2k因子设计

当有必要研究多因子对一反应变量的综合效果时，因子设计(Factorial Design)大量且普遍地应用于多因子的实验。一最重要的情况是k个因子且各有2水准的状况(2k, Level Factor)，此设计的完整反复需要2?2?…?2= 2k个观测值，且称之为2k因子设计(2k Factorial Design)。

本章重点将聚于此设计，另整章假设(1) 因子是固定的，(2) 设计是完全随机的，与(3) 一般的常态假设是满足的。

2k设计在实验工作的初期阶段，即当似乎有很多因子要研究时，是特别有效。它提供了在一次完整因子设计里可以研究k个因子的最小次数。因此，此种设计是大量应用于因子筛选实验(Factor Screening Experiments)。

因为每个因子只有2个水准，假设反应在选定的因子水准范围里是近似线性的，在很多因子筛选实验中，刚开始研究过(制)程或系统时，此假设是合理的。

6-22k设计(The 2k Design)

在2k系列中首先讨论2个因子(22)，A与B，各有2水准，此称之为22因子设计，因子水准可称之为”低”与”高”。如，有一反应浓度和触媒量对化学反应过(制)程合格率效果的研究，令反应浓度为因子A，且有兴趣的2水准为15%与20%；另触媒量为因子B，且高水平为2 lbs与低水准为1 lb，实验反复3次，资料如下，

图6-1 22设计之处理组合

设计中的4个处理组合通常以小写字母表示，由上图知，在处理组合中任何因子的高水平以对应小写字母表示；处理

组合中任何因子的低水准以对应字母的不出现表示。依传统，(1)表示2因子都是在低水准，这个记号在整个2k系统都适用。

在22因子设计中，定义一个因子的平均效果为该因子水准改变所带来的反应改变。同时，符号(1)、a、b、ab表示在处理组合下n次反复的总和，则在B为低水准时A的效果为[a-(1)]/n与在B为高水平时A的效果为[ab-b]/n，将此两者取平均即为A的主效果(Main Effect)：

A = {[a-(1)] + [ab-b]}/2n

A = [ab + a - b - (1)]/2n (6-1)

同理，B的主效果，即在A为低水准时B的效果为[b-(1)]/n 与在A为高水平时B的效果为[ab-a]/n，将此两者取平均，则为

B = {[b-(1)] + [ab-a]}/2n

B = [ab + b - a - (1)]/2n (6-2)

定义交互作用(Interaction Effect) AB为B在高水平时A 的效果与B在低水准时A的效果间的平均差异，

AB = {[ab-b]-[a-(1)]}/2n

= [ab+ (1) - a - b]/2n (6-3)

亦可定义AB 为A 在高水平时B 的效果与A 在低水准时

B 的效果间的平均差异，其结果与式(6-3)同。

A 、

B 与AB 效果的公式可用另一种方法导出，A 的效果

可由图6-1中右边两个处理组合的平均反应(+

A y )与左边两个处理组合的平均反应(或-

A y )之差，即

A = +

A y - -

A y = (ab + a) /2n – ( b – (1)) /2n

= [ab + a – b – (1)] /2n

此结果与式(6-1)完全一样。同理，B 与AB 之效果，

B = +

B y - -

B y = (ab + b) /2n – ( a – (1)) /2n

= [ab + b – a – (1)] /2n

此结果与式(6-2)亦完全一样。

AB = (ab + (1)) /2n – (a + b) /2n

= [ab + (1) - b – a] /2n

此结果与式(6-3)亦完全一样。

利用图6-1之实验数据，可估计出平均效果为， A = (90 + 100 - 60 - 80)/ 2(3) = 8.33 B = (90 + 60 - 100 - 80)/ 2(3) = -5.00

