八年级数学上册-第十二章 整式的乘除 12.5 因式分解同步课件 (新版)华东师大版
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秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第1课时因式分解及提公因式法导学课件新版华东师大版
12.5 因式分解
目标突破
目标一 理解因式分解的概念
例 1 [教材补充例题] 下列变形属于因式分解的是( D ) A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 B.x12－y12＝1x＋1y1x－1y C. x4y3＋x3y4－x2y4＝x2y2(x2y＋xy2－y2) D. a2b3＋ab2＝ab2(ab＋1)
【归纳总结】运用提公因式法分解因式的基本步骤： (1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式．
12.5 因式分解
注意：(1)公因式既可以是单项式，也可以是多项式． (2)确定一个多项式各项的公因式时，不仅要考虑字母因式，还 要考虑系数．对于系数，取各项系数的最大公因数作为公因式 的系数；对于字母因式，取相同字母因式的最低次幂． (3)若首项系数是负数，一般要先提出负号． (4)提公因式时，如果某项就是公因式或与公因式互为相反数， 那么提取后不能漏掉±1. (5)将多项式分解因式时，必须分解到不能再分解为止．
12.5 因式分解
知识点二 提公因式法
定义：把一个多项式的各项都含有的相同的因式提出来，将多项 式写成因式的积的形式，这种因式分解的方法，叫做提公因法．
[点拨] 提公因式法的实质是逆用分配律．
12.5 因式分解
反思
计算：(x－2)2＋(x－2)(x＋6)． 解：原式＝(x－2)(x－2＋x＋6) ＝(x－2)(2x＋4)＝2(x－2)(x＋2) ＝2(x2－4) ＝2x2－8. (1)错因分属于整式乘法．B项不是整式．C项还可以继续 分解，犯了分解不彻底的错误．故选D.
12.5 因式分解
【归纳总结】因式分解的四点注意： (1)因式分解的对象是多项式，不是多项式的代数式的变形不能称为 因式分解； (2)因式分解的结果是几个整式的积的形式，不是和或其他形式； (3)因式分解的结果中的每个因式都是整式(单项式或多项式)； (4)因式分解与整式乘法是两个互逆的运算过程．因式分解的结果是 否正确，可以利用整式乘法将其还原成多项式来检验．
八年级数学上册 第12章 整式的乘除12.5 因式分解第1课时课件
12/13/2021 ( a 3)( a 5)
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例3 把－x3＋x2－x分解(fēnjiě)因式． 解：原式＝－(x3－x2＋x)
＝－x(x2－x＋1)
注意
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地， 应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括 号(kuòhào)内的每一项的符号都要改变，且最后一 项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错 解为－x(x2－x)．
把下列(xiàliè)多项式分解因式：
（1）3a2-9ab
（2） 3x3 12xy2
解：原式 =3a(a-3b)
解：原式 3x(x2 4y2)
（3）x(xy)y(xy) 解：原式 (xy)(xy)
（4） (a3)2(2a6)
解：原式 (a 3)2 2(a 3)
(a 3)(a 3) 2
解法(jiě fǎ)二：993－99=99（992－1） =99（99＋1）（99－1）
=100×99×98
哪种解法简单？
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因式分解与整式乘法的关系：
整式(zhěnɡ shì)
的积
(a+b)(a-b)
多项式
=a2-b2
多项式
a2-b2
整式(zhěnɡ shì) 的积
=(a+b)(a-b)
公因
式
4
最大公约数
a、b
相同(xiānɡ tónɡ) 字母
Hale Waihona Puke a、b2最低指数观察 方向 一看系数(xìshù) 二看字母
三看指数
12/13/2021
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知识 要 (zhī shi) 点
确定(quèdìng)公因式的方法：
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件
(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
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3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
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内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
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辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
华师版八年级数学上册--第十二章 整式的乘除复习(二)ppt课件
方法技巧 因式分解的步骤，一提(提公因式)，二套(套公式，主要是平方差公式和两数和(差) 的平方公式)，三分组(对于不能直接提公因式和套公式的题目，我们可将多项式 先分成几组，然后分组因式分解)．本题易犯的错误是分组时，第二组提取符号时 括号内出现变换错误．
第十二章 |复习（二）
