2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二讲 参数方程
高考数学一轮总复习不等式与参数方程
高考数学一轮总复习不等式与参数方程在高考数学中，不等式和参数方程是一轮总复习中非常重要的部分。
通过掌握这两个知识点，学生们可以更好地应对考试，并在解题过程中展现他们的数学能力。
本文将深入讨论不等式和参数方程的定义、性质以及解题方法，帮助大家更好地理解和掌握这两个知识点。
一、不等式不等式是数学中用于表示数量大小关系的一种表达方式。
不等式中的符号可以是大于、小于、大于等于、小于等于等，利用不等式可以描述两个或多个数的大小关系。
在高考数学中，不等式通常与方程一起出现，要求学生求出不等式的解集或者判断不等式的真假。
1.1 不等式的基本性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解决不等式问题非常有帮助。
首先，两个不等式的加法仍然是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到a+c<b+d。
同样地，两个不等式的乘法也还是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到ac<bd。
此外，如果一个不等式两边都乘以一个正数，那么不等号的方向不变；如果一个不等式两边都乘以一个负数，那么不等号的方向会发生改变。
1.2 不等式的解集求解一个不等式就是要找到该不等式的所有满足条件的解。
对于简单的不等式，可以通过画数轴或者列出数表等方法来找到解集。
但是在高考中，我们经常遇到复杂的不等式，这时就需要运用一些解不等式的常用方法，如区间判断法、辅助方程法和换元法等。
二、参数方程参数方程是一种描述曲线或者曲面上各点的方法。
在参数方程中，自变量通常是一个参数，通过改变参数的值，我们可以得到不同的点。
参数方程在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
在高考数学中，参数方程通常与直线、曲线的性质和方程求解相关，掌握参数方程的概念和应用是解题的关键。
2.1 参数方程的定义参数方程由参数关于未知量的表达式组成。
例如，对于平面上的一条直线，我们可以使用两个参数x和y来表示该直线上的不同点。
通常情况下，我们会使用t作为参数，直线上的点可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
高考数学一轮复习 试题选编36 坐标系与参数方程
江苏省2014届一轮复习数学试题选编36：坐标系与参数方程填空题1 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在极坐标系中,圆4sin p θ=的圆心的极坐标是________________________. 【答案】(2,)2π2 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））直线2,34x lt y t=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数,l 为常数)恒过定点_______________. 【答案】(-2,3) 解答题 3 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.【答案】C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 解:依题意(4,0)A ,(0,3)B ,5AB =,直线AB :143x y+=,即34120x y +-=设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ,则点P 到直线AB 的距离是|34cos 43sin 12|12|)1|554d θθπθ⋅+⋅-==+-,当sin()14πθ+=-时,max d =所以PAB ∆面积的最大值是max 11)2S AB d =⋅=+ 4 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）C.[选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线 cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.【答案】C.圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=, 直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=,设点1)P αα-,则点P 到直线70x y +-=的距离d =,所以mind==maxd==5 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)求圆3cosρθ=被直线22,14x ty t=+⎧⎨=+⎩(是参数截得的弦长.【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:3cosρθ=即:223x y x+=,即2239()24x y-+=;22,14,x ty t=+⎧⎨=+⎩即:23x y-=, 0d,即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为36 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知曲线1C的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin22cos2yx（其中α为参数），M是曲线1C上的动点，且M是线段OP的中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线2C，直线的方程为2)4sin(=+πρx，直线与曲线2C交于,A B两点。
2013年高考数学理知识与能力测试题(2)
2013年高考数学理知识与能力测试题(2)DF ，右准线l 与两条渐线交于P 、Q 两点，如果△PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率ｅ＝ 。
（3）函数y =的最大值是 。
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知)cos ,sin 3(x x m ωω=，)cos ,(cos x x ωω=，0>ω，记函数n m x f •=)(，若函数)(x f 的最小正周期为π。
(1) 求ω； (2) 当30π≤≤x 时，试求)(x f 的值域。
16．（本小题满分13分）设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。
现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数tep λ--=1，其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个安全(这里不考虑其他故障)。
17．(本小题满分14分)在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，E是棱BC 、CD 上的点，且 ''B F D E ⊥。
(1) 求证：CF BE =；(2) 当三角形CEF 角'C EF C --的余弦值。
18．（本小题满分14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),,(,),,(),,(222111nny x P y x P y x P ，对于正整数n ，点nP 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且nn x x <+1。
(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nx1是等差数列； (2) 设⊙nP 的面积为nS ，nnS S S S T ++++= 321，求证：23π<nT19．(本小题满分12分) 已知函数x ax x x f 3)(23+-=(1)若)(x f 在[)+∞∈,1x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在[]a ,1的最小值和最大值。
2013年高考试题分项版解析数学(理) 专题02 函数(Word精析版)(2)
第二章 函数 一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数错误！未找到引用源。
的定义域为 （）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ）A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为 （ ）(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x关于y 轴对称，则f (x )=（ ）A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知y x ,为正实数，则（ ） A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B. lg()lg lg 222x y x y += C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D. lg()lg lg 222xy x y =【答案】D8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】函数21()log (1)(0)f x x x=+>的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21xx ≠- C ．21()xx R -∈ D ．21(0)x x ->9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21,f x x x=+,则()1f -=A.2-B. 0C. 1D. 210.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】方程1313313x x-+=-的实数解为________.二．能力题组11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数331x x y =-的图象大致是（ ）12.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 413.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为14.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设a =log 36,b=log 510,c=log 714,则 （A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ） (A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______. 40m17.【2013年全国高考新课标（I ）理科】若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.18.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .三．拔高题组19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。
高考数学(理)一轮复习课件：坐标系与参数方程-2参数方程
π
当α＝ 4 时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝
2 2
，与
C2交点B1的横坐标为x′＝3
10 10 .
