牛顿插值法ppt课件
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第二章牛顿插值法
,x k ] f[x 0 ,x 1 , x kx 0
,x k 1 ]
余项公式：
R n (x )f[x ,x 0 ,...,x n ](x x 0 )...(x x n 1 )(x x n )
f[x ,x 0 ,...,x n ]n 1 (x )
P32 性质3
练习
已 知 f x 7 x 4 3 x 1 ， 求 f [ 2 0 , 2 1 ,, 2 7 ] 及 f [ 2 0 , 2 1 ,, 2 8 ] 分 析 ： 本 题 f ( x ) 是 一 个 多 项 式 ， 可 利 用 差 商 的 性 质
f0
f1
f1
f2
f2
f3
f 3 f4
2 f0
2 f2
f2
1 2 f3
f2 2 2 f4
三阶差分
3 f0
3 f3
3 f1
3 f4
四阶差分
4 f0
4 f4
差分与函数值之间的关系
3y0 2y12y0 y33y23y1y0
33y yy10 2 y 1 22 yy23y 0 , ( a22 yy12y b1 )1 yy4y 5a2 33byy y31 4, 33 yyy 232 yy1y 23 y 2 , (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3
归纳4y可0知， 3k2y阶y10 差 商3y可y10表示yy4为04yy2326yy12y40y1y0 4k yy 1i C 32k y0 y2 y 1i k 3yyC 21k 1 y i yyk 51 1 4yy34 2C 6yk yk 2 31 y i y4 11 y 2 C k k y1y i 4y2 32yy323yy32yy624yy4526yy34y42y3y2
插值法均差和牛顿插值公式PPT讲稿
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
规定函数值为零阶均差
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例1:已知下表，计算三阶差商
xi 1 f (xi ) 0
347 2 15 12
解：列表计算
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xi
f (xi )
一阶差 商
二阶差商
三阶差 商
10
32 1
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5 -1.25
7
例
f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
f0 f1 x0 x1 x1 x0
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 ] f [x0 , x2 ] x1 x2
1 ( f0 f1 ) 1 ( f0 f2 ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
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性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 ,K xn [a,b], 则n阶均差与导数关系如下：
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三、均差的计算方法(表格法): 均差表
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [x1 , x2 ]
插值法均差和牛顿插值公式课 件
§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
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牛顿插值公式
n1
f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) + ...
+ f [ x 0 , ... , x n ]( x x 0 )...( x x n 1 )
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )( x xn )
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn1) f (xn) f (xn+1) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn1, xn] f [xn, xn+1]
Rn ( x ) = f (ξ ) t ( t 1)...( t n)h n+1 , ξ ∈ ( x0 , x n ) ( n + 1)!
( n +1 )
k =0
k
牛顿后插公式（ 时用） 牛顿后插公式（一般当 x 靠近 xn 时用） 将节点顺序倒置： 将节点顺序倒置：
Nn( x) = f ( xn ) + f [xn , xn1](x xn ) + ...+ f [xn , ..., x0 ](x xn )...(x x1 )
当节点等距分布时: 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) 等距分布时 牛顿前插公式（ 时用） 牛顿前插公式（一般当 x 靠近 x0 时用） n 设 x = x 0 + t h ，则 N n ( x ) = N n ( x 0 + t h ) = Σ t k f ( x 0 )
f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) + ...
+ f [ x 0 , ... , x n ]( x x 0 )...( x x n 1 )
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )( x xn )
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn1) f (xn) f (xn+1) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn1, xn] f [xn, xn+1]
Rn ( x ) = f (ξ ) t ( t 1)...( t n)h n+1 , ξ ∈ ( x0 , x n ) ( n + 1)!