考点二 图形面积与代数恒等式 例3 有若干张如图12－3所示的正方形和长方形卡片，如果要 拼一个长为(2a＋b)，宽为(a＋b)的长方形，则需要A类卡片 ______2__张，B类卡片____1____张，C类卡片___3_____张，请你在图12 －4的大长方形中画出一种拼法．
给出 3 个整式：x2,2x2－1，x2－2x. 从上面 3 个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法 运算，若结果能因式分解，请将其因式分解．
第十二章 |复习（二）
解：x2＋2x2－1＝3x2－1； 或 x2＋x2－2x＝2x2－2x，结果可以因式分解，2x2－2x＝2x(x－ 1)； 或 2x2－1＋x2－2x＝3x2－2x－1，此结果可以因式分解，3x2－2x －1＝(3x＋1)(x－1)．
方法技巧 本题具体解答时只需要上述的一个答案即可，学生容易错误地认 为 3x2－2x－1 不能分解因式．
第十二章 |复习（二） 已知：如图 12－6，在直径 D1＝18 mm 的圆形零件上
挖出直径为 D2＝14 mm 的圆孔，则所得圆环形零件的面积是多 少？(结果保留整数)
图 12－6
第十二章 |复习（二）
式分解的意义，即把多项式分解成几个整式乘积的形式，但
右边括号里不全是整式，故D错．
第十二章 |复习（二）
分解因式：a3＋a2－a－1＝_(_a_＋__1_)2_(_a.－1)
[解析] 可以把前两项结合提取 a2，把后两项结合，a3＋a2－a－1＝a2(a＋1) －(a＋1)＝(a＋1)·(a2－1)＝(a＋1)2(a－1)，所以填(a＋1)2(a－1)．
第十二章 |复习（二）
考点二 图形面积与代数恒等式 例3 有若干张如图12－3所示的正方形和长方形卡片，如果要 拼一个长为(2a＋b)，宽为(a＋b)的长方形，则需要A类卡片 ______2__张，B类卡片____1____张，C类卡片___3_____张，请你在图12 －4的大长方形中画出一种拼法．
给出 3 个整式：x2,2x2－1，x2－2x. 从上面 3 个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法 运算，若结果能因式分解，请将其因式分解．
第十二章 |复习（二）
解：x2＋2x2－1＝3x2－1； 或 x2＋x2－2x＝2x2－2x，结果可以因式分解，2x2－2x＝2x(x－ 1)； 或 2x2－1＋x2－2x＝3x2－2x－1，此结果可以因式分解，3x2－2x －1＝(3x＋1)(x－1)．
方法技巧 本题具体解答时只需要上述的一个答案即可，学生容易错误地认 为 3x2－2x－1 不能分解因式．
第十二章 |复习（二） 已知：如图 12－6，在直径 D1＝18 mm 的圆形零件上
挖出直径为 D2＝14 mm 的圆孔，则所得圆环形零件的面积是多 少？(结果保留整数)
图 12－6
第十二章 |复习（二）
式分解的意义，即把多项式分解成几个整式乘积的形式，但
右边括号里不全是整式，故D错．
第十二章 |复习（二）
分解因式：a3＋a2－a－1＝_(_a_＋__1_)2_(_a.－1)
[解析] 可以把前两项结合提取 a2，把后两项结合，a3＋a2－a－1＝a2(a＋1) －(a＋1)＝(a＋1)·(a2－1)＝(a＋1)2(a－1)，所以填(a＋1)2(a－1)．
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.5因式分解(第2课时)
第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 两数和与两数差的积——因式分解教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法——公式法；3.掌握运用平方差公式因式分解的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤因式分解的能力.教学重难点重点：掌握公式法（两数和与两数差的积）进行因式分解. 难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.复习巩固1.因式分解是怎样定义的？因式分解有什么特点？2.把下面多项式分解因式：（1）3222320515y x y x y x -+； （2）22230156mn mn n m +-； （3）()()b a y b a x +-+； （4）()()()22332a b a b a a b +--+. 【答案】（1）()224135y xy y x -+. （2）()32510mn m n n -+. （3）()()a b x y +-. （4）-()()23a b a b ++. 3.计算：()()a b a b +-. 【答案】 22b a -.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来用，就可以将某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.探索：根据上面的计算，请你猜想22a b -的结果. 把乘法公式()()22a b a b a b +-=-反过来， 就得到：教学反思探究新知【实践探究，交流新知】思考：两数和与两数差的积——因式分解： （1）（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 【注意】（1）要弄清楚整式乘法中的两数和与两数差的积与因式分解中的两数和与两数差的积的区别，因式分解中左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和乘以这两个数的差；（2）a ，b 可以是单独的数或具体的字母，也可以是多项式. 例如：【小组讨论，师生互学】例1 把下列多项式分解因式：（1）2251a -； （2）222z y x -； （3）2201.094n m -.