π
当α＝－ 4 时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别
与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形． 故四边形A1A2B2B1的面积为 （2x′＋2x）2 （x′－x）＝25.
(2)由(1)知xy＝＝t12＋2t
① ②
由①得t＝x－2 1，代入②得y＝(x－2 1)2，∴(x－1)2－4y＝0.
[答案] (1)1 (2)(x－1)2－4y＝0
[规律总结] 化参数方程为普通方程，关键是消去参
数建立关于x，y的二元方程F(x，y)＝0，常用方法有代入
消元法，加减消元法，恒等式法，方法的选取是由方程
＝0.
由题意可得圆心C(－1，0)，则圆心到直线x＋y＋3＝
0的距离即为圆的半径，故r＝
2＝ 2
2 ，所以圆的方程为
(x＋1)2＋y2＝2.
高考测点典例研习
参数方程与普通方程的互化
例1 [教材改编]已知某曲线C的参数方程为
x＝1＋2t y＝at2
(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线
点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝
π 2
时，这
两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝
π 4
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α
＝－
π 4
时，l与C1
，C2的交点分别为A2，B2求四边形
A1A2B2B1的面积．
[思路点拨] (1)将参数方程化成普通方程； (2)求出A1B1A2B2点的坐标结合图形求四边形的面 积．
2013届高考数学一轮同步练习13.2参数方程理苏教版
第二节参数方程强化训练当堂巩固1.把方程xy=1化为以t 参数的参数方程是( ) A. 1212x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩== B. sint 1y sint x =⎧⎪⎨=⎪⎩C. cost 1y cost x =⎧⎪⎨=⎪⎩D. tant 1y tant x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 答案:D解析:xy=1,x 取非零实数,而A,B,C 中的x 的范围有各自的限制,不合题意,故选D.2.若点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t⎧=,⎨=⎩ (t 为参数)上,则|PF|等于( )A.2B.3C.4D.5 答案:C 解析:抛物线为24y x =,准线为x=-1,|PF|为P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4.3.直线 122112x t y t ⎧=-,⎪⎨⎪=-+⎩ (t 为参数)被圆224x y +=截得的弦长为 . 答案解析:直线为x+y-1=0,圆心到直线的距离d ==弦长的一半为=4.若直线3x+4y+m=0与圆 1cos y 2sin x θθ=+,⎧⎨=-+⎩(θ为参数)没有公共点,则实数m 的取值范围是 .答案:m<0或m>10解析:由圆的参数方程知圆心(1,-2),半径R=1,问题等价于圆与直线3x+4y+m=0无公共点,则圆心(1,-2)到直线3x+4y+m=0的距离1d r =>=,解得m<0或m>10.5.已知曲线1C : 32cos y 22sin x θθ=+,⎧⎨=+⎩ (θ为参数),曲线2C : 1314x t y t =+,⎧⎨=-⎩ (t 为参数),则1C 与2C 的位置关系为.答案:相离 解析:曲线1C 化为普通方程是22(3)(2)4x y -+-=,曲线2C 化为普通方程是4x+3y-7=0,圆心(3,2)到直线4x+3y-7=0的距离4332725d |⨯+⨯-|==.2>2,故1C 与2C 相离. 课后作业巩固提升见课后作业B题组一 参数方程的概念1.参数方程为 12x t t y ⎧=+,⎪⎨⎪=⎩ (t 为参数)表示的曲线是… ( )A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线答案:D解析:∵y=2,∴它表示一条平行于x 轴的直线,而2x ≥,或2x ≤-.∴表示两条射线.2.已知F 是曲线 2cos y 1cos2x θθ=,⎧⎨=+⎩ (θ为参数θ,∈R )的焦点,点1(0)2M ,,则|MF|的值是 . 答案解析:由参数方程可得抛物线标准方程为22x y =,其焦点为1(0)2,,故|MF|=. 3.设y=tx(t 为参数),则圆2240x y y +-=的参数方程为 . 答案: 2224141t x t t y t ⎧=,⎪+⎨⎪=+⎩解析:22()40x tx tx +-=,当x=0时,y=0;当0x ≠时241t x t ,=+; 而y=tx,即2241t y t =,+得 2224141t x t t y t ⎧=,⎪+⎨⎪=.+⎩题组二 参数方程与普通方程的互化4.与参数方程x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩== (t 为参数)等价的普通方程为( )A.2214y x += B.221(01)4y x x +=≤≤ C.221(02)4y x y +=≤≤ D.221(0102)4y x x y +=≤≤,≤≤ 答案:D解析:2222211144y y x t t x x =,=-=-,+=,由0≤t ≤1011t ,≤-≤,得02y ≤≤.故选D.5.直线 3445x t y t =+,⎧⎨=-⎩(t 为参数)的斜率为 . 答案:54- 解析:直线的斜率455344y t k x t --===--. 6.参数方程 t t t t e e y 2(e e )x --⎧=+,⎨=-⎩ (t 为参数)的普通方程为. 答案:221(2)416y x x -=≥ 解析: t t t t e e y e e 2x -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=+=- ⇒ t t 2e 2y x 2e 2y x ⎧⎪⎪⎪⎨⎪-⎪⎪⎩+=-= ()()422y y x x ⇒+-=, 即221416y x -=.又x=e t +e 2t -≥.题组三 参数方程的应用7.已知直线l:x-y+4=0与圆C:12cos y 12sin x θθ=+,⎧⎨=+,⎩则C 上各点到l 的距离的最小值为 .