( n +1 )
k =0
k
牛顿后插公式（ 时用） 牛顿后插公式（一般当 x 靠近 xn 时用） 将节点顺序倒置： 将节点顺序倒置：
Nn( x) = f ( xn ) + f [xn , xn1](x xn ) + ...+ f [xn , ..., x0 ](x xn )...(x x1 )
当节点等距分布时: 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) 等距分布时 牛顿前插公式（ 时用） 牛顿前插公式（一般当 x 靠近 x0 时用） n 设 x = x 0 + t h ，则 N n ( x ) = N n ( x 0 + t h ) = Σ t k f ( x 0 )
计算方法Newton插值 ppt课件
2次插值为例）：
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
第二讲牛顿插值与分段线性插值
四、分段线性插值
我们已经知道插值有多种方法, 我们已经知道插值有多种方法 例 插值、 插值等. 如, Lagrange插值、 Newton插值等 插值 插值 插值等 的目的就是数值逼近的一种手段, 而数值逼近为 的目的就是数值逼近的一种手段 的是得到一个数学问题的精确解或足够的精确解, 的是得到一个数学问题的精确解或足够的精确解 那么是否插值多项式的次数越高, 那么是否插值多项式的次数越高 越能达到这个目 的呢? 观察n次插值多项式的余项 的呢 观察 次插值多项式的余项 f ( n +1) (ξ ) n
差商表
xi x0 x1 x2 x3 x4 ┊ f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) ┊ f(x0,x1) f(x1,x2 ) f(x2,x3 ) f(x3,x4 ) ┊ f(x0,x1,x2) f(x1,x2,x3 ) f(x2,x3,x4 ) ┊ 1阶 阶 2阶 阶 3阶 阶 4阶 阶
∆ 3 f ( x1 ) = ∆(∆ 2 f ( x1 )) = ∆ 2 f ( x2 ) − ∆ 2 f ( x1 )
∆3f(x0) ∆3f(x1) ┊ ∆4f(x0) ┊
……
计算规律: 任一个k(≥1) 阶差分的数值等于所求 计算规律 任一个 差分左侧的数减去左上侧的数. 差分左侧的数减去左上侧的数 注意: 差分表中, 注意 差分表中 对角线上的差分是构造差分形 式的牛顿插值公式的重要数据. 式的牛顿插值公式的重要数据
+ an ( x − x0 )( x − x1 ) ⋅⋅⋅ ( x − xn−1 ).
它满足递推性: 它满足递推性
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn −1 ).
数值分析4.2 牛顿插值法
Rn ( x ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
Rn(x)称为牛顿型插值余项。
可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知
Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n)
满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿 插值多项式。
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
差分有如下基本性质
性质1 各阶差分均可用函数值表示. 即
f i f n i c f n i 1 (1) c f i (1) c f n i j
n 1 n n n n n n j
n
f i f i c f i 1 (1) c f i n (1) c f i j
Rn ( x ) f [ x , x0 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x , x0 , , xn ] n1 ( x )
k 1 n
f ( x ) N n ( x ) Rn ( x )
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn1 )
第三章_插值法_牛顿_等距
m
m
牛顿向前插值，向后插值公式
1、公式 设有 y f ( x ) 函数表 ( xk , f ( xk )), xk x0 kh, k 0,1,, n, x [a , b] — 被插值点。 x0 , x1 ,, xn （1）当 x 靠近 x0 (表初或差头)时， 通常取插值节点： 以下推导以x0 , x1 ,, xn 为节点的等距插值公式。 x0 x x1 x0 h, 作变换 x x0 th, t [0,1], 此时， 又由 xk x0 kh, 则 x xk (t k )h, (k 0,1,, n) ( x x0 )( x x1 )( x xk 1 ) f x0 , x1 ,, xk
n 并记 f ( x ) f , ( k 0 , 1 , , n ) 。 或 xk x0 kh, (k 0,1,, n), k k
h h f k f ( xk ) f ( xk h) f k f k 1 , f k f ( xk ) f ( xk ) f 1 f 1 , k k 2 2 2 2 分别称为 f ( x ) 在 x xk 点的步长为h的一阶向前差分 、向后、中心差分.
