江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2020届高三联考数学调研测试试题(解析版)
2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题(解析版)
点 N 在线段 OA 的延长线上，设 N (a, 2a), a 1 ，
当 a = 4 时， N (4,8), S = 16 ，
当 a 1，且 a 4 时，直线 MN 方程为
y − 2 = 2a − 2 (x − 4) ，令 y = 0, x = 4 − a − 4 = 3 + 3 ，
a−4
a −1 a −1
an = 3n−1, S3 = 1+ 3 + 9 = 13 .
故答案为:13. 【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.
9．已知 F1, F2
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左，右焦点， A
是C
的左顶点，点 P
在过 A 且斜率为 3 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2 P = 1200 ，则 C 的离心 6
____________. 【答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】12
【解析】求出直线 OA 方程，设点 N 坐标，求出直线 MN 的方程，进而求出直线 MN 与 x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积 S 表示成 N 点坐标的函数，根据函数特征，利
用基本不等式求出最小值. 【详解】
点 A(1, 2) ，直线 OA 方程为 y = 2x ，
所以 sin C 的最大值为 34 . 6
故答案为: 34 . 6
【点睛】
本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于
中档题.
4x −1 , x 1
14．已知函数
f
(x)
=
6
，若方程 f ( f ( x)) = a 恰有 5 个不同的实数根，
南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数 )(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率 为________．7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C D P10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||AO AB =，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________．14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． A B CD16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．PC BD A E17． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18． （本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? O M NP B A Q19． （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 20． （本小题满分16分）（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。
南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考 (2).docx
南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分 2016.2参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ,则实数a 的值为 2.设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z 3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120,试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆.5.将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位,得到函数 )(x f y =的图象,若函数)(x f y =的图象过原点,则=ϕ6.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率为7.设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是8.在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数， 则=10a9.如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32， 侧面积为238cm ，则它的体积为10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为11.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是12.已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+,||||AO AB =, 则=⋅CB CA 13.已知y x ,为正实数，则xyy x x ++22的最小值为 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出AB CDPABCDPCBDAE文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222. （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,,1,32==BD AD 求C cos 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中,BC AD //,且AD BC 2=,CD PB CD AD ⊥⊥,, 点E 在棱PD 上,且ED PE 2=. （1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ; （2）求证://PB 平面AEC .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ,且点)1,2(P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程;（2）若点B A ,都在椭圆C 上,且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上. ①求直线AB 的斜率; ②求AOB ∆面积的最大值.18．（本小题满分16分）如图,B A ,是海岸线OM,ON 的两个码头,Q 为海中一小岛,在水上旅游线AB 上, 测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2,km 5107.（1）求水上旅游线AB 的长;（2）海中km PQ P 6(=,且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ,生成t 小时时的半径为km t r 23 66=.若与此同时,一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ,试研究强水波是否波及游轮的航行?19. （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e . （1）求实数b a ,的值;（2）求证:函数)(x f y =存在极小值;（3）若),21[+∞∈∃x ,使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ,满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等差数列, k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列. （1）若8,21===k d a ,求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ; （2）若2016,21<==m d a ,求m 的最大值;OMN PBAQ（3）是否存在正整数k ,满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ,过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E . （1）求证：BCD ACE ∠=∠; （2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A的逆矩阵1-A .C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线C 为θθρsin 2cos 4+=.曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ,求y x -的取值范围.D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x . （1）求实数b a ,的值;（2）求bt at ++12的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动,在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动:消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4 抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。
江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月学情调研测试数学试题(解析版)
南师附中2023—2024高一年级10月学情调研测试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}220A x x x =−−≥，{}1,0,1,2,3B =−，则A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,0,1,2−C. {}2,3D. {}1,2,3−【答案】D 【解析】【分析】将集合A 进行一元二次不等式化简然后与集合B 取交集即可. 【详解】(][),12,A =−∞−+∞，{}1,0,1,2,3B =−，则{}1,2,3A B =−，故选：D.2. 命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是（ ） A. 2x ∃≤，2280x x +−≤ B. 2x ∀>，2280x x +−> C. 2x ∃≤，2280x x +−> D. 2x ∃>，2280x x +−>【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是：2x ∃≤，2280x x +−≤. 故选：A .3. 已知集合{}20,21,31A a a a =+++，若1A −∈，则实数a ＝（ ）A. －1B. －2C. －3D. －1或－2【答案】B 【解析】【分析】根据1A −∈，便有211a +=−或2311a a ++=−，对于每种情况求出a 的值，代入集合A 中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数a 的值． 【详解】1A −∈，211a ∴+=−或2311a a ++=−．①当211a +=−时，1a =−，此时2311a a ++=−，与集合的互异性矛盾，舍去；②当2311a a ++=−时，1a =−或2a =−，2a =−时213a +=−，满足条件，1a =−时，211a +=−，与集合的互异性矛盾，舍去， 综上可知2a =−． 故选：B ．4. 已知：0,0,1,a b a b >>+=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B. ab 有最小值14C.11a b+有最大值4 D.11a b+有最小值14【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得14ab ≤和114a b+≥，即可判断. 【详解】0,0,1a b a b >>+=，2a b ab ∴+≥1ab ≤，可得14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立， ∴ab 有最大值14，故A 正确，B 错误； ()11112224b a b aa ba b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即12a b ==时等号成立， ∴11a b+有最小值4，故CD 错误. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5. 设x ，R y ∈，则“2x y +=”是“1x =且1y =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件概念求解即可.【详解】2x y +=不能推出1x =且1y =，1x y ==能推出2x y +=， 所以2x y +=是1x =且1y =的必要不充分条件. 故选：B6. 已知集合**46x xM x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N N 且，集合24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A. MNB. M N ⊆C. *24x M N x ⋅⎧⎫⎪⎪⋂=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N D. 12xM N x⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】根据4和6最小公倍数为12，得*N 12xM x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，而Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，易得两集合之间关系. 【详解】*N 4x ∈,且*N 6x ∈,*N 12x∴∈,*N 12x M x ⎧⎫∴=∈⎨⎬⎩⎭∣，又Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣， 则集合M 中的元素应为12的正整数倍,集合N 中的元素为24的整数倍,故{12M x x k ==∣,}{}*,24,k N x x k k ∈==∈N Z ∣.可知,当元素满足为24的整数倍时,必满足为12的正整数倍,则M N ⋂*24x x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ∣ 故A,B 错误，对D 选项，若12x =−，则此元素既不在集合M 中，也不在集合N 中，故D 错误， 故选：C.7. 已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ab bc >B. 22ab b c >的C. ()()0ab ac b c −−>D. ()()0ac bc a c −−>【答案】C 【解析】【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．【详解】由题意可知0a >，0c <.当0b =时，220ab bc ==，220ab b c ==，则排除A ，B ； 因为b c >，0a >， 所以ab ac >， 所以0ab ac −>. 因为b c >， 所以0b c −>，所以()()0ab ac b c −−>，则C 一定成立； 因为a b >，0c <， 所以ac bc <， 所以0ac bc −<. 因为a c >， 所以0a c −>，所以()()0ac bc a c −−<，则排除D. 故选：C ．8. 已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（ ）A. 3B. 9C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a ，b 均为正实数，()()()2454141a a b a b a b a a ab a a b a b a a b a +++⎛⎫⎡⎤==+=+++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭4441529a a b a a ba b a a b a++=+++≥+⋅=++，当且仅当4a a b a b a +=+，即13a b ==时，等号成立. 故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设{}28150A x x x =−+=，{}10B x ax =−=，若AB B =，则实数a 的值不可以为（ ）A.15B. 0C. 3D.13【答案】C 【解析】【分析】先求出集合{}3,5A =，再结合题目条件，分,B B =∅≠∅两种情况讨论，即可确定实数a 的值. 【详解】由题，得{}{}281503,5A x x x =−+==，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，10ax −=无解，此时B =∅，满足题意； 当0a ≠时，得1x a =，所以13a =或15a =，解得13a =或15a =，综上，实数a 的值可以为110,,35，不可以为3. 故选：C10. 已知集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B ⋂=∅的一个充分不必要条件是（ ） A. 2m ≤− B. 2m <−C. 2m <D. 43m −<<−【答案】BD 【解析】【分析】由A B ⋂=∅可得2m ≤−，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+， 所以A B ⋂=∅等价于11m +≤−即2m ≤−， 对比选项，2m <−、43m −<<−均为A B ⋂=∅充分不必要条件.故选：BD.【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.11. 若0a b <<，且0a b +>，则（ ） A.1ab>− B.110a b+> C. a b <D. ()()110a b −−<【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可【详解】A 选项：∵0a b <<，且0a b +>， ∴0b a >−>，可得01ab<−<，即10a b −<<，A 正确；B 选项，110a ba b ab++=<，B 错误； C 选项，0a b <<即a a =−，b b =，由0a b +>可得b a >，C 正确； D 选项，因为当11,32a b =−=，所以()()110a b −−>，D 错误. 故选：AC.12. 下列关于二次函数()221y x =−−的说法正确的是（ ）A. x ∀∈R ，()2211y x =−−≥B. 1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−< C. 1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−= D. 12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−− 【答案】BD 【解析】【分析】由于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1，再根据对特称命题和全称命题的理解，即可判断得出答案.【详解】解：对于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1， 所以x ∀∈R ，()2211y x =−−≥错误，故A 错误；所以1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−<正确，故B 正确； 所以1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−=错误，故C 错误；所以12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−−正确，故D 正确. 故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则A B ⋃=______. 【答案】(]1,2− 【解析】【分析】根据并集运算性质求解即可.【详解】集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则{}|12A B x x =−<≤.故答案为：(]1,2−14. 设A ，B 是两个非空集合，定义集合{}A B x x A x B −=∈∉且，若{}05A x N x =∈≤≤，{}27100B x x x =−+<，则A B −=______.【答案】{}0,1,2,5 【解析】【分析】先得集合,A B ，再根据A B −的定义求解即可.