椭圆的几何性质课件

谢谢
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
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=1
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o F2
x
x2 ＋ a2
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b
=1
y
· · F1
o F2
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x2 ＋ a2
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2
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=1
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· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
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2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
(1)短轴长 2 5，离心率 e＝23； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且 焦距为 6．
【解】 (1)由 2b＝2 5，e＝ac＝23，得 b2＝5，a2－a2 b2＝49，a2 ＝9．当焦点在 x 轴上时， 所求椭圆的标准方程为x92＋y52＝1； 当焦点在 y 轴上时， 所求椭圆的标准方程为y92＋x52＝1． 综上，所求椭圆的标准方程为x92＋y52＝1 或y92＋x52＝1．
y
y
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
椭圆的简-4 单B画1 法：
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
矩形 椭圆四个顶点 连线成图
四、离心率
y
b ●c
O
x a2=b2+c2
a
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
因为a>c>0， 所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁 当e c 0, c 0,
a
b a2 c2 a,椭圆 圆
a2=b2+c2
e c a
y
b
x
●c
O
a
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
y
b
x
●c
a
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
ec a2b2 1b2
a
a2
a2
谢谢大家
感谢各位领导和老师们的 指导，请多提宝贵意见！
3,
e
3
y2 x2 1
5
25 16
强化训练
3、求下列椭圆的标准方程：
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2)
x2 y2 1
94
3
(2)长轴长等于20，离心率等于 5
x2 y2 1或
y2 x2 1
100 64
100 64
探究点 2 利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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x2 ＋ a2
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y
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o F2
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x2 ＋ a2
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2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心 的距离为 3； (2)离心率为 23，经过点(2，0)．
解：(1)由题意知 a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标 轴可为 x 轴，也可为 y 轴， 故椭圆的标准方程为2x52＋1y62 ＝1 或1x62＋2y52 ＝1． (2)由 e＝ac＝ 23，设 a＝2k，c＝ 3k，k>0，则 b＝k． 又经过的点(2，0)为其顶点，
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
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x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
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b
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y
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o F2
x
x2 ＋ a2
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2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
故若点(2，0)为长轴顶点，则 a＝2，b＝1， 椭圆的标准方程为x42＋y2＝1； 若点(2，0)为短轴顶点，则 b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为x42 ＋1y62 ＝1．
课堂小结
一、椭圆的几何性质
①范围 ③顶点
②对称性 ④离心率
二、体会分类讨论思想在求 椭圆的标准方程中的应用
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
O
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，图形变为_____, 它的标 准方程为：
x2 y2 a2
问 ： 对 于 椭 圆 C 1:9 x2y23 6 与 椭 圆 C 2 ： 1 x6 21 y 2 22 ,
C 更 接 近 于 圆 的 是 2 。
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
三、顶点 x2 y2 1(ab0) a2 b2
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y
B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
a2=b2+c2
椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为： A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b).
y2
2
b
=1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
结论：
椭圆关于x轴、y轴都是对称的， _X__轴__，__y_轴__是椭圆的对称轴, __原__点__是椭圆的对称中心, 椭圆的对称中心叫做_椭__圆__的__中__心___.
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
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x2 ＋ a2
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2
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=1
y
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o F2
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x2 ＋ a2
y2
2
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y
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x2 ＋ a2
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2
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=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
(2)依题意可设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以 c＝b＝3， 所以 a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1．
求椭圆标准方程的常用方法 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法． (2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确 定焦点所在的坐标轴；②求出 a2，b2 的值；③写出标准方程．
典型例题
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴 和短轴的长，离心率、焦点和顶点坐 标。
y
o
x
强化训练
1.求椭圆 4x2 9y2 36
的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标， 顶点坐标．
强化训练
2、求下列椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上， a 6, e 1
x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上，c
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
Βιβλιοθήκη Baidu
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
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2
b
=1
y
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o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
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2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
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2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
x2 a2
y2 b2
=（1 a＞b＞0）
y
B2(0,b)
A1(-a, 0)
o
A2 (a, 0)
x
回顾：
焦点坐标: F 1(c,0)F ,2(c,0)
B1(0,-b)
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a.
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b.
注意
焦 距 |F1F2|=2c.
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长；
②a2=b2+c2，|B2F2|=a； ③焦点必在长轴上.
A1 (-a, 0) F1
b
a
A2 (a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
（2） x2 y2 1 25 4
椭圆的几何性质课件
椭圆的简单几何性质
一、椭圆的范围 y
o
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
由
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2