f ( x) N ( x) R ( x) n n f n 1 t (t 1) 2 2 其中 N ( x ) N ( x th ) f ( x ) t f f ( x ) f f nf n n n n n nn n 2! 2 f n 2 n f0 n n t (t 1) (t n 1) n n k t k k t (1)（k ） f n (1)（ ）k f n k k f fn n n! k 0 k 0 t t (t 1) (t k 1) k t (t 1) (t k 1) （ ） ( 1 ) (# ) k k ! k ! f ( n 1) ( ) n 1 h t (t 1) (t n)， （x0，xn） Rn ( x) (n 1)!
第三章牛顿插值
yP )的几何意义 2(x
----- 过三点(x0, y0), (x1 , y1) 与(x2, y2)求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点
y
f ( x)
0
x0
x1
x2
x
① 构造插值基函数
有三个插值节点x0,x1,x2,构造三个插值基函数，要求满足：
（a） 基函数为二次多项式 （b） 它们的函数值满足下表 x0 x1 l0(x) l1(x) 1 0 0 1 x2 0 0
其满足Pn(xi) ＝yi (i=0,1…n)。即n+1个不同的点可以唯
一决定一个n次多项式
方法： ①构造插值基函数
②生成拉格朗日n次多项式
① 构造插值基函数 n+1个插值节点共可构造n+1个插值基函数l0(x),
l1(x) … ln(x) ，每个插值基函数 li(x)要求满足：
（a） li(x) 为n次多项式
(1)
成立,则称 p( x ) 为 f (x) 的插值函数。 f ( x ) 称为被插函数，
,x , ,x [a , b] 称为插值区间， x 0 1 n 称为插值节点 ，
求 p ( x ) 的方法就是插值法。
插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi (i=0,1,…,n ) 处与
f(xi)相等,在其它点 x 就用p(x)的值作为f(x) 的近似值。这一
构造一次插值基函数生成拉格朗日一次多项式数值分析太原科技大学求一个二次抛物线使得该抛物线经过这三点2抛物插值法的几何意义已知函数yfx在点x数值分析太原科技大学构造插值基函数有三个插值节点x数值分析太原科技大学个常数倍二次多项式仅相差一而其已经是一个有因子所以因为基函数构造方法
5.2 牛顿插值
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x1 f ( x1 ) x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 )
b1
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 ]
b2
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x2 , x3 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x3 , x4 ]
15 24
16 24
f [ xi , x j , xk ]
K 阶差商
f [ x1 , x2 , , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk ] xk x0
7 24
General Form
f 2 ( x) b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )( x x1 )
N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)
14 24
Largran Code
dk , j
b3
f [ x0 , x1 ,, x4 ]
f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]
b4
N n ( x) b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )( x x1 ) b3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )10
24
x4 f ( x 4 )
代入可得
b0 f ( x0 )
2.3均差与牛顿插值公式ppt课件
只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 ) f [x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) f [x0, x1, , xn ]( x x0 ) ( x xn1)
f [ x, x0 , , xn ]n1( x)
本讲主要内容:
● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式
2
基函数
{1, x - x0 ,(x - x0 )(x - x1),L ,(x - 是x0否)(x - x1)L (x - } xn-1)
构成 Pn (x的) 一组基函数？
8
2.3.2 牛顿插值公式
根据均差定义，把 看x成 上[a一, b]点，可得
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 ),
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1 ),
f [x, x0,L , xn1] f [x0, x1,L , xn ] f [x, x0, x1,L , xn ](x xn ).
, xn ]n1(x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n1
(
x),
则
f [x, x0 ,L
, xn ]
f ( (n1) ) .
(n 1) !
牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，每增加一
个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了
Lagrange插值的缺点.
