《空间直角坐标系中点的坐标》
空间直角坐标系中点到直线距离公式
空间直角坐标系中点到直线距离公式
在空间直角坐标系中，点到直线的距离可以通过以下公式来计算：
设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为P(x1, y1, z1)。
直线的方向向量为n = (A, B, C)。
点P到直线的距离公式为：
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。
这个公式的推导可以通过点到直线的距离公式和向量的点乘运
算来得到。
这个公式可以帮助我们在空间直角坐标系中快速计算点
到直线的距离，是空间几何中一个重要的概念。
除了上述的公式，我们还可以通过向量的投影来计算点到直线
的距离。
这种方法同样可以得到相同的结果。
在实际问题中，根据
具体的情况选择合适的方法来计算点到直线的距离是非常重要的。
希望这个回答能够帮助你理解空间直角坐标系中点到直线的距禋计算。
7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算
OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
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第二章
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2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)， 平面的对称点 M2 的坐标为(a， －b， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)． 关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ， ， | | | | | | | | | | ′ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
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理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置 写出点的坐标．
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空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 ↓
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
3.2空间直角坐标系中点的坐标
2.若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为 10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱
长为10，
所以正四棱锥的高为2 23 ，
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
答案
达标检测
1.点Q(0,0,2 017)的位置是 A.在x轴上 B.在y轴上
√C.在z轴上
D.在平面xOy上
1 2 34 5
答案
2.点(2，－1，5)与点(2，－1，－5)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
√C.关于xOy平面对称 D.关于z轴对称
1 2 34 5
答案
3.点A(－1， 3，2)在xOz平面的射影点的坐标为
C－5
2
2，5
2
2，0， D－5
2
2，－5
2
2，0.
解答
引申探究 1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶 点的坐标.
解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)， D(0，－5,0).
解答
例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5 2，侧棱长为13，建立的空 间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.
解 因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，
A5
2
2，－5
2
2，0，
B5
2
2，5
2
2，0，
浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
作者：陆海仙
来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第05期
高中几何中，用空间向量解决立体几何问题首先是建立适当的空间直角坐标系，接着是正确写出点的坐标，如果点的坐标书写错误，那么后面几乎没有什么分数可言。
本文试图对立体几何中点坐标的求法做一一些归纳和总结，以求能突破在直角坐标系中求点坐标难的问题。
一、直接法
设空间中任一点P到三个面：面zoy、面xoz、面xoy的距离分别为a、b、c，若点P在x 轴的射影在x轴的正半轴，则点P的横坐标为a；若点P在x轴的射影在x轴的负半轴，则点P的横坐标为-a，点P的纵坐标、竖坐标同理可得。
例1：（2008课标全国2，理19）如图1，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
AA1=2AB=4，点E在上且C1E=3EC。
高中数学必修二讲义 专题4.3 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系定义以空间中两两__________且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、__________平面．画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝__________，∠yOz ＝90°．图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z 之间的关系如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的__________，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ．设点P 、Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就和有序实数组（x ，y ，z ）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x 叫做点M 的__________，y 叫做点M 的__________，z 叫做点M 的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置 点的坐标形式 原点 （0，0，0） x 轴上 （a ，0，0） y 轴上 （0，b ，0） z 轴上 （0，0，c ） xOy 平面上 （a ，b ，0） yOz 平面上 （0，b ，c ） xOz 平面上（a ，0，c ）3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面） 点P 的对称点坐标 原点(),,a b c --- x 轴 (),a b c --,y 轴（－a ，b ，－c ）z 轴),(,a b c -- xOy 平面(,,)a b c -yOz 平面(),,a b c - xOz 平面(,)a b c -，三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，221212||()()MN x x y y =-+-．在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，2211212||||()()PH MN x x y y ==-+-， 根据勾股定理，得221212||||||PP PH HP =+=____________________________． 因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =____________________________． 特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |＝222x y z ++．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．K 知识参考答案：三、222121212()()()x x y y z z-+-+-222121212()()()x x y y z z-+-+-K—重点1．会建立空间直角坐标系（右手直角坐标系），会表示空间中的任意点；2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标；3．记住空间两点间的距离公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题．K—难点对空间直角坐标系的理解，空间两点间距离公式的推导．K—易错易混淆平面与空间直角坐标系．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12． 所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ．方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点． 故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】点关于x 轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）； ②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）； ③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）； ④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）； ⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）； ⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）； ⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++． 