AB = (90 + 80 - 100 - 60)/ 2(3) = 1.67

◎A(反应物浓度)的效果是正的，即表示增加A，由从低水准的15%到高水平的25%会增加合格率。

◎B(触媒)的效果是负的，此意味过(制)程中触媒量的增加会降低合格率。

◎交互作用的效果相较于两个主效果是相当小的。

在2k设计的实验中，检视因子效果的『大小』(Magnitude)与『方向』(Direction)来决定何变量是重要的。另ANOVA 是用来确认此种解释的。

考虑A、B与AB的平方和，式(6-1)是一个对比(Contrast)用以估计A，即

Contrast A = ab + a - b – (1) (6-4)

通称此对比为A的『总效果(Total Effect)』。同理，由式(6-2)与(6-3)亦可用对比来估计B与AB。再者，此3个对比是正交的(Orthogonal)。任何对比的平方和可依式(3-29)，即，SS A =[ab + a - b – (1)]2/4n (6-5)

SS B =[ab + b - a – (1)]2/4n (6-6) 与SS AB =[ab + (1) - b - a]2/4n (6-7)

为A、B与AB的平方和。

利用图6-1的实验数据，由式(6-5)、(6-6)、与(6-7)得，

SS A =[ab + a - b – (1)]2/4n= (50)2/4(3) = 208.33 SS B =[ab + b - a – (1)]2/4n= (-30)2/4(3) = 75.00 (6-8)

与 SS AB =[ab + (1) - b - a]2/4n= (10)2/4(3) = 8.33 而总平方和是以一般方式求得，即， SS T = n

4y y 2

2

1i 2

1j 3

1k 2

ijk ???

===-∑∑∑

(6-9)

= 9398.00 – 9075.00 = 323.00

SS E = SS T – SS A – SS B – SS AB

(6-10)

= 323.00 – 208.33 – 75.00 – 8.33 = 31.34

依上表(ANOV A)，由P-值知，主效果均为统计上显着及因子间无交互作用。

依(1)、a、b、ab的顺序写下处理组合，称此为标准顺序(Standard Order, or Yates’ Order, for Dr. Frank Yates)，亦可用以估计效果的对比系数为，如下表，

注意，估计交互作用效果的对比系数正好是两个主效果系数的乘积。对比系数永远均为+1或-1，如下表的『正负号表』(Table of Plus and Minus Signs)可用来决定每个处理组合的正确符号，

上表中，”行”的标题为主效果A、B、交互作用AB、与I，I 代表整个实验的总和或平均，且对应到I 的”行”中均为正号。而”列”表示处理组合。欲估计任何效果的对比，只需将表中对应的符号乘以对应的处理组合后加总即可。如，估计A，则对此为-(1)+a-b+ab，其结果与式(6-1)同。

回归模式(The Regression Model)

对2k因子设计，用回归模式来表示实验结果，其回归模式为，

y = β0 + β1x1+ β2x2 + ε

其中，x1代表反应物浓度的『编码变量』(Coded Variable) (反应物浓度-Reactant Conc entration)、x2代表触媒量的编码变量(触媒量- Catalyst)、与β均为回归系数。『原变量』(Natural Variables)与编码变量之间的关系为，

x1 = [Conc-(Conc low+Conc high)/2]/ (Conc high-Conc low)/2

与

x2=[Catalyst-(Catalyst low+ Catalyst high)/2]/

(Catalyst high- Catalyst low)/2 当原变量只有2水准时，则编码为-1或+1，

x1 = [Conc-(15+25)/2]/ (25-15)/2 = (Conc-20)/5

如果浓度是在高水平(Conc = 25%)，即x1 = +1；如果浓度是在低水准(Conc = 15%)，即x1 = -1。再者，

x2 = [Catalyst -(1+2)/2]/ (2-1)/2 = (Catalyst -1.5)/0.5 如果触媒量是在高水平(Catalyst = 2 lbs)，即x2 = +1；如果触媒量是在低水准(Catalyst = 1 lb)，即x2 = -1。

则配适后的回归模式为，

y

? = 27.5+(8.33/2)x 1 + (-5.00/2)x 2 其中，截距是12个观测值的总平均，与回归系数1?β

与2?β为所对应的因子效果估计值的一半，回归系数正好是效果估计值一半的理由是回归系数度量的是x 的单位改变对y 平均的效果，而效果估计值是基于两个单位(从-1到+1)的改变，证明后续。