答案:2-解析:方法一:圆方程为22(1)(1)4x y -+-=,∴d==.∴所求距离的最小值为2-.方法二:d==cos θ-sin )θ+|=|2cos ()4πθ++∴所求距离的最小值为2-.8.如果曲线2cosy a2sinx aθθ=+,⎧⎨=+⎩(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a的取值范围是 .答案:0a<<或0a-<<解析:由题可得以原点为圆心,以2为半径的圆与圆22()()4x a y a-+-=总相交,根据两圆相交的充要条件得204080a a<<⇒<<⇒<<或-<a<0.9.直线2413x ty t=-+,⎧⎨=--⎩(t为参数)被圆25cosy15sinxθθ=+,⎧⎨=+⎩(θ为参数)所截得的弦长为 .答案:6解析:在平面直角坐标系中,直线3x+4y+10=0到圆222(2)(1)5x y-+-=所截得的弦长,则圆心(2,1)到直线3x+4y+10=0的距离为23411045d|⨯+⨯+|==,半弦为3,弦长为6.10.曲线4cosyxθθ=,⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)上一点P到点A(-2,0)、B(2,0)距离之和为 .答案:8解析:曲线4cosyxθθ=,⎧⎪⎨=⎪⎩表示的椭圆的标准方程为216x+2112y=,可知点A(-2,0)、B(2,0)为椭圆的焦点,故|PA|+|PB|=2a=8.11.直线12xy⎧=,⎪⎨=⎪⎩(t为参数)上到点A(1,2)的距离为的点的坐标为 .答案:(-3,6)或(5,-2)解析:点P(x,y)为直线上的点|PA|==解得t=或t =-故P(-3,6)或(5,-2).12.已知点P(x,y)是圆222x y y +=上的动点,(1)求2x+y 的取值范围;(2)若0x y a ++≥恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)设圆的参数方程为cos y 1sin x θθ=,⎧⎨=+⎩ (θ为参数),2x+y=2cos θ+sin 1θ+=()1θϕ++,其中tan 2ϕ=.∴121x y +≤+≤+.(2)x+y+a=cos θ+sin 10a θ++≥,∴(a ≥-cos θ+sin )1θ-=sin ()14πθ+-.∴1a ≥-.。
【名师金典】版高考数学大一轮复习 第2节 参数方程课时检(选修4-4)
课时检测 参数方程(建议用时：45分钟)1．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.2．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.3．已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．4．(2015·福州调研)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交． 5．已知P为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 【解】 (1)∵M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．6．(2014·湖南高考改编)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．【解】 消去曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α中的参数α，得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径． ∴直线l 过曲线C 的圆心C (2,1)． 又直线l 的倾斜角为π4，则k ＝tan π4＝1.所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρcos θ－ρsin θ＝1. 因此直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1.7．(2015·沈阳质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【解】 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.8．(2014·重庆高考改编)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，若直线l 与曲线C 的公共点为M ，求点M 的极径．【解】 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， 其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y 2＝4x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴直线l 和曲线C 的交点M (1,2)， 因此点M 的极径ρ＝12＋22＝ 5.9．(2015·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．【解】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m . 又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m . 又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e＝63. 10．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．【解】 (1)将曲线C ：ρ＝4cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝4x ， ∴曲线C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程是x －y ＋25＝0.(2)将曲线C ：(x －2)2＋y 2＝4横坐标缩短为原来的12，得到曲线的方程为(2x －2)2＋y2＝4，即4(x －1)2＋y 2＝4，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，即x 2＋y 24＝1.设曲线C 1上的任意一点为(cos θ，2sin θ)，它到直线l 的距离为d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5θ＋φ2，当sin(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值52＝102， ∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为102.。