3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求： （1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．当2|C 1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥BF ，PC ⊥EF ．【解析】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD 是矩形，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥BF ．∵(0,2,0)E ，∴222||(00)(20)(02)6PE =-+-+-=，222||(02)(222)(00)6CE =-+-+-=，∴||||PE CE =，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥EF ．【例9】如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定． 4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--，当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解． 【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ， 则22222231(1)2(2)(3)z z ++-=+-+-，即2210(1)3()8z z +-=+-， 解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为 A ．（－1，2，3） B ．（1，－2，－3） C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为 A ．（－3，4，5） B ．（－3，－4，5） C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43）4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为A．9 B．29C．5 D．2 65．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）则|AB|的最小值是A．3 3 B．3 6C．2 3 D．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，2，0）B．（0，2，3）C．（1，0，3）D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A（1，2，－1），B（2，0，2），①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．62B． 3C．32D．6311．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0）B．（6，0，1）C．（0，0，6）D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<2）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 11 BADBBCBAA1．【答案】B【解析】关于x 轴对称，横坐标不变．故选B ． 2．【答案】A【解析】关于yOz 平面对称，y ，z 不变．故选A ． 3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C 1（0，2，3），∴|AC 1|＝29．故选B ． 5．【答案】B【解析】|AB |2＝（2a －1）2＋（－7－a ）2＋（－2＋5）2＝5a 2＋10a ＋59＝5（a ＋1）2＋54．∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54．∴|AB |min ＝54＝36．故选B ． 6．【答案】C【解析】因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz 面上．故选C ． 7．【答案】B【解析】平面yOz 内点的横坐标为0．故选B ． 8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P （1，0，0）；②M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线，其方程为x ＋3z －1＝0； （2）M （1，0，0）．【解析】（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1， 所以P 点坐标为（1，0，0）． ②设M （x ，0，z ），222(1)(2)(1)x z -+-++22(2)(2)x z -+- 整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0． 故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线． （2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-22(1)51x -+ 所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）． 10．【答案】A【解析】设P （x ，y ，z ），由题意可知222222111x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，∴x 2＋y 2＋z 2＝32．∴222x y z ++＝62．故选A ． 11．【答案】A【解析】设P （x ，0，0），|PA |2(1)11x -++，|PB |2(3)99x -++，由|PA |＝|PB |，得x ＝6．故选A ．12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】2393【解析】设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393．14．【答案】（1221a a -+2）当a ＝22时，MN 的长度最短．【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系． 因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）． 因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ， 所以点N （22a ，22a ，0）． （1）由空间两点间的距离公式， 得|MN |2222222()(0)(10)2222a a a a -+-+-- 221a a -+MN 221a a -+ （2）由（1），得|MN |＝221a a -+221()22a -+ 当a ＝22（满足0<a <2221()22a -+取得最小值， 即MN 的长度最短，最短为22． 15．【答案】M ⎝⎛⎭⎫13，1，23；N ⎝⎛⎭⎫16，12，56．16．【答案】V （0，0，3），A （－1，－1，0），B （1，－1，0），C （1，1，0），D （－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1． ∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）． ∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．【答案】（1）P ′⎝⎛⎭⎫－23，23，－13；（2）当m ＝12时，|MP |取得最小值22，此时点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 【解析】（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13， P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ）， 则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．【答案】详见解析．19．【答案】（﹣4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴1AC （﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．。
高中数学3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式课件北师大版必修2
－6)，则 λ，μ，v 的值为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
答案 D
解析 关于 x 轴对称的点，x 轴上的坐标不变，其他是相反数，则
λ＝2，
3－μ＝－7， －1＋v＝6
λ＝2，
⇒μ＝10， v＝7.
[变式训练1] 如图，棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 AB 的中点，F 是 BB1 的中点，G 是 AB1 的中点，试建立适当的坐标系，并确定 E，F，G 三点的坐标．
解 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面 xDy 中，且|EA|＝12.
答案
类题通法 建系确定点的坐标的原则
(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两 个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加 上正负号)确定第三个坐标．
＝ □14 a2＋b2＋c2 .
4．空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点 P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝ □15 x20＋y20＋z20 .