解：（1）()()()222125151515a a a a -=-=+-；（2）()()()22222x y z xy z xy z xy z -=-=+-；（3）()222242220.010.10.10.19333m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 把下列各式分解因式：（1）()()22q x p x +-+； （2）()()22916b a b a +--.分析：()()22q x p x +-+是x p +与x q +的平方差；把式子()216a b -- ()29a b +改写成()[]()[]2234b a b a +--后，可以看出它是4()a b - 与()b a +3的平 方差，所以它们都可以运用两数和与两数差的积因式分解.教学反思解：（1）()()22q x p x +-+()()()()x p x q x p x q =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2x p q p q =++-； （2）()()22916b a b a +--()()2243a b a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()4343a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()77a b a b =--. 例3 把下列各式分解因式：（1）35x x -； （2）44y x -. 解：（1）35x x - ()123-=x x()()311x x x =+-；（2）44y x -()()2222y x-=()()2222x y x y =+- ()()()22x y x y x y =++-.【注意】（1）如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，再进一步因式分解.（2）因式分解要彻底，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 同步练习：把下列各式分解因式：（1）3（a +b ）2-27c 2 ； （2）16（x +y ）2-25（x -y ）2； （3）a 2（a -b ）+b 2（b -a ）； （4）（5m 2+3n 2）2−（3m 2+5n 2）2. 【答案】（1）3（a +b +3c ）（a +b -3c ）；（2）（9x -y ）（9y -x ）；（3）（a +b ）（a -b ）2；（4）16（m 2+n 2）（m +n ）（m −n ）.【合作探究，解决问题】用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）例4 已知2 48-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数. 【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝（224+1）（224-1）＝（224+1）（212+1）（212-1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）.∵26＝64，∴26-1＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65和63.教学反思【题后总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.例5 利用因式分解计算： （1）1012-992；（2）5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和公式法进行因式分解. 解：（1）1012-992＝（101+99）（101-99）＝400.（2）5722×14-4282×14＝（5722-4282）×14＝（572+428）（572-428）×14＝1 000×144×14＝36 000.【题后总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，可以使运算简便.课堂练习1.下列代数式中能用两数和与两数差的积因式分解的是（ ） A.a 2+b 2 B.−a 2−b 2 C.a 2−c 2−2ac D.−4a 2+b 22.将−4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A.（0.3x +2）（0.3x -2） B.（2+0.3x ）（2-0.3x ） C.（0.03x +2）（0.03x -2） D.（2+0.03x ）（2-0.03x ）3.已知多项式x +81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a +3b ）（3b -2a ），则x 的值是（ ）A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 2 4. 因式分解：249x -=_____________.5. 因式分解：2()1xy -＝ . 6. 因式分解：4x 2-y 2＝ . 7. 因式分解：a 2−144b 2＝ .8. 已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5，求（m +2n ）2-（3m -n ）2的值. 参考答案1.D2.A3.B4. (23)(23)x x -+5. (1)(1)xy xy +-6. （2x +y ）（2x −y ）7.（a +12b ）（a −12b ）8. 解：原式＝（m +2n +3m −n ）（m +2n −3m +n ） ＝（4m +n ）（3n −2m ） ＝− （4m +n ）（2m −3n ）.当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和与两数差的积，并能灵活地利用两数和与两数差的积进行因式分解.2.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因教学反思式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——平方差法两数和与两数差的积：（1（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.。
