二次函数平移专项练习
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数是高中数学中重要的概念之一，它的表达式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x、y为变量。
在二次函数的图像中，a决定了抛物线开口的方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
在解决二次函数平移旋转的问题时，我们可以根据抛物线的特性来进行总结和归纳。
下面我们将介绍二次函数的平移、旋转以及一些典型习题。
一、平移：1. 抛物线y = ax^2 + bx + c向左平移h个单位的公式为：y =a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
同样地，向右平移h个单位的公式为：y = a(x + h)^2 + b(x + h) + c。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向左平移2个单位，则平移后的二次函数为y = (x - 2)^2 + 2(x - 2) + 1。
2. 抛物线y = ax^2 + bx + c向上平移k个单位的公式为：y =a(x^2 + bx + c + k)。
同样地，向下平移k个单位的公式为：y = a(x^2 + bx + c - k)。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向上平移3个单位，则平移后的二次函数为y = (x^2 + 2x + 1) + 3。
二、旋转：对于二次函数的旋转，我们需要使用变量替换的方法。
假设原二次函数y = ax^2 + bx + c按照逆时针旋转α角，则旋转后的二次函数可表示为：x = x'cosα - y'sinαy = x'sinα + y'cosα其中，(x', y')是旋转前的坐标，(x, y)是旋转后的坐标。
三、典型习题：1. 设二次函数y = ax^2 + bx + c的图像通过点(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，求a、b、c的值。
解：将三个点分别代入二次函数中，我们可以得到3个方程： a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)9a + 3b + c = 4 (3)解方程组(1)(2)(3)，得到a = 1/2，b = -3/2，c = 2。
二次函数图像的平移顶点对称轴练习题(附答案)
二次函数图像的平移顶点对称轴练习题一、填空题1.把抛物线2y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线的表达式是 。
2.将抛物线向上平移2个单位,再向右平移4个单位,所得新抛物线的解析式为22y x =-,则原抛物线的解析式为_________.3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，顶点C 的纵坐标为2-，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线2111y a x b x c =++，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)①0b >；②0a b c -+<；③阴影部分的面积为4；④若1c =-，则24b a =.4.如图所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-.将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线123,,n C C C C （n 为正整数）. 则抛物线1C 与x 轴的两个交点12,A A 的距离是 ；抛物线n C 的解析式是 .5.抛物线23y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的抛物线为 .6.把抛物线2243y x x =-+向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .7.在平面直角坐标系中，若抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 .8.将抛物线2y ax =向左平移2个单位长度后，经过点(4,4)--，则a = .9.如图,将二次函数21(2)12y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象,其中 点(1,),(4,)A m B n 平移后的对应点分别为点,A B ''.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是 .10.如图，点,D C 的坐标分别为()1,4-和()5,4-，抛物线的顶点在线段CD 上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x 轴交于,A B 两点(A 在B 的左侧)，点B 的横坐标最大值为3，则点A 的横坐标最小值为 .11.如图,将抛物线212y x =-+向右平移1个单位长度得到抛物线2y ,则图中阴影部分的面积S = .12.如图，把抛物线2y x =，沿直线y x =A 处，则平移后抛物线的解析式是 .13.把抛物线212y x =向左平移3个单位长度,就得到抛物线 ,抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向 平移 个单位长度得到的,抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向 平移 个单位长度得到. 14.抛物线2y x =-向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为 。
二次函数平移专项练习
二次函数平移专题一、填空 1、抛物线2ax y =向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线2.二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_________平移_________个单位，再向 ____________平移____________个单位得到.3、抛物线3)2(32-+=x y 可由抛物线2)2(32++=x y 向 _____ 平移 ____个单位得到．4、将抛物线5)3(532+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5、把抛物线2)1(2---=x y 是由抛物线3)2(2-+-=x y 向 平移 个 单位，再向_____平移_______个单位得到。
6、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为____________7、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是____________8、抛物线y ＝x 2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式9、将抛物线21(3)22y x =+-向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为___ 10．抛物线232y x =-向左平移1个单位得到抛物线解析式为___________ 11、二次函数的草图： 开口向_________， 顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而___________。
当x=___________时，函数有最______值，其值为______。
与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_________。
它是由函数________向___平移_____个单位得到的。
12、二次函数的草图： 开口向____，顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。
【经典必考】二次函数图像平移30题含详细答案
○………○………二次函数图像平移30题含详细答案 一、单选题 1．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A ．22(2)3y x =++； B ．22(2)3y x =-+； C ．22(2)3y x =--； D ．22(2)3y x =+-. 2．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 3．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A ．()3,6-- B ．()3,0- C ．()3,5-- D ．()3,1-- 4．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y=（x +2）2﹣5 B ．y=（x +2）2+5 C ．y=（x ﹣2）2﹣5 D ．y=（x ﹣2）2+5 5．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．y=﹣5（x+1）2﹣1 B ．y=﹣5（x ﹣1）2﹣1 C ．y=﹣5（x+1）2+3 D ．y=﹣5（x ﹣1）2+3 6．如图，抛物线2145y x 7x 22=-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线1y x m 2=+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订A ．455m 82-<<- B ．291m 82-<<- C ．295m 82-<<- D ．451m 82-<<- 7．将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方式中，正确的是（ ） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位8．如图，将函数y ＝12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A ．y ＝12（x ﹣2）2-2 B ．y ＝12（x ﹣2）2+7C ．y ＝12（x ﹣2）2-5 D ．y ＝12（x ﹣2）2+49．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位10．抛物线267y x x =++可由抛物线2y x 如何平移得到的（ ）A ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C ．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D ．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位11．将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函A ．y=（x+1）2﹣13B ．y=（x ﹣5）2﹣3C ．y=（x ﹣5）2﹣13D ．y=（x+1）2﹣3 12．若要得到函数y ＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y ＝x 2的图象( ) A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 13．将抛物线y=12x 2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） A ．y=12（x ﹣8）2+5 B ．y=12（x ﹣4）2+5 C ．y=12（x ﹣8）2+3 D ．y=12（x ﹣4）2+3 14．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 15．把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A ．y=﹣2（x+1）2+2 B ．y=﹣2（x+1）2﹣2 C ．y=﹣2（x ﹣1）2+2 D ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣2 16．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ） A ．2(1)4y x =-+ B ．2(4)4y x =-+ C ．2(2)6y x =++ D ．2(4)6y x =-+ 17．将抛物线2y x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A ．2(2)3y x =+- B ．2(2)3y x =++C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =-- 18．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A ．()2y x 12=-+ B ．()2y x 12=++ C ．2y x 1=+ D ．2y x 3=+ 19．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A ．2(4)6y x =-- B ．2(1)3y x =-- C ．2(2)2y x =-- D ．2(4)2y x =--20．抛物线y ＝3x 2向右平移一个单位得到的抛物线是（ ）A ．y ＝3x 2+1B ．y ＝3x 2﹣1C ．y ＝3（x+1）2D ．y ＝3（x ﹣1）2 21．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位22．把抛物线y=﹣2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．y=﹣2（x ﹣1）2+6B ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣6C ．y=﹣2（x+1）2+6D ．y=﹣2（x+1）2﹣623．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．y ＝﹣2（x +1）2+1 B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣124．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、解答题 25．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 26．已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数） （1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点？ 27．把二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1的图象. （1）试确定a ，h ，k 的值； （2）指出二次函数y=a(x-h)2+k 的开口方向，对称轴和顶点坐标. 三、填空题 28．抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________． 29．将抛物线2213y x =-向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________________． 30．把抛物线y=x 2﹣2x+3沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．参考答案1．B【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.2．D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象．故选D ．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．3．B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x （x-2）=x 2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，∴得到的新抛物线过点（-3，0）．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．4．A【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x +2）2﹣5．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键． 5．A【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．详解：将抛物线y=-5x 2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选A ．点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 6．C【分析】先求出点A 和点B 的坐标，然后再求出2C 的解析式，分别求出直线1y x m 2=+与抛物线2C 相切时m 的值以及直线1y x m 2=+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线2145y x 7x 22=-+与x 轴交于点A 、B ， ∴2145x 7x 22-+=0， ∴x 1=5，x 2=9，()B 5,0∴，()A 9,0∴抛物线向左平移4个单位长度后的解析式21y (x 3)22=--， 当直线1y x m 2=+过B 点，有2个交点， 50m 2∴=+， 5m 2=-， 当直线1y x m 2=+与抛物线2C 相切时，有2个交点， 211x m (x 3)222∴+=--， 2x 7x 52m 0-+-=，相切，49208m 0∴=-+=，29m 8∴=-， 如图，若直线1y x m 2=+与1C 、2C 共有3个不同的交点， ∴--295m 82<<-， 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.7．D【解析】将抛物线y =-3x 2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y =-3（x -1）2, 再向下平移2个单位得到抛物线y =-3（x -1）2-2.故选D.8．D【详解】∵函数()21212y x =-+的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m =()211212-+=32，n =()214212-+=3， ∴A （1，32），B （4，3）， 过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，32）， ∴AC =4﹣1=3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=3AA ′=9，∴AA ′=3，即将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是()21242y x =-+． 