高一数学必修1 函数的奇偶性 ppt
合集下载
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
人教版高中数学必修1《奇偶性》PPT课件
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是
偶函数．
()
•(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数
y＝f(x)一定是奇函数．
()
•(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函 数就是偶函数．( )
()
•A．－1
B．0
•C．1
D．无法确定
• 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a ＝1.
•答案：C
• 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1， 则当x<0时，f(x)＝________.
• 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－ f(x)，所以f(x)＝－x
又 f(0)＝0，所以 f(x)＝x－1x＋x－x，1，x≥x0<，0.
• 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x， 求函数f(x)，g(x)的解析式．
• 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
• ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
• 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，
• [方法技巧]
• 比较大小的求解策略
• (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性 比较大小．
• 3．2.2 奇偶性
明确目标
发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直
奇函数、偶函数图象的特征．
观想象素养．
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根 2.借助函数奇偶性的判断方法，
高一数学必修一全套课件 PPT课件 人教课标版15
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
问题提出
1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性 反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.
2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单
调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的
最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什
么性质？
函数的奇偶性
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) f (x) x2 ;
yo
x
(2) f (x) | x |.
y
o
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者
有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
问题提出
1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性 反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.
2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单
调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的
最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什
么性质？
函数的奇偶性
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) f (x) x2 ;
yo
x
(2) f (x) | x |.
y
o
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者
有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
高中数学必修一北师大版本《2.4.1 函数的奇偶性》教学课件
)
A．－1 B．1
C．－32
3 D.2
解析：(2)由题意 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0， ∴a＝－32.此时 f(x)＝x2＋x 8为奇函数．
答案：(2)C
状元随笔 由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是 在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义 的正用和逆用．
综上，函数 f(x)的解析式为 f(x)＝0x，x－x＝10，，x>0， －xx＋1，x<0.
xx－1，x>0， 答案：(2)f(x)＝0，x＝0，
－xx＋1，x<0.
方法归纳
利用奇偶性求函数解析式的方法 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个 定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自 变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到 已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即 可．具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x 就设在哪个区间上； (2)将－x 代入已知区间上的解析式；(3)利用 f(x)的奇偶性把 f(－x) 写成－f(x)或 f(x)，从而解出对应区间上的 f(x)．
4.1 函数的奇偶性
最新 课标
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
[教材要点]
要点 偶函数与奇函数 1．奇函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果∀x∈D，都有－x∈D， 且 f(－x)＝－f(x)，那么称函数 f(x)为奇函数． 2．偶函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域是 D，如果∀x∈D，都有－x ∈D，且 f(－x)＝f(x)，那么称函数 f(x)为偶函数．
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定
06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性，但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义， 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法：通过反函数判断其奇偶 性
图像法：通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法：通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法：通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数：关于原点对称，图像关于y轴对称 偶函数：关于y轴对称，图像关于x轴对称 非奇非偶函数：既不关于原点对称，也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响：决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数：f(-x)=-f(x)，函数值关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)，函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关 于y轴对称，非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
汇报人：
目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