N0(x) f (x0) N1(x) f (x0) f [x0, x1](x x0) N0(x) f [x0, x1](x x0) LL Nk1(x) Nk (x) f [x0,L , xk1](x x0)(x x1)L (x xk )
f ( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 ) f [x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) f [x0, x1, , xn ]( x x0 ) ( x xn1)
f [ x, x0 , , xn ]n1( x)
本讲主要内容:
● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式
2
基函数
{1, x - x0 ,(x - x0 )(x - x1),L ,(x - 是x0否)(x - x1)L (x - } xn-1)
构成 Pn (x的) 一组基函数？
8
2.3.2 牛顿插值公式
根据均差定义，把 看x成 上[a一, b]点，可得
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 ),
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1 ),
f [x, x0,L , xn1] f [x0, x1,L , xn ] f [x, x0, x1,L , xn ](x xn ).
, xn ]n1(x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n1
(
x),
则
f [x, x0 ,L
, xn ]
f ( (n1) ) .
(n 1) !
牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，每增加一
个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了
Lagrange插值的缺点.
N0(x) f (x0) N1(x) f (x0) f [x0, x1](x x0) N0(x) f [x0, x1](x x0) LL Nk1(x) Nk (x) f [x0,L , xk1](x x0)(x x1)L (x xk )
第二章牛顿插值法
Pn ( x) li ( x ) yi
i 0 n
(x xj ) 其中： l i ( x ) ( xi x j ) ji
n
f ( ) n1 ( x) 余项公式： Rn ( x ) (n 1)!
( n 1)
j 0
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
xi f [ xi ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 , xi 3 ] x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]
k 0,1,, n 1
向前 k 1,2 ,, n 向后 差分算子 f k f k f k 1 不在函数表上，要用到 中心 为f ( x)在 xk 处的一阶向后差分 函数表上的值
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
Newton插值公式及其余项
例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商
公式求 7 的近似值。 解： x i
xi
1
2
f [ xi , xi 1 ]
基函数
设插值节点为 xi ,
函数值为 fi , i 0,1,, n
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
插值条件为 P( xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 P( x)具有如下形式
h maxhi
i 0 n
(x xj ) 其中： l i ( x ) ( xi x j ) ji
n
f ( ) n1 ( x) 余项公式： Rn ( x ) (n 1)!
( n 1)
j 0
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
xi f [ xi ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 , xi 3 ] x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]
k 0,1,, n 1
向前 k 1,2 ,, n 向后 差分算子 f k f k f k 1 不在函数表上，要用到 中心 为f ( x)在 xk 处的一阶向后差分 函数表上的值
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
Newton插值公式及其余项
例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商
公式求 7 的近似值。 解： x i
xi
1
2
f [ xi , xi 1 ]
基函数
设插值节点为 xi ,
函数值为 fi , i 0,1,, n
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
插值条件为 P( xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 P( x)具有如下形式
h maxhi
牛顿插值法
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
牛顿插值法ppt课件
f (m0 (m0
1)( )
1)!