故选D ．9．B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10．A【分析】先将抛物线267y x x =++化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．【详解】因为()226732y x x x =++=+-，所以将抛物线2y x 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线267y x x =++，故选A ．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.11．D【详解】因为y=x 2-4x-4=（x-2）2-8，以抛物线y=x 2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D ．12．B【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=x 2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．13．D【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【详解】 y=12x 2﹣6x+21 =12（x 2﹣12x ）+21 =12[（x ﹣6）2﹣36]+21 =12（x ﹣6）2+3， 故y=12（x ﹣6）2+3，向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y=12（x ﹣4）2+3． 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．14．B【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵23222y x y (x 2)y (x 2)3→+→+-向左平移个单位向下平移个单位＝＝＝y ＝x 2，∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B ．15．C【详解】解：把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x ﹣1）2+2，故选C ．16．B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．17．A【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选A ．18．C【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】∵抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x 2+2-1，即y=x 2+1．故选C ．19．D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-， 把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-， 所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．D【解析】【分析】先确定抛物线y ＝3x 2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】y ＝3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y ＝3（x ﹣1）2．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．C【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．22．C【解析】∵抛物线y =﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）∴所得抛物线解析式是y =﹣2（x +1）2+6．故选C点睛：本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k ，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．23．B【解析】【详解】∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．24．D【解析】【分析】先将抛物线y=x2+2x+3化为顶点式,找出顶点坐标,利用平移的特点即可求出新的抛物线,可求得与直线y=3的交点坐标.【详解】解:抛物线y= x2+2x+3=（x+1）2+2,顶点坐标(-1,2),再向下平移3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解析式为y=（x+1）2−1，当y=3时候，即:（x+1）2−1=3，得：（x+1）2=4，解得：x=1或x=-3，∴抛物线与直线y=3的交点坐标为（1，3）或（-3，3），故选D.【点睛】本题主要考查抛物线平移的规律与性质, 关键是得到所求抛物线顶点坐标,利用平移的规律解答.25．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与y轴的交点为：（0，3）；与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.26．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．【详解】（1）∵()()222224134412120m m m m ∆=--⨯⨯+=--=-＜， ∴方程22230x mx m -++=没有实数解.∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点.（2）∵()222233y x mx m x m =-++=-+，∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数()23y x m =-+的图象，它的顶点坐标是（m ，0）.∴这个函数的图象与x 轴只有一个公共点.∴把函数2223y x mx m =-++的图象延y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．【点睛】本题考查了1.抛物线与x 轴的交点问题；2.一元二次方程根的判别式；3.二次函数图象与平移变换．27．（1）1,1,52a h k ===- （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5） 【解析】试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y=12(x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k ，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1， ∴可以看作是将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k ，而将二次函数y=12 (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y=12(x-1)2-5，∴a=12，b=1，k=-5； （2）二次函数y=12 (x-1)2-5， 开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.28．y=x 2-8x+20．【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】2y 23x x =-+=()21x - +2,其顶点坐标为(1,2).向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,4),得到的抛物线的解析式是y=()24x -+42820x x =-+.故答案为2y 820x x =-+.【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换.29．22(3)23y x =-+ 【解析】【分析】先确定抛物线y 2213x =-的顶点坐标为（0，-1），再把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=2213x -的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（3，2），所以所得的抛物线的解析式为y=()22323x -+. 故答案为y=()22323x -+． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．30．y=（x﹣3）2+2【解析】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣3）2+2.【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．。
2023年中考数学压轴题专题19 二次函数与平移变换综合问题【含答案】
专题19二次函数与平移变换综合问题【例1】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【例2】．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y 如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q 的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．【例3】．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【例4】．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【例5】．（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）；②证明：AE＝BF；（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．一．解答题（共20题）1．（2022秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法．2．（2022秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．3．（2022•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．（1）用含b的式子表示m；（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；（3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．4．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，ⅰ．如果S△OBP求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．5．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．6．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．8．（2022•渭滨区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．9．（2021秋•普兰店区期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．10．（2022•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．11．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．12．（2022•富阳区二模）设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．13．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．14．（2022•宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；②求△ABC的面积．15．（2022•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．16．（2022•南宁模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0），且c＝﹣3a．（1）若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）在（1）的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值．（3）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m（m＞1）个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式．x…﹣101…y…4k n…17．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．18．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y 轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）．（1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围．（2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．19．（2022•桥西区校级模拟）如图，抛物线，点Q为顶点．（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为；（2）若抛物线的对称轴为直线x＝1．①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y 轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；（3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．20．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．【例1】（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵CB∥x轴，∴B（2，﹣3），设直线AC解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，①当m＞1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，x＝1时，q＝﹣4，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，x＝1时，q＝﹣4，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，综上所述：m的值﹣1或1﹣；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，联立方程组，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，∴综上所述：1＜n≤4或n＝．【例2】（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q 的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），实数k的取值范围是4≤k≤5；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案；（3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°，当B在C右侧时，同理可得∠ACB＝135°．【解答】解：（1）将（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，∴3≤k﹣1≤4，解得4≤k≤5，∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；（3）当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图：∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，∴y A＝﹣m2﹣2m+3，y B＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，﹣m2﹣4m），∵点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1，AC∥x轴，∴x C＝﹣2﹣m，∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），过B作BH⊥AC于H，∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m﹣3|，∴BH＝CH，∴△BHC是等腰直角三角形，∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°，当B在C右侧时，如图：同理可得△BHC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝180°﹣∠BCH＝135°，综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．【例3】（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m ﹣4的顶点在第三象限；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得c＝，可得OB＝﹣c＝﹣，过点A＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣（b+1）2+，由作AH⊥OB于H，有S△AOB二次函数性质得△AOB面积的最大值是．