(2)空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝□16 x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
提示
(4)已知点 P(x，y，z)，如果 r 为定值，那么 x2＋y2＋z2＝r2 表示什么图形？
空间直角坐标系中点与坐标系的关系
那在空间直角坐标系中，点M（a,b,c）的坐标出了是点与坐标轴垂线交点外， 是否也是代表着一种距离呢？和平面直角坐标系中肯定是不同的，那不同之 处在哪里？大家一起思考下。
Z c a
b M（a,b,c）
通过右图所演示的点的确立过程， 可以得到，空间直角坐标系中的 坐标，同样代表着一种距离信息。 X坐标绝对值表示点到 Y坐标绝对值表示点到
练习：在空间直角坐标系中作出点P(3，-2，4)
思路：现将问题放在平面上看待，即找出点P在平面XOY中的对应 点P`。两个点间就差一个高度4。
Z
P （3，-2,4）
Y （3，-2,0）P` X O
在空间直角坐标系中画出下列点，并思考他们有什么共同之处
A(1，1，0) B(1，2，0) C(1，0，1) D(2，0，1) E(0，1，2) F(0，2，3)
①点 P(a，b，c)关于 x 轴的对称点为 P1(a，－b，－c)； ②点 P(a，b，c)关于 y 轴的对称点为 P2(－a，b，－c)； ③点 P(a，b，c)关于 z 轴的对称点为 P3(－a，－b，c)； ④点 P(a，b，c)关于原点的对称点为 P4(－a，－b，－c)．
Y
YOZ平面 XOZ平面
的距离 的距离 的距离
c
O a
b
Z坐标绝对值表示点到
M` （a,b,0）
XOY平面
X
例题：在空间直角坐标系中，自点M（-4，-2,3）引各坐标平面和 坐标轴垂线。求个垂足的坐标。
M
所以，在X轴垂足坐标为
Z 3
在Y轴垂足坐标为
-4 Y
M`
-2 X O
在Z轴垂足坐标为 到XOY平面距离为 到Y0Z平面距离为 到XOZ平面距离为
2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系课件北师大版必修220171016317
������ = 4, ������ = -1, ������ = 0.
故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4,-1,0). 答案:(-2,-1,-4) (-2,1,-4) (4,-1,0)
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)关于哪条坐标轴对称 ,哪个坐标不变 ,其余的坐标分量变为原 来的相反数 ,即 P(x,y,z) P(x,y,z) P1(x,-y,-z); P2(-x,y,-z);
P(x,y,z) P3(-x,-y,z). (3)关于原点对称的点 ,三个坐标分量均变为原来的相反数 . P(x,y,z) P1(-x,-y,-z).
【做一做2-3】 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0)
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 由点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). 解:方法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步 骤进行: (1)在x轴上取横坐标为4的点M1; (2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向 向左平移2个单位长度,得到点M2; (3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移 5个单位长度,即可得到点M,如图所示.
【做一做1】 下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的 是( )
A.①③ 答案:C
B.③ C.①②
D.①②③
2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x,y,z),第一个是x坐标,第二个是y坐标, 第三个是z坐标. 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有 序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确 定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组 之间就建立了一一对应的关系.
【三维设计】高中数学 第一部分 第二章§3 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 3.3 空
在空间直角坐标系中，点的坐标可用有序实数组(x，y，z)
表示． 问题1：y轴上点的坐标有什么特点？ 提示：可用(0，y,0)表示．
问题2：点(2,0，－1)，(－1,0,3)，(2,0,3)有什么
特征？这些点的位置如何？
提示：这些点纵坐标为零，都在xOz平面上． 问题3：点(2,1,3)关于x轴和xOy平面的对称点坐 标各是什么？ 提示：(2，－1，－3)，(2,1，－3)．
来确定其位置；平面直角坐标平面上的点M可以用一对 有序实数(x，y)来确定其位置．那么，一架空中飞行的 飞机的位置，该怎样确定呢？ 问题1：只给出飞机所在位置的经度和纬度，能确 定飞机位置吗？ 提示：不能具体确定．
问题2：如果不仅给出飞机位置的经度和纬度，再给
出高度，能确定飞机的位置吗？
提示：能确定．
[一点通]
空间对称点的坐标规律
空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于 点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问 题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面
为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点
关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记 忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点x 坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐 标平面对称的点x、y不变，z坐标相反．特别注意关于原
问题3：点A(3，－1,0)与点B(－1,2,0)的距离为多少？
提示：A、B都在平面xOy上， |AB|＝ 3＋12＋－1－22＝5.