【详解】因为{}{}N 050,1,2,3,4,5A x x =∈≤≤=，{}()271002,5B x x x =−+<=，由新定义得{}0,1,2,5A B −=， 故答案为：{}0,1,2,5.15. 已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,−+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为_________. 【答案】()3,0− 【解析】【分析】先根据不等式的解集可得,a b 的关系及a 的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由0ax b +>的解集为()3,−+∞， 可得0a >，且方程0ax b +=的解为3−， 所以3ba−=−，则3b a =， 的所以()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒−<<， 即关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()3,0−. 故答案为：()3,0−.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且222743a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为________． 5 【解析】【详解】试题分析：由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值．四、解答题（本大题共4小题.解析时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =−+−−=． （1）当1a =时，求A B ⋃； （2）若{}3AB =−，求a 的值．【答案】（1）{}3,1,3A B ⋃=−−；（2）3−． 【解析】【分析】(1)求出集合A ，把1a =代入求出集合B ，再利用并集的定义即可求解； (2)由已知可得3B −∈，把3x =−代入集合B 的约束条件求出a ，再验证即可得解. 【详解】（1）依题意，{}{}24303,1A x x x =++==−−，当1a =时，{}{}22301,3B x x x =−−==−，所以{}3,1,3A B ⋃=−−； （2）因为{}3AB =−，则3B −∈，于是得()()2232330a a a −−⨯−+−−=，即2560a a ++=，解得2a =−或3a =−，当2a =−时，{}{}24303,1B x x x =++==−−，则{}3,1AB =−−，不符合题意，当3a =−时，{}{}26903B x xx =++==−，则{}3AB =−，符合题意，综上得，a 的值是3−.18. 已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，集合{}25Q x x =−≤≤ （1）若3a =，求集合()R C P Q ； （2）若P Q ⊆，求实数a取值范围.【答案】（1）{}24x x −≤<；（2）(,2]−∞ 【解析】【详解】试题分析;（1）将a 的值代入集合P 中的不等式，确定出P ，找出P 的补集，求出补集与Q 的交集即可；（2）根据P 为Q 的子集列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a 的范围． 试题解析;(1)当3a =，{|47}P x x =≤≤，{|47}R C P x x x ∴=或,(){|47}{|25}{|24}R C P Q x x x x x x x ∴⋂=⋂−≤≤=−≤<或.（2）①当P φ=时，满足P Q ⊆有21a a +<+1，即0a <的,②当P φ≠时，满足P Q ⊆，则有21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥−⎩，02a ∴≤≤综上①②a 的取值范围为(],2−∞ 19. 若,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=. （1）求xy 的取值范围； （2）求x y +的取值范围.【答案】（1）180xy ≤<；（2）82330x y −≤+<. 【解析】【分析】（1）结合基本不等式整理得()2308xy xy −≥，当且仅当2x y =时取等号，再根据已知的范围即可得答案；（2）由于21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，故只需解2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥并结合已知条件求解即可.【详解】解：（1）因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=， 所以30222xy x y xy −=+≥，当且仅当2x y =时取等号， 整理得：()2308xy xy −≥，解得：18xy ≤或50x ≥， 又因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=，所以030xy <<， 所以180xy ≤<. （2）因为,(0,)x y ∈+∞，21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y +=时取等号，所以2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥，解可得，1822x y ++≥或1822x y ++≤−（舍）， 故823x y +≥−.又因为230x y xy ++=，所以82330x y ≤+<.20. 已知关于x 的函数212y x x =−和22416y x =−.（1）若12y y ≥，求x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()21222y t x t y ≥−−≥（其中02t <≤）的解集[],D m n =，求证：15n m −≤【答案】（1）[]22−,【解析】【分析】（1）转化为232160x x +−≤求解；（2）讨论01t <<，1t =，12t <≤，求解()21222y t x t y ≥−−≥，判断15n m −≤.【小问1详解】12y y ≥可得222416x x x −≥−，即232160x x +−≤， 即()()2380x x −+≤，即823x −≤≤，则22x −≤≤， 则实数x 的取值范围是[]22−,； 【小问2详解】因为()21222y t x t y ≥−−≥，所以12y y ≥，由（1）知[]2,2x ∈−，所以[][],2,2D m n =⊆−（i ）01t <<时，当[0,2]x ∈时，()()()22222212222202x x t y x t x tx t t t x x t −−⎡⎤−=−−−+=−+=−≥⎣⎦， 所以当[0,2]x ∈时，()2122y t x t ≥−−恒成立，当[2,0)x ∈−时，令()()2122g x y t x t =−−⎡⎤−⎣⎦()()222222242x x t x t x t x t =+−−+=+−+()y g x =对称轴21x t =−<−，故()y g x =在[1,0)−上为增函数，又()()221124140g t t t −=+−+=+−<，()200g t =>， 所以存在()01,0x ∈−使得0()0g x =故()0g x ≥的解集为[]0,0x ，所以当[]2,2x ∈−时，()2122y t x t ≥−−的解集为[]0,2x ，其中()01,0x ∈− 所以[],(1,2]D m n =⊆−，则315n m −<<（ii ）当1t =时，121y y ≥−≥， 因为()221211y x x x =−=−−，所以11y ≥−恒成立， 由题意知21y −≥的解集为[],D m n =，所以,m n 是方程21416x −=−的两根， 所以1515,22n m ==−，所以15n m −= （iii ）当12t <≤时，当[0,2]x ∈时，由（i ）知()()221220t x x t y t ⎡⎤−=−⎣−−≥⎦， 当[2,0)x ∈−时，令()()()()2122242241022y t x t x t t t x x t ⎡⎤−=+−+=+−+−>⎣⎦−− ∴()2122y t x t ≥−−在[]22−,恒成立，故只需要考虑()2222t x t y −−≥在[]22−,的解集即可. 由()2222t x t y −−≥，可得()22422160x t x t −−+−≤，由题意m ，n 是()22422160xt x t −−+−=的两根， 令()()2242216x x t x t ϕ=−−+−，其对称轴为110,44t x −⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()()()222216222164420t t t t t ϕ=−−+=−+−=≥−，()()()2222162221644280t t t t t ϕ+−=−=+−+−−=+>，所以[],2,2m n ∈−， ()22326542t t n m m n mn −−+−=+−=， 又()23265h t t t =−−+在12t <≤为单调减函数，∴()()160h t h <=，∴6015n m −<=，综上，15n m −≤ 【点睛】方法点睛：根据二次不等式的解集确定参数：①根据不等号的方向与解集的形式()[,],(,][,)m n m n −∞+∞可确定开口方向； ②解集的端点值为对应二次方程的根；③若解集为R,∅，则考虑开口方向与∆。
南师附中、海门中学、淮阴中学、天一中学2020年4月联考数学卷
群星闪耀2020年4月数学学科调研测试试卷数学Ⅰ的取值范围为.9.给出下列命题：①如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②如果一个平面的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是.10.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2)20,0(πϕω<<>的图像过点()2,0，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，上单调递减，则ω的最大值为.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()42:22=+-y x C ，点A 是直线02=+-y x 上的一个动点，直线AP ，Q A 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为.12.已知正实数x ，y 满足()12=-y x xy ，则y x +的最小值为.13.如图，在梯形ABCD 中，CD AB //且BC AB DC 22==，E 为BC 中点，AC 与DE 交于点O .若OD OA CD CB ⋅=⋅512，则BCD ∠的余弦值为.14.已知周期为6的函数()x f 满足()()x f x f -=+44，当[]4,1∈x 时，()x x x f ln =,则当33e 2≤<a 时(e 为自然对数的底数)，关于x 的不等式()()02<-x af x f 在区间[]15,1上的整数解的个数为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 中点.(1)求证：//PA 平面BDM ；(2)若PC PA =，求证：平面⊥PBD 平面ABCD .16.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()t ,3-.(1)若4=t ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πα的值；(2)若3=t 且()πα2,0∈，求()()x x x f cos sin ++=α的单调增区间.第13题图第15题图如图，某大型工厂有三个值班室A,B,C,值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处.(1)保安沿CA从值班室C出发行至点P处，此时2PC，求PB的距离；=(2)保安甲沿CA从值班室C出发行前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发行前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千已知数列{}()*N n a n ∈的前n 项和为n S ，()()为常数λλ+=n n a n S 2对于任意的*N n ∈恒成立.(1)若11=a ，求λ的值；(2)证明：数列{}a 是等差数列；λ)，2020年4月数学学科调研测试试卷数学Ⅱ（附加题）0cos 2=+θρ.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.C.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ，b ，c 为正实数，满足3=++c b a ，求cb a 941++的最小值.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）五个自然数1、2、3、4、5按照一定顺序排成一列.(1)求2和4不相邻的概率；(2)定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”.随机变量ζ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()ξE .23.（本小题满分10分）已知*N n ∈，数列n a a a T ,,,:21 中的每一项均在集合{}n M ，， 2,1=中，且任意两项不相等，又对于任意整数()n j i j i ≤<≤1,,均有j i a j a i +≤+.例如2=n 时，数列T 为1,2或2,1.(1)当3=n 时，试求满足条件的数列T 的个数.(2)当*N n ∈时，试求所有满足条件的数列T 的个数.。
南师附中、海门中学、淮中、天一中学2020届联合调研测试4月月考试卷
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合A={x|−1<x⩽1}，B={−1，0，1}，则A∩B=.2.若复数z满足(1−i)z=|1+i|，其中i为虚数单位，则z的实部为.3.若一组样本数据8，9，x，9，10的平均数为9，则该组数据的方差为.4.执行如图所示的伪代码后，输出的i的值是.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动则至少有1名女同学被选中的概率为.6.双曲线x2−y23=1的准线方程为.7.已知{a n}(n∈N∗)为等差数列，其公差为−2,且a6是a2与a8的等比中项，S n为{a n}的前项和，则S10的值为.8.已知函数f(x)=ln x−12x2+ax，若函数f(x)在区间(1，2)上存在极值，则实数a的取值范围为.9.给出下列命题：1如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直;2如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；3如果两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直;4如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是.10.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π2)的图象过点(0，√2)，且在区间[ 0，π2]上单调递减，则ω的最大值为.11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x−2)2+y2=4，点A是直线x−y+2=0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是.12.已知正实数x，y满足x(x−y)=1，则x+y的最小值为.13.如图，在梯形ABCD中,AB CD且DC=2AB=2BC，E为BC的中点，AC与DE交于O.若12# »CB·# »CD=5# »OA·# »OD，则∠BCD的余弦值为.14.已知周期为6的函数y=f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，当x∈[1，4]时，f(x)=ln x x，则当525√2<e a⩽3√3时（e为自然对数的底数），关于x的不等式f2(x)−a f(x)<0在区间[1，15]上的整数解的个数为.二.解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥D−ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，M为PC的中点．(1)求证：PA平面BDM；(2)若PA=PC，求证：平面PBD⊥平面ABCD．南师附中、海门中学、淮中、天一中学2020届联合调研测试试卷数学I在平面直角坐标系xOy 中，已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点P (−3，0).(1)若t =4,求sin (α+π4)的值；(2)若t =5且α∈(0，2π)，求f (x )=sin (x +α)+cos x 的单调增区间．17.(本小题满分14分)如图，某大型厂区有三个值班室A ，B ，C .值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时PC =2,求PB 的距离;(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3不能通话?在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2b 2=1(2>b >0)，且直线y =x +√2以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切.(1)求b 的值；(2)若直线OA ，OB ，AB 的斜率之和为0,求直线l 的方程;(3)若椭圆C 左右顶点分别为M ，N ，过点P (−2，2)作直线l 与椭圆交于A B 两点，且A ，B 位于第一象限，A 在线段BP 上，1若△AOM 和△BON 的面积分别为S 1，S 2,问是否存在这样的直线l 2直线OP 与直线MA 交于点C ，连结MB ，MC ，记直线MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1·k 2为定值.19.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n2(a n +λ)(λ为常数)对于任意的n ∈N ∗恒成立.(1)当a 1=1时，求λ的值；(2)证明：数列{a n }是等差数列；(3)若a 2=2,关于m 的不等式|S m −2m |<m +1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．已知函数f(x)=ln xax+1(a∈R，且a为常数).(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为1e(1−e)2（e为自然对数的底数）,求a的值；(2)若函数y=f(x)在区间(4，2)上单调递增，求a的取值范围;(3)已知x，y∈(02)，且x+y=3.求证：(2x−3)ln xx−1+(2y−3)ln yy−1⩽0.。
2020届江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校高三下学期4月联考数学试题(原卷版)
