椭圆的几何性质课件
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆的简单几何性质一PPT课件
y2 a2
bx22
1(ab0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2 a2 b2
学习目的 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、 理解a,b,c,e的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析 几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。
3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。
二、椭圆
x2 a2
例2、求合适以下条件的椭圆的标准方程：
〔3〕长轴长为6,中心O,焦点F,顶点A构成的角
OFA的余弦值为2/3.
解：由题知a=3 cos∠OFA= c
a
∴c=2，b2=a2-c2=5
因此所求椭圆的标准方程为
x2
9
y2
5
1或x52
y2
9
1
A
oF
例3、求合适以下条件的椭圆的标准方程：
与椭圆4x2+9y2=36有一样的焦距，且离
1，c
就越接近
a，从而
bB就1 越小，椭
2〕e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
考虑：当e＝0时，曲线是什么？
[3]e与a,b的关系: ec a2b2 1b2
a
a2
a2
问 ： 对 于 椭 圆 C 1:9 x2y23 6 与 椭 圆 C 2 ： 1 x6 21 y 2 22 ,
美 A分椭别圆是，它设的左ax22焦点by22和右1(顶a点b，B20是)是它优短美轴椭的圆一，个F端，
点，那么∠ABF=
A、60° B、75° C、90° D、120°
例6. 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面〔椭圆 绕其对称轴旋转一周形成的曲面〕的一部分。过对称轴的截口 BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位 于别一个焦点F2上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转 椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。BC垂直于F1F2，|F1， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的 方程〔准确到〕
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆的几何性质 课件(52张)
c 的等量关系．
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
《椭圆的几何性质》课件
椭圆的焦点性质
1 焦距定理
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
2 焦点到直线的距离
椭圆上任意一点到直线的距离与其与两个焦点的距离相等。
3 焦点到任一点距离之和
焦点到椭圆上任意一点距离之和等于长轴的长度。
椭圆的切线
1
切点和法线垂直于切线。
2
切线的斜率和方程
总结
1 椭圆的定义及特点
椭圆是由两个焦点和常距 离点的连线构成的几何形 态。
2 椭圆的焦点、切线和
双曲线性质
椭圆具有焦点性质，切线 和双曲线也与椭圆有所关 联。
3 椭圆的应用和意义
椭圆在工程、艺术和日常 生活中扮演着重要的角色， 具有广泛的应用和意义。
切线的斜率可以通过椭圆的参数表示，方程可以通过切点和斜率求得。
3
切线和弦的交点和中垂线
切线和椭圆上任意一条弦的交点在椭圆的中垂线上。
椭圆的双曲线性质
椭圆与双曲线的区别
椭圆的焦点在内部，离心率小 于1；双曲线的焦点在外部，离 心率大于1。
双曲线的基本形态
双曲线具有两个分离的曲线臂， 曲线臂的形状类似于打开的喇 叭。
双曲线的焦点和离心 率
双曲线也有焦点和离心率的概 念，但与椭圆略有不同。
椭圆的应用
椭圆在工程中的应用
椭圆在艺术中的运用
椭圆形状可以应用于桥梁设计， 提供更好的结构支持和负载分散。
椭圆形状在艺术作品中常用于创 造平衡、和谐和美感的效果。
椭圆在日常生活中的例子
行星轨道、椭圆形家具等都是椭 圆在日常生活中的例子。
《椭圆的几何性质》PPT 课件
欢迎来到《椭圆的几何性质》PPT课件！在本课程中，我们将深入研究椭圆的 几何性质，涵盖定义、基本形态、焦点性质、切线、双曲线性质、应用等内 容。让我们一起开始这个精彩的学习之旅吧。
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
椭圆的简单几何性质完整版课件
②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参 数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有 两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴 长相等的椭圆的标准方程为________．
椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
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典型例题
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴 和短轴的长，离心率、焦点和顶点坐 标。
y
o
x
强化训练
1.求椭圆 4x2 9y2 36
的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标， 顶点坐标．
强化训练
2、求下列椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上， a 6, e 1
x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上，c
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长；
②a2=b2+c2，|B2F2|=a； ③焦点必在长轴上.
A1 (-a, 0) F1
b
a
A2 (a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
（2） x2 y2 1 25 4
故若点(2，0)为长轴顶点，则 a＝2，b＝1， 椭圆的标准方程为x42＋y2＝1； 若点(2，0)为短轴顶点，则 b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为x42 ＋1y62 ＝1．
课堂小结
一、椭圆的几何性质
①范围 ③顶点
②对称性 ④离心率
二、体会分类讨论思想在求 椭圆的标准方程中的应用
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
三、顶点 x2 y2 1(ab0) a2 b2
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y
B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
a2=b2+c2
椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为： A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b).
y2
2
b
=1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
结论：
椭圆关于x轴、y轴都是对称的， _X__轴__，__y_轴__是椭圆的对称轴, __原__点__是椭圆的对称中心, 椭圆的对称中心叫做_椭__圆__的__中__心___.
叫做椭圆的离心率。
a
因为a>c>0， 所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁 当e c 0, c 0,
a
b a2 c2 a,椭圆 圆
a2=b2+c2
e c a
y
b
x
●c
O
a
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
y
b
x
●c
a
O
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，图形变为_____, 它的标 准方程为：
x2 y2 a2
问 ： 对 于 椭 圆 C 1:9 x2y23 6 与 椭 圆 C 2 ： 1 x6 21 y 2 22 ,
C 更 接 近 于 圆 的 是 2 。
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
ec a2b2 1b2
a
a2
a2
谢谢大家
感谢各位领导和老师们的 指导，请多提宝贵意见！
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
x2 a2
y2 b2
=（1 a＞b＞0）
y
B2(0,b)
A1(-a, 0)
o
A2 (a, 0)
x
回顾：
焦点坐标: F 1(c,0)F ,2(c,0)
B1(0,-b)
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a.
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b.
注意
焦 距 |F1F2|=2c.
y
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
椭圆的几何性质课件
椭圆的简单几何性质
一、椭圆的范围 y
o
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
由
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2y22来自b=1y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
3,
e
3
y2 x2 1
5
25 16
强化训练
3、求下列椭圆的标准方程：
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2)
x2 y2 1
94
3
(2)长轴长等于20，离心率等于 5
x2 y2 1或
y2 x2 1
100 64
100 64
探究点 2 利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
(2)依题意可设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，