华东师大版数学八年级上册第12章整式的乘除复习课件
17．对于任何实数，我们规定符号ab
c 的意义是：a
d
bx＋1＝0 时，x3＋x 1x－x－ 1 2的值．。
解：xx＋－12 3xx－1＝(x＋1)(x－1)－3x(x－2)＝x2－1－3x2＋6x＝－2x2＋ 6x－1，∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1，∴原式＝－2(x2－3x)－1＝2
检测练习
一、选择题 1.下列运算正确的是( D ) A．(x－2)2＝x2－4 B．x3·x4＝x12 C．x6÷x3＝x2 D．(x2)3＝x6 2.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( D ) A．(x－2y)(2y＋x) B．(2y－x)(－x－2y) C．(x－2y)(－x－2y) D．(－2y－x)(x＋2y)
多项 式的 乘法
单项 式的 除法
单项式与 多项式的 除法
乘法公 式（因 式分解）
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数) 幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数) 积的乘方
(ab)=an bn (n是正整数)
同底数幂的除法
1.am ÷an=am－n
(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
4.反向思考法：如逆用乘法公式解题等。
中考考向分析 热点：整式的乘除法、整式乘法的应 用。
冷点：整式乘除法中技能性解题方法。
本章知识在中考中主要以选择、填空 题予以考查，少数中档题考查乘法公式的 应用，约占中考试卷的7%左右。
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
单项 式的 乘法
单项式与 多项式的 乘法
（3）利用（2）猜想的结论计算： 29－28＋27－……＋23－22＋2。 解：在(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn中，取a＝2，b＝ －1，n＝10，得(2＋1)(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝210－(－1)10， 即3(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝1023，29－28＋27－…＋23－22＋2 －1＝341，∴29－28＋27－…＋23－22＋2＝342。
新华东师大版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.5 因式分解 用平方差公式进行因式分解》优质课课件_20
（2）4a²-1分解因式的结果应是 （ ）
A. (4a+1)(4a-1)
B.( 2a –1)(2a –1)
C. (2a+1)(-2a+1)
D.(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
（1） -9x2+4y2 （2)9（x+y）2-4y2 （3）18-2b²
布置作业
A组 课本P100 1（1）---（6） 2（1）（3）（5）（6）
因式分解
教学目标：
1.了解平方差公式的结构，学会用平方差公式分解 因式.
2.经历用平方差公式分解因式的全过程，提高对代 数式的变形能力.
3.发展逆向思维。
复习回顾：
1、前一节课我们学习一种因式分解的方法是什么？
2、分解因式：（1）2x3 4x __2__x_（__x_2 ___2） （2）（a b）2 （3 a b） _（__a__b_（）__a___b 3）
知识运用
例1 把下列各式分解因式：
（1）
9a2-
1 4
b2
(2) 4 m2 0.01n2 9
解：原式 (3a)2 ( 1 b)2
2
(3a 1 b)(3a 1 b).
2
2Байду номын сангаас
试一试
把下列各式分解因式：
(1)a 2 1 x 2 9
(2)4x2-9y2
(3)36n2-1
(4)0.81a2-16b2
a 2 b 2 ( a b )( a b )
（(22x0m+0zn6)）22－22(0y0+(5p32)x2y)2
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解．
八年级数学上册第12章整式的乘除12.4整式的除法授课课件新版华东师大版
知1－导
这里商式的系数4和字 母因 式a3c2是怎样计算 出来的？你能总结出单 项式相除的法则吗？
感悟新知
单项式除以单项式法则：
知1－导
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于
只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
步骤：
（1）把系数相除，所得结果作为商的系数.
（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式.
＝－4a2＋a－3；
(2)原式＝
2 3
a5b8
2a 2b6
1 9
a ＝ 2b6
2 3
a5b8÷
1 9
a2b6＋(－2a2b6)
1
÷ 9 a2b6＝6a3b2－18.
感悟新知
总结
知2－讲
多项式除以单项式的实质是转化为单项式除以 单项式的商的和，计算时应注意逐项相除，不 要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果 通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列.