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题一、填空题1.已知集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B = ______．2.已知复数z 满足()11i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的实部为______．3.若一组样本数据8,9,,9,10x 的平均数为9，则该组数据的方差为______．4.根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中的概率为______．6.双曲线2213y x -=的准线方程为______．7.已知{}()*n a n N∈为等差数列，其公差为2-，且6a 是2a 与8a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为______．8.已知函数()21ln 2f x x x ax =-+，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则实数a 的取值范围为______．9.给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，真命题是________．(填序号)10.已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象过点(，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为______．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______．12.已知正实数,x y 满足()21xy x y -=，则x y +的最小值为______．13.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD 且22DC AB BC ==，E 为BC 的中点，AC 与DE 交于点O ．若125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅，则BCD ∠的余弦值为______．14.已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln x f x x =，a e <≤时（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．二、解答题15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）若PA PC =，求证：平面PBD ⊥平面ABCD ．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,P t -．（1）若4t =，求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若t =且()0,2απ∈，求()()sin cos f x x x α=++的单调增区间．17.如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时2PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为()2221024x y b b+=<<，且直线y x =与以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切．（1）求b 的值；（2）若椭圆C 左右顶点分别为,M N ，过点()2,2P -作直线l 与椭圆交于,A B 两点，且,A B 位于第一象限，A 在线段BP 上．①若AOM 和BON △的面积分别为12,S S ，问是否存在这样的直线l 使得121S S +=？请说明理由；②直线OP 与直线NA 交于点C ，连结,MB MC ，记直线,MB MC 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．19.已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和为n S ，()2n n n S a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立．（1）若11a =，求λ的值；（2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20.已知函数()ln 1x f x ax =+（a ∈R ，且a 为常数）．（1）若函数()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -（e 为自然对数的底数），求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）已知(),1,2x y ∈，且3x y +=．求证：()()23ln 23ln 011x x y y x y --+≤--．21.曲线221x y +=在矩阵00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()0,0a b >>对应的变换下得到曲线2219x y +=．（1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征向量．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值．23.已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值．24.五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．25.已知*n N ∈，数列12:,,...,n T a a a 中的每一项均在集合{}1,2,...,M n =中，且任意两项不相等，又对于任意的整数(),1i j i j n ≤<≤，均有i j i a j a +≤+．例如2n =时，数列T 为1,2或2,1．（1）当3n =时，试求满足条件的数列T 的个数；（2）当*n N ∈，求所有满足条件的数列T 的个数．。
江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2020届高三下学期4月联考数学试题
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题一、填空题1. 已知集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B =______．【答案】{}0,1 【解析】 【分析】由交集定义直接得到结果. 【详解】由交集定义知：{}0,1A B =.故答案为：{}0,1.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足()11i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的实部为______．【答案】22【解析】 【分析】根据复数的模长和除法运算可求得z ，根据实部定义得到结果. 【详解】()11i z i -=+，)()()121222111122i i z i ii i i ++∴====+---+， z ∴的实部为22.故答案为：22. 【点睛】本题考查复数实部的求解，涉及到复数的模长运算和除法运算，属于基础题. 3. 若一组样本数据8,9,,9,10x 的平均数为9，则该组数据的方差为______． 【答案】0.4 【解析】 【分析】利用平均数构造方程求得x ，根据方差的运算公式可计算得到结果.【详解】8991095x ++++=，9x ∴=，∴方差()()()22221893991090.45s ⎡⎤=⨯-+⨯-+-=⎣⎦.故答案为：0.4.【点睛】本题考查数据的平均数和方差的运算，属于基础题. 4. 根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．【答案】7 【解析】 【分析】按照伪代码运行程序，直到满足10S ≥时输出i 即可. 【详解】按照伪代码运行程序，输入1S =，1i =， 则112S =+=，123i =+=，不满足10S ≥，循环；235S =+=，325i =+=，不满足10S ≥，循环；5510S =+=，527i =+=，满足10S ≥，输出7i =.故答案：7.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中的概率为______．【答案】910【解析】 【分析】利用组合数可求得所有基本事件和2人中没有女同学的基本事件个数，根据对立事件概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中选2人共有：2510C =种选法；选择的2人中没有女同学的情况有221C =种，∴至少有1名女同学的概率1911010p =-=. 故答案为：910. 【点睛】本题考查古典概型概率问题求解，涉及到对立事件概率公式的应用，属于基础题.6. 双曲线2213y x -=的准线方程为______．【答案】12x =± 【解析】 【分析】由双曲线方程可确定,a c 和焦点所在轴，由准线方程的形式可得结果.【详解】由双曲线方程知：1a =，2c ==，焦点位于x 轴上，∴准线方程为212a x c =±=±.故答案为：12x =±. 【点睛】本题考查双曲线准线方程的求解问题，关键是能够根据双曲线方程确定,a c 的值及焦点所在轴，属于基础题. 7. 已知{}()*n a n N∈为等差数列，其公差为2-，且6a 是2a 与8a 的等比中项，n S 为{}na 的前n 项和，则10S 的值为______． 【答案】90 【解析】【分析】根据等比中项定义和等差数列通项公式可构造方程求得1a ，代入等差数列求和公式可求得结果. 【详解】6a 是2a 与8a 的等比中项，2628a a a ∴=，即()()()211110214a a a -=--，解得：118a =，()1010910182902S ⨯∴=⨯+⨯-=. 故答案为：90.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解问题，涉及到等差数列通项公式和等比中项的应用，属于基础题.8. 已知函数()21ln 2f x x x ax =-+，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据函数在区间()1,2内有极值可知()21g x x ax =-++在()1,2上有变号零点，利用二次函数的图象和性质可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意得：()211x ax f x x a x x-++'=-+=，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则()21g x x ax =-++在()1,2上有变号零点，()()()24012230a g g a a ⎧∆=+>⎪∴⎨⋅=-<⎪⎩或()()240122102230a a g a g a ⎧∆=+>⎪⎪<-<⎪∴-⎨⎪=<⎪=-<⎪⎩，解得：302a <<， 即实数a 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为二次函数在区间内有变号零点的问题，从而利用二次函数的图象和性质确定不等关系. 9. 给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，真命题是________．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】【详解】由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确，故真命题有①、③、④三个.10. 已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象过点(，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为______． 【答案】32【解析】 【分析】根据()02f =可求得ϕ；利用整体代入的方式可确定4x πω+的范围，根据余弦函数的单调区间可确定4x πω+最大值的位置，进而构造不等式求得结果.【详解】由题意得：()02cos 2f ϕ==，2cos 2ϕ∴=，又02πϕ<<，4πϕ∴=；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,4424x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，24ππωπ∴+≤，解得：32ω≤，ω∴的最大值为32. 故答案为：32. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的单调性求解参数最值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合余弦函数的单调区间确定角整体的最大取值.11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______． 【答案】)22,4⎡⎣ 【解析】 【分析】设AC x =，利用点到直线距离公式可知22x ≥，将PQ 长表示为关于x 的函数，求得函数值域即为所求范围.【详解】由圆的方程知：圆心()2,0C ，半径2r，设AC x =，则x ≥=，,AP AQ 为圆C 的切线，CP AP ∴⊥，CQ AQ ⊥，AP AQ ∴==AC 是PQ 的垂直平分线，2AP PC PQ AC x ⋅∴=⨯==22x ≥，214112x∴≤-<，4PC ∴<，即线段PC 长的取值范围为)4⎡⎣.故答案为：)4⎡⎣.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果.12. 已知正实数,x y 满足()21xy x y -=，则x y +的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将已知等式变形为()214x y xy xy+=+，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】()()()2222241xy x y xy x y xy xy x y xy ⎡⎤-=+-=+-=⎣⎦，()2144x y xy xy ∴+=+≥=（当且仅当14xy xy =，即12xy =时取等号），2x y ∴+≥，即x y +的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.13. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD 且22DC AB BC ==，E 为BC 的中点，AC 与DE 交于点O ．若125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅，则BCD ∠的余弦值为______．【答案】317【解析】 【分析】取CD 中点G ，连接,AG BG ，且BGAC F =，连接,E F ，根据平行四边形性质和平行线分线段成比例的关系可求得35OA CA →→=，45OD ED →→=，设1CB →=，2CD →=，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律化简已知等式可求得511855CB CD →→⋅=，由平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】取CD 中点G ，连接,AG BG ，且BGAC F =，连接,E F ，2CD AB =，G 为CD 中点，AB CG ∴=，又//AB CG ，∴四边形ABCG 为平行四边形，F ∴为AC 中点，即12FA CA →→=，又E 为BC 中点，//EF CG ∴且12EF CG =，14EF CD ∴=，14OF EF OC CD ∴==，1114510OF OC CF CA ∴===，即110OF CA →→=， 35OA OF FA CA →→→→∴=+=，又14OE EF OD CD ==，445OD OE DE ∴==，即45OD ED →→=， 3412121155252522OA OD CA ED CB BA CD CE CB CD CD CB →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221213169625242252525CD CB CD CB CD CB CD CB →→→→→→→→⎛⎫=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭，不妨设1CB →=，2CD →=，由125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅得：249612555CB CD CB CD →→→→⋅=+⋅-，即511855CB CD →→⋅=， 1862cos 5117CB CD BCD →→∴⋅=∠==，3cos 17BCD ∴∠=.故答案为：317.【点睛】本题考查平面向量中的向量夹角的求解问题，关键是能够通过平面向量的线性运算化简已知等式，得到平面向量数量积的结果；本题中的难点是确定OA 与AC 长度的比例关系，需借助于平行线分线段成比例进行推导.14. 已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln xf x x=，则a e <≤（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据抽象函数满足的关系式和周期可知()f x 关于4x =、1x =对称，结合导数可求得()f x 在[]1,4上的单调性，并得到()()()()1,2,3,4f f f f 的值及函数的图象；由a 的范围可将不等式化为()0f x a <<，可确定在[]1,4的整数解个数，结合周期性和对称性可得[]1,15上的其他整数解，进而得到结果.【详解】由()()44f x f x +=-得：()f x 关于4x =对称， 又f x 是周期为6的周期函数，f x 关于1x =对称，当[]1,4x ∈时，()21ln xf x x -'=， ∴当[)1,x e ∈时，0fx；当(],4x e ∈时，0fx ；f x 在[)1,e 上单调递增，在(],4e 上单调递减，()()max 1f x f e e ∴==，且()10f =，()114ln 4ln 242f ==，()12ln 22f =，()13ln 33f =，由此可得()f x 图象如下图所示：当323a e <≤时，11ln 2ln 323a <≤，()()20f x af x ∴-<等价于()0f x a <<，∴当[]1,4x ∈时，整数解为：2x =和4x =；∴当(]4,15x ∈时，整数解为：6x =、8x =、10x =、12x =和14x =；综上所述：不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为7个.故答案为：7.【点睛】本题考查利用函数的周期性、对称性和单调性求解不等式的问题，关键能够利用函数周期性、对称性和单调性确定函数的图象，从而利用数形结合的方式确定函数整数解的个数. 二、解答题15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）若PA PC =，求证：平面PBD ⊥平面ABCD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，由菱形和三角形中位线性质可证得//OM PA ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）连接PO ，由菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一和线面垂直判定可证得AC ⊥平面PBD ，由面面垂直判定定理可证得结论. 【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，四边形ABCD 为菱形，O ∴为AC 中点，又M 为PC 中点，//OM PA ∴，OM ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，//PA ∴平面BDM ；（2）连接PO ，PA PC =，O 为AC 中点，PO AC ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，,PO BD ⊂平面PBD ，PO BD O =，AC ∴⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查立体几何中的线面平行、面面垂直位置关系的证明，涉及到线面平行和垂直的判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,P t -． （1）若4t =，求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若t =且()0,2απ∈，求()()sin cos f x x x α=++的单调增区间．【答案】（1）10；（2）()5112,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）由任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，由两角和差正弦公式可求得结果； （2）由任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，由两角和差正弦公式和辅助角公式化简函数为()6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体对应的方式，结合余弦函数单调区间可求得结果. 【详解】（1）当4t =时，4sin 5α，3cos 5α=-，43sin sin cos cos sin 444525210πππααα⎛⎫+=+=⨯-⨯=⎝∴⎪⎭；（2）当t =时，1sin 2α=，cos α=，()()3sin cos sin cos cos sin cos cos 2f x x x x x x x x ααα∴=++=++=+6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()226k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得：()72266k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， ()f x ∴的单调增区间为72,266k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题考查任意角三角函数值的求解、两角和差正弦公式和辅助角的应用、余弦型函数单调区间的求解问题，是对三角函数和三角恒等变换部分知识的综合考查.17. 如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时2PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【答案】（1）55BP =；（2）413小时．【解析】 【分析】（1）在Rt ABC 中求得cos C 后，在PBC 中利用余弦定理可求得结果；（2）设甲乙出发后的时间为t 小时，在AMN 中，利用余弦定理可用t 表示出2MN ，解29MN >可求得结果.