【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：m﹣4＝0，解得m＝4，∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），∵m＞2，∴2﹣m＜0，∴＜0，∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），当x＝0时，B（0，c），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：＝﹣2，∴c＝，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（﹣1，﹣1），∴AH＝1，在△AOB中，S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，∵﹣＜0，取最大值，最大值为，∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB答：△AOB面积的最大值是．【例4】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ 根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例5】（2022•镇江）一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）；②证明：AE＝BF；（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．【分析】（1）先求出点A、B的坐标，利用交点式设y＝ax（x+2），把B（，）代入即可求得答案；（2）①联立得x2+2x＝x+n，解方程即可求得答案；②分两种情况：当n＞1时，CD位于AB的上方，可得：AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；当＜n＜1时，CD位于AB的下方，可得：AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，故AE＝BF；（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，可得P′Q′∥AB，再由（2）②及平移的性质可证得结论；②由A′M+3B′N＝2，可得A′M＝B′N＝，根据二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，把Q（t+1，3）代入y＝x+1，即可求得答案；方法二：①设点Q的坐标为（x3，y3），由y3＝x3+1，y3＝（x3﹣t）2+2，得x3+1＝（x3﹣t）2+2，可得：点P的横坐标为，点Q的横坐标为（t＞）．再由二次函数y＝x2+2x图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），可得新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，求得：B′（t+，），A′（t﹣1，3），即可证得结论．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点A，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵直线y＝x+1经过点B（m，），∴m+1＝，解得：m＝，∴B（，），∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣2，0），O（0，0），B（，），设y＝ax（x+2），则＝a××（+2），解得：a＝1，∴y＝x（x+2）＝x2+2x，∴这个二次函数的表达式为y＝x2+2x；（2）①由题意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），解得：x1＝，x2＝，故答案为：，；②当n＞1时，CD位于AB的上方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，当＜n＜1时，CD位于AB的下方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，∴当n＞﹣且n≠1时，AE＝BF；（3）方法一：①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，∴P′Q′∥AB，∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，由（2）②及平移的性质可知：A′M＝B′N；②∵A′M+3B′N＝2，∴A′M＝B′N＝，设点Q在原抛物线上的对应点为Q′，∵二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，∴Q′的横坐标为0或1，∴Q′（0，0）或（1，3），当Q′（0，0）时，Q（t+1，3），将点Q的坐标代入y＝x+1，得：3＝（t+1）+1，解得：t＝3；当Q′（1，3）时，Q（t+2，6），将点Q的坐标代入y＝x+1，得：6＝（t+2）+1，解得：t ＝8；综上所述，t ＝3或8；另解：∵A ′M +3B ′N ＝2，∴A ′M ＝B ′N ＝，B （，）的对应点为B ′（t +，），∵B ′N ＝，∴点Q 的横坐标为t +1，代入y ＝x +1，得y ＝（t +1）+1＝t +，∴Q （t +1，t +），将点Q 的坐标代入y ＝（x ﹣t ）2+2中，得t +＝（t +1﹣t ）2+2，解得：t ＝3．方法二：①设点Q 的坐标为（x 3，y 3），由y 3＝x 3+1，y 3＝（x 3﹣t ）2+2，得x 3+1＝（x 3﹣t ）2+2，当t ＞时，解得：x 3＝，∴点Q 的横坐标为；同理可得点P 的横坐标为，∵点P 在点Q 的左侧，∴点P 的横坐标为，点Q 的横坐标为（t ＞）．∵二次函数y ＝x 2+2x 图象的顶点为（﹣1，﹣1），二次函数y ＝（x ﹣t ）2+2的图象的顶点为（t ，2），∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t +1）个单位，向上平移3个单位得到的，∴B （，）的对应点为B ′（t +，），A （﹣2，0）的对应点为A ′（t ﹣1，3）．∴B ′N ＝t +﹣＝，A ′M ＝﹣（t ﹣1）＝，∴A ′M ＝B ′N ．一．解答题（共20题）1．（2022秋•临海市月考）如图，以A（3，0），为顶点的抛物线交y轴于点B（0，4）（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点C（7，4）是否也在这个抛物线上？（3）你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C（7，4）？若能，请写出平移的方法．【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣3）2，然后把B点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（3）设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，再把C（7，4）代入求出m的值为4或10，从而可判断抛物线向右平移1个单位或7个单位．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2，把B（0，4）代入得4＝a×（0﹣3）2，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣3）2；（2）当x＝7时，y＝（x﹣3）2＝×（7﹣3）2＝≠4，∴点C（7，4）不在这个抛物线上；（3）能．设平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2，把C（7，4）代入得×（7﹣m）2＝4，解得m1＝4，m2＝10，∴把抛物线y＝（x﹣3）2向右平移1个单位或7个单位可经过点C（7，4）．2．（2022秋•江夏区月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．【分析】（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得到b、c的关系为c﹣b＝3，再由＝6，求出b、c的值即可求函数的解析式；②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），可得PM＝﹣t2+3t+1＝3，求出t的值即可求M 点坐标；（2）由题意可知抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，则平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，所以抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），再由题意可得m＝+b﹣2①，﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，由①②求出b的值即可．【解答】解：（1）①将点A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴c﹣b＝3，∵抛物线的顶点纵坐标为6，∴＝6，∴c＝﹣3或c＝5，∴b＝﹣6或b＝2，∵顶点位于y轴右侧，∴b＞0，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+5；②设M（t，﹣t2+2t+5），则P（t，﹣t+4），∴PM＝﹣t2+3t+1，∵PM＝3，∴﹣t2+3t+1＝3，解得t＝1或t＝2，∴P（1，3）或（2，2）；（2）∵点A（﹣1，2）平移后对应点为A'（m+1，b+4），∴抛物线向右平移m+2个单位，向上平移b+2个单位，∵c﹣b＝3，∴y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）2+b+3+，∴平移后的抛物线解析为y＝﹣（x﹣﹣m﹣2）2+2b+5+，∴抛物线的顶点为（+m+2，2b+5+），∵抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，∴+m+2+5＝2b+5+，∴m＝+b﹣2①，∵平移后的抛物线经过点N（2，1），∴﹣（﹣﹣m）2+2b+5+＝1②，由①②可得，b+2m＝b+4或b+2m＝﹣b﹣4，当b+2m＝b+4时，m＝2，此时不符合题意；当b+2m＝﹣b﹣4时，b＝0或b＝﹣10，当b＝0时，m＝﹣2；当b＝﹣10时，m＝8；∴b的值为0或﹣10．3．（2022•湖里区二模）抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．（1）用含b的式子表示m；（2）若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；（3）已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．【分析】（1）利用Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到Δ＝b2﹣4a＝0，可得a＝，则y＝x2+bx+1＝（x+）2，把A（m，0）代入即可求解；（2）求出E（﹣，1），则BE＝|﹣|，证明△AOB∽△BOM，可求M（﹣，0），再由AM＝BE，得到|﹣|＝|m+|，求出b＝±2，即可求解析式y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2；（3）平移后抛物线的顶点由A变为M，则平移后的抛物线为y＝（x+）2，因为C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，所以（x+）2＝（x﹣m）2，此时m2＝﹣1，m 无解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A（m，0），∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0，∴a＝，∴y＝x2+bx+1＝（x+）2，把A（m，0）代入得，（m+）2＝0，∴m＝﹣；（2）若四边形AMBE是平行四边形，A，M均在x轴上，则AM∥BE，AM＝BE，∵B在y轴上，当x＝0时，y＝ax2+bx+1＝1，∴B（0，1），∴E的纵坐标为1，把y E＝1代入抛物线y＝（x+）2，∴（x+）2＝1，解得x＝0（舍）或﹣，∴E（﹣，1），∴BE＝|﹣|，∵BC⊥AB，∴∠MBA＝90°，∵∠MBO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠MBO，∴△AOB∽△BOM，∴＝，∴OM＝，∴M（﹣，0），∵AM＝BE，∴|﹣|＝|m+|，∵m＝﹣，∴b＝±2，∴y＝（x﹣1）2或y＝（x+1）2；（3）平移后的抛物线不经过点C，理由如下：∵平移后抛物线的顶点由A变为M，∴平移后的抛物线为y＝（x+）2，∵C在抛物线上，平移后的抛物线经过C，∴（x+）2＝（x﹣m）2，∴m2＝﹣1，∴m无解，∴平移后的抛物线不经过C点．4．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，ⅰ．如果S△OBP求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；ii．P（m，﹣3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3．（2）i．∵y＝x2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），即点B是原抛物线的顶点，∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），∴抛物线平移了|m|个单位，＝×3|m|＝3，∴S△OPB∵m＞0，∴m＝2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2；ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，∴n＝﹣3，∴P（m，﹣3），由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3，∴Q（0，m2﹣3），∵B（0，﹣3），∴BQ＝m2，+，PQ2＝，∴BP＝PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，∵PB＝PQ，PC⊥BQ，∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，∴m＝2或m＝﹣2（舍），∴n＝﹣3＝3，∴P点的坐标为（2，3）．5．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，可证得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，可证得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得抛物线平移的距离．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；。
专题33 二次函数与平移问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题33 二次函数与平移问题1．（2021·湖北武汉九年级阶段练习）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ． （1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E 的坐标为（0，7），若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H ，直线y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ≠0）与抛物线交于F 、G 两点，求当k 为何值时，△FGH 面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l ：y ＝2x ﹣1，将抛物线沿直线l 方向平移，平移过程中抛物线与直线l 相交于E 、F 两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m ，在x 轴上存在唯一的一点P ，使∠EPF ＝90°，求m 的值．【答案】（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解；（2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解；（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解． 【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ， 令x =0，解得y =b ∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0）把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b得22209302ab ab b ab ab b⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3； （2）∵点E 的坐标为（0，7）， 可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧 ∴△=()224140n --⨯⨯= 解得n 1=-2，n 2=6（舍去） ∴直线EH 的解析式为y =-2x +7 解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2 ∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5 ∴直线GH 过定点M （2，-5） 如图，连接HM ∵H （2，3） ∴HM ⊥x 轴，MH =8 设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -=∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ， ∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124xx x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2 ∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．2．（2021·四川资阳·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当N CN '+的值最小时，求MN 的长． 【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点D 的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =， (3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ， :1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+，将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++，解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ， 设点D 的坐标为22(,)D x y '， 2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=，2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，3N CN CN m CN FN CN '+==-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 3．