所以n＝4.所以n－m＝4－18＝－14.
感悟新知
总结
知1－讲
本题运用方程思想求解．利用单项式除以单项式法 则把条件中的等式左边化简成一个单项式，再通过 对比构造方程是解题的关键．
感悟新知
知1－练
1． (中考·遵义)计算－12a6÷3a2的结果是( )
A．－4a3
B．－4a8 C．－4a4
D．－
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
学习目标
1 课时讲解 单项式除以单项式
多项式除以单项式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 单项式除以单项式
试一试
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
华东师大版(新版)八年级数学上册：第12章整式的乘除小结与复习课件
8．因式分解的步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式； 在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，视察多项 式的次数：二项式可以尝试运用 平方差公式分解因式；三项 式可以尝试运用 两数和(差)公的式分解因式； 分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
9．图形面积与代数恒等式
整体思想
例6 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
[注意] 其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字
母，还可以是一个任意的代数式；这几个法则容易混淆，计算 时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 积 的情势，叫做多项式的 因式分解．
因式分解的过程和 整式乘法 的过程正好相反．
6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 最大公约数 ；字母取多项式各项 相同 的字母；各字母 指数取次数最 低 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 括号 外面，将多项式写成 因式乘积 的情势，这 种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时 先要考虑多项式的各项有无公因式．
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解3公式法完全平方公式课件新版华东师大版
013×2 018＝b， 6782＋1 358＋690＋678 ＝c，则a、
b、c的大小关系是( )
A．b<c
D．c<b<a
【点拨】a＝681×2 019－681×2 018＝681×(2 019－2 018) ＝681×1＝681＝ 6802＋2×680＋1＝ 6802＋1 361 ， b＝2 015×2 016－2 013×2 018＝2 015×2 016－(2 015－ 2)×(2 016＋2)＝2 015×2 016－2 015×2 016－2×2 015＋ 2×2 016＋2×2＝－4 030＋4 032＋4＝6，
(4)(x2＋4y2)2－16x2y2. (x2＋4y2)2－16x2y2
＝(x2＋4y2＋4xy)(x2＋4y2－4xy) ＝(x＋2y)2(x－2y)2.
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结
果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－8x＋16
6．【中考·长春】把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
7．【2021·郑州期末】下列因式分解中，正确的是( C ) A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b) B．a2－9b2＝(a－3b)2 C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2 D．a2－ab＋a＝a(a－b)
(1)问题：若x2＋2y2－2xy－4y＋4＝0，求xy的值．
解：原式可变形为(x－y)2＋(y－2)2＝0， ∵(x－y)2≥0，(y－2)2≥0， ∴x－y＝0，y－2＝0， ∴x＝y＝2. ∴xy＝4.
八年级数学上册 第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时课件 华东师大级上册数学课件
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
结论 ： (jiélùn)
1、若有公因式，要先提公因式，再考虑平方差
公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
(2)2x4-32y4 =2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
12/11/2021
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
(2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
试一试：
根据上面结果(jiē guǒ)，你会做下面因式分解吗？
a2 -9= （ a+3）( a-3)
4x2-y2= ( 2x+y)( 2x-y)
12/11/2021
a2- b2 =(a +b) (a - b)
第八页，共十九页。
因式分解(yīn shì fēn jiě)的平方差公式：两的个积因的式形(yī式nshì)
(a+b)(a-b) = a²- b² 两个(liǎnɡ ɡè)数的和与这两个数的差 的积，等于这两个数的平方差。
公式结构特点：
等式左边是：两个数的和与这两个 数的差的积
12/等11/202式1 右边是：这两个数的平方差
第七页，共十九页。
: 做一做 根据(gēnjù)平方差公式做下列练习
（a+3)(a-3)= a2 -9
平方式
示什么
（a－b）2
是
ab表表示示1(b/iǎ2oshì)x，( x
1 )2 2
9a2b23ab 1 否
1m2 3mn9n2 4
x610x325 /11/2021
是
a表示
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解目标三变形后提公因式法课件新版华东师大版
10 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac －5bc＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0， ∴a2(a－b)＋5c(a－b)＝0.∴(a－b)(a2＋5c)＝0. ∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a2＋5c≠0.∴a－b＝0.∴a＝b. ∴△ABC是等腰三角形．
【点拨】∵(y＋z－x)(z－x－y)＝[－(x－y－z)]·[－(x ＋y－z)]＝(x－y－z)(x＋y－z)， ∴(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式 是x＋y－z.