【详解】（1）在Rt ABC 中，3AB =，4BC =，则5AC =，4cos 5C ∴=， 在PBC 中，由余弦定理得：2224362cos 1641655BP BC CP BC CP C =+-⋅=+-⨯=， 55BP ∴=； （2）设甲乙出发后的时间为t 小时，甲在线段CA 上的位置为M ，乙在线段AB 上的位置为N ，则55AM t =-，3AN t =，且[]0,1t ∈，由（1）知：3cos 5A =， 在AMN 中，由余弦定理得：2222cos MN AM AN AM AN A =+-⋅， 即()()222218559555268255MN t t t t t t =-+--=-+， 若甲乙不能通话，则3MN >，即25268259t t -+>，解得：413t <或1t >， 又[]0,1t ∈，40,13t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭， ∴两人不能通话的时间为413小时. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为()2221024x y b b+=<<，且直线2y x =与以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切． （1）求b 的值；（2）若椭圆C 左右顶点分别,M N ，过点()2,2P -作直线l 与椭圆交于,A B 两点，且,A B位于第一象限，A 在线段BP 上．①若AOM 和BON △的面积分别为12,S S ，问是否存在这样的直线l 使得121S S +=？请说明理由；②直线OP 与直线NA 交于点C ，连结,MB MC ，记直线,MB MC 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1）1；（2）①不存在满足条件的直线l ，理由详见解析；②详见解析． 【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切可构造方程求得b ； （2）由（1）得到椭圆方程和,M N 坐标；①将直线PA 方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，同时根据,A B 位于第一象限可构造不等式组求得t 的范围；利用1212S S y y +=+可构造方程求得t ，可知所求t 不满足所求范围，知直线不存在；②利用,,O P C 三点共线和,,N A C 三点共线可利用11,x y 表示出33,x y ，同韦达定理一起代入12k k ，整理可得定值.【详解】（1）由题意知：直线y x =与圆222x y b +=相切，∴圆心到直线的距离d b ==，1b ∴=；（2）由（1）知：椭圆方程为2214x y +=，则()2,0M -，()2,0N ，①易知直线PA 的斜率不为零，设直线():22PA x t y =--，()11,A x y ，()22,B x y ， 则将直线PA 与椭圆联立整理得：()()222441480t y t t y t t +-+++=，()()()()22212221221611624041044804t t t t t t t y y t t ty y t ⎧∆=+-++>⎪⎪+⎪=>⎨+⎪⎪+=>⎪+⎩，解得：823t -<<-； 2121224414t tS S y y t +∴+=+==+，即23440t t +-=，解得：2t =-或23t =，这与823t -<<-不符，所以不存在满足条件的直线l ； ②设()33,C x y ，由,,O P C 三点共线知：33y x =-， 由,,N A C 三点共线知：331313222y x y x x x ==---，131122y x x y ∴=+-，131122y y x y -=+-，()()()()()2121121221121122222224222y y y y y y k k x x y t y t y t t t y y ---∴⋅=⨯=⨯=++--+--+--()()1212121224y y t t y y y y -=⨯+-++，由①知：()122414t t y y t ++=+，2122484t ty y t +=+()()()()()122421412164428144t t k k t t t t t t t +--∴=⨯==-++-+++，则12k k 为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中三角形面积问题、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够结合韦达定理，利用某一变量表示出12k k ，通过化简消元整理得到定值. 19. 已知数列{}()*n a n N∈的前n 项和为n S ，()2n n nS a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立．（1）若11a =，求λ的值； （2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）将1n =代入已知等式即可求得结果；（2）利用11n n n S S a ++-=可得到递推关系()1121n n n a n a na λ++=+-+，将1n +换成n 后两式作差可得到112n n n a a a +-+=，从而证得结论；（3）将不等式化为()2312m m m λ-⋅-<+，令22t λ-=，则不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个，通过分析可知除3m =以外只能有1个m 符合要求；当4m ≥时，通过导数可求得()max 1534m m m ⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦，分别讨论54t ≤、5342t <<和32t ≥时m 的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果. 【详解】（1）当1n =时，()11112S a a λ=+=，112a a λ∴=+，解得：11a λ==； （2）由（1）知：()()()11221n n n n S n a S n a λλ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩， ()1121n n n a n a na λ++∴=+-+，*n N ∈，()()1112121n n n nn n a n a na a na n a λλ++-⎧=+-+⎪∴⎨=--+⎪⎩，则()()11122121n n n n n a a n a na n a ++--=+-+-，()()()111121n n n n a n a n a +-∴-+-=-，又2n ≥，*n N ∈，10n ∴->，∴112n n n a a a +-+=对任意2n ≥，*n N ∈成立，∴数列{}n a 是等差数列；（3）由（2）可知：21m S m m -<+，即()11212m m ma d m m -+-<+， 即()()12212m m m m m λλ-+--<+，()2312m m m λ⋅∴--<+， 令22t λ-=，题目条件转化为满足不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个， 若1m =符合，则22t <，即1t <；若2m =符合，则23t <， 1.5t <； 若3m =符合，则t 为任意实数，即除3m =以外只能有1个m 符合要求.当4m ≥，*m N ∈时，()31tm m m -<+，解得：()13m t m m +<-，令15x m =+≥，则()()()1143145m x m m x x x x+==----+， 令()45f x x x =-+，则()222441x f x x x-'=-=， 当5x ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在[)5,+∞上单调递增，()()min455f x f ∴==，()max1534m m m ⎡⎤+∴=⎢⎥-⎣⎦，∴当54t ≤时，至少存在2m =、3、4满足不等式，不符合要求； 当5342t <<时，对于任意4m ≥，*m N ∈都不满足不等式，1m =也不满足， 此时只有2m =、3满足； 当32t ≥时，只有3m =符合； 故5342t <<，即523422λ-<<，解得：112λ-<<-或952λ<<； ∴λ的取值范围是191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题. 20. 已知函数()ln 1xf x ax =+（a ∈R ，且a 为常数）． （1）若函数()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -（e 为自然对数的底数），求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围； （3）已知(),1,2x y ∈，且3x y +=．求证：()()23ln 23ln 011x x y y x y --+≤--．【答案】（1）1-或2e e -；（2）{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭；（3）详见解析．【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义知()()211f e e e '=-，由此构造方程求得结果；（2）将问题转化为1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠恒成立的问题，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，分别在0a =、0a >和102a -≤<或1a ≤-时，结合函数单调性确定最小值，令()min 0x ϕ≥，从而求得a 的取值范围；（3）根据（2）的结论可知()f x 在()1,2上单调递增，分类讨论可确定()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果.【详解】（1）由题意得：()()()()2211ln 1ln 11ax a x ax ax xx f x ax x ax +-+-'==++()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -，()()211f e e e '∴=-，()()221ln 111ae ae e e ae e e +-∴=+-，解得：()()2211ae e +=-，()11ae e ∴+=±-，1a ∴=-或2e e-； （2）函数()f x 在()1,2上单调递增，∴对于任意的()1,2x ∈，都有()0f x '≥恒成立即1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠， 当0a =，10≥恒成立，满足题意； 当0a ≠时，由1x a ≠-得：()11,2a-∉，即0a >或102a -≤<或1a ≤-，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，则()ln x a x ϕ'=-，①当0a >且()1,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴在()1,2上单调递减， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()20ϕ≥， 即212ln 20a a +-≥，解得：122ln 2a -≥-，0a ∴>满足题意；②当102a -≤<或1a ≤-，且()1,2x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()1,2上单调递增， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()10ϕ≥， 即1ln10a a +-≥，解得：1a ≥-；102a ∴-≤<或1a =-综上所述：a 的取值范围是{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭； （3）由（2）可知：当1a =-时，函数()f x 在()1,2上单调递增，此时()ln ln 11x xf x x x==-+-， 当312x <≤时，()332ln 22f x f ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，而230x -≤，()()()3232ln232x f x x ∴-≥--，即()()()ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤--，当322x ≤<时，()332ln 22f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，而230x -≥， ()()()3232ln 232x f x x ∴-≥--，即()()()2ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤-- 综上，对于任意()1,2x ∈，都有()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，()()()()()()()23ln 23ln 3332ln 232ln 232ln 22611222x x y y x y x y x y --∴+≤-+-=+---0=，结论得证.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式；本体证明不等式的关键是能够通过分类讨论的方式将()()23ln 1x xx --进行放缩，属于难题.21. 曲线221x y +=在矩阵00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()0,0a b >>对应的变换下得到曲线2219x y +=． （1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征向量．【答案】（1）3001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）10⎡⎤⎢⎥⎣⎦和01⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）根据对应关系可得到x axy by''=⎧⎨=⎩，代入椭圆方程整理，结合圆的方程可构造方程组求得,a b ，从而求得结果； （2）由()3001f λλλ-==-可求得1λ=或3，分别在1λ=或3两种情况下求得特征向量.【详解】（1）设曲线221x y +=上的任意一点(),x y 在矩阵A 的对应变换作用下得到的点为(),x y ''，则00a x x b y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x ax y by =∴=''⎧⎨⎩，222219a x b y ∴+=，22191a b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩， 又0,0a b >>，3a ∴=，1b =，3001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）由()()()331001fλλλλλ-==--=-得：1λ=或3；当1λ=时，由200000x y x y -+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩得对应的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当3λ=时，由000020x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+=⎩得对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上所述：矩阵A 的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵问题中的曲线的变换、特征向量的求解问题，属于常考题型.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：12212x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）直线l的普通方程为1y =++．圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2． 【解析】 【分析】（1）根据参数方程化普通方程方法、极坐标与直角坐标的互化原则可直接化简得到结果； （2）设曲线C 上任一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，利用点到直线距离公式可将问题转化为三角函数值域的求解问题，由正弦型函数性质可确定6πθ=时，d 最小，进而得到结果.【详解】（1）直线l 的参数方程消去参数t得普通方程为：1y =++由2cos 0ρθ+=得：22cos ρρθ=-，222x y x ∴+=-，∴圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2）在圆C 上任取一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，则P 到直线l 的距离为d ==当6πθ=时，min12d=，此时1122P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、利用参数方程求解曲线上的点到直线距离的最值问题；求解最值问题的关键是能够利用圆的参数方程将问题转化为三角函数值域的求解问题.23. 已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值．【答案】12 【解析】 【分析】利用柯西不等式可知()14936a b c a b c ⎛⎫∴++++≥ ⎪⎝⎭，由此求得结果. 【详解】,,a b c 均为正实数，()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=（当且仅当22249b c a ==时取等号）， 又3a b c ++=，14912a b c ++≥∴，即149a b c++的最小值为12.【点睛】本题考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式.24. 五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列． （1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ． 【答案】（1）35；（2）分布列详见解析，()45E ξ=． 【解析】 【分析】（1）利用插空法可求得2和4不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；（2）确定ξ所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；利用数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）记“2和4不相邻”为事件A ，则()32345535A A P A A ==； （2）ξ的所有可能取值为0,1,2，()22322355125A A A P A ξ===，()222223552215A A A P A ξ===，()121212242424225522205C A C A C A A P A ξ++===， ξ∴的分布列如下：()22140125555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到排列组合的相关知识；解题关键是能够准确确定随机变量可能的取值，并利用排列组合的知识求得每个取值对应的概率.25. 已知*n N ∈，数列12:,,...,n T a a a 中的每一项均在集合{}1,2,...,M n =中，且任意两项不相等，又对于任意的整数(),1i j i j n ≤<≤，均有i j i a j a +≤+．例如2n =时，数列T 为1,2或2,1．（1）当3n =时，试求满足条件的数列T 的个数； （2）当*n N ∈，求所有满足条件的数列T 的个数． 【答案】（1）4；（2）12n -． 【解析】 【分析】（1）分别假设13a =，23a =和33a =，根据已知关系式可求得21,a a ，从而得到结果； （2）①当1a n =时，可确定满足条件的数列只有1个；②当()2i a n i n =≤≤时，可知i a n =以后的各项是唯一确定的，根据i a n =之前的满足条件的数列的个数为1i b -可整理得到1112n n n n b b b b ---=+=，由等比数列通项公式可求得12n n b -=，由此可确定结果.【详解】（1）若13a =，则2132a +≤+，故22a =，则31a =； 若23a =，则2323a a +≤+，32a ∴≥，故32a =，则11a =； 若33a =，则11a =，22a =或12a =，23a =；∴当3n =时，满足条件的数列T 为3,2,1；1,3,2；1,2,3；2,1,3；故满足条件的T 的个数为4；（2）设满足条件的数列T 的个数为n b ，显然11b =，22b =，34b =， 不等式i j i a j a +≤+中取1j i =+，则有11i i i a i a ++≤++，即11i i a a +≤+， ①当1a n =时，则21a n =-，同理32a n =-，，1n a =，满足条件的数列只有1个； ②当()2i a n i n =≤≤，则11i a n +=-，同理22i a n +=-，，n a i =，即i a n =以后的各项是唯一确定的，又i a n =之前的满足条件的数列的个数为1i b -，∴当2n ≥时，1211n n n b b b b --=++⋅⋅⋅++（*），当3n ≥时，1211n n b b b --=+⋅⋅⋅++，代入（*）式得到1112n n n n b b b b ---=+=，且满足212b b =，∴对任意2n ≥，都有12n n b b -=成立，又11b =，12n n b -∴=；综上，满足条件的数列T 的个数为12n -．【点睛】本题考查了数列中的新定义运算的问题，关键是能够通过分类讨论的方式确定所求数列个数所构成的数列为等比数列，进而利用等比数列通项公式求得结果.。