（2021—2022重庆实外九年级阶段练习）如图，已知抛物线212263y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点P 是抛物线上位于直线BC 下方的一点．（1）如图1，连接,AP CP ，当点P 的横坐标为5时，求APCS；（2）如图2，连接AC ，过点P 作PG AC ∥交BC 于点G ，求PG 长度的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线212263y x x =--沿射线CB 的方向平移，使得新抛物线'y 经过点4(2,)3-，并记新抛物线'y 的顶点为D ，若点M 为新抛物线'y 对称轴上的一动点，点N 为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．【答案】（1）356；（2）PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）当点N 的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2，-2，-A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形． 【分析】（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，先求出P 点坐标，然后求出直线A 点坐标，即可求出直线AB 的解析式，从而得到E 点的坐标，再根据ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅-进行求解即可； （2）先求出直线BC 的解析式为123y x =-，过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得272b =-，从而求得点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）；然后求出直线AC 的解析式为2y x =--，则可求出直线11PG 解析式为12y x =-+，然后求出1G 的坐标为（158，118-），再根据两点距离公式求出11PG 即可；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ，求出BE 1CE 3=， 设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ，可证△CHG ∽△CEB ，得到1=3GH BE CH CE =，则可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+，由此即可求出()21426y x '=--得到D 点坐标为（4，-2）；然后根据菱形的性质分别讨论：当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，当AD 和MD 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，利用属性结合的思想求解即可 【详解】解：（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，∵点P 在抛物线212263y x x =--的函数图像上，且P 点横坐标为5， ∴P 点纵坐标为2127552636⨯-⨯-=-，∴P 点坐标为（5，76-），令0y =，则2122063x x --=，解得2x =-或6x =，∴A 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0）， 设直线AP 的解析式为y kx b =+，∴20756k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴1613k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AP 的解析式为1163y x =--，∴E 点坐标为（0，13-），∵C 是抛物线212263y x x =--与y 轴的交点， ∴C 点坐标为（0，-2），∴()15233CE =---=，∴ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅- ()12P A CE x x =⋅- 15723=⨯⨯ 356=；（2）设直线BC 的解析式为11y k x b =+，∴111602k b b +=⎧⎨=-⎩，∴11132k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为123y x =-， 过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得221206x x b ---=，∴()22114206b ∆=+⨯+=，∴272b =-，∴2172062x x --+=即2690x x -+=，解得3x =，∴1P 点横坐标为3，∴1P 点纵坐标为1753322⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭， ∴ 点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）； 设直线AC 的解析式为23y k x b =+，∴233202k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∴2312k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为2y x =--，∴可设直线11PG 解析式为4y x b =-+， ∴4532y b =-+=-， ∴412b =， ∴直线11PG 解析式为12y x =-+， 联立12123y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得158118x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴1G 的坐标为（158，118-）；∴11PG == ∴PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ， ∵C 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0），∴CE =OB =6，BE =OC =2， ∴BE 1CE 3=， 设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ， ∵GH ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴GH ∥BE ，∴△CHG ∽△CEB ， ∴1=3GH BE CH CE =， ∵将抛物线沿着射线CB 平移的时候，可以看作先向右平移，再向上平移， ∴可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+， ∵抛物线()182633t y x t '=---+经过点（2，43-）， ∴()2418223633t t -=---+， 解得2t =，∴()21426y x '=--； ∴D 点坐标为（4，-2）；如图3-2所示，当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，设AN 与MD 交于点Q ，∴点Q 的坐标为（4，0）∴AN ⊥MD ，且AQ =NQ =6，∴此时N 点坐标为（10，0）；设M 的坐标为（4，m ），如图3-3所示，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，∴AN ∥MD ，MA =MD ，∴点N 在直线2x =-上，∵()22MD m m =--=+，MA =∴()22236m m +=+，解得8m =，∴MD =10，∴AN =MD =10，∴N 点坐标为（-2，-10）；如图3-4所示，当AD和MD为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，x=-，同理可得N在直线2∴AN AD===∴N点的坐标为（-2，-2，-，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，菱形的性质，两点距离公式，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据数形结合和分类讨论的思想进行求解．4．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．【答案】（1）()214y x =+-；m =2；（2）存在，()0,12P 或()0,14.5；（3） 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A （1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A 坐标代入直线的解析式，即可求出m 的值；（2）先求出E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，从而得EDP ADO ∽，即可得到P 的坐标，过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，再利用tan ∠ADO =tan ∠PE P '，即可求解；（3）作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，在Rt EWF 中和 Rt E WF ''中分别求出EF ， E F ''，进而即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线1x =-， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x -1)(x +3)，把C （0，－3）代入得：-3=a (0-1)(0+3)，解得：a =1， ∴二次函数解析式为：y = (x -1)(x +3)，即：()214y x =+-，∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，∴0=-2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =-2x +2，又∵直线y =-2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限，∴E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，∵∠ADO =∠EDP ，∠DOA =∠DPE =90°，∴EDP ADO ∽，∴P （0，12）；过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，∵∠ED P '+∠PED =∠PE P '+∠PED =90°，∴∠ADO =∠ED P '=∠PE P '，即：tan ∠ADO =tan ∠PE P '， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=，解得： 2.5PP '=， ∴P '（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）∵点E 、F 均为定点，∴线段EF 长为定值，∵MN=2，∴当EM +FN 为最小值时，四边形MEFN 的周长最小，作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，由作图可知：EM E M F M FN ''==，，又∵E M F ''，，三点共线，∴EM +FN =E M F M E F ''''+=，此时，EM +FN 的值最小，∵点F 为直线y =-2x +2与直线x =-1的交点，∴F （-1，4），∴F '（-3，4），又∵E （-5，12），∴E '（-5，-10），延长F F '交线段E E '于点W ，∵F F '与直线y =1平行，∴FW ⊥E E '，∵在Rt EWF 中，由勾股定理得：EF =，在Rt E WF ''中，由勾股定理得：E F ''∴四边形MEFN 的周长最小值=ME +FN +EF +MN =2E F EF MN ''++=．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．5．（2022·辽宁皇姑·九年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是第四象限抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x ，轴于点E ，交线段BC 于点F ，连接AD 、AF 、BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D 的横坐标为m ，求四边形ADBF 面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1（A 、D 、B 、F 的对应点分别为A 1、D 1、B 1、F 1），直线A 1D 1与直线AF 交于点H ．点P 在B 点左侧的抛物线上，点Q 在直线B 1F 1上，当以点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形，且D 1H 12=A 1H 时，请直接写出点P 的横坐标．【答案】（1）y ＝x 2-4x ＋3（2）94（3）0【分析】（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，表示出四边形ADBF 面积与m 的关系式，故可求解；（3）根据D 1H 12=A 1H ，利用相似三角形的性质，求出平移的距离，再根据平行四边形的性质得到PQ =32，故可求出P 点的横坐标． 【详解】解：（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 得10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩解得43b c =-⎧⎨=⎩∴y ＝x 2-4x ＋3；（2）令x =0，得y ＝3∴C （0，3）设直线BC 的解析式为y =kx +b把B （3，0）、C （0，3）代入得303k b b +=⎧⎨=⎩解得13k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-x +3 ∵点D 的横坐标为m ，∴D （m ，m 2-4m ＋3）、F （m ，-m ＋3） ∴FD =（-m ＋3）-（m 2-4m ＋3）=- m 2+3m ∵A （1，0）、B （3，0） ∴AB =2∵四边形ADBF 面积为12AB DF ⨯=122DF ⨯⨯=- m 2+3m =-（m -32）2+94∴当m =32时，四边形ADBF 面积的最大值为94；（3）如图，由（2）可得D （32，34-）、F （32，32）将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1，设沿直线DE 向上平移h 个单位 故A 1（1，h ）、B 1（3，h ）、D 1（32，34-+h ）、F 1（32，32+h ）∵直线A 1D 1与直线AF 交于点H ，D 1H 12=A 1H ，AA 1∥DF ∴△AA 1H ∽△FD 1H ∴1111D H D F A H A A ==12 ∴1112D F A A = ∵1D F =32-（34-+h ）=94-h ，A 1A =h∴9142hh -= 解得h =32∴A 1（1，32）、B 1（3，32）、D 1（32，34）、F 1（32，3）设直线B 1F 1的解析式为y =px +q把B 1（3，32）、F 1（32，3）代入得332332p q p q ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得192p q =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线B 1F 1的解析式为y =-x +92设P 点的坐标为（x ，x 2-4x ＋3），∵点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形 ∴PQ ∥BB 1，PQ =BB 1=32， ∴Q 点坐标为（x ，-x +92） ∵PQ =32， 故()2934322x x x ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭＋解得x 1=0，x 2=3，x 3x 4 ∵点P 在B 点左侧的抛物线上，∴x 1=0，x 3故点P 的横坐标为0或32．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值求解、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．6．（2021—2022重庆南开中学九年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （0），点B （0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式以及点C 的坐标；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一点，过P 作PD //y 轴，交BC 于点D ，作PE //AB 交BC 于E ，EF 平分∠PED 并交PD 于F ，求△PFE 周长的最大值以及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PFE 周长取得最大值时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，△PDE 沿射线EF 平移后得到△P 'D 'E '，当以点M ，D '，E '为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点E '的坐标．【答案】（1）26y x =-+，C （0，6）；（2）PEFC 最大为3P 6）；（3）'E 112）． 【分析】（1）将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++，解得b c =6，所以抛物线解析式为26y x =-+，C 点坐标为（0，6）．