添加章节标题
在解决实际问题中的应用
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
且对任意的x∈[-7,-5],-x∈[5,7],由题意可得6= f(5) ≤ f(-x) ≤ f(7)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
高中数学人教版《奇偶性》ppt教学课件1
∴f(x)偶函数
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0}，它 关于原点对称
且 f (x) x 1 (x 1) f (x)
x
x
∴f(x)奇函数
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
(4)解：定义域为{x|x≠0} ， 它关于原点对称
新课讲授
偶函数
图像关于y轴对称
代数特征 几何特征
首要条件：函数的定义域关于原点对称
奇函数
图像关于原点对称
代数特征 几何特征
高中数学 人教版 《奇偶 性》上 课课件1
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件 3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
f
(x)
1
x2
1 x2
f
(x)
∴f(x)偶函数
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
判断或证明函数奇偶性的基本步骤
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4
(3) f ( x) x 1 x
(1)解：定义域为R，∵∀x∈R,
都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=f(x)
(2) f ( x) x5
高一数学函数的奇偶性1(PPT)4-4
③拖延：他舍不得走，～到第二天才动身。 【挨板子】?被人用板子责打，比喻受到严厉的批评或处罚。 【挨批】∥ī动受到批评或批判：挨了一顿批。 【挨 宰】∥〈口〉动比喻购物或接受服务时被索取高价而遭受经济损失。 【挨整】∥动受到打击迫害：他过去挨过整。 【??】（騃）〈书〉傻：痴～｜愚～。 【皑】（皚）〈书〉洁白：～如山； 杭州知识产权代理 杭州知识产权代理 ；上雪，皎若云间月。 【皑皑】’形形容霜、雪洁白：白雪～。 【癌】（旧读）名上皮组织生长出来的恶性肿瘤，常见的有胃癌、肺癌、肝癌、食管癌、肠癌、乳腺癌等。 【癌变】动组织细胞由良性病变转化为癌症病变。 【癌症】名生有恶性肿瘤的病：身患～。 【毐】用于人名，嫪度（’），战国时秦国人。 【欸】［欸乃］（）〈书〉拟声①形容摇橹的声音。②划船时歌唱 的声音。 【嗳】（噯）叹表示不同意或否定：～，不是这样的｜～，话可不能那么说。 【嗳气】动胃里的气体从嘴里出来，并发出声音。通称打嗝儿。 【嗳酸】动胃酸从胃里涌到嘴里。 【矮】形①身材短：～个儿｜个头儿不～。②高度小的：～墙｜～凳儿。③（级别、地位）低：他在学校里比我～一级。 【矮半截】（～儿）〈口〉相比之下低很多，多比喻在身份、地位、水平等方面差得远：他很自卑，觉得自己比别人～。 【矮墩墩】（～的）形状态词。形 容矮而粗壮：他长得～的。 【矮小】形又矮又小：身材～。 【矮星】ī名光度小、体积小、密度大的恒星，如天狼星的伴星。 【矮子】?名个子矮的人。 【蔼】（藹）①和气；态度好：和～｜～然。②（?）名姓。 【蔼】（藹）〈书〉繁茂。 【蔼蔼】’〈书〉形①形容树木茂盛。②形容昏暗。 【蔼然】形和 气；和善：～可亲。 【霭】（靄）〈书〉云气：烟～｜暮～。 【艾】名①多年生草本植物，叶子有香气，可入，内服可做止血剂，又供灸法上用。也叫艾蒿。 ②（）姓。 【艾】〈书〉年老的，也指老年人：耆～。 【艾】〈书〉停止：方兴未～。 【艾】〈书〉美好；漂亮：少～（年轻漂亮的人）。 【艾蒿】名 艾?。 【艾虎】名艾鼬。 【艾虎】名用艾做成的像老虎的东西，旧俗端午节给儿童戴在头上，认为可以驱邪。 【艾绒】名把艾叶晒干捣碎而成的绒状物，中 医用来治病。参看页“灸”。 【艾窝窝】?名用熟糯米做成的球形食品，有馅儿。也作爱窝窝。 【艾叶豹】名雪豹。 【艾鼬】名哺乳动物，比黄鼬稍大，颈 较长，四肢短，背部棕黄色或淡黄色。性凶猛，昼伏夜出，捕食小动物。也叫艾虎。 【艾滋病】ī名获得性免疫缺陷综合征的通称，是一种传
函数的奇偶性(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
答案：(1) 偶 ;
(2) 奇 ;
(5) 非奇非偶 ;
(3) 奇 ;
(4) 偶.3 函数的奇偶性
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则
f(-m)=
.
解：令g(x)=ax2-bx，易知
g(-x)=-g(x)
又 g(m)= f(m)-4=1,
x
例如，函数 f(x)=x3就是奇函数.
练一练
1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t=
答案：t = 1
.
练一练
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
1
(3)f(x)=x+ ;
1
(4)f(x)= 2;
(5)f(x)=x-1;
(6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7].
所以 f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)
当x>1时，-x<-1, 由
所以f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x)
从而对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x) ；
故函数是偶函数.
6.判断下列函数的奇偶性：
( + 5)2 − 4 , ( < −1)
(1) f(x)=
( − 5)2 − 4 , ( > 1)
(2) f(x)= + − − (a∈R)
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
高一数学备课课件函数的奇偶性
关键知识点总结回顾
两个偶函数的和或差仍是偶函数 奇函数与偶函数的乘积是奇函数
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点 误将非原点对称的函数视为奇函数 误将非$y$轴对称的函数视为偶函数
易错难点剖析及注意事项提醒
01
在应用奇偶性简化计算时出错
02
注意事项
在判断奇偶性前，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称
于所有$x$，都有$f(x+T) = f(x)$
05
与奇偶性的关系：周期函数可
以同时具有奇偶性，也可以不
具有
06
感谢您的观看
THANKS
性质
奇函数的图像关于原点对称。
如果$f(x)$在$x=0$处有定义，则 $f(0)=0$。
奇函数与奇函数相加或相减仍为奇函 数。
奇函数与偶函数相乘得到奇函数。
偶函数定义及性质
01
定义：对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$， 都有$f(-x) = f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
对数函数 $y = log_a x$ （$a > 0, a neq 1$）的 奇偶性也取决于底数 $a$
的值。
特别地，当 $a = e$（自 然对数的底数）时，函数 $y = ln x$ 为非奇非偶函
数。
04
复合函数与分段函数奇偶性探讨
复合函数奇偶性判断方法
观察内外函数的奇偶性
若内函数为奇函数，外函数为偶函数，则复 合函数为偶函数；若内函数为偶函数，外函 数为奇函数，则复合函数为奇函数。
二次函数奇偶性
二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的奇偶性取决于
$b$ 的值。
高中数学必修一课件：奇偶性(第1课时)
(3)∵定义域为[－1，2]且定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)＝x2＋x＋1的定义域为R，∀x∈R都有－x∈R且f(－x)＝x2－x＋1， ∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)． ∴f(x)为非奇非偶函数．
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-1《函数的奇偶性》课件PPT
所以f(x)的解析式为f(x)=൞
2 2 + 3−1, < 0.
反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上
述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(1−), < 0,
的图象如图所示.