2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷参考答案
答：2 和 4 不相邻的概率为 3 ． 5
………………4 页）
2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷
（2）的所有可能取值为0,1, 2，
P(
2)
A22 A22 A33 A55
1
，
5
P(
1)
2 A22 A22 A32 A55
C．[选修 4－5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知 a ， b ， c 为正实数，满足 a b c 3 ，求 1 4 9 的最小值． abc
数学Ⅱ（附加题）第 1页 （共 4 页）
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）
写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．
…… 3 分
…… 5 分 ……9 分 ……10 分
数学Ⅱ（附加题）第 4页 （共 4 页） 2020届江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2017级高三下学期4月联考数学试卷
23．解：（1）若 a1 3 ，则1 3≤2 a2 ，故 a2 2 ，则 a3 1 ； 若 a2 3 ，则 2 a2≤3 a3 ，则 a3≥2 ，故 a3 2 ，则 a1 1 ； 若 a3 3 ，则 a1 1, a2 2 或 a1 2, a2 3 所以当 n 3 时，满足条件的数列 T 为 3, 2,1;1,3, 2;1, 2,3; 2,1,3
2022-2023学年南京师范大学附属中学天一中学海安中学海门中学高三上学期12月联考化学试卷带讲解
C
向Fe(NO3)2溶液中滴入硫酸酸化的H2O2溶液，观察溶液颜色变化
验证氧化性：H2O2＞Fe3+
D
用pH计测量等温等浓度的CH3COONa和HCOONa溶液的pH，前者大于后者
Kh(CH3COO-)＞Kh(HCOO-)
A.AB.BC.CD.D
C
【详解】A．在反应2Fe3++2I-=2Fe2++I2中，Fe3+、I-发生反应的数目比是1：1，向5 mL0.1 mol/LKI溶液中加入1 mL0.1 mol/LFeCl3溶液，可知反应后I-过量，充分反应后用苯萃取I2次数为2~3次后，取水层滴加KSCN溶液观察溶液颜色变为红色，说明2Fe3++2I-=2Fe2++I2为可逆反应，具有一定限度，A正确；
D．形成盐的酸越弱，该酸与碱NaOH发生中和反应产生的盐水解程度就越大，溶液pH就越大。用pH计测量等温等浓度的CH3COONa和HCOONa溶液的pH，前者大于后者，说明水解程度：CH3COONa＞HCOONa，故水解平衡常数：Kh(CH3COO-)＞Kh(HCOO-)，D正确；
故合理选项是C。
12.2022年诺贝尔化学奖授予了对点击化学和生物正交化学作出贡献的三位科学家。点击化学的代表反应为“叠氮化物-炔烃”反应，其反应原理如图所示(R1和R2代表烃基)。下列说法正确的是
B．外层的热控保温材料石墨烯主要成分是碳单质，属于无机材料，故B正确；
C．外表面的高温结构陶瓷碳化硅属于无机非金属材料，故C错误；
D．外壳的烧蚀材料之一酚醛树脂是高聚物，属于高分子材料，故D正确；
故选C。
2.“侯氏制碱法”曾为全球制碱工业做出了巨大贡献。该工艺反应之一如下： ，下列说法正确的是
江苏淮阴中学等四校2024届高三下学期期初测试联考数学试卷(解析版)
2024届高三年级第二学期期初测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.总分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题共58分).1. 已知集合{}2R 230A x xx =∈−−<，集合(){}2R log 21B x x =∈+<，则A B ∩＝（ ）A. ()3,2−B.()2,3− C. ()2,0− D. ()1,0−【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式得A ，再根据对数函数的性质解得集合B ，根据交集的概念计算即可. 【详解】由题意可知：()()()2231301,3x x x x x −−=+−<⇒∈−，即()1,3A =−,()22log 21log 2022x x +<=⇒<+<，即()2,0B =−，所以()1,0A B ∩=−. 故选：D2. 已知复数z 满足(1i)3i z −=− ，则复数z =（ ） A. 2B.D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求出z ，再根据复数模的定义求出z 即可. 【详解】由已知得()()()()3i 1i 3i2i 1i1i 1i z −+−===+−−+，则z =，故选：B .3. 在ABC 中，“A B =”是“cos sin cos sin A A B B +=+”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即得.【详解】在ABC 中，由A B =，得cos cos ,sin sin A B A B ==，即cos sin cos sin A A B B +=+， 而当30,60A B ==时，cos sin cos sin A A B B +==+， 所以“A B =”是“cos sin cos sin A A B B +=+”的充分非必要条件. 故选：A4. 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（ ） A.47B.328C.1112D.356【答案】D 【解析】. 【详解】在这8个数中任取3个数共有38C 种取法，能组成勾股定理关系的有()3,4,5，()6,8,10，()5,12,13，共3组，由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为3833C 56=． 故选：D ．5. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为π3，则该圆台的体积为（ ）A.B.C.πD.【答案】C 【解析】【分析】利用圆台的体积公式求解.的【详解】由已知得11AO =，22BO =，2π3ABO ∠=，过点A 作2AC BO ⊥垂足为C ，则πtan 3AC BC =⋅圆台的体积为())1π4ππ3V S S h ′=++=+=， 故选：C .6. 若()102x −展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（ ） A. 4095 B. 4097 C. -4095 D. -4097【答案】C 【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通求得一次项的系数，再由二项展开式的二项式系数和的性质，求得二项式系数的和，以及1x =，求得所有项的系数和，即可求解. 【详解】由()102x −展开式的通项公式为101011010T C 2()(1)2C rrr r r rr r x x −−+=⋅⋅−=−⋅⋅，所以一次项系数19110(1)2C 5120C =−⋅⋅=−， 二项式系数和1021024A ==，令1x =，则所有项的系数和()10211B =−=， 所以4095A B C ++=−. 故选：C .7. 已知正实数x ，y 满足1x y +=，则233x yx y x y+++的最大值为（ ）A.2425B.C.D.34【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用换元法结合基本不等式求解即得.【详解】设33x y a x y b +=+= ，由正实数x ，y 满足1x y +=，得4,0,0a b a b +=>>，且3838a b x b a y − = − =，则236291291()33888888x y a b b a b a x y x y a b a b −−+=+=−+≤−⋅=++ 当且仅当2b aa b=，即)(41,42a b =−=−时取等号，所以233x y x y x y +++故选：C8. 若1x 、2x 是关于x 的方程3sin 2cos 2x x a −=在π0,2 内的两根，则()12tan x x +的值为（ ）A. 3−B. 3C. 13−D.13【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式将3sin 2cos 2x x −变式为()2x ϕ+，再结合正弦函数的对称性得到()()1222πx x ϕϕ+++=，则12π2x x ϕ+=−，再由诱导公式计算可得.【详解】因为()3sin 2cos 22x x x ϕ−=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=，1tan 3ϕ=−），当π0,2x∈时[]2,πx ϕϕϕ+∈+，又1x 、2x 是关于x 的方程3sin 2cos 2x x a −=在π0,2内的两根，所以()()1222πx x ϕϕ+++=，所以12π2x x ϕ+=−，所以()12πsin πcos 2tan tan 3π2sin cos 2x x ϕϕϕϕϕ−=−===− −+. 故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知向量()()1,2,1,3a b =−=，则下列结论正确的是（ ）A. b 在a上的投影向量是(1，－2) B. 2a b b +=C. a 与b 的夹角为π4D. ()a b a +⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量的数量积、模、夹角的坐标运算可判定各选项.【详解】因为向量()()1,2,1,3a b =−=，选项A ：b 在a上的投影向量是()51,25a b a a aa⋅−⋅==−，故A 错误；选项B)23,1a b +− ，所以2a b +=，即2a b b += ，故B 正确； 选项C ：设a 与b的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅===⋅又0πθ≤≤，所以3π4θ=，故C 错误； 选项D ：因为()()()2,1,12210a b a b a +=+⋅=×+−×= ，所以()a b a +⊥，故D 正确；故选：BD.10. 以下四个命题表述正确的是（ ）A. 直线()()34330m x y mx R ++−+=∈恒过定点()2,3−； B. 圆224x y +=上有且仅有3个点到直线0l x y −=：的距离都等于1C. 曲线22120C x y x ++=：与曲线222480C x y x y m +−−+=：恰有三条公切线，则4m =D. 若双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的一条渐近线被圆2260x y x +−=截得的弦长为． 【答案】BCD 【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A ；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B ；由圆心距等于半径和列式求得m 判断C ；求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆2260x y x +−=所截得的弦长为D 是否正确．【详解】由()()34330m x y m x R ++−+=∈，得()34330x y m x +−++=，联立303430x x y +=+−= ，解得33x y =−= ，∴直线()()34330m x y m x R ++−+=∈恒过定点()3,3−，故A 错误； ∵圆心()0,0到直线:0l x y −+=的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线:0l x y −=的距离等于1，故B 正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线22120C x y x ++=：化为标准式()2211x y ++=，曲线222480C :x y x y m +−−+=化为标准式()()2224200x y m −+−=−>，圆心距为514m =，故C 正确；双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的一条渐近线方程为0bx ay +=， 圆2260x y x +−=的圆心()3,0，又圆的半径为3，解得2245b a =，所以22245c a a −=，即2295c a =，所以离心率为e =，故D 正确． 故选：BCD.的【点睛】方法点睛：与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公式求解，而是应用几何方法去求解．方法是：直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有22212r d =+，即l，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．11. 设定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x ′，若满足()()21xf x x f x ′+=，且()10f =，则下列说法正确的是（ ） A. ()()23f f > B. 若()()12f x f x =，且12x x ≠，则212e x x +=C. ()f x 的最大值为1eD. 若()e f x x λ≥，则0λ≤【答案】CD 【解析】【分析】A 选项，根据条件得到()()1f x xf x x ′+=，从而求出()ln xf x x=，A 选项，计算出()()ln 2ln 32,323f f ==，比较出大小；B 选项，举出反例；C 选项，求导得到函数单调性，求出极值和最值情况；D 选项，变形得到()2ln x xλ≥，构造函数()()2ln x h x x=，求导得到函数单调性和极值，最值情况，得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为()0,∞+，()()21xf x x f x ′+=，即()()1f x xf x x′+=，故()1xf x x ′=，又()1ln x c x′+=， 故()ln xf x x c =+， 又()10f =，故()ln xf x x c =+中令1x =得()1ln10f c =+=， 解得0c ，故()ln xf x x =，0x >， A 选项，()()ln 2ln 32,323f f ==，因为ln 2ln 3ln 8ln 93ln 22ln 323<⇒<⇒<，故()()23f f <，A 错误；B 选项，不妨设122,4x x ==，此时()()ln 2242f f ==， 但242e +≠，B 错误； C 选项，()21ln xf x x−′=，令()0f x '>得，0e x <<，令()0f x ′<得e x >， 故()ln xf x x =在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减， 故()ln xf x x=在e x =处取得极大值，也是最大值， 故()f x 最大值为()1e ef =，C 正确；D 选项，()e f x x λ≥，即ln e x x x λ≥，两边取对数得ln ln xx xλ⋅≥， 即()2ln x x λ≥，令()()2ln x h x x =，则()()()2222ln ln ln 2ln x x x x x x h x x x ⋅−−′==， 令()0h x ′>得21e x <<，令()0h x ′<得01x <<或2e x > 故()()2ln x h x x=在()()20,1,e ,+∞上单调递减，在()21,e上单调递增，且()()22410,e e h h ==，且当1x >时，()()2ln 0x h x x=>恒成立，综上，()()2ln x h x x=在1x =处取得最小值，最小值为0，故0λ≤，D 正确. 故答案为：CD【点睛】方法点睛：利用函数()f x 与导函数()f x ′的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +′>，则构造()()e x g x f x =⋅， 若()()0f x f x ′−>，则构造()()xf xg x =e ， 若()()0f x xf x ′+>，则构造()()g x xf x =， 若()()0f x xf x ′−>，则构造()()f xg x x=. 第II 卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，且267,,a a 成等差数列，则6S =______. 【答案】634− 【解析】【分析】根据给定条件，列式求出数列首项，再求出前6项和.【详解】由267,,a a 成等差数列，得6272a a +=，则113274a a +=，解得114a =−， 所以661(12)634124S −−==−−. 故答案为：634− 13. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x (单位：kg )近似服从正态分布()20.4,N σ，已知(0.1)0.1P x <=，(0.5)0.3P x >=．若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为______. 【答案】0.2##15【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】因为0.4µ=，所以()()()()0.10.40.30.40.30.70.1P x P x P x P x <<−>+>，又(0.5)0.3P x >=，所以若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为()()()0.50.70.50.70.30.10.2P x P x P x <≤=>−>=−=. 故答案为：0.2.14. 在正三棱锥A －BCD 中，底面△BCD 的边长为4，E 为AD 的中点，AB ⊥CE ，则以AD 为直径的球截该棱锥各面所得交线长为______.【答案】π 【解析】【分析】根据题意，取CD 的中点F ，作AO ⊥平面BCD ，证得AB ⊥平面ACD ，得到,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，求得球O的半径为R =O 与平面BCD 截得的弧为小圆1O 的半径r =，结合弧长公式，即可求解. 【详解】取CD 的中点F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由三棱锥A BCD −为正三棱锥，所以O 为底面正三角形BCD 的中心，所以O BF ∈， 因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥， 又由正三角形的性质，可得BF CD ⊥，又因为BF AO O ∩=，且,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO , 因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥， 又因为CEAB ⊥，且CE CD C ∩=，,CE CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ， 因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB ⊥，由正三棱锥的性质可得，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ===以AD 为直径的球O 的半径为R =，可得球O 在平面,ACD ABD 上截得的交线分别为14个圆，可得弧长的和为122π4R ××， 设点E 到平面BCD 的距离为d ，由B ACD A BCD V V −−=，可得11233ACD BCD S AB S d ⋅=⋅ ，即211142323d ××=×，解得d =，即点E 到平面BCD 的距离为，所以面BCD 截球体所得小圆1O 的半径为22r R d =−=， 如图所示，球O 在平面BCD 截得的弧为小圆1O 的弧 MN ，其中12π3EO F ∠=,所以弧 MN的弧长为2π3， 球O 与平面ABC 只有一个交点A ，截得的弧长为0，所以，以AD 为直径的球与三棱锥A BCD −截得的交线长为π.故答案为：π.【点睛】思路点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d =+（r 为底面多边形的外接圆的半径，R 为几何体的外接球的半径，d 表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.四、解答题：本题共577分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3A =. （1）求22tansin 22B C A++的值；（2）若a =ABC ，求b 的值． 【答案】（1）73（2）1b =或3b = 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和关系结合三角恒等变换分析求解； （2）根据面积公式、余弦定理分析求解. 