微分方程数值解试卷

中国矿业大学2008～2009学年第 1 学期 《微分方程数值解法》试卷（B ）卷

考试时间：100 分钟 考试方式：半开卷

学院 班级 姓名 序号

1、下面关于Euler 公式的结论哪些是正确的（打√）？哪些是错误的（打×）？ （1）二阶方法；（2）一阶方法；（3）显式公式；（4）隐式公式；（5）是数值稳定的。

2、如果微分方程为,(0)1u tu u '==，则用Taylor 级数法求()u h 时，它的前两项为： 。

3、二阶差商

11

2

2i i i u u u h +--+近似二阶导数()i u x ''局部截断误差为 。

4、算术平均11

2

i i u u +-+近似函数值()i u x 的局部截断误差为 。

5、在课本P98差分方程(3.10)中，第二个方程的局部误差是什么？ 。

6、函数空间0()C I ∞

中函数满足什么性质？ 。

二、（10分）求解常系数齐次差分方程21120,1,2,

1,1

i i i u u u i u u ++-+==⎧⎨

=-=⎩的解。

三、（25分）已知数值解公式21132(2)m m m m m u u u h f f +++-+=- （1）写出与它们对应的特征多项式。 （2）这个多步法相容吗？

（3）利用课本P47公式（2.66）求公式的局部截断误差的主项。 （4）讨论这个算法的零稳定性。 （5）求这个算法的绝对稳定区间。 四、（10分）试利用初值问题的数值解公式

11

11(,)

(,)n n n n n n n n u u hf x u u u hf x u ++++=+⎧⎨

=+⎩ （1）构造一个PECE 预测校正系统；

（2）如果用它来求解初值问题 01

(0)1

u t u t u '=+≤≤⎧⎨

=⎩，当步长0.1h =时求出()u h 的近似值。

五、（15分）给定一个两点边值问题如下，

01

(0)0,(1)2(1)1u u x x u u u ''-+=<<⎧⎨

'=+=⎩

（1）试求它所对应的变分问题(,)()a u v f v =，要指明所使用的函数空间。（2）证明(,)a u v 是

对称正定的。（3）求用基函数(),1,2,

i

i x x i ϕ==生成的子空间{}212,V span ϕϕ=中的近似解。

六、（10分）证明课本P387式(7.128)的完全二次多项式可以表示成面积坐标的二次齐次式(7.130).