李峰机械振动作业

2013-2014学年第二学期研究生课程考核

(读书报告，研究报告)

考核科目：机械振动理论

学生所在院（系）：机电学院

学生所在学科：机械工程

姓名：李峰

学号：1302210115

题目：机械振动理论作业

1. 请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。

答：，由此推出n 个并联弹簧组合的等效刚度∑==n

i i

eq

k K 1

。由此推

出n 个弹簧并联等效刚度

∑

==n

i i

eq

k

k

1

11

。并联弹簧刚度较各组成弹簧

“硬”，串联弹簧较各组成弹簧“软”。

确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法：若弹性元件共位移——端部位移相等，则并联关系；若弹性元件共力——受力相等，则为串联关系。

2.阻尼元件的意义与性质是什么？对于线性阻尼器，所受到的外力与振动速度的关系是什么？非粘性阻尼包括哪几种？它们的定义及计算公式分别是什么？

答：（1）阻尼元件的意义与性质：阻尼元件对外力作用的相应表现为端点的一定的移动速度。阻尼系统所受外力为F d ，是振动速度x 的函数，)(x f F d

=。通常假定阻尼器元件的质量是可以忽略不计的，

阻尼元件与弹性元件不同的是，它是消耗能量的，它以热能、声能等方式耗散系统的机械能。

（2）线形系统受到的外力为F d ，阻尼系数为C ，振动速x c F d

=。

在角振动系统中，阻尼力矩M ，单位角速度为θ

，则M=θ c （3）非粘性阻尼包括：库伦阻尼，流体阻尼和结构阻尼。库伦阻尼计算公式：

)sgn(x umg Fe *-=，其中sgn 为符号函数这里定义)

()()sgn(t x t x x =

，需注意当0)(=t x 时。库伦阻力是不定的，它取决于合力的大小，而方向与之相反；

流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体（如空气）中运动时，由流体介质产生的阻尼，)sgn(2

x

Fn x *-=γ；结构阻尼：材料内部产生摩擦所产生的阻尼，计算公式X Es 2

α=∆。

3.单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振幅、初相角的计算公式分别是什么？

答：单自由度无阻尼系统的自由振动的微分方程;0)(=+t kx x m

自然频率

m

k f w

n

∏=

∏=

212；振幅：)(

02

20

w v x n

X +=

； 初相角：

x

w v n

arctan

=φ 。

4. 对于单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法有哪几种？具体过程是什么？

答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法： （（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据

静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：mg k st =δ，又

m

k

n =ω，将这两个式子联立即可求得st

n

g

δω=

；

（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。

A ：用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。无阻尼系统满足能量守恒定律，因此有常数==+E V T ，对该式进行求导可得

()0dt dE =+=V T dt

d

根据此式即可导出运动微分方程，其中T 为质的动能，V 为弹簧的势能。

B ：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和（势能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值max T ）和最大位移处（势能达到最大max V ），可得max T =max V 该方法不用导出系统运动微分方程，因此对于复杂系统非常有效。

C ：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。

3

'

m m k

n +=ω其中'm 为弹簧的质量。 5.对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。对于小阻尼情况，其阻尼自然频率、振幅、初相角的计算公式是什么？

答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是

()()()0=++∙∙∙t kx t x c t x m 或()()()022

=++∙

∙∙t x t x t x n n ωξω。

a.无阻尼： 0=ξ，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，

此时系统运动微分方程的解为：()()ϕω-=n X t x cos 其中，X 、ϕ由初始条件确定此时特征根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，

()t x 为等幅振动。

b.小阻尼：（10<<ξ），此时运动微分方程的解为：

()()ϕωξω-=-t Xe t x d t n cos ，

其中n d ωξω21-=为有阻尼自然

()2

2

002

0d

n x v x X ωξω++

=，

d

n x x v ωξωϕ00

0arctan

+= 系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上；

有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率ξ越大，振幅衰减的越快；

特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率，阻尼系统的自然频率完全有系统本身的特性决定。初始条件0x 与0v 只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相角。

c.过阻尼：（1>ξ）()t s t s e X e X t x 2

1

21+=，式中，1X 、2X 为由初始条

件确定的常数，特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平衡位置。

d.临界阻尼（1=ξ），此时系统微分方程的解为：

()()[]t x v x e t x n t n 000ωω++=-

临界阻尼mk c 20=，临界阻尼率0c c =ξ。