4 【2020·聊城】因式分解：x(x－2)－x＋2＝ _(_x_－__2_)_(x_－__1_)__.
6 △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc， 则△ABC是( B ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7 若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( A ) A．3 B．2 C．1 D．－1
【点拨】(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n) ＝(m－n)(m－n－2)＝(－1)×(－1－2)＝3.
2 观察下列各组式子： ①2a＋b和a＋b; ②5m(a－b)和－a＋b； ③3(a＋b)和－a－b; ④x2－y2和x2＋y2. 其中有公因式的是( B ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3 (x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式 是( A ) A．x＋y－z B．x－y＋z C．y＋z－x D．不存在
11 【2021·西安交大附中月考】先阅读下面分解因式的 过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (1)上述分解因式的方法是__提__公__因__式__法________，共 应用了__两______次；
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法平方差公式课件新版华东师大版
(3)【2020·安徽】ab2－a＝_a_(_b_＋__1_)_(b_－__1_)__．
7．已知 x2－y2＝－1，x＋y＝12，则 x－y＝( B )
A．2
B．－2
C．12
D．－12
8．若xn－1＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)，则n等
于( D )
A．4
B．6
C．8
D．16
原式＝(a－b)(a2－4)＝(a－b)(a＋2)(a－2)． (3)【2021·商丘期末】5m(2x－y)2－5mn2.
原式＝5m[(2x－y)2－n2]＝5m(2x－y＋n)(2x－y－n)
12．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你 认为她做得不够完整的是( A ) A．x3－x＝x(x2－1) B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y) C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝999 800.
②3562－3316 2. 解：3562－33162 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分
解因式的是( C )
A．a2＋b2
B．2a－b2
C．a2－b2
D．－a2－b2
7．已知 x2－y2＝－1，x＋y＝12，则 x－y＝( B )
A．2
B．－2
C．12
D．－12
8．若xn－1＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)，则n等
于( D )
A．4
B．6
C．8
D．16
原式＝(a－b)(a2－4)＝(a－b)(a＋2)(a－2)． (3)【2021·商丘期末】5m(2x－y)2－5mn2.
原式＝5m[(2x－y)2－n2]＝5m(2x－y＋n)(2x－y－n)
12．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你 认为她做得不够完整的是( A ) A．x3－x＝x(x2－1) B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y) C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝999 800.
②3562－3316 2. 解：3562－33162 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分
解因式的是( C )
A．a2＋b2
B．2a－b2
C．a2－b2
D．－a2－b2
2022年秋八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 12.5 因式分解(第1课时)课件 (新版)华东师
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
谢谢收看
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/ 12022/ 3/12022/3/1
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年3月 2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/3/ 12022/ 3/1Mar ch 1, 2022
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11、人总是珍惜为得到。2022/3/12022/3/12022/3/1Mar-221-Mar -22
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12、人乱于心，不宽余请。2022/3/12022/3/12022/3/1Tuesday, March 01, 2022
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案华东师大版(202
八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案（新版）华东师大版
编辑整理：
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案（新版）华东师大版的全部内容。
因式分解及提公因式法。
2022秋八年级数学上册 第12章 整式的乘除12.5 因式分解 1因式分解授课课件华东师大版
C．3
D．4
感悟新知
5．一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)， 知2－练 那么 这个多项式是( ) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
6． (中考·常德)下列因式分解正确的是( ) A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．(x2－4)x＝x3－4x C．ax＋bx＝(a＋b)x D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2
2
课堂小结
因式分解
1.因式分解与整式乘法是一个互逆过程： 即： 几 个 整 式 相 乘 因 整 式 式 分 乘 解 法 一 个 多 项 式
2．因式分解必须做到两点： (1)结果必须是因式的积的形式； (2)每个因式是整式且不能再分解．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
感悟新知
知识点 2 因式分解与整式乘法关系的关系
知2－导
还记得整数的因数分解与乘法之间的关系吗？
感悟新知
知2－导
整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是 和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 因 整式 式分 乘解 法 整式乘积的形式
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大家好
1
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12.5 因式分解
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学习目标： 培养综合运用因式分解两种基本方法的解题能力，提高 学生综合使用因式分解方法的熟练程度 教学重点：熟练掌握利用两种基本方法进行因式分解 教学难点：灵活运用各种因式分解方法进行因式分解
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例 2 把下列多项式分解因式： （1）4x³y-4x²y²+xy³ （2）3x³-12xy²
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解：（1）4x³y-4x²y²+xy³ =xy(4x²-4xy+y²) =xy(2x-y)² （2）3x³-12xy² =3x(x²-4y²) =3x(x-2y)(x+2y)
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③ a5b3-a3b5
解：原式=a3b3(a2-b2) =a3b3(a+b)(a-b)
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练习3：
(6)如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，
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教学过程： 一、预习提问： 1、把 一个多项式 化成 几个整式的乘积 的形式， 叫做把这个多项式因式分解.
