到两条切线。
设切线与x轴的夹角为θ1和θ2由图可知，tan(θ1)=tan(θ2)=y0−bx0−a因此，θ1=arctan(y0−bx0−a)θ2=arctan(y0−bx0−a)+π其中arctan()是反正切函数。
根据直线与x轴夹角和斜率之间的关系，我们可以得到切线的斜率：k1=tan(θ1)k2=tan(θ2)因此，切线方程可以表示为：y−y0=k1(x−x0)y−y0=k2(x−x0)将切线方程整理为一般形式：y=k1x+(y0−k1x0)y=k2x+(y0−k2x0)这样，我们就得到了过点P作圆的两条切线方程。
3.2 圆上一点已知情况下现在假设我们已知一个圆心坐标为(a,b)，半径为r，以及一个圆上的点Q(x q,y q)。
我们需要求解过点Q作圆的切线方程。
与前面类似，首先我们需要确定点Q与圆的位置关系。
过圆外一点作圆的两条切线,切点连线的方程_概述说明
过圆外一点作圆的两条切线,切点连线的方程概述说明1. 引言1.1 概述在几何学中，研究圆的性质和相关问题一直是一个重要的课题。
其中，通过一点外于圆之外触发两条切线，并对切点进行连线，是一个经典且常见的问题。
本文旨在探讨过圆外一点作圆的两条切线以及切点连线的方程。
我们将从几何性质和数学推导两个方面展开讨论，解释其基本思路、求解方法与验证，并通过具体实例与数学证明来进一步说明和分析。
1.2 背景圆作为几何学中最基本的图形之一，在生活和科学研究中有广泛应用。
通过理解圆与其他图形（如直线）之间的关系，我们可以进一步揭示其内在规律和特性，并应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。
过圆外一点作圆的两条切线是一个常见且有趣的问题。
它不仅需要运用到圆与直线的基础概念，还需要灵活运用相关定理和推导思路来解决具体问题。
因此，深入研究这个问题对于提高我们几何思维能力和解决实际问题具有重要意义。
1.3 目的本文的目的是系统地阐述过圆外一点作圆的两条切线，并介绍切点连线的方程求解过程。
主要包括以下内容：第二部分将从圆与直线关系概述入手，引出过圆外一点作圆的两条切线，并介绍其定义及相关性质。
同时，还将对切点连线方程的推导过程进行简述，为后续章节做准备。
第三部分将详细讲解推导切线方程的基本思路，并提供不同方法求解切点坐标的详细步骤。
我们将探讨几种常见情况下的解法，并对结果进行验证和理论应用的讨论。
第四部分通过具体实例问题的分析与处理步骤说明，展示数学推演和证明过程。
我们将运用已掌握知识，以严谨而有效的方式解析问题，推演出结果并进行验证与总结。
最后，在第五部分中对研究成果进行总结归纳，并指出存在问题及未来研究需要改进之处。
通过这样一个完整而系统化的研究及阐述过程，我们希望能深入理解该问题，在此基础上可以进行更深入的研究，并为相关学科做出贡献。
2. 过圆外一点作圆的两条切线的几何性质2.1 圆与直线的关系概述在几何学中，圆和直线是基本的几何元素。
圆在某点的直线的切线方程
圆在某点的直线的切线方程圆是数学中的一个基本几何图形，它由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成。
在圆的几何性质中，切线是一个重要的概念。
本文将围绕着圆在某点的直线的切线方程展开论述。
我们来回顾一下切线的定义。
在数学中，切线是一条与曲线仅有一个公共点，并且在该点处与曲线的切点重合的直线。
对于圆来说，切线是与圆仅有一个公共点，并且在该点处与圆的切点重合的直线。
接下来，我们来研究圆在某点的直线的切线方程。
设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
假设直线的方程为y=kx+d，其中k为斜率，d为截距。
要求直线为圆的切线，即直线与圆在某点处相切。
那么，我们需要找到一个点(x0,y0)，使得直线过该点且该点满足圆的方程。
为了找到这个点，我们可以将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
由于直线与圆相切，所以该二次方程有且仅有一个实根。
这个实根即为切点的横坐标x0。
将x0代入直线方程，可得到切点的纵坐标y0。
因此，我们可以得到切点的坐标为(x0,y0)。
接下来，我们来推导切线方程。
切线方程可以用点斜式或一般式表示。
首先，我们来推导点斜式的切线方程。
点斜式的切线方程为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为切线斜率。
由于直线方程为y=kx+d，且直线过切点(x0,y0)，所以可以得到切点的纵坐标满足y0=kx0+d。
将该式代入点斜式的切线方程，即可得到切线方程。
将切点坐标代入切线方程中，可以验证切线方程与圆在该点处相切。
除了点斜式，我们还可以用一般式表示切线方程。
一般式的切线方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
同样地，我们可以通过将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x和y的二次方程。
由于直线与圆相切，所以该二次方程有且仅有一个实根。
将该实根代入直线方程，可以得到一般式的切线方程。
在实际问题中，我们经常需要用切线方程来解决与圆相关的几何问题。
圆的切线方程高品质版
yy0 xy00(xx0),
因为点M在圆上,所以 x2y2r2, 00
所求的切线方程是
当点M在坐标轴上时， 可以验证，上面方程
xxy yr2. 00
同样适用.