【小问1详解】 因为1cos 3A =，所以22222222πsin cos 222tansin sin sin π2222sin cos 222A A B C A A A A A − + +=+=+−111cos 111cos 7332.1cos 1223123AA A ++−−=+=+=−− 【小问2详解】因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A因为11sin 322ABC S bc A bc bc ===△， 又因为2222cos a b c bc A =+−，即22221823,103b c b c +−××+，联立整理得22310bc b c =+=，解得1b =或3b =. 16. 篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上22×列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =. ①求3P （直接写出结果即可）； ②证明：数列13n P −为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.()20P x χ≥ 0100 0.050 0.025 0.010 00010x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关. （2）①12；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大. 【解析】【分析】（1）直接带公式即可.（2）①根据题义写即可；通过分析1n P −与n P 的概率关系式，再利用数列知识计算结果. 【小问1详解】（1）根据列联表数据，经计算得220.001200(60802040)10010.828100*********x χ××−×==>=×××根据独立性检验：即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关. 【小问2详解】①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为12，故312P =. ②第n 次触球者是甲的概率记为n P ，则当2n ≥时，第n 1−次触球者是甲的概率为1n P −， 第n 1−次触球者不是甲的概率为11n P −−， 则()()11111011,22n n n n P P P P −−−=⋅+−⋅=− 从而1111323n n P P − −=−− ，又112033P −=≠， 所以13n P−是以23为首项，公比为12−的等比数列， 18991091021121112111,,,,32332333233n n P P P P P − ∴=×−+∴=×−+>=×−+故第9次触球者是甲的概率大.17. 已知函数()2e ,xf x x kx k =−∈R . ..,（1）当0k =时，求函数()f x 在[]22−,上的值域； （2）若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）21,2e e −（2）()e,+∞ 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得函数()f x 在[]22−,上的值域； （2）由()()e 0xf x x kx =−=，构造函数 e xg x kx ，利用导数，结合对k 进行分类讨论来求得k 的取值范围. 【小问1详解】当0k =时，()()e xf x x x =⋅∈R ，所以()()1e x f x x ′=+⋅，令()0f x ′=，则=1x −，所以()1min 1()1e ef x f −=−=−=−，又()()2222,22e e f f −=−=， 所以()f x 在[]22−,上的值域为21,2e e−. 【小问2详解】函数()()2e e xxf x x kx x kx =−=−在()0,∞+上仅有两个零点，令 e xg x kx ，则问题等价于()g x 在()0,∞+上仅有两个零点，易求 e xg x k ，因为()0,x ∈+∞，所以e 1x >.①当(],1k ∈−∞时，()0g x ′>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上没有零点，不符合题意；②当()1,k ∈+∞时，令()0g x ′=，得ln x k =， 所以在()0,ln k 上()0g x ′<，在()ln ,k ∞+上()0g x ′>，所以()g x 在()0,ln k 上单调递减，在()ln ,k ∞+上单调递增， 所以()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =−⋅， 因为()g x 在()0,∞+上有两个零点， 所以()ln ln 0g k k k k =−⋅<，所以e k >. 因为()()()222010,ln ln 2ln g g kkk k k k k =>=−⋅=−，令()()222ln ,1x h x x x h x x x−=−=′−=， 所以在()0,2上()0h x ′<，在()2,+∞上，()0h x ′>，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增；所以()222ln2lne ln40h x ≥−=−>，所以()()2ln 2ln 0g k k k k =−>， 所以当e k >时，()g x 在()0,ln k 和()ln ,k ∞+内各有一个零点，即当e k >时，()g x 在()0,∞+上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是(e,+∞.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域；（2）计算导数()f x ′；（3）求出()0f x ′=的根；（4）用()0f x ′=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内()f x ′的符号，进而确定()f x 的单调区间：()0f x '>，则()f x 在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；()0f x ′<，则()f x 在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.18. 已知矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且2AD DE CE ===ADE 沿AE 向上翻折，使点D 到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE −．（1）若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AFFP的值； （2）若PB =，求锐二面角P EC A −−的余弦值． 【答案】（1）2 （2【解析】【分析】1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，可证//CE AB ，进而可证四边形FGCE 为平行四边形，可证//EF 平面PBC ．（2）取AE 中点O ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法可求锐二面角P EC A −−的余弦值． 【小问1详解】点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，满足//EF 平面PBC ，证明如下： 如图，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，则13FG AB =，又2DE CE =，13CE AB =，所以13FGCE AB ==．因为//CE AB ，所以//CE FG ， 所以四边形FGCE 为平行四边形，有//EF CG ，又EF ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．此时有2AFFP=. 【小问2详解】2AD DE CE ===，ADE 为等腰直角三角形，AB =2AE =，135CEA ∠= ，45BAE ∠= ．取AE 的中点O ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设()0,,P m n ，()1,0,0E ，31,,022 −C ，13,,022B − ，则()0,,OP m n = ，13,,22PB m n=−−−，因为1OP =，PB =，所以22222211322m n m n += +++，解得0,1m n ==， 则(0,0,1)P ，(1,0,1)PE =−，11,,022EC=−， 设平面PEC 的法向量为(),,m a b c =， 则01122m PE a c m EC a b ⋅=−=⋅=−=， 不妨取1a =，则1,1b c ==，()1,1,1m =， 设平面ECA 的一个法向量为()0,0,1n =，则cos ,||||m n m n m n ⋅==⋅ 则锐二面角P EC A −−． 19. 在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线1E 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ(λ为非零的正实数)代替(),x y 得到曲线2E 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1E 、2E 关于原点“伸缩”，变换()(),,x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.（1）已知曲线1E 的方程为22143x y −=，伸缩比12λ=，求1E 关于原点“伸缩变换”后所得曲线2E 的方程；（2）射线l的方程()0yx ≥，如果椭圆221:14x E y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2E ，若射线l与椭圆1E 、2E 分别交于两点A B 、，且AB =2E 的方程； （3）对抛物线2112E x p y =：，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2222E x p y =：；对2E 作变换()()22,,x y x y λλ→，得抛物线2332E x p y =：；如此进行下去，对抛物线22n n E x p y =：作变换()(),,n n x y x y λλ→， 得抛物线2112n n E x p y ++=：，…．若11,2n n p λ==，求数列{}n p 的通项公式n p .【答案】（1）2211612x y −=（2）2241x y +=或224199x y +=（3）()11212n n n p − =【解析】【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可；（2）先由伸缩变换求得2E 方程，分别与射线联立方程求A 、B 坐标，根据两点距离公式解方程即可；（3）由伸缩变换的定义计算1n p +.【小问1详解】由条件得221122143x y−=，整理得2211612x y −=， 所以2E 的方程为2211612x y −=．【小问2详解】因为12,E E 关于原点“伸缩变换”，对1E 作变换()(),,(0)x y x y λλλ→>，得22222:14x E y λλ+=，联立()22014y x x y =≥ +=，解得点A的坐标为23 ．联立()2222014y x x y λλ =≥ += ，解得点B的坐标为23λ ； 所以23AB λ=−=，所以221333λ−=或221333λ−=−， 所以2λ=或23λ=， 因此，椭圆2E 的方程为2241x y +=或224199x y +=． 【小问3详解】对2:2n n E x p y =作变换()(),,n n x y x y λλ→，得抛物线()21:2n n n n E x p y λλ+=，得22nnp x y λ=，又因为212n x p y +=，所以1nn n p p λ+=，即112nn n p p + = ， 当2n ≥时，12311243212332112n n n n n n n p p p p p p p p p p p p +++⋅⋅⋅+−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，得()11211,12n n n p p − ==适用上式， 所以数列{}n p 的通项公式()11212n n n p − =．。
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学含答案
江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),n i i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____. 8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____. 9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____ 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知角a 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过一点P(-3,t)｡(1)若t=4,求:sin()4πα+的值; (2)若3t =且α∈(0,2π),求f(x)= sin(x + α) + cos x 的单调增区间.17. (本小题满分14分)如图,某大型厂区有三个值班室A,B,C.值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处,值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处｡(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处,此时PC=2,求PB 的距离;(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A,保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B,甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米),试问有多长时间两人不能通话?18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为2221(02)4x y b b+=<<,且直线2y x =+与以原点为圆心,椭圆C 短轴长为直径的圆相切.(1) 求b 的值;(2)若椭圆C 左右顶点分别为M,N,过点P(-2,2)作直线l 与椭圆交于A, B 两点,且A,B 位于第一象限,A 在线段BP 上.①若△AOM 和△BON 的面积分别为12,,S S 问是否存在这样的直线l 使得121S S +=?请说明理由;②直线OP 与直线NA 交于点C,连结MB,MC,记直线MB,MC 的斜率分别为1,k 2.k 求证:12k k 为定值.19. (本小题满分16分)已知数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和为S n ,()2nn n S a λ=+(λ为常数)对于任意的*n ∈N 恒成立. (1)若11,a =求λ的值;(2)证明:数列{}n a 是等差数列; (3)若22,a =关于m 的不等式|2|1m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解,求λ的取值范围.20. (本小题满分16分) 已知函数ln ()(1x f x a ax =∈+R ,且a 为常数). (1)若函数y=f(x)的图象在x=e 处的切线的斜率为21(1)e e -(e 为自然对数的底数),求a 的值; (2)若函数y= f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a 的取值范围;(3)已知x,y ∈(1,2), 且x+y=3.求证:(23)ln (23)ln 011x x y y x y --+≤--.21. [选做题]本题包括A ､B ､C 共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 曲线221x y +=在矩阵0(0,0)0a A a b b ⎡⎤=>>⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线22 1.9x y += (1)求矩阵A;(2)求矩阵A 的特征向量.B. [选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程:12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴非负半轴为极轴(取相同单位长度)建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为: ρ+ 2cosθ=0.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.C. [选修4-5:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a,b,c 为正实数,满足a+b+c=3,求149a b c++的最小值.[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)五个自然数1､2､3､4､5按照一定的顺序排成一列.(1)求2和4不相邻的概率;(2)定义:若两个数的和为6且相邻,称这两个数为一组“友好数”.随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数"的组数,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)已知*,n ∈N 数列T 12:,,,n a a a L 中的每一项均在集合M ={1,2,…,n}中,且任意两项不相等,又对于任意的整数i,j(1≤i<j≤n),均有.i j i a j a +≤+例如n=2时,数列T 为1,2或2,1.(1)当n=3时,试求满足条件的数列T 的个数;(2)当*,n ∈N 求所有满足条件的数列T 的个数.。
南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考.docx
高中数学学习材料唐玲出品南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数 )(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率 为________．7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C D P10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||AO AB =，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________．14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． A B CD16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．PC BD A E17． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18． （本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? O M NP B A Q19． （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 20． （本小题满分16分）（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。
江苏省2020届高三四校联考(淮中、天一、海门、南师附中)4月调研测试试卷参考答案,解析,录音原文
