2k因子设计

当有必要研究多因子对一反应变量的综合效果时，因子设计(Factorial Design)大量且普遍地应用于多因子的实验。

一最重要的情况是k个因子且各有2水准的状况(2k, Level Factor)，此设计的完整反复需要2⨯2⨯…⨯2= 2k个观测值，且称之为2k因子设计(2k Factorial Design)。

本章重点将聚于此设计，另整章假设(1) 因子是固定的，(2) 设计是完全随机的，与(3) 一般的常态假设是满足的。

2k设计在实验工作的初期阶段，即当似乎有很多因子要研究时，是特别有效。

它提供了在一次完整因子设计里可以研究k个因子的最小次数。

因此，此种设计是大量应用于因子筛选实验(Factor Screening Experiments)。

因为每个因子只有2个水准，假设反应在选定的因子水准范围里是近似线性的，在很多因子筛选实验中，刚开始研究过(制)程或系统时，此假设是合理的。

6-22k设计(The 2k Design)在2k系列中首先讨论2个因子(22)，A与B，各有2水准，此称之为22因子设计，因子水准可称之为”低”与”高”。

如，有一反应浓度和触媒量对化学反应过(制)程合格率效果的研究，令反应浓度为因子A，且有兴趣的2水准为15%与20%；另触媒量为因子B，且高水平为2 lbs与低水准为1 lb，实验反复3次，资料如下，图6-1 22设计之处理组合设计中的4个处理组合通常以小写字母表示，由上图知，在处理组合中任何因子的高水平以对应小写字母表示；处理组合中任何因子的低水准以对应字母的不出现表示。

依传统，(1)表示2因子都是在低水准，这个记号在整个2k系统都适用。

在22因子设计中，定义一个因子的平均效果为该因子水准改变所带来的反应改变。

同时，符号(1)、a、b、ab表示在处理组合下n次反复的总和，则在B为低水准时A的效果为[a-(1)]/n与在B为高水平时A的效果为[ab-b]/n，将此两者取平均即为A的主效果(Main Effect)：A = {[a-(1)] + [ab-b]}/2nA = [ab + a - b - (1)]/2n (6-1)同理，B的主效果，即在A为低水准时B的效果为[b-(1)]/n 与在A为高水平时B的效果为[ab-a]/n，将此两者取平均，则为B = {[b-(1)] + [ab-a]}/2nB = [ab + b - a - (1)]/2n (6-2)定义交互作用(Interaction Effect) AB为B在高水平时A 的效果与B在低水准时A的效果间的平均差异，AB = {[ab-b]-[a-(1)]}/2n= [ab+ (1) - a - b]/2n (6-3)亦可定义AB 为A 在高水平时B 的效果与A 在低水准时B 的效果间的平均差异，其结果与式(6-3)同。

A 、B 与AB 效果的公式可用另一种方法导出，A 的效果可由图6-1中右边两个处理组合的平均反应(+A y )与左边两个处理组合的平均反应(或-A y )之差，即A = +A y - -A y = (ab + a) /2n – ( b – (1)) /2n= [ab + a – b – (1)] /2n此结果与式(6-1)完全一样。

同理，B 与AB 之效果，B = +B y - -B y = (ab + b) /2n – ( a – (1)) /2n= [ab + b – a – (1)] /2n此结果与式(6-2)亦完全一样。

AB = (ab + (1)) /2n – (a + b) /2n= [ab + (1) - b – a] /2n此结果与式(6-3)亦完全一样。

利用图6-1之实验数据，可估计出平均效果为， A = (90 + 100 - 60 - 80)/ 2(3) = 8.33 B = (90 + 60 - 100 - 80)/ 2(3) = -5.00AB = (90 + 80 - 100 - 60)/ 2(3) = 1.67◎A(反应物浓度)的效果是正的，即表示增加A，由从低水准的15%到高水平的25%会增加合格率。

◎B(触媒)的效果是负的，此意味过(制)程中触媒量的增加会降低合格率。

◎交互作用的效果相较于两个主效果是相当小的。

在2k设计的实验中，检视因子效果的『大小』(Magnitude)与『方向』(Direction)来决定何变量是重要的。

另ANOVA 是用来确认此种解释的。

考虑A、B与AB的平方和，式(6-1)是一个对比(Contrast)用以估计A，即Contrast A = ab + a - b – (1) (6-4)通称此对比为A的『总效果(Total Effect)』。

同理，由式(6-2)与(6-3)亦可用对比来估计B与AB。

再者，此3个对比是正交的(Orthogonal)。

任何对比的平方和可依式(3-29)，即，SS A =[ab + a - b – (1)]2/4n (6-5)SS B =[ab + b - a – (1)]2/4n (6-6) 与SS AB =[ab + (1) - b - a]2/4n (6-7)为A、B与AB的平方和。