残差与模式适当性(Residuals and Model Adequacy)

回归模式可以用来得到设计中4个点的y 值的预测值或

配适值(The Predicted or Fitted Value)，而残差即是观测值与配适值的差。如，当反应物的浓度在低水准(x 1 = -1)与触媒量在低水准(x 2 = -1)时，则预测之格合率为，

y

? = 27.5+(8.33/2)x 1 + (-5.00/2)x 2 y

? = 27.5+(8.33/2)(-1) + (-5.00/2)(-1) = 25.835 在此处理组合下有3个观测值，其残差为 e 1 = 28 - 25.835 = 2.165 e 2 = 25 - 25.835 = -0.835

e 3 = 27 - 25.835 = 1.165

同理可得其它的预测值与残差。当反应物的浓度在高水平(x1 = +1)与触媒量在低水准(x2 = -1)时，则预测之格合率为，y?= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2

y?= 27.5+(8.33/2)(+1)+ (-5.00/2)(-1) = 34.165

在此处理组合下有3个观测值，其残差为

e4 = 36 – 34.165= 1.835

e5 = 32 –34.165 = -2.165

e6= 32 – 34.165 = -2.165

当反应物的浓度在低水准(x1 = -1)与触媒量在高水平(x2 = +1)时，则预测之格合率为，

y?= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2

y?= 27.5+(8.33)/2)(-1)+ (-5.00/2)(+1) = 20.835

在此处理组合下有3个观测值，其残差为

e7 = 18 – 20.835= -2.835

e8 = 19 –20.835 = -1.835

e9= 23 – 20.835 = 2.165

当反应物的浓度在高水平(x1 = +1)与触媒量在高水平(x2 = +1)时，则预测之格合率为，

y?= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2

y?= 27.5+(8.33/2)(+1)+ (-5.00/2)(+1) = 29.165 在此处理组合下有3个观测值，其残差为

e10 = 31 – 29.165= 1.835

e11 = 30 –29.165 = 0.835

e12= 29 – 29.165 = -0.165

图6-2 化学过程实验之残差图

反应曲线(The Response Surface)

回归模式

y?= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2

可以用来产生反应曲面图。倘欲以原因子水准来建构这些图，则只需将原变量与编码变量之间的关系代入回归模式，得，

y?= 27.5+(8.33/2)(Conc-20)/5+ (-5.00/2)(Catalyst-1.5)/0.5 = 18.33+0.8333Conc -5.00Catalyst

图6-3 化学过程实验格合率之反应曲面与等高线图

因模式为『1阶的』(First Order)(亦即，它只包括主效果)，所以配适的反应曲面为一平面，从等高图视出，当反应浓度增加与触媒量减少时，格合率会增加。通常，可用类似此种配适的曲面来找出过程的一个『潜在改善的方向』(Direction of Potential Improvement)。进行此事的一个正式的方法，称之『最陡上升法』(Method of Steepest Ascent)，后续讨论。

7-3 23设计(The 23 Design)

假定3个因子，A、B、与C，各有2水准，此23因子设计(23 Factorial Design)，有8种处理组合且可用一几何图形表示---立方体，如下图，

图6-4 23因子设计(a)几何图示(b)设计矩阵

设计中的8种试验，亦称之为设计矩阵(Design Matrix)。另各处理组合的标准顺序为(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc，这些符号同时表示在各处理组合下n个观测值的总和。

有3种广泛使用的符号来表示2k设计中的处理组合：

(1)“-“与”+”的符号---几何符号(Geometric Notation)

(2)小写英文字母

(3)“0”与”1”表示因子高、低水准。

A 主效果估计---[a-(1)]/n ，当

B 与

C 均低水准； A 效果估计---[ab-b]/n ，当B 高水平与C 低水准； A 效果估计---[ab-c]/n ，当C 高水平与

B 低水准；

A 效果估计---[abc-bc]/n ，当

B 与

C 均高水平；

因此，A 之主效果即上4个的平均，则， A = [a-(1)+ab-b+ac-c+abc-bc]/4n (6-11)