2、因式分解与 整式乘法 是互逆变形，分解的结果对 不对可以用 整式乘法 运算检验
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五、布置作业 教科书习题
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②2a(b-c)-3(c-b)2 =2a(b-c)+3(b-c)2 =(b-c)(2a+3b-3c)
解：解法不对 改正：2a(b-c)-3(c-b)2
=2a(b-c)-3(b-c)2 =(b-c)(2a-3b+3c)
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四、小结 1、因式分解的定义 2、因式分解的两种基本方法 3、因式分解的一般步骤 4、引导学生换个角度思考：即按其项数确定分解方法
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（1）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因式 （两项为异号时） （2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式 强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解 为止.
练习2：
(4)判断对错：
25t2-0.09y2=(5t+0.03y)(5t-0.03y)( 错 )
4a-a2-4=-(a+2)2
(错 )
a2-25=(a+5)(a-5)
(对)
a3-a=a(1-a)2
(错 )
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(5)因式分.zzstep.co9m
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总结因式分解的一般步骤： 1、如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
2、如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用 公式来分解；
3、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为 止.
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(3)把5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2因式分解. 解：原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)] =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
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解：（1） -5a2+25a
=5a (-a)+5a 5
=5a(-a+5) = -5a(a-5) (2) 3a2-9ab =3a(a-3b)
(3) 25x²-16y² =(5x)²-（4y）² =(5x+4y)(5x-4y) (4) x²+4xy+y² =x²+2∙x∙2y+(2y)² =（x+2y）²
解：原式=(x2-1)2 =[(x+1)(x-1)]2 =(x+1)2(x-1)2
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② (x2+y2)2-4x2y2 解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2
那么另外的因式是( B )
A.x2+y2
B.(x-y)2
C.(x+y)(x-y)
D.(x+y)2
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(7)a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是( C ) A.(a-b)(a-c) B.(a-b)(a-c) C.(a+b)(a-c) D.(a+b)(a+c)
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(8)把下列各式因式分解： ①-x2+6x-9 ②x2+2xy+y2-z2 ③ab+a+b+1 ④(x-1)(x-3)+1
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①解：原式=－(x2-6x+9) =－(x-3)2
②解：原式=(x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)
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③解：原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
④解：原式=(x2-4x+3)+1 =x2-4x+4 =(x-2)2
三、课堂训练： 练习1： (1)分解因式：3ax2+6axy+3ay2= 3a(x+y)2 .
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(2)下列解法对吗？若不对，应如何改正？ 解：① -x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy)
解：解法不对 改正：-x4y5+x2y2-xy = -xy(x3y4-xy+1)
3、本节要学习（1）__提___公__因__式__法_______; （2）__运__用__公__式___法____两种因式分解的方法.
