最新怀化学院省级精品课程高等代数教案第二章行列式教学内容

列在这个对换下互变 .
定理 1 对换改变排列的奇偶性 .
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列 .
推论 在全部 n 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 n!/ 2 个.
定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12 n 都可以经过一系列对换互变， 并且所 作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性 .
当三级行列式 a11 a12 a13
d a 21 a 22 a 23 0 a 31 a 32 a 33
时，上述三元线性方程组有唯一解，解为
a11 a12 a13 a 21 a22 a23 . a 31 a32 a33
x1 d1 , x2 d 2 , x 3 d 3 ,
d
d
d
其中
b1 a12 a13 d 1 b2 a 22 a 23 , d 2
称代数式 a11a 22 a33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a11a 23 a32 a12 a21 a33 a13 a 22a31 为三级行 列式，用符号表示为：
名师精编
优秀教案
a11a22 a33 a12 a23a 31 a13a 21a 32 a11a 23 a32 a12 a21 a33 a13 a 22 a31
名师精编
优秀教案
也称为 n 级排列 .对这样一般的 n 级排列，同样可以定义上面这些概念 .
二、排列的奇偶性
把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列
.
这样一个变换称为一个对换 .显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就
还原了 .由此得知， 一个对换把全部 n 级排列两两配对， 使每两个配成对的 n 级排
an1 x1 an2 x2
ann xn bn
的情形 .为此，首先给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质， 这是本章的主要内容 .
名师精编
优秀教案
一、排列的定义
§2 排列
定义 1 由 1, 2, , n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列 .
所有不同的 n 级排列共有 n ！个．
显然 12 n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序
于是上述解可以用二级行列式叙述为：
当二级行列式
a11 a12
0
a21 a22
时，该方程组有唯一解，即
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a22 a11 a12
, x2
a21 b2 . a11 a12
a21 a22
a21 a22
对于三元线性方程组有相仿的结论 .设有三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a 21 x1 a22 x 2 a 23 x 3 b2 , a 31 x1 a32 x 2 a33 x3 b3 .
解：（1） 1 2
(n 1) (n 1)
2 1 n( n 1)
（
24
2(n 1) n(n 1) ）
（ 2） 1 2
n (n 1) ( n 2)
21
n( n 1) n(n 1) n2
2
2
Baidu Nhomakorabea
定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列 .
应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列，一般
(35412) 7
逆序有： 31， 31，54，51， 52，41，42．
注 2） ( j1 j2 个数．
j n ) = j1 后面比 j1小的数的个数 +
+ jn 1 后面比 jn 1 小的数的
或 = j n 前面比 jn 大的数的个数 + j n 1 前面比 j n 1 大的数的个数 +
面比 j 2 大的数的个数．
当 a11a 22 a12 a21 0 时，此方程组有唯一解，即
x1
b1 a22 a12b2
, x2
a11b2 a12b1 .
a11a22 a12 a 21
a11 a22 a12 a 21
我们称 a11a22 a12 a21 为二级行列式，用符号表示为
a11a22 a12 a21
a11 a12 . a21 a22
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§3 n 级行列式
一、 n 级行列式的概念 在给出 n 级行列式的定义之前， 先来看一下二级和三级行列式的定义 .我们有
a11 a12
a21 a22
a11a22 a12 a21 ,
(1)
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 a31 a32 a 33
a11a 22 a33 a12 a 23a31 a13a 21a 32 a11 a23 a 32 a12 a21a33 a13a 22 a31 (2)
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第二章 行列式
§1 引言
解方程是代数中的一个基本的问题， 特别是在中学所学代数中， 解方程占有 重要地位 .这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组 .
线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容 . 对于二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 ,
例 2． 求 n 级排列 n(n 1) 321 及 1 2 解： (n(n 1) 321) (n 1) (n 2)
( n 1)n 的逆序数 n( n 1)
21 2
+ j2前
(123 n) 0
练习：求下列排列的逆序数．
（1） 135 (2 n 1)(2n)(2 n 2) 42
（2） (2 n)1(2n 1)2(2n 2)3 (n 1) n
排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序 .
定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的
数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序， 一个排列中逆序的总数就称为这个
排列的逆序数 .
注 1）排列 j1 j2 j n 的逆序数记为 ( j1 j2 j n ) 例 1． (31542) 5 逆序有： 31， 32，54， 52 ， 42
b3 a32 a 33 在这一章我们要把这个结果推广到
a11 b1 a13 a21 b2 a23 , d 3 a31 b3 a33 n 元线性方程组
a11 a12 b1 a21 a 22 b2 . a31 a 32 b3
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a1n xn b1 , a2 n xn b2 ,
从二级和三级行列式的定义中可以看出， 它们都是一些乘积的代数和， 而每一项
乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的， 并且展开式恰恰就