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过
圆上一点M(x0,y0)的切线y 方程.
解 法 二 （ 利 用 平 面 几 何 知 识 ） ：
本节要求： 1 掌握求圆的切线方程的方法。 2 会判断直线与圆的位置关系。
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过
圆上一点M(x0,y0)的切y线方程.
解:设切线的斜率为
k， 则
k
1 .
k OM
M (x0, y0)
k y0,
k x0.
OM x 0
y 0
O
x
经过点M的切线方程是
当d＜1 即 k＞
3 4
时，直线与圆相交。
当d=1 即 k=
3 4
时，直线与圆相切。
当d＞1
即
k＜
3 4
时，直线与圆相离。
总结：
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：
x0x+y0y=r2
2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法.
3 直线和圆的位置关系：
方法 关系
代数法
几何法
相离
△＜0
r＜d
相切
△＝0
r＝d
相交
△＞0
r ＞d
作业：
P66 5
P70
8
随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以 及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为 能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生， 只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总 觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些 从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一 生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里， 看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里 为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从 来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他 的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无 愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本 太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号 角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会 很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担 心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧 着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块 7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大 的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许 就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家 都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做 营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真 的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有 人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论 了近一个小时 后来，一个不小心进错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕
圆上点斜率最大值
圆上点斜率最大值在数学中，圆上点的斜率是指过圆上某一点的切线的斜率。
而圆上点的斜率最大值，则意味着找到一条切线，使得该切线的斜率达到最大值。
要找到圆上点的斜率最大值，首先需要明确圆的方程。
圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心的坐标，$r$为半径。
接下来，我们需要确定圆上的点。
假设圆上某点的坐标为$(x_0,y_0)$，则该点在圆上，即满足圆的方程，即$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2$。
接着，我们来求圆上点的斜率。
切线的斜率可以通过导数来求解。
首先，我们设圆上点的切线方程为$y=mx+n$，其中$m$为斜率，$n$为$y$轴上的截距。
然后，我们将圆的方程和切线方程联立，得到：$$(x-a)^2+(mx+n-b)^2=r^2$$接着，我们对上式两边求导，得到：$$2(x-a)+2m(mx+n-b)=0$$将圆上点的坐标$(x_0,y_0)$代入上式，可以解得$m$的表达式。
这个表达式就是圆上点的斜率。
为了求得圆上点的斜率最大值，我们需要对斜率表达式进行求导，并令导数等于0，从而解出斜率的最大值。
在这个过程中，需要注意的是，圆上的点可能有多个，因此需要逐一求解每个点的斜率，找到斜率最大值。
另外，斜率的最大值可能对应于圆的某一点，也可能对应于圆的切点。
因此，在求解过程中需要考虑到这些情况。
综上所述，求圆上点的斜率最大值的过程，涉及到圆的方程、点的坐标、斜率的计算、导数的求解等多个数学知识点。
通过逐步求解，我们可以找到圆上点的斜率最大值，从而得到一条切线，其斜率达到最大值的情况。
这样的求解过程，不仅考察了对数学知识的理解，还培养了我们的逻辑思维和解题能力。
愿我们在数学的世界中，能够探索更多有趣的问题，不断提升自己的数学素养。
过一点求圆的切线方程
过一点求圆的切线方程
在几何学中，“过一点求圆的切线方程”是一个非常有用的概念。
一个圆的半径是由它的中心点和任意一点确定的，所以我们可以在圆的某一点上计算出准确的切线方程。
让我们以圆(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5为例，来进行说明。
首先，复习以下几何学概念：
* 圆形具有唯一的中心，它称为圆心，坐标(2, -1)；
* 圆的半径是指从圆心出发，到圆上任意一点的距离，半径长度为
sqrt(5)；
* 圆的法线是从圆心出发，沿着圆的方向水平的直线，这里的法线方程为y=-1。
然后，我们可以使用求导的方法求出过这一点的切线方程。
首先，用微积分的方法求出圆的方程：
d/dx[(x-2)^2 + (y+1)^2 - 5] = 2(x-2) + 2(y+1) dy/dx = (y+1) / (x-2)
因为我们想求的是切线方程，所以我们需要求出这个圆的法线方程。
圆的法线方程是：y = (-1 / (x-2))x + (1 / (x-2))
接下来，我们就可以求出过给定点的切线方程，这里的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + ((1-y0) / (x-2))
其中，y0为给定点的坐标，如果给定点为(2,-2)，则过此点的切线方程为：y = (-1 / (x-2))x + (3 / (x-2))
综上所述，本文介绍了如何求出过一点求圆的切线方程的方法，即先求出圆的方程，然后求出法线方程，再求出过给定点的切线方程。
通过此方法，我们可以轻松地计算出某一圆上某一点的准确切线方程。
关于圆的切线方程的推导完整.doc
关于圆的切线方程的推导完整.doc 圆的切线方程公式推导：圆心（a，b）和切点(x0,y0)的斜率为(y0-b)/(x0-a)，所以切线的斜率为-(x0-a)/(y0-b)。
因为切线过（x0，y0），所以切线为y=-(x0-a)/(y0-b)(x-x0)+y0，整理得(x0-a)(x-x0)+(yo-b)(y-yo)=0。
切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。
是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。
分析方法有向量法和解析法。
因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0。
当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。
切线方程是研究切线以及切线的斜率方程。