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二、例题讲解
例 1 把下列多项式分解因式： （1）-5a2+25a；（2）3a2-9ab；（3）25x²-16y²；（4）x²+4xy+4y²
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(9)若a+b=4,a2+b2=10，求a3+a2b+ab2+b3的值. 解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) ∵a+b=4,a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
1
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12.5 因式分解
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学习目标： 培养综合运用因式分解两种基本方法的解题能力，提高 学生综合使用因式分解方法的熟练程度 教学重点：熟练掌握利用两种基本方法进行因式分解 教学难点：灵活运用各种因式分解方法进行因式分解
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例 2 把下列多项式分解因式： （1）4x³y-4x²y²+xy³ （2）3x³-12xy²
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解：（1）4x³y-4x²y²+xy³ =xy(4x²-4xy+y²) =xy(2x-y)² （2）3x³-12xy² =3x(x²-4y²) =3x(x-2y)(x+2y)
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③ a5b3-a3b5
解：原式=a3b3(a2-b2) =a3b3(a+b)(a-b)
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练习3：
(6)如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，
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教学过程： 一、预习提问： 1、把 一个多项式 化成 几个整式的乘积 的形式， 叫做把这个多项式因式分解.
2、因式分解与 整式乘法 是互逆变形，分解的结果对 不对可以用 整式乘法 运算检验
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五、布置作业 教科书习题
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②2a(b-c)-3(c-b)2 =2a(b-c)+3(b-c)2 =(b-c)(2a+3b-3c)
解：解法不对 改正：2a(b-c)-3(c-b)2
=2a(b-c)-3(b-c)2 =(b-c)(2a-3b+3c)
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四、小结 1、因式分解的定义 2、因式分解的两种基本方法 3、因式分解的一般步骤 4、引导学生换个角度思考：即按其项数确定分解方法
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（1）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因式 （两项为异号时） （2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式 强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解 为止.
练习2：
(4)判断对错：
25t2-0.09y2=(5t+0.03y)(5t-0.03y)( 错 )
4a-a2-4=-(a+2)2
(错 )
a2-25=(a+5)(a-5)
(对)
a3-a=a(1-a)2
(错 )
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(5)因式分.zzstep.co9m
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总结因式分解的一般步骤： 1、如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
2、如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用 公式来分解；
3、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为 止.
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(3)把5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2因式分解. 解：原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)] =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
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解：（1） -5a2+25a
=5a (-a)+5a 5
=5a(-a+5) = -5a(a-5) (2) 3a2-9ab =3a(a-3b)
(3) 25x²-16y² =(5x)²-（4y）² =(5x+4y)(5x-4y) (4) x²+4xy+y² =x²+2∙x∙2y+(2y)² =（x+2y）²
解：原式=(x2-1)2 =[(x+1)(x-1)]2 =(x+1)2(x-1)2
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② (x2+y2)2-4x2y2 解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2
那么另外的因式是( B )
A.x2+y2
B.(x-y)2
C.(x+y)(x-y)
D.(x+y)2
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(7)a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是( C ) A.(a-b)(a-c) B.(a-b)(a-c) C.(a+b)(a-c) D.(a+b)(a+c)
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(8)把下列各式因式分解： ①-x2+6x-9 ②x2+2xy+y2-z2 ③ab+a+b+1 ④(x-1)(x-3)+1
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①解：原式=－(x2-6x+9) =－(x-3)2
②解：原式=(x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)
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③解：原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
④解：原式=(x2-4x+3)+1 =x2-4x+4 =(x-2)2
三、课堂训练： 练习1： (1)分解因式：3ax2+6axy+3ay2= 3a(x+y)2 .
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(2)下列解法对吗？若不对，应如何改正？ 解：① -x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy)
解：解法不对 改正：-x4y5+x2y2-xy = -xy(x3y4-xy+1)
3、本节要学习（1）__提___公__因__式__法_______; （2）__运__用__公__式___法____两种因式分解的方法.
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二、例题讲解
例 1 把下列多项式分解因式： （1）-5a2+25a；（2）3a2-9ab；（3）25x²-16y²；（4）x²+4xy+4y²
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(9)若a+b=4,a2+b2=10，求a3+a2b+ab2+b3的值. 解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) ∵a+b=4,a2+b2=10 ∴原式=4×10=40