问题4：如果|OP|的长为r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示 什么图形？
提示：表示以O为球心，以r为半径的球面．
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 点在空间直角坐标系中的坐标 空间两点间的距离公式
2
2
5+4
9
0 =
= ,
2
2
-7+3
0 = 2 = -2,
∴AB 的中点 C
||=√25 + 1 + 100 = √126=3√14.
1 9
的坐标为(2 , 2,-2).
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求空间点的坐标
【例1】 (1)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是
自主诊断
1.[人教A版教材习题]先在空间直角坐标系中标出A,B两点,再求它们之间
的距离:
(1)A(2,3,5),B(3,1,4);
(2)A(6,0,1),B(3,5,7).
解 (1)如图所示,标出A(2,3,5).在x轴上取OC=2,在y
轴上取OD=3,在z轴上取OE=5,分别以OC,OD,OE为
解 要作出点M(2,-6,4),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α,过y
轴上坐标为-6的点D作垂直于y轴的平面β,根据几何知识可以得出:这两个
平面的交线就是经过点M'(2,-6,0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为4
的点A'作垂直于z轴的平面γ,那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α,β,γ的
有序实数组(a,b,c).
点P与三元有序实数组是一一对应关系.P↔(a,b,c)
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序
实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都
可以确定空间中的一个点P.三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角
过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上
3.1.1点在空间直角坐标系中的...
3.1.1点在空间直角坐标系中的...1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为()A.2B.1C.5D.32.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是()A.此点在xOy坐标平面上B.此点在xOz坐标平面上C.此点在yOz坐标平面上D.以上都不对4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是()A.10x+2y+10z-37=0B.5x-y+5z-37=0C.10x-y+10z+37=0D.10x-2y+10z+37=05.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=.7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=;点A到坐标平面yOz的距离是.8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.能力达标10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B.cC.|c|D.a+b13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为()A.33B.36C.23D.2614.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B 的坐标为()A.(0,0,10)B.(0,10,0)C.(0,0,-2)D.(0,0,2)15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是三角形.(填三角形的形状)16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=22,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为()A.2B.1C.5D.3答案A解析在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为d=(1-1)2+(-2-0)2+(5-5)2=2.故选A.2.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)答案B3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是()A.此点在xOy坐标平面上B.此点在xOz坐标平面上C.此点在yOz坐标平面上D.以上都不对答案C解析若m=0,点(0,2,0)在y轴上;若m≠0,点的横坐标为0,纵坐标大于0,竖坐标不为0,点(0,m2+2,m)在yOz坐标平面上.综上所述,点(0,m2+2,m)一定在yOz平面上.故选C.4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是()A.10x+2y+10z-37=0B.5x-y+5z-37=0C.10x-y+10z+37=0D.10x-2y+10z+37=0答案A解析由|MA|=|MB|,得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2,化简得10x+2y+10z-37=0,故选A.5.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.答案5解析因为点P(3,-2,2)在xOz平面内的射影为B(3,0,2),所以x=3,y=0,z=2,所以x+y+z=3+0+2=5.6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=.答案4解析∵点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,∴M1(-1,-2,-3),M2(-1,2,-3),∴|M1M2|=(-1+1)2+(-2-2)2+(-3+3)2=4.7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=;点A 到坐标平面yOz的距离是.答案3 1解析根据空间两点间的距离公式,得|OA|=(1-0)2+(2-0)2+(2-0)2=3.∵点A(1,2,2),∴点A到平面yOz 的距离为1.8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.解(1)点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标为(-1,-3,5);(2)点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标为(1,-3,5).9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.解建立如图所示空间直角坐标系.点E在xDy平面上的投影为点B,点B坐标为(1,1,0),点E的竖坐标为12,所以E1,1,12.点F在xDy平面上的投影为BD的中点G,点G的坐标为12,12,0,点F的竖坐标为1,所以F12,12,1.能力达标10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)答案C解析选项A的距离为8+5+4=17,选项C的距离为8+5+0=13,选项D的距离为8+5+144≠13,故选C.11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对答案A12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B.cC.|c|D.a+b答案C解析点P在xOy平面的投影点的坐标是P＇(a,b,0),∴|PP＇|2=(a-a)2+(b-b)2+(c-0)2=c2,∴点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是|c|.