控制工程基础习题解答6
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控制工程基础习题解答
第六章
6-1．已知单位反馈系统的开环传递函数为()()()
16.013.0++=s s s K
s G 。
试求：
（1）. 静态误差系数K p 、K v 、K a 。 （2）. 系统对阶跃输入的稳态误差。
（3）. 系统对输入为r(t)=2t 时的稳态误差。
解：稳定性验算：
特征方程：09.018.02
3
=+++K s s s
K K
K
s s s s 2.019.01
18.00
123-
当50< （1）. Ⅰ型系统。 K p =∝ K v =K K a =0 （2）. 011 =+= p ssp K e （3）. 输入为r(t)=2t 时, K K e v ssv 212 == 6-2．已知开环传递函数()() 400 320 22++= s s s s G ,试求单位反馈系统对输 入信号为()22 1t t r =时的稳态误差。 解：稳定性验算： 特征方程：02040032 3 4 =+++s s s 20 15.020 400032040010 1234s s s s s - 第一列有小于零的数，符号变化了两次，故存在两个闭环右极点。系统不稳定，求解误差无意义。 6-3．设单位反馈系统的开环传递函数为 ()() 12.0300 += s s s G 输入信号为()225t t t r ++=试求系统的稳态误差。 解：稳定性验算：为两阶系统，系统稳定。 Ⅰ型系统。 K p =∝ K v =K=300 K a =0 ∞=+++= ++=0 2 300215225p ssa ssv ssp ss K e e e e 6-4．某系统框图如图6-8所示。试求该系统的位置、速度和加速度误差系数并说明速度内反馈的存在对稳态误差的影响。 解：开环传递函数为： ()()()() ()⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++++= +++=+++= 1111110 1110110122s K s s K K s s s s K s s s s s G f f f f 稳定性验算： 特征方程： 0110 1101123=++++++f f f K s K s s K f f f f f f f K s K K s K s s K K K s s s s +++=+++1101101101101110 1110 1101 2 3 1 2 3 当0>f K 时，系统稳定，求解误差有意义。 Ⅱ型系统。 K p =∝ K v =∝ K a =K Ⅰ型系统。 K p =∝ K v =∝ 10 11f a K K K +== 可见↑f K ，↑+==10 11f a K K K ，可提高系统的稳态精度 6-5．已知某系统的闭环传递函数为 ()()0 11 101a s a s a s a a s a S R s C n n n n +++++=-- 试求该系统对等速输入和等加速输入的稳态误差。 解：闭环传递函数：()()()0 11 101a s a s a s a a s a S R s C s n n n n +++++==-- φ 开环传递函数为： ()()()⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+= ++++=-= -----11132122 2012 02 21101 n n n n n n n n s a a s a a s s a a a a s a s a s a a s a s s s G φφ Ⅱ型系统。 当系统稳定时则： 2 0a a K K K K a v p = =∞=∞= 等速输入时：01 == v ssv K e 等加速输入0 21 a a K e a ssa == 5-6．试证明在单位阶跃输入下，系统的误差信号的积分等于同一系统对单位斜坡输入的稳态误差，即 ()ssv e dt t e =⎰∞ 式中：()t e ——单位阶跃输入下的系统误差 ssv e ——单位斜坡输入下的系统稳态误差 解： 方法1 由于系统的初态为零，应用拉氏变换的积分定理可得： ()()s E s dt t e L t 1 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ 式中：E （s ）为单位阶跃输入下的系统误差的拉氏变换。 设误差的传递函数为G e （S ） ()()()()s G s s R s G s E e p e 1 == ()()()()s G s s E s E s s dt t e e s s s t t 1 lim lim 1lim lim 0000→→→∞→===⎰ () () ()()()()()()⎰⎰∞ ∞→→→→→∞ →=======0 0020 0lim 1 lim 1 lim lim lim lim dt t e dt t e s G s s G s s s R s sG s sE t e e t t e s e s v e s v s v t ssv