利用图6-1的实验数据，由式(6-5)、(6-6)、与(6-7)得，SS A =[ab + a - b – (1)]2/4n= (50)2/4(3) = 208.33 SS B =[ab + b - a – (1)]2/4n= (-30)2/4(3) = 75.00 (6-8)与 SS AB =[ab + (1) - b - a]2/4n= (10)2/4(3) = 8.33 而总平方和是以一般方式求得，即， SS T = n4y y 221i 21j 31k 2ijk ∙∙∙===-∑∑∑(6-9)= 9398.00 – 9075.00 = 323.00SS E = SS T – SS A – SS B – SS AB(6-10)= 323.00 – 208.33 – 75.00 – 8.33 = 31.34依上表(ANOV A)，由P-值知，主效果均为统计上显着及因子间无交互作用。

依(1)、a、b、ab的顺序写下处理组合，称此为标准顺序(Standard Order, or Yates’ Order, for Dr. Frank Yates)，亦可用以估计效果的对比系数为，如下表，注意，估计交互作用效果的对比系数正好是两个主效果系数的乘积。

对比系数永远均为+1或-1，如下表的『正负号表』(Table of Plus and Minus Signs)可用来决定每个处理组合的正确符号，上表中，”行”的标题为主效果A、B、交互作用AB、与I，I 代表整个实验的总和或平均，且对应到I 的”行”中均为正号。

而”列”表示处理组合。

欲估计任何效果的对比，只需将表中对应的符号乘以对应的处理组合后加总即可。

如，估计A，则对此为-(1)+a-b+ab，其结果与式(6-1)同。

回归模式(The Regression Model)对2k因子设计，用回归模式来表示实验结果，其回归模式为，y = β0 + β1x1+ β2x2 + ε其中，x1代表反应物浓度的『编码变量』(Coded Variable) (反应物浓度-Reactant Conc entration)、x2代表触媒量的编码变量(触媒量- Catalyst)、与β均为回归系数。

『原变量』(Natural Variables)与编码变量之间的关系为，x1 = [Conc-(Conc low+Conc high)/2]/ (Conc high-Conc low)/2与x2=[Catalyst-(Catalyst low+ Catalyst high)/2]/(Catalyst high- Catalyst low)/2 当原变量只有2水准时，则编码为-1或+1，x1 = [Conc-(15+25)/2]/ (25-15)/2 = (Conc-20)/5如果浓度是在高水平(Conc = 25%)，即x1 = +1；如果浓度是在低水准(Conc = 15%)，即x1 = -1。

再者，x2 = [Catalyst -(1+2)/2]/ (2-1)/2 = (Catalyst -1.5)/0.5 如果触媒量是在高水平(Catalyst = 2 lbs)，即x2 = +1；如果触媒量是在低水准(Catalyst = 1 lb)，即x2 = -1。

则配适后的回归模式为，yˆ = 27.5+(8.33/2)x 1 + (-5.00/2)x 2 其中，截距是12个观测值的总平均，与回归系数1ˆβ与2ˆβ为所对应的因子效果估计值的一半，回归系数正好是效果估计值一半的理由是回归系数度量的是x 的单位改变对y 平均的效果，而效果估计值是基于两个单位(从-1到+1)的改变，证明后续。

残差与模式适当性(Residuals and Model Adequacy)回归模式可以用来得到设计中4个点的y 值的预测值或配适值(The Predicted or Fitted Value)，而残差即是观测值与配适值的差。

如，当反应物的浓度在低水准(x 1 = -1)与触媒量在低水准(x 2 = -1)时，则预测之格合率为，yˆ = 27.5+(8.33/2)x 1 + (-5.00/2)x 2 yˆ = 27.5+(8.33/2)(-1) + (-5.00/2)(-1) = 25.835 在此处理组合下有3个观测值，其残差为 e 1 = 28 - 25.835 = 2.165 e 2 = 25 - 25.835 = -0.835e 3 = 27 - 25.835 = 1.165同理可得其它的预测值与残差。

当反应物的浓度在高水平(x1 = +1)与触媒量在低水准(x2 = -1)时，则预测之格合率为，yˆ= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2yˆ= 27.5+(8.33/2)(+1)+ (-5.00/2)(-1) = 34.165在此处理组合下有3个观测值，其残差为e4 = 36 – 34.165= 1.835e5 = 32 –34.165 = -2.165e6= 32 – 34.165 = -2.165当反应物的浓度在低水准(x1 = -1)与触媒量在高水平(x2 = +1)时，则预测之格合率为，yˆ= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2yˆ= 27.5+(8.33)/2)(-1)+ (-5.00/2)(+1) = 20.835在此处理组合下有3个观测值，其残差为e7 = 18 – 20.835= -2.835e8 = 19 –20.835 = -1.835e9= 23 – 20.835 = 2.165当反应物的浓度在高水平(x1 = +1)与触媒量在高水平(x2 = +1)时，则预测之格合率为，yˆ= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2yˆ= 27.5+(8.33/2)(+1)+ (-5.00/2)(+1) = 29.165 在此处理组合下有3个观测值，其残差为e10 = 31 – 29.165= 1.835e11 = 30 –29.165 = 0.835e12= 29 – 29.165 = -0.165图6-2 化学过程实验之残差图反应曲线(The Response Surface)回归模式yˆ= 27.5+(8.33/2)x1 + (-5.00/2)x2可以用来产生反应曲面图。