（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+，解得:6BC l y =+，设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤E 点过直线BC ，则E 点坐标为2a -，26a -+），所以PE 长度为22a ，因为BC k =，所以∠OBC =60°，又因为PE //x 轴，所以∠PEB =60°，又因为EF 平分∠PED 所以∠PEF =∠EFD =30°，则PF 213a -，EF 223a -，PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -，化简得PEFC=2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC 最大为3时，a P 点坐标为6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3），①令'''MD D E =有241103n -=，解得n 'D ，），因为''D E ='E ；②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ；③''ME MD =有224()240n m -+--=，因为''D E k =且''D E =n m =m 'E 112）．【详解】（1）将将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++有3020c c ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩得6b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为26y x =-+ ∴C 点坐标为（0，6）（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+有06b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得6k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴:6BC l y =+设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤PE //x 轴，故P 点和E 点纵坐标相等， E 点在直线BC 有，266a -+=+得x 2a -则E 2a -，26a -+）∴ 2)PE a a =--=22a∵BC k =∴∠OBC =60° 又∵PE //x 轴 ∴∠PEB =60又∵EF 平分∠PED 、 ∴∠PEF =∠EFD =30°∴PF 213a -，EF =2PF 223a -∴PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -整理得PEFC =2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC最大为3a∴此时P 6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3）. ①令'''MD D E =有241103n -=解得n依题意得'D ）∵''D E =''D E k =∴ 'E ）②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ，214）；③''ME MD =有224()240n m -+--=因为''D E k =''D E =有n m =代入得m∴'E 112）．综上所述'E 点坐标为或或112）．【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，按照题意设未知数并列出对应的方程式是解题的关键． 7．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y =x 2-3x -4；（2）8；（3）55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -，过程见解析【分析】（1）将()1,0A -，()4,0B 的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，设P （m ，m 2-3m -4），用m 表示出△APD 的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角线三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -4得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩， ∴该抛物线的解析式为y =x 2-3x -4，（2）把x =0代入y =x 2-3x -4中得：y =-4， ∴C （0，-4），抛物线y =x 2-3x -4的对称轴l 为3x=2∵点D 与点C 关于直线l 对称， ∴D （3，-4）， ∵A （-1，0），设直线AD 的解析式为y =kx +b ；∴3k+-4-k 0b b =⎧⎨+=⎩，解得：k 11b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， 设P （m ，m 2-3m -4）， 作PE ∥y 轴交直线AD 于E ， ∴E （m ，-m -1），∴PE =-m -1-（m 2-3m -4）=-m 2+2m +3，∴221|x x |2(23)2462APD D A PE m m S m m ∆=⨯⨯-=-++=-++，∴()22246=21+8APD m m S m ∆=-++--， ∴当m =1时，PAD △的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， ∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD 方向平移平移相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵()1,0A -，()4,0B ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为21+y x dx e =+则9+3+-4648+-4d e d e =⎧⎨+=⎩，解得：1120d e =-⎧⎨=⎩，∴平移后y 1=x 2-11x +20， ∴抛物线y 1的对称轴为：112x =， ∵P （1，-6）， ∴E （5，-10），∵以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 设G （n ，n 2-11n +20），F （112，y ）， ①当DE 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴11n =23++522，∴n=52∴55(,)24G -②当EF 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴115=23++n22，∴n=152∴1525(,)24G -③当EG 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴113=25++n 22，∴n=72∴25(,)247G -∴55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．8．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5--；（2）①(2,3)-；②1． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++， 得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩ ,b c ∴的值分别为4,5--．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩ 解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =-=-．∴点M 的坐标是(2,3)-．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-，//MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m -． ∵点P 的横坐标为1,-∴点P 的坐标是()21,6m m --， 设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m --．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤时，52(1)62PQ m m =---=-，()22396MN m m =---=-，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =-+=-10PE MN +=，∴26610m m -+-=，解得12m =-（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m <≤时，26,6PE m MN m =-=-，10PE MN +=，26610m m ∴-+-=，解得1m =（舍去），2m =． （ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==-，10PE MN +=，2610m m ∴+-=，解得1m =，2m =．综上所述，m 的值是1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．9．（2021—2022重庆九年级期中）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+mx +n （m ，n 均为常数）的图像顶点为A ，与x 轴交于B （﹣1，0）、C 两点，与y 轴交于点D （0，3）．（1）求该抛物线解析式．（2）如图1，连接AD 交x 轴于点E ，连接AB 交y 轴于点K ，点M 是抛物线四象限且位于对称轴右侧图像上一点，过点M 作MP ⊥AD 交直线AD 于点P ，连接MD ．若∠M ＝∠BKO ，求出点M 的坐标，以及此时△MDP 的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y 沿射线AE 方向平移得到一个新的二次函数记为y ′，令y ′与y 两函数图像相交于点Q ，连接CQ ，点R 为原抛物线图像上一动点，点F 为直线AE 上一动点，是否存在以点C ，Q ，R ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标，并把求其中一个R 点的坐标的过程写出来．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）M （5，-12），△MDP 的周长=；（3）R 点的坐标为，54或，54或254-或，254-． 【分析】（1）利用待定系数法二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩组成方程组，解方程组即可； （2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，求出抛物线顶点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3）与x 轴交点C （3，0），根据勾股定理DC =待定系数法求AP 解析式为3y x ，AB 解析式为22y x =+，根据∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，可得tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， 可得DG =2HG ，再证GH =GC ，可得DG =2GC ，求出点H （1，0），待定系数法求DH 解析式为33y x =-+，然后22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，求出M （5，-12），再求CD 解析式为3y x =-+，PM 解析式为7y x =--，联立方程组73y x y x =--⎧⎨=+⎩，求出点P （-5，-2）利用勾股定理DP ==DM =PM =（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A ，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，求出点A ′（-3，0）求出新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---，然后求出交点Q （3924--，），设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)分两种情况，当CQ 为平行四边形的边时，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩， 然后解方程组求出点R 坐标即可． 【详解】解：（1）二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩， 解得32n m =⎧⎨=⎩， 2y x 2x 3=-++；（2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，()222314y x x x =-++=--+， 点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3），2230y x x =-++=，解得x =-1或x =3，点C （3，0），∵OC =3，OD =3，∠COD =90°，∴∠ODC =∠OCD =45°，∴DC=设AP 解析式为11y k x b =+，经过点A ，D ，代入坐标得11143k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：1113k b =⎧⎨=⎩， AP 解析式为3y x ，当y =0时，x =-3，点E （0，-3），∵OE =3，OD =3，∠EOD =90°，∴∠ODE =∠OED =45°，∴∠EDC =∠DEO +∠ODC =45°+45°=90°，∴CD ⊥AD ，∵MP ⊥AD ，∴MP ∥CD ，∴∠M =∠CDH ，设AB 解析式为y kx b =+，代入坐标得：40k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得22k b =⎧⎨=⎩， AB 解析式为22y x =+，∴AB 与y 轴交点K （0，2），∴OK =2，OB =1，∵∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，∴∠CDH =∠BKO ，∴tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， ∴DG =2HG ，∵HG ⊥DC ，∠DCO =45°，∴∠GHC =180°-∠HGC -∠GCH =180°-90°-45°=45°=∠GCH ，∴GH =GC ，∴DG =2GC ，∵DG +GC =CD，∴GH =CG=13CD ∴CH2=，∴OH =OC -CH =3-2=1，∴点H （1，0），设DH 解析式为22y k x b =+，代入坐标得：22230b k b =⎧⎨+=⎩，解得2233b k =⎧⎨=-⎩， DH 解析式为33y x =-+，∴22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩， 消去y 得23323x x x -+=-++，解得x =0，x =5,x =0,y =3，x =5,y =-12，∴M （5，-12），设CD 解析式为33y k x b =+，∴333330b k b =⎧⎨+=⎩， 解得3331b k =⎧⎨=-⎩， CD 解析式为3y x =-+，设PM 解析式为y mx n =+，∵MP ∥CD ，∴m =-1,过M （5，-12），125n -=-+,解得n =-7,∴PM 解析式为7y x =--，∴73y x y x =--⎧⎨=+⎩， 解得52x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点P （-5，-2），∴DP=DMPM=△MDP 的周长=（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，∵AS ∥y 轴，∴∠EDO =∠A′AS =45°，∴△A′AS 为等腰直角三角形，AS =A′S =A′Acos 45°=4，点A ′的横坐标为1-4=-3,纵坐标4-4=0，点A ′（-3，0），新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---， 222+369y x x y x x ⎧=-+⎨=---⎩， ∴3294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， Q （3924--，）， 当CQ 为平行四边形的边时，设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩,消去x F 得2392324R R R x x x -+=-++-， 解得()22110R x -=，21R x -=R x =，R x =54y =R x =54y =， ∴点R5454，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩， 消去x F 得2393323024R R R x x x -+-+-++=-， ()22140R x -=，R x =R x25y 4=-R x =25y 4=-点R 254-254-，综合得R 点的坐标为，54或，54或254-254-． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，勾股定理两点距离公式，等腰直角三角形判定与性质，抛物线平移，平行四边形判定与性质，解一元二次方程，本题难度非常大，运算量太大，思维要清晰，解题经验丰富，才能解题，是中考压轴题．10．