牛顿插值法ppt课件

f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)
21(x1)1(x1)(x1)
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6
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练习：
若上例中增加两点f(-2)=2, f(3)=2， 加上原来三点f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1， 求f(x)的Newdon插值多项式。
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Hermite插值多项式
在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。
其余项为 R (x)f(x)(x)f(m (m 0 0 1)1 ())(!xx0)(m 01)
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Hermite插值多项式（续2）
已知函数 y f (x)在区间[a,b]上n个互异点 x0,x1, ,xn 处的函数值 y0, y1, , yn ， 以及导数值m0,m1, ,mn ，求 H2n1(x)P2n1
的x0, x1,…, xn （即在i j时，x i xj）的值 f (xi) , 称
f[xi,xj]f(x x i)i x fj(xj) (ij,xixj)
为f (x)在点xi , xj 处的一阶差商，并记作f [xi , xj]，
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差商的概念(续)
又称
f[x i,xj,x k]f[x i,x x ji] x fk [xj,x k] (ik )
为 在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
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差商表
x
f(x)
一阶差 商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
x3
f(x3) f [x2,x3] f [x1,x2,x3] f [x0,x1,x2,x3]
由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。
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差商形式的插值公式
再考虑拉格朗日插值问题：
问题 求作次数 n 多项式 pn x ，使满足条件：
p nx iyi,i0 ,1 , n
利用差商，其解亦可表达为如下形式：
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例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
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例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依： 次类推。
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具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时， 只要再增加一项就行了，即有递推式:
N k 1 ( x ) N k ( x ) ( x x 0 ) x x ( 1 ) ( x x k ) f [ x 0 , , x k , x k 1 ]
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例题分析
例已知f(－1）＝2, f(1)1, f(2)1,求f(x)的Newton插值多项式。 解：设x0=-1，x1=1，x2=2，则
把此类插值多项式称为埃尔米特（Hermite） 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。
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Hermite插值多项式（续1）
N 个条件可以确定 N 1 阶Biblioteka Baidu项式。
要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值 多项式即为Taylor多项式
(x )f(x 0)f(x 0)x ( x 0) . .f.(m m 0)0 (!x 0 )(x x 0)m 0
x n 1 x n y n1 y n
x x 0 x 1 y y 0 y 1
xn1 xn xn1 yn1 y n yn1
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，
全部基函数 li(x) 都需重新算过。
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Newton插值的承袭性
N n(x)c0c1(xx0)c2(xx0)x (x1) cn(xx0)x (x1) (xxn 1)
§2.3 Newton插值
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函数插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n1 y n
• 插值问题:
根据这些已知数据来构造函数 y f (x) 的一种简单
的近似表达式,以便于计算点 xxi ,i0,1, ,n 的函数
值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
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2
Newton插值
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n1 y n
求作n次多项式 Nn(x)使得：
N n (x i) f(x i) y i,i 0 ,1 , ,n
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插值问题讨论
x x0 x1 y y0 y1
增加一个点后
这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。
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Newton插值
容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。
由插值多项式的唯一性，得 Ln(x)Nn(x)
牛顿插值多项式的误差估计
R n(x)f[x 0,x 1 , ,x n,x]n(x)f(n (n 1 )1 ()!) n(x)
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Newton插值(续)
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中
fx2fx1fx1fx0
c2
x2x0
x1x0
x2x1
以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，
需要引进差商概念并研究其性质。
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差商的概念
1．差商的定义 定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等
增加一个点后
Nn1(x)c0c1(xx0)c2(xx0)(xx1)
cn(xx0)(xx1) (xxn1)
cn1(xx0)(xx1) (xxn1)(xxn)
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Newton插值
关键是ci的求法！ 可仿照泰勒公式里系的数求法！
N n(x)c0c1(xx0)c2(xx0)x (x1) cn(xx0)x (x1) (xxn 1)