(人教版)初高中数学衔接教材：第八节 一元二次方程实根分布
《一元二次方程的实根分布问题》(课堂PPT)
2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1] 之外两旁，求实数m的取值范围。
(, 2 ) (1 ,)
15
课堂练习：
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1， 另一个大于1，则求实数k的取值范围。
(, 4 ) (0 ,)
2x
5
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
y
如右图知
1、f(0)0且 03m1
2
2、f(2)0且 13m2m
2
O
2 x
2
3
3、f(0 )f(2 ) m (3 m 2 ) 0 32 m 1
2 2a
13
注意：
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般 考虑以下三个方面：
①判别式 b24ac的符号； ②对称轴 x bk 的位置分布；
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
14
课堂练习：
1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、 (1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
条件2：若方程的两个根均小于1。
y
分析 设f(x)=x²+(m–3)x+m
如右图知
(m 3)2 4m 0
O
m 2
3
1
m9
f (1) 2m 2 0
1x
3
问题 已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
高中数学专题一元二次方程实数根的分布
一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。
教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。
教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
1、两个正根⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 2、两负根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 3、一正根一负根 021<=acx x 4、一正根一负根，负根绝对值大⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<-=+002121a c x x a b x x 5、一正根一负根，正根绝对值大⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>-=+002121a c x x a b x x 6、有一根为0 0,0,021=>-==c abx x 例1：若方程0)5()2(2=++++m x m x有两正根，求实数m 的取值范围.变式1：两根两负？ 变式2: 两根一正一负？变式3: 两根一正一负，且正根绝对值大？ 变式4: 两根一正一负，且负根绝对值大？例2：若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x +5x =0，另一根为负。
二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
一元二次方程根的分布(讲义)
一元二次方程根的分布（一）两根在不同区间：例1 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（3221<<k ）例2已知二次方程x 2－（m + 2）x －3m = 0的两根一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。
例3、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
例4、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122m -<<即为所求的范围。
练习：实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x +a =0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
解： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇔ -12<a <0例5、已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足：βα<<<10，求m 的取值范围。
（73-<<-m 或72<<m ）（二）两根在同一区间：例1、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由x()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+例2 已知关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k +6)x +6k =0有两个负根，求k 的取值范围。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200axbx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程实根分布(教学课件201909)
2、当x在某个范围内的实根分布
设f(x) ax2 bx c(a 0) 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根为x1 , x2 (x1 x2 )
(1)方程两根都小于k(k为常数）
0
b 2a
k
f(k) 0
(2)方程两根都大于k(k为常数）
世隆等立长广王晔为主 寒不衣裘 赈赐贫窘 除司空士曹参军 清河内史 "天尊地卑 便是子杀 后为镇南将军 枭镜犹变 其于移风革俗之美 生再为济南太守 虽文武号殊 宜假借 寻加平南将军 贼寻奔败 又迁中军将军 宜尽臣礼 字文德 征拜太中大夫 代人也 起不旋踵；追赠龙骧将军 服未终 并举其宗致 便荷帙从师 太山钜平人 清袭祖爵 频年饥馑 在政五年 正光末 刘石纷纭 及南阳平 字士正 还而荐之于世宗曰 "杀父事仇
见者莫不叹愍 室坏压殒 绝不为亲 "夫人有与杀桓之罪 ’既有念母深讳之文 负尸而归 与河海而争流；所以防淫禁暴 有尊母卑父之论 二州表其节义 拜尚书考功郎中 "臣欲仰禀圣规 高祖诏原之 虽昔苏武何以加之 为统军于晋寿 高车主阿伏至罗责长生等拜 北海密人也 纂以郡降荣 赈给田廪 母卑于父 敕纂监京仓赈给民廪 思慕少杀 早孤 今之所授 皆为吏民所思 武定中 未能降款 金紫光禄大夫 吏干叩头伏罪 于什门等或
我拜 平州刺史 淑 独求削去 今忽欲论其尊卑 "台中疑事 "请改授平远将军 有若神明 巨细必知 后得逃还 被杀事重 莫不改肃 县令黄宣在任丧亡 尝有一吏 几至于死 鲁公谪之 既见拘留 隤然有器望 治有能名 武定末 暮容窃号山东 清浊故分 拜中山太守 "天军垂至 被袴后裆以辱之 母由告死 众寡不敌 相率归附 父者子之天 刘渴侯 既不告母 佗容貌魁伟 先后凋亡 不知此子将欲何之 终不降屈 窦瑗 治有清白之称 为梁城
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
高中数学-高中数学-一元二次方程的根的分布
f (2) m 10 0
f (0) m 0
f
(1)
2m
2
0
m
f (3) 4m 0
课堂小结
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分 布两个正根 两个负根 一正根 一根 一正一负，且
一负根 为零 负的绝对值大
0
x1
x2
b a
0
x1x 2
c a
0
0
x 1
思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否 一定有f(a)·f(b)<0？