（2021—2022辽宁台安九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-（0a ≠）与 x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与 y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接 PA ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）中PAD △面积取最大值的条件下，将抛物线24y ax bx =+-（ 0a ≠）沿射线AD平移1y ，点 E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 确定一点 G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）234y x x =--；（2）8；（3）55,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或725,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）直接代入点A ，B 坐标即可；（2）作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于F ，通过点A ，点D 的坐标可求得直线AD 的函数关系式1y x =--，AD =可得直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，可得PF ，设23(),4--P m m m ，则()214PH m =--+，根据12APD PF S AD ∆=可求解；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，从而平行四边形中，根据线段DE ，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 G 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线1y 得函数关系式，即可求得坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A -，(4,0)B 代入 24y ax bx =+-得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴13a b =⎧⎨=-⎩，234y x x ∴=--，（2）如图示，作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于 F ，当0x =时，203044y =-⨯-=-，∴点C 的坐标是(0,4)-，点D 与点C 关于直线l 对称，∴4D y =-，∴2344D D x x --=-∴3D x =（取非零值）∴点D 的坐标是(3,4)-，∵点A 的坐标是(1,0)-，点D 的坐标是(3,4)-，∴直线AD 的函数关系式为：1y x =--，且AD ∴1AD k =-，∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴45AOE AEO ∠=∠=︒，则有：45PHD ∠=︒，∴PF ， 设23(),4--P m m m ，(,1)H m m ∴--，21(34)PH m m m ∴=-----223m m =-++()214m =--+，12APD S AD PF ∆∴=，12=⨯12=⨯ 2PH =()2218m =--+ ∴当1m =时，APD S ∆最大为8，（3）直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴沿AD 方向平移4个单位，再向下平移4个单位，由（2）可知，点P 的坐标是2,3)4(m m m --，且1m =∴点P 的坐标是(1,6)P -，∴平移后，点P 的对应点E 的坐标为(5,10)-， ∵抛物线223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∴平移后222132511414411202424y x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴抛物线1y 的对称轴为：直线1l ：112x =， 当3x =时，在抛物线1y 中，213113204y =-⨯+=-，即点D 在抛物线1y 上，当DE 为平行四边形的边时：如图1所示，若点D 平移到对称轴上F 点，即点D 往右平移115322-=个单位长度，到对称轴上1F 点，则，点E 往右平移52个单位长度， ∴点1G 的横坐标为515522+=， ∴点1G 在直线152x =上， 又∵点1G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点1G 的坐标是1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； 如图2所示，若E 平移到对称轴上2F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 2F 点， 则，点D 往右平移12个单位长度，∴点2G 的横坐标为17322+=， ∴点2G 在直线72x =上， 又∵点2G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点2G 的坐标是25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭； 如图3示，若DE 为平行四边形的对角线时，若E 平移到对称轴上3F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 3F 点， 则，点D 往左平移12个单位长度，∴点3G 的横坐标为15322-=，∴点3G 在直线52x =上， 又∵点3G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得54y =-， ∴点3G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ∴综上所述，所有符合条件的点G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或 25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，将沿AD 平移4个单位，再向下平移4个单位是解决问题的关键．11．（2021·重庆实外中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22433x +x ＋2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求直线BC 的解析式；（2）过点A 作AD ∥BC 交抛物线于D ，连接CA ，CD ，PC ，PB ，记四边形ACPB 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，当S 1﹣S 2的值最大时，求P 点的坐标和S 1﹣S 2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O ，G 为平移后的抛物线的对称轴直线l 上一动点，将线段AC 沿直线BC 平移，平移过程中的线段记为A ′C ′（线段A 'C '始终在直线l 左侧），是否存在以A ′，C ′，G 为顶点的等腰直角△A ′C ′G ？若存在，请写出满足要求的所有点G 的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝223x -+；（2）S 1﹣S 2的最大值为94，点P 的坐标为（35,22）；（3）存在，G 1（2，1），G 2（2，53-），G 3（2，13-）；见解析． 【分析】（1）令二次函数x ＝0，y ＝0，求出A 、B 、C 的坐标，再求直线BC 的解析式；（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P 的坐标；（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K 型全等”求出对应的点G 的坐标．【详解】解：（1）对抛物线：224233y x x =-++， 当0x =时，2y =，∴点C （0，2），当0y =时，2242033x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），。
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣22．将抛物线影响y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=-（x+2）2B．y=-x2+2C．y=-（x-2）2D．y=-x2-23．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到新的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x−2)2+3C．y=5(x+2)2−3D．y=5(x−2)2−34．在平面直角坐标系内，将抛物线y=(x+2)2−3经过两次平移后，得到的新抛物线为y=(x−1)2−4.下列对这一平移过程描述正确的是（）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．下列平移中，不能使二次函数y=2x2+4x−6经过原点的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移6个单位D．向上平移8个单位6．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+37．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y= 12x2沿射线OC平移得到新抛物线y= 12（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0<m≤6C．0<m≤8 D．0<m≤2 或6 ≤ m≤88．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+59．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．抛物线y＝12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝12（x+1）2﹣2B．y＝12（x﹣1）2+2C．y＝12（x﹣1）2﹣2D．y＝12（x+1）2+211．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y=x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位12．把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）A．y=(x+2)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=x2+2D．y=x2−2二、填空题13．将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．14．抛物线y=-x2-2x+3可由抛物线y=ax2平移得到，则a的值是。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600mB．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
二次函数的平移测试题
二次函数的平移测试题y随x增大而增大. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．则k＝2.已知函数是二次函数，它的图象开口，当x 时，y随x的增大而增大．3.函数-5的开口，对称轴是，顶点坐标是；把函数图像向____平移____个单位可得到它的图像。
4.函数+7的开口，对称轴是，顶点坐标是．把函数图像向____平移____个单位可得到它的图像。
5.把抛物线y=２x2向上平移5个单位,会得抛物线6..抛物线y= –(x+1)2的开口向____，对称轴是____ , 顶点坐标是____ .函数y= –5(x–3)2,当x______时,y随x的增大而增大；当x___时,y随x的增大而减小。
7 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__________向___平移_____个单位得到.8.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线________, 再向上平移3个单位得到抛物线___________; 若向左平移2个单位得到抛物线_____________，向右平移2个单位得到抛物线_______________.9、若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是____________。
10、将抛物线y=2(x+2)2-1 先向___平移___个单位，再向___平移___个单位可得到抛物线y=2(x -1)2+311、把函数的图像向平移个单位即可得的图像；后一个函数图像的顶点坐标为，对称轴方程为12、把的图像向平移个单位得的图像；第二个函数图像的顶点坐标为，对称轴为．13．把的图像向平移个单位得的图像，再向平移个单位得的图像14函数，当时，随增大而减小，当时，有最值是．15. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值= ．16．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为_____17.要从抛物线得到，则抛物线必须（）A向上平移3个单位B．向下平移3个单位C向左平移3个单位 D向右平移3个单位．18．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（）A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位．19．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（）A．y=-3(x-1)2-2 B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2；D．y=-3(x+1)2+2．20．要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须（）A．向左平移1个单位再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；C．向右平移1个单位再向下平移3个单位；D向右平移1个单位，再向上平移3个单位．21、要从抛物线得到的图像，则抛物线必须（）A．向左平移1个单位再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C．向右平移1个单位再向上平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．22、将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为__ __23．抛物线向左平移1个单位得到抛物线（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．24. 把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )A.B.C.D.25．对于抛物线，下列叙述错误的是（） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x轴上方26．抛物线y=x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（）(A) y=x2 (B)y=-3x2 (C)y=x2 (D)无法确定27、函数①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x中是二次函数的有_______28、函数的对称轴是_________，顶点坐标为____________，函数有最____值______，当x_______时，y随x增大而增大。
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(平移问题)
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（平移问题）1．如图，抛物线21113424y x x =--+与x 轴交于点A ，点B ，点D 是拋物线1y 的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点C ．(1)求抛物线1y 顶点D 的坐标；(2)如图1，点M 是抛物线1y 上一点，且位于x 轴上方，横坐标为m ，连接MC ，若M C B D A C ∠=∠，求m 的值；(3)如图2，将抛物线1y 平移后得到顶点为B 的抛物线2y ．点P 为抛物线1y 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线2y 于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线2y 于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与ACD V 全等时，请求出点P 的坐标．2．如图（1），点A 在二次函数2(0)y ax a =>对称轴右侧图象上，连接OA ，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为点B ，过点B 作BC OA ∥，交x 轴于点C ，交抛物线于点D ．(1)①若点A 的坐标为(1,1)，则BDBC=______________． ②对于任意点A ，①的结论还成立吗？请说明理由．(2)如图（2），将该抛物线向左平移1个单位，再向下平移k 个单位，此时抛物线与x 轴的交点为E ，F （点E 在点F 左侧），与y 轴的交点为(0,3)G -，且当43x -<<-时0y >，当01x <<时0y <． ①抛物线的解析式为________________．（直接写结论）②连接,EG GF ，点P 为线段EG 上一点，过点P 作PQ GF ⊥，垂足为点Q ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点N ，设w PN PQ =+，求w 的最大值．3．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线()()26y a x x =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且3OC =，设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ．(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点M 的坐标；(2)P 为抛物线的对称轴上一点，且在线段MN （含端点）上运动，()0Q m ，为x 轴上一点，且PQ PC ⊥，求m 的最大值；(3)在（2）的条件下，当m 取最大值时，将线段CQ 向上平移p 个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，直接写出p 的取值范围．5．如图，抛物线23y ax bx =++与直线1y x =+交于点1322A ⎛⎫⎪⎝⎭，和点()21B --，．(1)求抛物线的表达式；(2)点C 为线段AB 上一点，作DC y ∥轴，交抛物线于点D ，求线段DC 的最大值；(3)在直线AB 上取一点P ，将P 向上平移3个单位长度得到点Q ，请直接写出PQ 与抛物线有交点时，点P 的横坐标P x 的取值范围．6．