2020年4月英语学科调研测试试卷答案一、听力1-5 CACBA 6-10 CACBB 11-15 BACCA 16-20 ACAAB二、单项选择21-25 BACBA 26-30 CDBDB 31-35 CDADB三完形填空36-40 ACDBA 41-45 CDCAC 46-50 BDADC 51-55ACBDB四、阅读理解56-57 DB 58-60 DAC 61-64 CBDC 65-70 BAABCD五、任务型阅读71. shared/common 72. acting/ working/ functioning/ serving/ operating73. Effect(s)Influence(s)/Impact (s)Contribution(s) 74. similarly/likewise/ alike75. Examples/Instances 76. Despite : 77. aid/ assistance/ help 78. connected79. suffering/unfortunate 80. Put六、参考范文Essay mills have been uncovered as a new global way of academic cheating in universities,especially in Britain, where the number of students involved have multiplied in the last four years, greatly concerning educational experts.The rise of essay mills does great harm to the development of students as well as the universities concerned. Students who take such a shortcut don't really acquire the knowledge and skills standardized for their graduation and future work. Therefore, the reputation of the universities will be spoiled in the long term, less able to carry out their functions of education and research.In my opinion, essay mills must be cracked down on. First and Foremost, universities must introduce; new strategies accordingly to strengthen supervision and regulation. Meanwhile, the government is supposed to provide legal support and technological assistance. Last but not least,students should remember“no pains, no gains", trying to resist the temptation and develop their awareness of honesty and striving.录音原文：Text 1W: How about seeing the new film at the theater tomorrow?M: Sorry. I have a GRE class every Friday, and the next day I always have to look over my notes at home.Text 2M: Hey, Katherine. Do you know any special ways to listen to lectures better?W: Well, I like to take notes. But if the topic is difficult, I often record the whole thing. That way, I can listen to the lecture all over again and take really good notes.Text 3W: Hi, Thomas. This is Katie. I found your notebook in the library. Please come to get it back in the classroom. Or I just leave it in the teachers’ office in Room 201, if you don’t have time now.M: Oh. That’s great, Katie! I have been looking for it all day long. I’ll go to get it tomorrow morning.Text 4M: I find there are plenty of classical music CDs on the Internet. You can buy them very cheaply if you like them.W: Great. I know you very often listen to them. You can try some rock music, which can make you energetic and powerful. And jazz music also makes people feel relaxed.M: Mm… I sometimes listen to them.Text 5M: You really have a lot of hobbies, Sarah. How do you find time to keep up with all of them?W: That’s the nice thing about being retired. I have always had a desire to do more in the field of art, and now that I have time, I really enjoy taking art classes at the community college.Text 6M: ⑥I’m terribly sorry, Tina. I’ve broken your glasses. I was looking for the dictionary you borrowed from me yesterday on the desk while you were out for a break.W: Well, it doesn’t matter. It’s my fault. I forgot to return it to you on time after I used it to look up some words in it. I should say sorry to you first.M: I need it badly now, so I began to search for it on your desk. I should have been careful. I’ll pay for it.W: No, there is no need to pay. ⑦You treat me an ice cream after class. That’s enough.Text 7W: Good morning. Harwich Hospital. How may I help you?M: Hello, I made an appointment with Dr. Martin, but I have to make a change now.W: Oh, who’s calling, pl ease?M: It’s Adam Welsh.W: Ah yes, Mr. Welsh. ⑨Your appointment is at 11：00 am on Wednesday. Is there a problem?M: ⑧Well, unfortunately I won’t be able to come tomorrow as I live out of town and I’ve been cut off by last night’s sudden snowstorm. ⑨Could I possibly have another appointment for the same time the day after tomorrow when the weather will hopefully be better?W: Wait a moment, please. I’ll just check. ⑨Yes, that ’ll be fine.M: Thank you very much.W: You’re welcome. I’ll inform Dr. Martin of the change. Thank you for calling.Text 8M: Let’s plan a trip for the summer break.W: All right. I heard there are some little villages with beautiful scenery and interesting shops.M: Oh no. We don’t have that much money to do some shopping.W: You’re right. Anyway, I’d like to have a look. I just heard there are some really nice arts in the villages. (10)The best place to find a good variety of local artworks such as paintings and handmade jewelry is Richmond. The only trouble is that there aren’t any places to eat. Luckily, there are some great restaurants and cafés in Rosemount 15 minutes by bike away from it.(11)And Sun Valley, which is a ten-minute walk from Richmond is also famous for its local foods.M: Great! Are there any youth hotels around there?W: Yes, there’s one in Richmond. (12)But what about sleeping in a tent? We haven’t done that for ages and we don’t have much money to stay in a hotel.M: Sounds fun.Text 9W: Nice to meet you, Jack. I’m Mrs. Spence. Please take a seat.M: Thank you, Mrs. Spence. Nice to meet you, too.W: (13)So, you’ve applied to do a teaching course here.M: (13)Yes, that’s right.W: I’d like you to tell me, first of all, why you want to be a teacher.M: OK. Well, I’ve always loved explaining things and helping people. (14)I’m not looking for an easy job—I like a challenge! I also want to work with young people.W: And why have you decided to become a PE teacher?M: OK, playing sports is my favorite.I really believe it’s important for young people to do sports at school.W: (15)Oh, mine is watching sports. Well, why is it so important, do you think?M: OK. Well, first of all, we all know it’s important for our health to keep physically fit. Secondly, physical exercise is good for our mental well-being.W: Hmmm…M：(16)Finally, playing sports teaches young people important life lessons, like the teamwork, which values most.W: OK. Jack. (13)Let’s stop here. I’ll let you know the result soon.Text 10M: In the age of mobile payments, what we really need to survive is a smartphone. But one company in the US is going to make your traditional wallets cool again, by bringing them into the digital age.(17)Armenian firm Volterman’s Smart Wallet takes security to a new level.It’s fitted with different technology. In a smart wallet, there is an alarm, a GPS tracker, and even a camera. (18)If your phone and wallet become separated, the alarm will warn you so that you don’t leave itbehind. And if your wallet is lost or stolen, the GPS tracker can help you reach it.But perhaps the most unusual feature of the V olterman Smart Wallet is the built-in front-facing camera. “If someone dares to open your wallet without your permission, the little camera will take a picture and send it to your mobile phone,” the founder said. (19)Once your wallet is stolen, you will find it easily by receiving the picture of the thief.The V olterman is really the world’s most powerful smart wallet. (20)It’s also lightweight and thin, making it perfect for travel. No more international roaming charges（漫游费）. Also, it works wirelessly. The high-tech wallet comes in three models, with the cheapest cost expected to be$169.2020届高三四校联考解析答案汇总：听力1-5 CACBA 6-10 CACBB 11-15 BACCA 16-20 ACAAB单选21-25 BACBA 26-30 CDBDB 31-35 CDADB完型36-40 ACDBA 41-45 CDCAC 46-50 BDADC 51-55 ACBDB阅读56-57 DB 58-60 DAC 61-64 CBDC 65-70 BAABCD任务型71. shared/common 72. acting/working/serving/ functioning/operating73. Effect(s)/Influence(s)/ Impact(s)/Contribution(s)74. similarly/likewise/alike75. Examples/Instances76. Despite77. aid/assistance/help78. connected79. suffering/unfortunate80. Put01单项选择答案：21-25 BACBA26-30 CDBDB31-35 CDADB详细解析：第21题B考察词义辨析。
江苏省2020届高三四校联考(淮中、天一、海门、南师附中)4月调研测试数学试卷(含答案)
16．（本小题满分 14 分）
第 15 题图
在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
经过一点 P(3,t) ．
（1）若 t 4 ，求 sin(＋ ) 的值； 4
（2）若 t 3 且 (0, 2 ) ，求 f (x) sin(x ) cos x 的单调增区间．
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10．已知函数
f
(x)
2cos(x )
(
0, 0
) 的图象过点 (0，2)
，且在区间[0,
]上单调递
2
2
减，则 的最大值为 ▲ ．
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 2)2 y2 4 ，点 A 是直线 x y 2 0 上的一个动点，
16t2 (t 1)2 16t(t 2)(t2 4) 0
y1
+y2
4t(t 1) t2 4
0
8 t 2 3
y1 y2
4t2 8t t2 4
0
………………4 分
S1
S2
y1 +y2
4t2 4t t2 4
1
3t 2
4t
4
0
t
2
或t
2 3
………………6
分
这与 8 t 2 不符，所以不存在满足条件的直线 l． 3
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第 18 题图
19．（本小题满分 16 分）
已知数列 {an} ( n N
)的前 n
项和为
Sn
，Sn
n 2
(an
)
(
为常数)对于任意的 n N 恒成立．
南京市2020届高三年级学情调研卷参考答案和评分标准(答案)
南京市2020届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2019.09一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．[1，＋∞） 2．10 3．4 4．0.018 5．236．3 7．23 3 8．[－1，2] 9．3410．(1，＋∞)11．20 12．6 13．[－2，2] 14．(34，2)二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为a sin2B ＝2b sin A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B得 2sin A sin B cos B ＝2sin B sin A ． ………………… 3分 因为A ，B 为△ABC 的内角，所以sin A ≠0，sin B ≠0， 所以cos B ＝22． …………………………… 5分 又因为B 为△ABC 的内角，所以0＜B ＜π，所以B ＝π4． …………………………… 7分（2）因为cos C ＝55，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－(55)2＝255， …………………………… 9分 所以sin2C ＝2sin C cos C ＝2×255×55＝45， cos2C ＝2cos 2C －1＝2×(55)2－1＝－35． ………………………… 11分 因为B ＝π4，所以A ＋C ＝3π4，从而A －C ＝(3π4－C )－C ＝3π4－2C ，因此 sin(A －C )＝sin(3π4－2C )＝sin 3π4cos2C －cos 3π4sin2C＝22×(－35)－(－22)×45＝210．…………………………… 14分16．证明：（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，AB ＝A 1B 1．因为E ，F 分别为AB 和A 1B 1的中点， 所以AE ∥FB 1，AE ＝FB 1，所以四边形AEB 1F 是平行四边形， 所以AF ∥EB 1． ………………………… 4分 因为AF ⊄平面B 1CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ， 所以AF ∥平面B 1CE ．……………………… 7分 （2）因为AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊥B 1C ，所以AB ⊥B 1C ．在△ABC 中，因为AC ＝BC ，E 为AB 的中点，所以AB ⊥CE ． …………………………… 10分 因为AB ⊥B 1C ，AB ⊥CE ，B 1C ∩CE ＝C ，B 1C ⊂平面B 1CE ，CE ⊂平面B 1CE ， 所以AB ⊥平面B 1CE ． …………………………… 12分 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面B 1CE ⊥平面ABC ． …………………………… 14分17．解：（1）因为p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，1800， 9≤t ≤15，其中t ∈N ．所以当载客人数不超过1500人时，4≤t ＜9， 此时p (t )＝1800－15(9－t )2随着t 的增大而增大．当t ＝4时，p (4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；当5≤t ＜9时，p (t )≥p (5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意． 因此，发车时间间隔t 的值为4． …………………………… 5分 （2）因为Q ＝6p (t )－7920t－100，所以当9≤t ≤15时，Q ＝6×1800－7920t －100＝2880t －100．由于Q 的值随着t 的增大而减少，故t ＝9时Q 取得最大值，此时Q max ＝220． …………………………… 7分1（第16题图）当4≤t ＜9时，Q ＝6p (t )－7920t－100＝6[1800－15(9－t )2]－7920t －100＝－90t 2＋1620t －4410t－100＝1520－90(t ＋49t ) …………………………… 9分≤1520－90×2t ×49t＝260，当且仅当t ＝49t ，即t ＝7时取得最大值． …………………………… 11分由于260＞220，故t ＝7时Q 取得最大值．