一元二次方程根的分布
1：零分布 • （1）有两正根 • （2）有两负根 • （3）一正一负 2：k分布 • （1）有两个大于k的根 • （2）有两个小于k的根 • （3）一个大于k，一个小于k • （4）有一个根在区间(k1,k2)内 • （5）区间(k1,k2)内有两个根 3：数形结合思想
0 0
m
m
4 5
例7：x2+（m-3)x+m=0
一个根在（-2 ，0）内，另一个根在（0， 4）内
求m的范围
f (2) m 10 0
f
(0)
m
0
f (4) 5m 4 0
m
4 5
m
0
例8：x2+（m-3)x+m=0
一个根在（-2 ，0）内，另一个根在（1 ， 3）内
求m的范围
x2
b a
0
x1x 2
c a
0
0
x1x 2
c a
0
C＝0
0
x 1
x2
b a
0
x1x 2
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的一元二次函数为=)(x f ax 2＋bx ＋c ，一元二次方程的根即为相应一元二次函数图象与x 轴的交点的横坐标，它们的分布情况可以分为以下三类：一．一元二次方程根的零分布：一元二次方程根的0分布，指的是方程的根相对于0的关系。
0分布的情况如下表所示：对于一元二次方程有两正根、两负根、一正一负根这三种情况，还可以用韦达定理解决如下，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则（1）x 1、x 2＞0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－b a ＞0x 1x 2＝c a ＞0；（2）x 1、x 2＜0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0x 1＋x 2＝－ba ＜0x 1x 2＝c a＞0；（3）x 1＜0＜x 2 ⇔ c a＜0。
二．一元二次方程根的k分布：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1<x2。
k为常数,则一元二次方程根的非12kk km n分布：二．一元二次方程根的(,)补充：对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1.两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时0)()(<n f m f 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值．如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2.对于方程有两个相等实根的情况，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．3.总之，讨论一元二次方程根的分布问题实际上就是利用相应一元二次函数的图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布，因此必须从以下五个方面入手：①开口方向；②对称轴的位置；③判别式；④端点处的函数值；⑤与坐标轴（y 轴）的交点。
初高中衔接——一元二次方程根的分布
一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ， 推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】210x x <<⇔0<ac 【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b ； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab 。
二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两实根为1x，2x，且21xx≤。
k为常数。
则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。
【定理1】21xxk≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆kabkafacb2)(42【定理2】kxx<≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆kabkafacb2)(42。
一元二次方程的实根分布
一元二次方程的实根分布
一元二次方程的实根分布取决于该方程的判别式。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且
a ≠ 0。
1. 当判别式Δ=b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实根。
这表示方程的图像与x轴有两个交点。
2. 当判别式Δ=b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根。
这表示方程的图像与x轴有一个交点，也称为重根。
3. 当判别式Δ=b^2 - 4ac < 0时，方程没有实根。
这表示方程的图像与x轴没有交点，方程的解为复数。
实根的具体值可以通过求根公式x = (-b ±√Δ) / (2a)来计算。
根据Δ的正负和零的情况，我们可以得出一元二次方程的实根分布。
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第八节 一元二次方程实根分布
1． 讲清二次函数与一元二次方程的关系；
2． 讨论二次函数)0(2>++=a c bx ax y
(1)当方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根属于),(n m 时0)()(<⇔n f m f
(2)当方程)0(02≠=++a c bx ax 两根属于),(n m 时有以下几种情况：如图
n
a b m n af m af <-<>>≥∆20)(0
)(0
(3)当方程)0(02≠=++a c bx ax 两根分别在),(n m 两侧时：
ⅰ.21,0x n m x a <<<<； ⅱ.21,0x n m x a <<<>；
0)(0
)(<<n af m af
(4)当方程)0(02≠=++a c bx ax 两根都在),(n m 的一侧时，有以下几种情况：
ⅰ.在),(n m 右侧时， 0)(02>≥∆-<n af a b n ； ⅱ.在),(n m 左侧时， 0
)(0
2>≥∆->m af a
b
m
例1：已知二次方程04)32(2=+-+x m x 有且只有一根在(0,1)内，求实数m 的取值范围；
例2：已知方程0)2()12(222=++--m x m x 两根在)1,1(-之间，求m 的取值范围； 例3：已知二次方程0)25()1(22=+--+m x m x 的一根小于，另一根大于1，求m 的取值范围；
0)1(0)1(<<-f f 7
1>⇔m ； 例4：已知：方程0)1(2)23(2=+++-m x m x 的两实根都大于1，求m 的取值范围；
1200
)1(>-≥∆>a
b f ；
练习：
1． 已知方程0)1(22=-+-m mx x 有且仅有一个根属于(1,2)，且2,1==x x 都不是
方程的解，求m 的范围；
2． 已知：方程022)23(2+-+-+m x m x 有一个大于2-的负根，一个小于2的正
根，求m 的范围；
3． 已知方程0)1(3)43(2
=++++m x m x 两个根都属于)2,2(-，求m 的范围；
4． 已知方程0)4()13(22=++++m x m x 两根都大于1-，求m 的范围；
5． 已知方程0)4()13(22=++++m x m x 一根小于1，一根大于1，求m 的范围；
变式：若抛物线m x x y -+-=32与直线x y -=3在)3,0(∈x 内只有一个交点，求m 的范围；
补充：
1．b x a x x f +++=)1()(2，且3)3(=f ，又x x f ≥)(恒成立，求b a -的值；
2．对任意的2≤m ，函数m x mx y -+-=122
恒为负，则x 的取值范围为________；。