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度()0n >与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若12AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠与x 轴交于点()()3040A B -，，，，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 为线段BC 上方抛物线上的一点，过点P 作PE x P 轴交直线BC 于点E ，过点P 作PF AC ∥交直线BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线()240y ax bx a =++≠沿射线CB 方向平移，得到新抛物线y '，新抛物线和原抛物线交于点B ，点M 是x 轴上的一动点，点Q 是新抛物线上的一点，是否存在以点P 、M 、Q 为顶点的三角形是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()6,0A ，()1,0B -，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PF AC ⊥交AC 于点F ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，求AE PF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问的条件下，将抛物线23y ax bx =+-沿射线CB y '，新抛物线y '与原抛物线交于点M ；连接CP ，把线段CP 沿直线AC 平移，记平移后的线段为C P ''，当以C '、P '、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P '点的坐标．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数()21y a x k =-+的图象与x 轴交于A ，B 两点．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()4,0A -，()2,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点()0,3D ，连接AD ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是线段AO 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴，交抛物线于点Q ，交线段AD 于点E ，点F 是直线AD 上一点，连接FQ ，FQ EQ =，当FEQ V 的周长最大时，点Q 的坐标为______，FEQ V 周长的最大值为______．(3)如图2，已知9,04H ⎛⎫⎪⎝⎭．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD 交于点N ，连接HN ，当AHN V 是等腰三角形时，抛物线的平移距离d 的值为______．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和B ，与y 轴交于点()0,2C -．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点P 为直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作AC 的平行线交BC 于点E ，过点E 作x 轴的平行线交y轴于点F EF +最大值． (3)已知点D 为y 轴上一点，连接AD ，将线段AD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段MD ，将抛物线223y x bx c =++沿射线CB N 为平移后抛物线对称轴上的一点，且N 的纵坐标为3，Q 为平面内任意一点，若以A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 11．如图，抛物线L ：212y x bx c =++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,3B -．(1)求抛物线L 的解析式：(2)如图1，点P 为第四象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求35PD A D +的最大值，并求出此时P 的坐标； (3)如图2，将抛物线L ：212y x bx c =++向右平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AC 上方拋物线上任意一点，过点P 分别作y 轴、x 轴的平行线，交直线AC 于点Q ，R ，求QR 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中QR 取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点B 平移后的对应点为D ，E 为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点F ，使得以点P ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点F 的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE 的解析式；(2)如图2，点P 为直线CE 上方抛物线上一动点，连接PC ，PE ，当PCE V 的面积最大时，求点P 的坐标以及PCE V 面积的最大值；(3)如图3，将点D 右移一个单位到点N ，连接AN ，将（1）中抛物线沿射线NA 平移得到新抛物线y '，y '经过点N ，y '的顶点为点G ，在新抛物线y '的对称轴上是否存在点H ，使得MGH V 是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由． 14．抛物线C ：2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A ，(3,0)B -．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线l 过点B ，(0,4)C ，点H 为抛物线第四象限上的一点，过H 作PH y ∥轴交直线l 于点P ，若BP PH =，求点H 的坐标；(3)如图，将抛物线C 平移使得顶点为坐标原点，记新抛物线为1C ，直线3y kx =+交抛物线于点P 、Q （点P 在点Q 的左侧，PQ 不与x 轴平行）y 轴于点M ．点M 关于x 轴的对称的点为点N ，PN 交抛物线于点H （点P 在点H 的左侧），PHQ V 的外接圆为G e ，设G 点的坐标为(),G G x y ．G e 的半径为r ，求22G y r -的值．15．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点且经过点C ，已知A 点坐标为()1,0-．C 点坐标为()4,5．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一个动点，连接AC 、AP ，PC ，过点B 作BG AC ∥交PC 于点G ，连接AG ．请求出APG V 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线2y x bx c =++沿射线AC y '，记y 与y '的交点为M ，点D 是直线AC 与y 轴的交点，点N 为直线AC 上一点，点K 为平面内一点，若以D 、M 、K 、N 为顶点的四边形是菱形且DM 为菱形的边，请直接写出点K 的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程． 16．如图，直线2y x =+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点(4,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点P 为抛物线在直线AC 下方的一动点，作PH y ∥轴，PF AC ⊥，分别交AC 于点H 、F ，求PH PF +的最大值和此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线24y ax bx =+-沿射线AC 平移R 在新抛物线的对称轴上，点S 在抛物线24y ax bx =+-上．当以点D 、P 、R 、S 为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点R 的坐标，并写出求解点R 的坐标的其中一种情况的过程．17．如图1所示，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于C ．(1)求ABC V 的面积；(2)如图2所示，点P 是直线BC 上方抛物线上的动点，过点P 作直线PE y P 轴交BC 于点E ，过点P 作直线PF AC ⊥交x 轴于点F ，请求出PE +的最大值及此时点P 的坐标； (3)将抛物线2142y x x =-++向左平移72个单位，得到新拋物线y '，点M 是新拋物线y '对称轴上一点，N 为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点B C M N 、、、为顶点的菱形的点N 的坐标，并写出其中一个点N 坐标的求解过程．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F为抛物线y 对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标______．参考答案：1．(1)()1,1-(2)2-(3)30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)①；②对于任意点A ，①的结论成立，(2)①223y x x =+-；w 的最大值为：254．3．(1)(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF !94+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或(3-或(3-4．(1)2134y x x =-++；()2,4(2)4 (3)49316p ≤<5．(1)2223y x x =--+ (2)258(3)21P x -≤≤-或1122P x -≤≤6．(1)A (1,0)，B (4,0)，C (0,4)- (2)8(3D ，20)9(3)93m n =+或133m n =-+7．(1)211433y x x =-++(2)PEF !167+，此时点P 的坐标为1023⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)0⎫⎪⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝⎭或0⎫⎪⎪⎝⎭8．(1)215322y x x =--(2)AE PF +9，此时点P 的坐标(3,6)-(3)点P '的坐标为⎝⎭或⎝⎭或()11,13--9．(1)抛物线的解析式为2142y x x =--+ (2)7135,432⎛⎫- ⎪⎝⎭；8.1 (3)54或275128或1410．(1)224233y x x =-- (2)498(3)239()1414，或1-）或(1）或(01-，）11．(1)215324y x x =-- (2)12132，5121,432P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)21133242y x x =-+12．(1)该抛物线的函数表达式为223y x x =--+(2)QR P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)符合条件的点F 的坐标为：17,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或7105,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或15105,24⎛⎫- ⎪⎝⎭13．(1)443y x =-+(2)()3,3P ，PCE V 面积的最大值为9 (3)11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或2533,⎛- ⎝-或2533,⎛- ⎝+或133,3⎛⎫- ⎪⎝⎭14．(1)223y x x =+- (2)211,39H ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)229Gy r -=15．(1)2=23y x x --(2)当32t =时，APG V 面积的最大，最大值为458；点P 的坐标为31524⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(3)(23-或(23-．16．(1)2142y x x =-- (2)PH PF +2+，此时()2,4P -(3)当以点D 、P 、R 、S 为顶点的四边形是平行四边形时，()3,3.5R -或()3,7.5-或()3, 5.5--． 17．(1)12ABC S =△；(2)最大值为：254，335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (3)N 的坐标为：1313,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或32⎛ ⎝⎭或3,2⎛ ⎝⎭． 18．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭。
二次函数图像平移专题训练(含解析)
二次函数图像平移专题训练（含解析）一、单选题1．将直线向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位2．抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位3．抛物线经过平移得到，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位B．向左平移1个单位，再向上平移5个单位C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位4．若抛物线平移得到，则必须（）A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位二、填空题5．在平面直角坐标系中，将点M（2，3）向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点的坐标是．6．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是．7．平移抛物线y=2x2，使其顶点为（2，3），平移后的抛物线是8．将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，则平移后的抛物线为．9．把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为．10．如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．11．把抛物线y＝先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是．12．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：直线向左平移2个单位，可得故A不符合题意；直线向左平移1个单位，可得故B符合题意；直线向右平移2个单位，可得故C不符合题意；直线向右平移1个单位，可得故D不符合题意.故答案为：B.【分析】一次函数y=kx+b向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x+m)+b；一次函数y=kx+b向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x-m)+b；一次函数y=kx+b向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b+m；一次函数y=kx+b向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b-m，据此一一判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，故答案为：C【分析】根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减的原则求解即可。
二次函数图象的平移(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数的表达式有几种？用法分别是什么？问题2：二次函数图象、对称轴以及顶点坐标问题3：二次函数图象的平移口诀及其针对的表达式问题4：尝试利用配方法，推导抛物线的顶点坐标与对称轴；二次函数图象的平移一、单选题(共12道，每道8分)1.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移2.抛物线如何平移可得到抛物线( )A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移3.要得到二次函数的图象，需将的图象( )A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移4.抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b，c的值分别为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移5.若把函数的图象记作，把函数的图象记作，则可以由______平移得到．( )A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移6.如图，把抛物线沿直线向上平移个单位后，其顶点在直线上的点A 处，则平移后的抛物线解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移7.已知抛物线C：，将抛物线C平移到．若两条抛物线C，关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是( )A.将抛物线C向右平移个单位B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移8.把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则b的值为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移9.在求下面函数图象的解析式时，设某种解析式求解会很简便，这种解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数交点式10.在求下面函数图象的解析式时，设某种解析式求解会很简便，这种解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式11.已知二次函数的顶点坐标是，且过点，可快速地求解该二次函数的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式12.如图，已知抛物线经过，其顶点为D，对称轴是直线，与x轴交于点H，则该抛物线的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：待定系数法求二次函数的解析式。
(完整版)二次函数最经典练习题