故选C.13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为()A.33B.36C.23D.26答案B解析|AB|=(2a-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2=5a2+10a+59=5(a+1)2+54,当a=-1时,|AB|min=54=36.14.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为()A.(0,0,10)B.(0,10,0)C.(0,0,-2)D.(0,0,2)答案AC解析设点B的坐标为(0,0,c),由空间两点间距离公式可得|AB|=(-2)2+32+(4-c)2=7,解得c=-2或10,所以B点的坐标为(0,0,10)或(0,0,-2).15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是三角形.(填三角形的形状)答案等腰解析由空间两点间距离公式可求得三角形三边长分别为|AB|=14,|AC|=6,|BC|=6.所以△ABC为等腰三角形.16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为.答案过点(1,0,3)且平行于y轴的一条直线解析由空间中点的坐标特点可知,由于x轴上坐标与z轴上坐标已确定,所以点P的集合为过(1,0,3)且平行于y轴的一条直线.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=22,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.∵|AP|=|AB|=2,|BC|=22,四边形ABCD是矩形,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2),∴|PB|=(0-2)2+(0-0)2+(2-0)2=22,∴|PB|=|BC|,又F为PC的中点,∴PC⊥BF.∵E(0,2,0),∴|PE|=(0-0)2+(2-0)2+(0-2)2=6,|CE|=(0-2)2+(2-22)2+(0-0)2=6,∴|PE|=|CE|,又F为PC的中点,∴PC⊥EF.18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.解(1)因为直线EF 是AB的垂直平分线,所以在平面ABB1A1内只有线段EF上的点到A,B 两点的距离相等,又A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),由|PA|=|AB|得(1-2)2+(2-0)2+(m-0)2=20.所以m2=15.因为m∈[0,4],所以m=15.故平面ABB1A1内的点P(1,2,15),使得△ABP为等边三角形.(2)设MN 上的点Q(0,2,n)满足题意,由AB为Rt△AQB斜边,且F为AB中点,所以|QF|=12|AB|,又F(1,2,0),则(0-1)2+(2-2)2+(n-0)2=12(0-2)2+(4-0)2+(0-0)2,整理得n2+1=5.所以n2=4.因为n∈[0,4],所以n=2.故MN上存在点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.。
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下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3 ) 5y
空间直角坐标系
z
从空间某一个定点０引三条互相
垂直且有相同单位长度的数轴，这样
就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o
y
x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条
2
１．空间直角坐标系的概念． ２．空间直角坐标系的画法． ３．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
方法一：过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的
空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，数值x,y,z
叫做 P点的横z 坐标、纵坐标、竖坐标。
z • P3
1
•o
xx•
1 P1
各点，并说明这些点的位置
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
z
D• •B
1 •A
O•
F• 1
C
•
y
1
•E
x
如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点 C、B′、P的坐标. 答案：C、B′、P 各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)， ( 3 , 2,3)
标，纵坐标和竖坐标都是０．
z
２．xoy坐标平面内的点
R(0,0, z)
的竖坐标为０，横坐标
B(0, y, z)
与纵坐标分别是点向两
C( x,o, z)
• M( x, y, z) 轴作垂线交点的坐标．
O(0,0,0) o
y
Q(0, y,0)
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
1、在空间直角坐标系中描出下列
们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明:
☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o y
x
空间直角坐标系的画法:
z
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,
而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同，x 1350 o
轴上的单位长度为y轴（或z轴
1350
y
）的单位长度的一半．
x
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标
1
•P
y
• P2y
3、空间中点的坐标
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为P0 点
。P点0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐
标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂P1 足 在z轴上
的坐标z就是P点的竖坐标。
z
z P1
P
P点坐标为
1
•
(x,y,z)
x
•o
1
1
xM
yy
N
• P0
应用举例
例1．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).
解 先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置.
因为点P的z坐标为4, 则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴 在xOy平面的同侧，这样就确定 了点P在空间直角坐标系中的位置 ,如右图所示.
想
在空间直角坐标系中, x轴上的点、xoy
一 坐标平面内的点的坐标各有什么特点？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想
？ 1．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐
坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、
yoz平面、和 zox平面．
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz 面
Ⅳ
xy 面
z zx 面
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂
直，并使四指先指向x轴正方向，然后让
四指沿握拳方向旋转 90o 指向y轴正方
向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我