答：当发车时间间隔为7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元． …………………………… 14分18．解：（1）因为(a 2，3e )和(b ，3e )都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以 ⎩⎨⎧14＋9e 2b 2＝1， ①b 2a 2＋3e 2b 2＝1． ② …………………………… 2分 由①整理得，e 2b 2＝112．代入②得，b 2a 2＝1－3×112＝34． …………………………… 4分因为e ＝ca，其中c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝3c ，a 2＝4c ，从而c 2＝a 2－b 2＝c ，解得c ＝1，即a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1． …………………………… 6分（2）由（1）可知A (－2，0)，B (2，0)．解法一：因为C 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 的方程为y ＝k (x －2)，k ≠0．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)，消去y ，得 (3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0．解得x ＝2或x ＝8k 2－63＋4k 2，从而C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)． …………………… 9分因为P 是BC 的中点，所以P (8k 23＋4k 2，－6k3＋4k 2)． 因为PQ ⊥BC ，所以直线PQ 的方程为y －(－6k 3＋4k 2)＝－1k (x －8k 23＋4k 2)，化简得y ＝－x k ＋2k3＋4k 2． ③由A (－2，0)，C (8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2)，可得直线AC 的斜率为－12k 3＋4k 28k 2－63＋4k 2＋2＝－34k ， 从而直线AC 的方程为y ＝－34k(x ＋2)． ④联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y 得－x k ＋2k 3＋4k 2＝－34k (x ＋2)，解得x ＝32k 2＋183＋4k 2，即点Q 的横坐标为32k 2＋183＋4k 2． …………………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(32k 2＋183＋4k 2－8k 23＋4k 2)＝12，即→OB ·→PQ 为定值12． …………………………… 16分解法二：设C (x 0，y 0)，其中x 0≠±2，y 0≠0，则由P 是BC 的中点，得P (x 0＋22，y 02)．直线AC ，BC 的斜率均存在且不为0，直线BC 的斜率为y 0x 0－2．因为PQ ⊥BC ，所以直线PQ 的方程为y －y 02＝－x 0－2y 0(x －x 0＋22)，即y ＝－x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02．③ …………………………… 9分又直线AC 的斜率为y 0x 0＋2，从而直线AC 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．④联立直线PQ ，AC 的方程③④，消去y ，得 －x 0－2y 0x ＋x 02－42y 0＋y 02＝y 0x 0＋2(x ＋2)，两边同乘以y 0，得 (2－x 0)x ＋x 02－42＋y 022＝y 02x 0＋2(x ＋2)．由x 024＋y 023＝1，得y 02＝3－3x 024， 代入化简得(2－x 0)x ＋x 02－48＝34(2－x 0)(x ＋2)．因为x 0≠2，解得x ＝x 0＋142，即点Q 的横坐标为x 0＋142． …………… 14分因为→OB ＝(2，0)，所以→OB ·→PQ ＝2(x 0＋142－x 0＋22)＝12，即→OB ·→PQ 为定值． …………………………… 16分19．解：（1）由f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，得f ′(x )＝2ax 2－bx ＋2x，因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3， 所以f (1)＝a －b ＝－1， f ′(1)＝2a －b ＋2＝2，解得a ＝1，b ＝2． …………………………… 3分 （2）因为a ＝0，所以f (x )＝2ln x －bx ，x ∈(0，＋∞)；由f (x )≤－2得2ln x －bx ≤－2，即b ≥2＋2ln xx ． …………………………… 5分设g (x )＝2＋2ln x x ，x ＞0，则g ′(x )＝－2ln xx 2，由g ′(x )＝0得x ＝1．当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0， 则g (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 所以当x ＝1时，g (x )有最大值g (1)＝2．于是b ≥2，即实数b 的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分 （3）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当b ＝4时f ′(x )＝2ax 2－4x ＋2x．①当a ＝0时，f ′(x )＝x，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12；由f ′(x )＜0得x ＞12，所以f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)； ……………………… 9分②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1－1－a a ；由f ′(x )＜0得x ＞1－1－aa ，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；……………………………11分③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1－1－a a 或x ＞1＋1－aa ；由f ′(x )＜0，得1－1－a a ＜x ＜1＋1－aa，所以f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a ，1＋1－aa)； ……………………… 13分④当a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，于是f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 综上，当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )，减区间为(1－1－aa，＋∞)；当a ＝0时，f (x )的增区间为(0，12)，减区间为(12，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－a a )和(1＋1－aa，＋∞)，减区间为(1－1－a a ，1＋1－aa)；当a ≥1时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．…………………………… 16分20．解：（1）因为数列{n n }是以2为公差的等差数列，所以S n n ＝S 11＋12(n －1)＝a 1＋12(n －1)＝n ＋32，即S n ＝n (n ＋3)2．…………… 2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋3)2－(n －1)(n ＋2)2＝n ＋1， 又a 1＝2＝1＋1，所以a n ＝n ＋1，n ∈N *. …………………………… 4分 （2）①因为b n ＝2n a n ＝(n ＋1)2n ，所以T n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)2n ， 因此2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)2n ＋1， 两式相减，得－T n ＝2×21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)2n ＋1 ＝2＋2×1－2n 1－2－(n ＋1)2n ＋1＝－n·2n ＋1， …………………… 6分 所以T n ＝n·2n ＋1，因此T n n ＝2n ＋1，从而T n ＋1n ＋1T nn＝2，故数列{T nn }是以4为首项，2为公比的等比数列. …………………… 8分② 因为T m T n ＝m (S m ＋λ)n (S n ＋λ)，所以m·2m ＋1n·2n ＋1＝m [m (m ＋3)2＋λ]n [n (n ＋3)2＋λ]，即m 2＋3m ＋2λ2m ＝n 2＋3n ＋2λ2n ，…………… 10分设f (n )＝n 2＋3n ＋2λ2n，n ∈N *，则f (n ＋1)－f (n )＝n 2＋5n ＋4＋2λ2n ＋1－n 2＋3n ＋2λ2n ＝－n 2－n ＋4－2λ2n ＋1， 当n ≥3时，－n 2－n ＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0， 所以当n ≥3时，f (n ＋1)＜f (n )，因此当m ＞n ≥3时，f (n )＞f (m )，与f (n )＝f (m )相矛盾，又n ＞1，于是n ＝2， 所以m 2＋3m ＋2λ2m ＝5＋λ2． ………………… 12分当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m ≤52＋3×5＋2λ25＝20＋λ16，又20＋λ16－5＋λ2＝－20－7λ16≤－20－7×(－2)16＝－38＜0，即20＋λ16＜5＋λ2， 所以当m ≥5时，m 2＋3m ＋2λ2m ＜5＋λ2，与m 2＋3m ＋2λ2m ＝5＋λ2相矛盾．又m ＞n ＝2，所以m ＝3或4． ………………… 14分 当m ＝3时，32＋3×3＋2λ23＝5＋λ2，解得λ＝－1；当m ＝4时，42＋3×4＋2λ24＝5＋λ2，解得λ＝－2；因此λ的所有可能值为－1和－2. …………………………… 16分南京市2020届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2019．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）解法一：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由A －1A ＝E ，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎨⎧2a ＋2b ＝1，3a ＋b ＝0，2c ＋2d ＝0，3c ＋d ＝1． …………………………… 2分解得a ＝－14，b ＝34，c ＝12，d ＝－12，从而A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12． …………………………… 4分解法二：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤dad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc ， ………………………… 2分又A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12． …………………………… 4分（2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3y 2x ＋y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋3y ，y ′＝2x ＋y ． ……………………7分 因为(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′2－3y ′2＝1， 代入得(2x ＋3y )2－3(2x ＋y )2＝1，化简得6y 2－8x 2＝1，即曲线C 的方程为6y 2－8x 2＝1． ………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将直线l 的参数方程化为普通方程，得ax －4y ＝－4，即ax －4y ＋4＝0．…………………………… 2分将曲线C 的参数方程化为普通方程得(x －2)2＋y 2＝1， …………………… 4分 所以曲线C 是以(2，0)为圆心，1为半径的圆， 所以曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为|2a ＋4|a 2＋16＋1．…………… 6分又因为曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3， 所以|2a ＋4|a 2＋16＋1＝3，即(a ＋2)2＝a 2＋16， ………………………… 8分所以4a ＋4＝16，解得a ＝3． ………………………… 10分 C ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≥1时，原不等式化为x 2＋2(x －1)＜6，即x 2＋2x －8＜0，解得－4＜x ＜2，所以1≤x ＜2； …………………………… 4分 当x ＜1时，原不等式化为x 2－2(x －1)＜6， 即x 2－2x －4＜0，解得1－5＜x ＜1＋5，所以1－5＜x ＜1． ………………………… 8分 综上1－5＜x ＜2．所以不等式的解集为(1－5，2)． …………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：（1）因为底面ABCD 是矩形，且P A ⊥平面ABCD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ．设AB ＝a ． 因为P A ＝AD ＝2，E ，F 分别为P A ，AB 的中点，所以C (a ，2，0)，D (0，2，0)，F (a2，0，0)，E (0，0，1)，所以DF →＝(a 2，－2，0)，CE →＝(－a ，－2，1)， ………………………… 2分因为DF ⊥CE ，所以DF →·CE →＝0， 即 a2×(－a )＋(－2)×(－2)＋0×1＝0， 解得a ＝22，所以AB 的长为22．………………… 4分 （2）因为a ＝22，所以DF →＝(2，－2，0)， EF →＝(2，0，－1)．设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，2x －2y ＝0，取n ＝(2，1，2)． …………………………… 6分 又CF →＝(－2，－2，0)，所以cos ＜CF →，n ＞＝CF →·n |CF →||n |＝－2×2－2×1＋0×26×7＝－24221．………………………… 8分记直线CF 与平面DEF 所成角为α， 则sin α＝| cos ＜CF →，n ＞|＝24221，即直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值为24221． ……………………… 10分23．解：（1）当n ＝5时，B ＝{1，2，3，4，5}．随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4． P (X ＝1)＝1C 34C 35＝140； P (X ＝2)＝3＋3C 34C 35＝320；P (X ＝3)＝9＋6C 34C 35＝38； P (X ＝4)＝18C 34C 35＝920．…………………………… 4分因此随机变量X 的概率分布如下表：随机变量X E (X )＝1×140＋2×320＋3×38＋4×920＝134． …………………………… 6分（2）由题意知，当S ＝1时，T ＝n －2，此时，符合要求的取法共有C 23C 2n －3种；当S ＝2时，T ＝n －1，此时，符合要求的取法共有C 22C 2n －2种．………… 8分 故P (X ＝n －3)＝ C 23C 2n －3＋C 22C 2n －2 C 34C 3n＝3(n －3)(2n －7)2n (n －1)(n －2)． …………… 10分。
2020年4月江苏省淮安市淮阴中学2020届高三毕业班高考综合模拟测试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省淮安市淮阴中学2020届高三毕业班下学期高考综合模拟测试数学试题(解析版)2020年4月一、填空题：1.复数4312i i++的虚部为_______. 【答案】1-【解析】【分析】化简得到2z i =-，得到答案.【详解】()()()()43124310521212125i i i i z i i i i +-+-====-++-，故虚部为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查了复数的虚部，意在考查学生的计算能力.2.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示,则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为__________.【答案】160【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率之和为1,计算出得分不低于80分的频率为0.4,从而求出得分不低于80分以上的人数.【详解】得分不低于80分的频率为1(0.0150.0250.030)100.4 则得分不低于80分以上的人数为4000.4=160【点睛】本题考查频率分布直方图.频率分布直方图的纵坐标是频率÷组距,而不是频率．频数÷ 样本容量＝频率,此关系式的变形为频数÷ 频率＝样本容量,样本容量⨯频率＝频数．3.根据如图所示的伪代码,可知输出S 的值为__________【答案】21【解析】【分析】先读懂流程图的功能,然后逐步运算即可得解.【详解】解:由题意可知：当1i =时, 2135S =⨯+=,当3i =时, 2339S =⨯+=,当5i =时, 25313S =⨯+=,当7i =时, 27317S =⨯+=,当9i =时, 29321S =⨯+=,当11=i 时, 10i ≥,输出当前的S ,故输出S 的值为21,故答案为:21.【点睛】本题考查了流程图的功能,重点考查了运算能力,属基础题.4.若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a =______________.。
2020届江苏省四校联考新高考原创精准仿真试卷(四)数学
2020届江苏省四校联考新高考原创精准仿真试卷（四）数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知，为虚数单位，且，则=_____.【答案】4【解析】解：利用复数相等，可知由有．2.设集合，，则实数＝_____【答案】【解析】解：因为集合，，，则说明了，解得a=13.从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差．【答案】【解析】试题分析：5名学生平均数为160，因此方差为考点：方差4.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.【答案】8【解析】【分析】根据伪代码逆向运算求得结果.【详解】输入，若，则，不合题意若，则，满足题意本题正确结果：【点睛】本题考查算法中的语言，属于基础题.5.函数的单调递增区间为________.【答案】【解析】【分析】求解出函数定义域，求出在定义域中的增区间即为原函数的增区间.【详解】由题意可知函数定义域为：将拆分为：和可知时，单调递增；又单调递增可得的单调递增区间为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用“同增异减”求解复合函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域.6.100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.【答案】【解析】【分析】求解出之内是的倍数的数有个，根据古典概型求出结果.【详解】之内是的倍数的数有：可知共有个本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，属于基础题.7.已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为_______. 【答案】【解析】【分析】根据侧棱长和侧棱与底面夹角求得高和底面边长，利用体积公式求得结果.【详解】由题意可知：，，本题正确结果：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是利用侧棱与底面夹角，求得几何体的高和底面边长，属于基础题.8.记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________. 【答案】31【解析】由等比数列的求和公式，由，得，即，又因为正数等比数列，解得，所以。