一、顶点、平移1、抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）．(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、抛物线221y x x =-+的顶点坐标是( ) A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）3、抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x − 2)2+ 1 B ．y = (x + 2)2+ 1 C ．y = (x − 2)2− 3 D ．y = (x + 2)2− 35、将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ． 6、二次函数522-+=x x y 有( ) A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6-7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大 .二、a 、b 、c 与图象的关系1、如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 ( )A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <0 2、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 3、如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。
二次函数中的平移试题
二次函数中的平移方法及典型试题一．平移法：y=ax2→y=ax2+c；y=ax2→y=a(x+h)2；y=ax2→y=a(x+h)2→y=a(x+h)2+k具体步骤：第一步：将一般式变形为顶点式（配方法）第二步：找出原型函数并用描点法画出其图象第三步：先左右平移，再上下平移。
（移动规律是“上加下减，左加右减”）。
二．选择题1.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k，则b,k的值分别为（）.A．0，5 B.0，1 C-4,5. D.-4,12．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y=（x-1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x-1）2-2D．y=（x+1）2-23．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位4．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（-3，-6）B．（1，-4）C．（1，-6）D．（-3，-4）5．若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A、y=2(x-1)2-5 B、y=2(x-1)2+5 C、y=2(x+1)2-5 D、y=2(x+1)2+56．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y= x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位7．把抛物线y= x2+2x+5的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是（）A.y= x2-2x+5B. y= x2+8x+18C. y= x2-4x+6D.y= x2+2x+38．把抛物线y= x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的解析式是y= x2-3x+5，则有（）A、b=3，c=7B、b=－9，c=－15C、b=3，c=3D、b=－9，c=219．直角坐标平面上将二次函数y= x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣1）10.将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A． y=-2x2-12x+16 B．y=-2x2+12x-16 C． y=-2x2+12x-20 D．y=-2x2+12x-1911.将抛物线y=2x2-4x-5向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，最后所得抛物线绕原点转180°，得到新的抛物线解析式（）A.y=2x2-4x-5B.y=-2x2+4x-1C. y=2x2+12x+19D. y=-2x2-12x-1712.抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位13.抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为() A．(4，－1) B．(0，－3) C．(－2，－3) D．(－2，－1)14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2 x2经过平移得到抛物线y=1/2 x2−2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．1615.如图，已知抛物线l1：y=1/2（x-2）2-2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A.y=1/2（x-2）2+4B．y=1/2（x-2）2+3C．y=1/2（x-2）2+2D．y=1/2（x-2）2+116.小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）A.L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y 轴17.如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=1/2x2+bx+c的顶点，则方程1/2x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或2二．填空题1.将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为2.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是y=x2-3x+5则a+b+c= .3.抛物线y=3x2-4向上平移3个单位，再向左平移4个单位，得到的抛物线的解析式是。
二次函数平移问题
二次函数平移问题二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c (a≠0)时1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律.将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位, 常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c-n2.向左或向右平移时,解析式的变化规律.将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c3.将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n 将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c-n 将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c+n 将抛物线向右平移m个单位长度后, 再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c-n二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时1.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n2.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k 将抛物线向左平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h-m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a[x-(h-m)]2+k=a （x-h+m)2+k将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-h-m)2+k两解析式比较可得出图像向左平移m 个单位，括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h+m)2+k ；同理可推出向右平移m 个单位括号内减去m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h-m)2+k综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项3.将抛物线向左平移m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k+n 将抛物线向左平移m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k-n 将抛物线向右平移m 个单位长度后, 再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k+n 将抛物线向右平移m 个单位长度后, 再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k-n 二次函数的平移练习题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A. y=-（x-1）2+3B. y=-（x+1）2+3C. y=-（x-1）2-3D. y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A. 先往左上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动B.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（）A. 将抛物线C 向右平移2.5个单位 B.将抛物线C 向右平移3个单位 C.将抛物线C 向右平移5个单位 D.将抛物线C 向右平移6个单位6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式 A. y=-41(x-2)2+2B. y=41(x-2)2+4C. y=-41(x+2)2+4D. y= (21x-21)2+3 7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y=-2（x-2）2+5B. y=-2（x+2）2+5C. y=-2（x-2）2-5D. y=-2（x+2）2-511.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2+x-2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+212.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转1800，所得抛物线的解析式是（）A ．y=-（x+1）2+2B ．y=-（x-1）2+4C ．y=-（x-1）2+2D ．y=-（x+1）2+413.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位14.若二次函数y=(x-m)2-1，当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤115.如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x-m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为（）A ．13B ．7C ．5D ．816.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线17.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到18.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向平移个单位得到19.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是20.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向平移个单位，再向_____平移_____个单位得到21.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________22.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式23.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为24.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式25.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。
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二次函数平移专题
一、填空
1、抛物线2ax y =向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线
2.二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_________平移_________个单位，再向 ____________平移____________个单位得到.
3、抛物线3)2(32-+=x y 可由抛物线2)2(32++=x y 向 _____ 平移 ____
个单位得到．
4、将抛物线5)3(5
32+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是
5、把抛物线2)1(2---=x y 是由抛物线3)2(2-+-=x y 向 平移 个
单位，再向_____平移_______个单位得到。
6、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为____________
7、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是____________
8、抛物线y ＝x 2－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式
9、将抛物线21(3)22
y x =+-向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为___
10．抛物线232
y x =-向左平移1个单位得到抛物线解析式为___________ 22y x =
11、二次函数
的草图： 开口向_________， 顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而___________。
当x=___________时，函数有最______值，其值为______。
与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_________。
它是由函数________向___平移_____个单位得到的。
12、二次函数
的草图： 开口向____，顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。
与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_____。
它是有函数________向___平移_____个单位得到的。
13、二次函数2(1)3y x =-++的草图：
开口向___， 顶点坐标是（ ），对称轴是________,在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_________.当x=______时，函数有最______值，其值为______。
与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是_____。
它是有函数________向___平移_____个单位，再向 ____________平移____________个单位得到.
二、选择
1 .把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A. 2(1)3y x =--+
B. 2(1)3y x =-++
C. 2(1)3y x =---
D. 2(1)3y x =-+-
22(1)y x =+221y x =+
2．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必 须 （ ）
A ．向上平移1个单位；
B ．向下平移1个单位；
C ．向左平移1个单位；
D ．向右平移1个单位．
3、要从抛物线212y x =-得到21(1)32
y x =-+-的图像，则抛物线y=-12x 2必须 （ ）
A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．
4. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )
A. ()522+--=x y
B. ()522
++-=x y C. ()522---=x y D. ()522
-+-=x y 5、把二次函数34
12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()424
12+-=x y C.()42412++-=x y D. 321212
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y
6、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A ．222-=x y
B ．222+=x y
C ．2)2(2-=x y
D ．2)2(2+=x y
7、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛
物线的解析式为
A ．2(1)3y x =---
B ．2(1)3y x =-+-
C ．2(1)3y x =--+
D ．2(1)3y x =-++
9、要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）．
A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
22y x =22(1)y x =+22(1)y x =-221y x =+221y x =-。