(
x
x0
)(
m0
1)
19
Hermite插值多项式（续2）
已知函数 y f (x)在区间[a,b]上n个互异点 x0 , x1,L , xn 处的函数值 y0 , y1,L , yn ， 以及导数值m0 , m1,L , mn ，求 H2n1(x) P2n1 使得满足插值条件
0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
使之满足
0 (x0 ) 1
00
( x1 (x0
) )
0 0
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0 0 (x1) 1 0 (x0 ) 0 0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( x1 ) (x0 )
0 1
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
增加一个点后
Nn1(x) c0 c1(x x0 ) c2(x x0)(x x1) L cn (x x0)(x x1)L (x xn1) cn1(x x0 )(x x1)L (x xn1)(x xn )
5
Newton插值
关键是ci的求法！ 可仿照泰勒公式里系数 的求法！
Nn (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )(x x1) cn (x x0 )(x x1) (x xn1)
1.53427 2.18224 x 0.761677 x2 0.113706 x3
ln 1.5 = 0.409074
28
一般的Hermit插值
设在n+1个节点 a x0 x1 L xn b
给出函数值和导数值 y0 , y1,L , yn 及y0 , y1,L , yn
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为 在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
--
9
差商表
x
f(x)
一阶差 商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
--
14
例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
--
15
例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依： 次类推。
--
6
具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中
fx2fx1fx1fx0
c2
x2x0
x1x0
x2x1
以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，
需要引进差商概念并研究其性质。
--
7
差商的概念
1．差商的定义 定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等
值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
--
2
Newton插值
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n1 y n
求作n次多项式 Nn(x)使得：
N n (x i) f(x i) y i,i 0 ,1 , ,n
--
3
插值问题讨论
x x0 x1 y y0 y1
增加一个点后
f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)
21(x1)1(x1)(x1)
2
6
--
16
练习：
若上例中增加两点f(-2)=2, f(3)=2， 加上原来三点f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1， 求f(x)的Newdon插值多项式。
--
17
Hermite插值多项式
在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。
其余项为 R (x)f(x)(x)f(m (m 0 0 1)1 ())(!xx0)(m 01)
--
19
Hermite插值多项式（续2）
已知函数 y f (x)在区间[a,b]上n个互异点 x0,x1, ,xn 处的函数值 y0, y1, , yn ， 以及导数值m0,m1, ,mn ，求 H2n1(x)P2n1
x3
f(x3) f [x2,x3] f [x1,x2,x3] f [x0,x1,x2,x3]
由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。
--
10
差商形式的插值公式
再考虑拉格朗日插值问题：
问题 求作次数 n 多项式 pn x ，使满足条件：
p nx iyi,i0 ,1 , n
利用差商，其解亦可表达为如下形式：
牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时， 只要再增加一项就行了，即有递推式:
N k 1 ( x ) N k ( x ) ( x x 0 ) x x ( 1 ) ( x x k ) f [ x 0 , , x k , x k 1 ]
--
13
例题分析
例已知f(－1）＝2, f(1)1, f(2)1,求f(x)的Newton插值多项式。 解：设x0=-1，x1=1，x2=2，则
§2.3 Newton插值
--
1
函数插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n1 y n
• 插值问题:
根据这些已知数据来构造函数 y f (x) 的一种简单
的近似表达式,以便于计算点 xxi ,i0,1, ,n 的函数
这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。
--
11
Newton插值
容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。
由插值多项式的唯一性，得 Ln(x)Nn(x)
牛顿插值多项式的误差估计
R n(x)f[x 0,x 1 , ,x n,x]n(x)f(n (n 1 )1 ()!) n(x)
--
12
Newton插值(续)
增加一个点后
Nn1(x)c0c1(xx0)c2(xx0)(xx1)
cn(xx0)(xx1) (xxn1)
cn1(xx0)(xx1) (xxn1)(xxn)
--
5
Newton插值
关键是ci的求法！ 可仿照泰勒公式里系的数求法！
N n(x)c0c1(xx0)c2(xx0)x (x1) cn(xx0)x (x1) (xxn 1)
的x0, x1,…, xn （即在i j时，x i xj）的值 f (xi) , 称
f[xi,xj]f(x x i)i x fj(xj) (ij,xixj)
为f (x)在点xi , xj 处的一阶差商，并记作f [xi , xj]，
--
8
差商的概念(续)
又称
f[x i,xj,x k]f[x i,x x ji] x fk [xj,x k] (ik )
x n 1 x n y n1 y n
x x 0 x 1 y y 0 y 1
xn1 xn xn1 yn1 y n yn1
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，
全部基函数 li(x) 都需重新算过。
--
4
Newton插值的承袭性
N n(x)c0c1(xx0)c2(xx0)x (x1) cn(xx0)x (x1) (xxn 1)
把此类插值多项式称为埃尔米特（Hermite） 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。
--
18
Hermite插值多项式（续1）
N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。
要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值 多项式即为Taylor多项式
(x )f(x 0)f(x 0)x ( x 0) x 0)m 0