图6-5 主效果与交互作用的对比之几何图示pp. 229

式(6-11)为立方体右面4种处理组合(A 是高水平)与左面4

种处理组合(A 是低水准)的一个对比(Contrast)，亦即，A 在高水平4次试验的平均(+

A y )减去A 在低水准4次试验的平均

(-

A y )，即

A = +

A y --

A y =[a+ab+ac+abc]/4n-[(1)+b+c+bc]/4n

上式重组

A = [a+ab+ac+abc-(1)-b-c-bc]/4n

则此结果与式(6-11)同。

同理，B 效果是立方体前面4种处理组合平均与后面4

种处理组合平均之差，即

B = +

B y --

B y =[b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]/4n

(6-12)

同理，C 放果是立方体上面4种处理组合平均与下面4种处理组合平均之差，即

C = +

C y --

C y =[c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab]/4n

(6-13)

二个交互作用的效果，即B 水准下A 的平均效果差之一

半，以符号表示，

AB交互作为此差之一半，

AB = [abc-bc+ab-b-ac+c-a+(1)]/4n (6-14)

上式改写为，

AB = [abc+ab+c+(1)]/4n-[bc+b+ac+a]/4n

AB交互作用即立方体的两个对角线平面的试验平均之差，依此类推，可得AC与BC交互作用为，

AC = [(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]/4n (6-15)

BC = [(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]/4n (6-16) 而ABC交互作用是定义在C的两水准下AB交互作用之平均差，因此，

ABC ={[abc-bc]-[ac-c]-[ab-b]+[a-(1)]}/4n

ABC =[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]/4n (6-17) 在式(6-11)至(6-17)中，括孤中均为处理组合的对比，而一个正负号表可以从这些对比发展出来如下表，

上表中，主效果符号的决定方法是高水平为正与低水准为负，一旦建立主效果的正负符号，则其它行的符号可经由适当行的相乘得知。另外，上表有几个性质：

(1)除了行I，每一行的正负数目相等。

(2)任何两行符号相乘的和为0。

(3)行I乘以任何一行都是该行本身，即I 是一个单位

元素(Identity Element)。

(4)任何两行的乘积仍是表中的某一行，如A?B = AB，

和AB?B = AB2 = A

上述之乘积的幂次是利用模数2(Modulus 2)的算术形成，(即幂次只能是0或1)。这些性质都来自估计效果的对比直交性。每个效果都对应一个自由度1的对比，其平方和计算，

SS = (对比)2 /8n (6-18)

判断效果显着性的其它方法

(Other Methods for Judging the Significance of Effect)

ANOV A 是决定何因子效果不为零的正式方法。但另有二

法亦可用：

(1) 计算效果的标准误(Standard Error of the Effect)，再

用他们来建构效果的信赖区间(Confidence Intervals)。

(2) 利用常态机率(Normal Probability Plots)来评定效果

的重要性。

一个效果的标准误之求法为，假设在设计的2k 个试验中的每一个均有n 次反复，与在第i 次试验的观测值为y i1 , y i2 ,… y in ，则

∑--==n 1

j 2

i ij 2

i )y y (1n 1S

i = 1, 2, …, 2k

是第i 次试验变异数的估计值，将此2k 个变异数估计值合并之，则得全变异数估计值

∑∑--===k

21i n 1

j 2

i ij k 2)y y ()1n (21S

(6-19)

而每一效果的变异数估计值

V[效果] = V[对比/(n2k-1)] = {1/(n2k-1)2 }*V[对比]

每个对比都是2k个处理总和的线性组合，而每一个总和又包含了n个观测值，所以

V[对比] = n 2k σ2

及一个效果的变异数为

V[效果] = {1/(n2k-1)2 }n 2k σ2 ={1/(n2k-2)}σ2

= 2σ/(n2k)0.5

将上式σ换以S代之，则为标准误之估计值

s e (效果) = 2S/(n2k)0.5 (6-20)

离散效果(Dispersion Effects)

检视充填高度偏离(Fill Height Deviation)的全距，可了解其制程的离散效果。