(1 + ), > 0
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=ቊ
2 2 + 3−1, < 0.
反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上
述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(1−), < 0,
的图象如图所示.
(1 + ), > 0
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=ቊ
人教B版高中数学必修第一册 3-1-3《函数的奇偶性》课件PPT
第三章
3.1
函 数
3.1.3 函数的奇偶性
学习目标
1.了解奇函数、偶函数的定义及其判断方法.
2.了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系.
3.会利用函数的奇偶性求函数的解析式.
4.能运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
函数的奇偶性
知识回顾
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）
关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）.例如，（-2，3）关于y轴的对称点
为（2，3）
，关于原点的对称点为（2，-3）
.
新知学习
尝试与发现
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数
函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律.
1.函数奇偶性与单调性的关系
如果y＝f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；
如果y＝f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.
即时巩固
例4
1
研究函数y＝²的性质，并作出函数图像.
解 要使函数表达式有意义，需有x≠0，因此函数的定义域为D＝{x∈R|x≠0}，
的解析式时，先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关
点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一
部分上的性质和图像.
尝试与发现
已知函数f（x）满足f（5）＝-3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”
下求出f（-5）的值.
3.1
函 数
3.1.3 函数的奇偶性
学习目标
1.了解奇函数、偶函数的定义及其判断方法.
2.了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系.
3.会利用函数的奇偶性求函数的解析式.
4.能运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
函数的奇偶性
知识回顾
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）
关于y轴的对称点为（-x，y），关于原点的对称点为（-x，-y）.例如，（-2，3）关于y轴的对称点
为（2，3）
，关于原点的对称点为（2，-3）
.
新知学习
尝试与发现
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数
函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律.
1.函数奇偶性与单调性的关系
如果y＝f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；
如果y＝f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.
即时巩固
例4
1
研究函数y＝²的性质，并作出函数图像.
解 要使函数表达式有意义，需有x≠0，因此函数的定义域为D＝{x∈R|x≠0}，
的解析式时，先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关
点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一
部分上的性质和图像.
尝试与发现
已知函数f（x）满足f（5）＝-3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”
下求出f（-5）的值.
函数的的奇偶性PPT教学课件
又∵f(x)在(-1,1)上为减函数， ∴
1-a>a2-1 -1<1-a<1 -1<a2-1<1,解得0<a<1.
（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1m|)<g(|m|),
又当x≥0时，g(x)为减函数，得到
|1-m|≤2 |m|≤2
1 解之得-1≤m< 2
（4）f(x)= 1 x2 x2 1
.
x
11
(1)x x 定1 1
(x)2 1 x2 x2
义 域 为
x1 x
得x2 1
（
3 ）
函
数
的
定
义
域
为
A
=
{
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求 函数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个 函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数， 既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.
判断下列函数的奇偶性：
1
1
（1）f(x)=x+ （3）f(x)=x+
xx
;
1
;
（2）f(x)=x2+ x2 ;
|1-m|>|m|,.
1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？
（1）对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数 的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意 义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是 函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都 有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.
高一数学人教版必修一函数的奇偶性 PPT课件 图文
猜想： f(x)f(x)
x ..3.2 1 0 1 2 3..
... f (x) x2
941
0
14
9..
偶函数的定义
一般地，如果对函数 f (x) 的定义域内任意一个 x, 都有f (x) f (x)， 那么函数 f (x)就叫偶函数 .
类比&探究
f(1)f(1) f(2)f(2) f(3)f(3)
1.3.2函数的奇偶性
必修1（人教版）
故宫
女子跳水10米跳台决赛，正反跳映衬对称美
数学&生活
生活中的对称美引入我们的数学领 域中，它又是怎样的情况呢？
请同学们观察下列函数图形，说出 他们各有怎样的对称性？
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？ 哈哈，我来回答
以上函数图像都关于y轴对称
把图像关于y轴对称函数称为偶函数
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征 呢？
以上函数图像都关于原点对称
把图像关于原点对称函数称为奇函数
根据下列函数图象,判断其奇偶性.
y
y
o
奇函数
x
o
x 偶函数
y
b
oLeabharlann x 偶函数yo
x 奇函数
观察 & 发现
f(1)1f(1)
f(2)4f(2)
f( 3)9f(3) ……
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
3. 判断函数奇偶性的方法和步骤
我来总结
判断函数的奇偶性，注意定 义域优先
1.
课堂小结
f ( x )是 函数f (x)的图像 对函数 f (x)的定义
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4 1 (3) f ( x ) x x
(2) f ( x) x 1
2
(4) f ( x) 0 (6) f ( x) x , x [1,3]
2
3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么就称这个函数为偶函数.
2
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象. 解：画法略
y
相等
0
x
y
相等
0
x
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 如果都有f(－x)=-f(x) 2、两个性质：
∴f(x)奇函数
∴f(x)偶函数
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x (3) f ( x) 5 (5) f ( x) x 1
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
y
0
x
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)
f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意： 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关 于原点对称）．
( 2) f ( x) x 5 1 ( 4) f ( x ) 2 x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2 例如，函数 f ( x) x 1, f ( x) x 2 1 都是偶函数，