向量法求空间角(高二数学,立体几何)
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∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=
又AB||DELeabharlann Baidu且AB= ∴AB||FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP
又∵ 平面BCE,BP 平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形,∴ .
∵AB 平面ACD,DE||AB,
∴DE 平面ACD,又AF 平面ACD,
故 即 取 ，则 ，
故 ．
设 与 的夹角为 ，则 ．
所以，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系
2．（1） ; （2） ; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
【解析】
试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝ ，设AB＝a，则AO＝ a，PO＝ a，MO= , tan∠PMO＝ ,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故 为直角三角形，OE＝ PD＝ ＝ a ∴tan∠AEO＝ ＝ ；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
6．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
参考答案
1．（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设 ，则 ， ， ， ，则可表示出 ， ， ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由 ， ，故 ， ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于 平面 ，所以可取平面 的一个法向量为 ；设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，故 即 取 ，则 ，故 ，转化为两个法向量的夹角，设 与 的夹角为 ，则 ．即可求出平面 与平面 所成的锐二面角的大小.
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据 可求出所求．
试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,
（1）求证: 平面 ;
（2）求证:平面 平面 ;
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中, 底面 ,且底面 为正方形, 分别为 的中点．
（1）求证: 平面 ;
（2）求平面 和平面 的夹角.
5．如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 且 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线AC与平面 所成的角为 ,求锐二面角 的大小.
试题解析：（1）由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ， ，
因为 ， ，故 ， ，
即 ， ， 又
所以， 平面 ．
（2）因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量
为 ，
点 的坐标为 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知 平面 , ,△ 是正三角形, ,且 是 的中点.
向量法求空间角
1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形 为正方形，四边形 是直角梯形， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小．
2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 ．
试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分）
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO＝
设AB＝a，AO＝ a，
∴ PO＝AO·tan∠POA＝ a，
tan∠PMO＝ ＝ ．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）
又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）
F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题
3．（1）见解析；（2）见解析；（3） .
∴∠PMO＝60°． （4分）
（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分）
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．
又OE 平面PBD， ∴ AO⊥OE．
∵OE＝ PD＝ ＝ a，
∴tan∠AEO＝ ＝ ． （8分）
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
【解析】
试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP= ，而AB||DE，且AB= 则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF 平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AB 平面ACD，DE||AB，则DE 平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知 ，满足线面垂直的判定定理，证得AF 平面CDE，又BP||AF，则BP 平面CDE，BP 平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
又AB||DELeabharlann Baidu且AB= ∴AB||FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP
又∵ 平面BCE,BP 平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形,∴ .
∵AB 平面ACD,DE||AB,
∴DE 平面ACD,又AF 平面ACD,
故 即 取 ，则 ，
故 ．
设 与 的夹角为 ，则 ．
所以，平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系
2．（1） ; （2） ; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
【解析】
试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝ ，设AB＝a，则AO＝ a，PO＝ a，MO= , tan∠PMO＝ ,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故 为直角三角形，OE＝ PD＝ ＝ a ∴tan∠AEO＝ ＝ ；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
6．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
参考答案
1．（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设 ，则 ， ， ， ，则可表示出 ， ， ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由 ， ，故 ， ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于 平面 ，所以可取平面 的一个法向量为 ；设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，故 即 取 ，则 ，故 ，转化为两个法向量的夹角，设 与 的夹角为 ，则 ．即可求出平面 与平面 所成的锐二面角的大小.
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据 可求出所求．
试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,
（1）求证: 平面 ;
（2）求证:平面 平面 ;
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中, 底面 ,且底面 为正方形, 分别为 的中点．
（1）求证: 平面 ;
（2）求平面 和平面 的夹角.
5．如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 且 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若直线AC与平面 所成的角为 ,求锐二面角 的大小.
试题解析：（1）由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ， ，
因为 ， ，故 ， ，
即 ， ， 又
所以， 平面 ．
（2）因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量
为 ，
点 的坐标为 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知 平面 , ,△ 是正三角形, ,且 是 的中点.
向量法求空间角
1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形 为正方形，四边形 是直角梯形， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小．
2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 ．
试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分）
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO＝
设AB＝a，AO＝ a，
∴ PO＝AO·tan∠POA＝ a，
tan∠PMO＝ ＝ ．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）
又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）
F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题
3．（1）见解析；（2）见解析；（3） .
∴∠PMO＝60°． （4分）
（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分）
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．
又OE 平面PBD， ∴ AO⊥OE．
∵OE＝ PD＝ ＝ a，
∴tan∠AEO＝ ＝ ． （8分）
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
【解析】
试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP= ，而AB||DE，且AB= 则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF 平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AB 平面ACD，DE||AB，则DE 平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知 ，满足线面垂直的判定定理，证得AF 平面CDE，又BP||AF，则BP 平面CDE，BP 平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；