全国初中数学竞赛试题和答案解析

又 易 知 △ AEP ∽ △ BDP ， 所 以 AE PE ， 从 而 可 得 BD DP
AE PE BD 1 6 2 .
DP
3
4．6 张不同的卡片上分别写有数字 2，2，4，4，6，6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片 上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是
（）
A． 1 B． 2 C． 2 D． 3 2534
D.4 个
由已知等式得
x y xy
x2 y2 x2 y2
2 3
x4 y4 x4 y4
，显然 x, y 均不为
0，所以 x y ＝0
或
3xy 2(x y) .
若
3xy
2(x
y)
，
则
(3x
2)(3y
2)
4
.又
x,
y
为
整数，
可求得
x
y
1，或 2,
x y
2，所以 1.
x
y
1
或
x
y
1.
所以 PEA PEB CED AED 60 ，
从而可得 PCA 30 .
6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的 3 张卡片上所写的数字
可以作为三角形的三边长的情况共有 4×2＝8 种.
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因此，所求概率为 8 2 . 20 5
5．设[t]表示不超过实数 t 的最大整数，令{t} t
[t] .已知实数 x
满足 x3
1 x3
18，
则{x}{1} x
【答】144.
由 条 件 得 7 k 8 ， 由 k 的 唯 一 性 ， 得 k 1 7 且 k 1 8 ， 所 以
8n9
n8
n9
2 k 1 k 1 8 7 1 ，所以 n 144. n n n 9 8 72
当 n 144 时，由 7 k 8 可得126 k 128 ， k 可取唯一整数值 127. 8n9
BP 3
，
PE 1
，
则
AE
＝
（）
A． 6 B． 2 C． 3 D． 6 2
【答】 B.
因为 AD BC ，BE AC ，所以 P, D,C, E 四点共圆，所以 BD BC BP BE 12，
又 BC 2BD ，所以 BD 6 ，所以 DP 3 .
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2014 年全国初中数学竞赛试题和答案解析
abc ____．
【答】 0.
由题意知 1 1 1 1，所以 1 2c 1 2a 1 2b
(1 2a)(1 2b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
整理得 2 2(a b c) 8abc ，所以 abc 0.
2．使得不等式 9 n 8 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为． 17 n k 15
2014 年全国初中数学竞赛试题和答案解析
2014 年全国初中数学竞赛试题和答案解析
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知
x,
y 为整数，且满足 ( 1 x
1 y
)(
1 x2
1 y2
)
2 3
(
1 x4
1 y4
) ，则
x
y
的可能的值
有（ ） A.1 个 【答】 C.
B. 2 个
C. 3 个
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DF AC 1 ， 故 12 x2 [ 2(1 x)]2 ， 即 x2 4x 1 0 . 又 0 x 1 ， 故 可 得
x2 3.
故 BE 2x 4 2 3 .
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1 ． 已 知 实 数 a,b, c 满 足 a b c 1 ， 1 1 1 1 ， 则 abc bca cab
【答】 B.
若取出的 3 张卡片上的数字互不相同，有 2×2×2＝8 种取法；若取出的 3 张卡片上的
数字有相同的，有 3×4＝12 种取法.所以，从 6 张不同的卡片中取出 3 张，共有 8＋12＝20
种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，
因此， x y 的可能的值有 3 个.
2 ． 已 知 非 负 实 数 x, y, z 满 足 x y z 1 ， 则 t 2xy yz 2zx 的 最 大 值 为
（）
A． 4 B． 5 C． 9 D． 12 7 9 16 25
【答】 A.
t 2xy yz 2zx 2x( y z) yz 2x( y z) 1 ( y z)2 4
（）
A． 4 2 3 B． 2 3 C． 1 ( 3 1) D． 3 1 2
【答】 A.
过 E 作 EF BC 于 F ，易知△ ACD ≌△ DFE ，△ EFB ∽△ ACB .
C D
设 EF x ， 则 BE 2x ， AE 2 2x ， DE 2(1 x) ，
A
2/6
F
B E
2x(1 x) 1 (1 x)2 7 x2 3 x 1 7 (x 3)2 4 ，
4
4 24 4 7 7
易知：当 x 3 ， y z 2 时， t 2xy yz 2zx 取得最大值 4 .
7
7
7
3．在△ ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知
由 x 1 3 解得 x 1 (3 5) ，显然 0 {x} 1, 0 {1} 1，所以{x}{1} 1.
x
2
x
x
6．在△ ABC 中， C 90 ， A 60 ， AC 1， D 在 BC 上， E 在 AB 上，使
得 △ ADE 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ADE 90 , 则 BE 的 长 为
（）
A． 1 B． 3 5 C． 1 (3 5) D．1
2
2
【答】 D.
设
x
1 x
a
，则
x3
1 x3
(x
1 )( x2 x
1 x2
1)
(x
1)[(x x
1 )2 x
3]
a(a2
3)
，
所以 a(a2 3) 18 ，因式分解得 (a 3)(a2 3a 6) 0 ，所以 a 3.
故满足条件的正整数 n 的最大值为 144.
3．已知 P 为等腰△ ABC 内一点，AB BC ，BPC 108 ，D 为 AC 的中点，BD
与 PC 交于点 E ，如果点 P 为△ ABE 的内心，则 PAC ．
【答】 48.
由题意可得 PEA PEB CED AED ，
B
而 PEA PEB AED 180，