高考数学(理)一轮复习课后检测：选修《参数方程》
选修4－4－2 参数方程一、填空题 1．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－1t y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是__________． 答案：y ＝x (x －2)(x －1)22．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝__________. 解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.答案：43．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为__________．答案：－154．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA →|＝__________. 答案：35．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k ＝__________.答案：±336．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－22，0)∪(0,22)7．在极坐标系中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)，若直线l 1与直线l 2垂直，则k ＝__________. 答案：－18．求直线⎩⎨⎧ x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4所截的弦长为__________． 答案：75 9．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则y x 的取值范围是__________．答案： ⎣⎡⎦⎤0，33 三、解答题10．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.直线C 2的直角坐标方程x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1. ∴⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 11．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 解法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解析：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。
2013年高考会这样考第2讲参数方程
π
第 (1)问：利用代入法； 第 (2)问把曲线
C1、曲线 C2 均用极坐标表示，
再求射线
θ＝ 3
与曲线 C1、 C2 的交点 A、 B 的极径即可． [解答示范 ] (1)设 P(x，y)，则由条件知 M x2，y2 .
由于 M 点在 C1 上，所以
x 2＝ 2cos α， y＝ 2＋ 2sin α， 2
x＝1＋cos θ，
x＝2＋t cos α，
【例 2】?已知圆 C：
(θ为参数 )和直线 l：
(其中 t 为参数， α
y＝sin θ
y＝ 3＋tsin α
为直线 l 的倾斜角 )．
(1)当
α＝
2π时，求圆上的点到直线 3
l 距离的最小值；
(2)当直线 l 与圆 C 有公共点时，求 α的取值范围． [审题视点 ] (1)求圆心到直线 l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求； (2)把圆的参数方程 化为直角坐标方程， 将直线的参数方程代入得关于参数 t 的一元二次方程， 这个方程的 Δ≥0. 解 (1)当 α＝ 2π时，直线 l 的直角坐标方程为 3 x＋y－3 3＝ 0，圆 C 的圆心坐标为 (1,0)，圆
3
心到直线的距离 d＝2 3＝ 3，圆的半径为 1，故圆上的点到直线 l 距离的最小值为 3－1. 2
(2)圆 C 的直角坐标方程为 (x－1)2＋ y2＝1，将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得 t2＋ 2(cos α＋ 3sin α)t＋ 3＝ 0，这个关于 t 的一元二次方程有解，故 Δ＝ 4(cos α＋ 3sin α)2－
y＝ 1＋ 4t
＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
高三理科数学一轮复习试题选编坐标系与参数方程含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编25：坐标系与参数方程一、填空题1 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）（坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x —4y +4=0的距离的最大值为______________【答案】3;2 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学（理科）试题（word 版） )设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______13 ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C：ρ=和曲线2C：cos()4πρθ+=,则1C 上到2C 的距离等于的点的个数为__________。
【答案】3；将方程ρ=与cos()4πρθ+=222x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点，半径为的圆,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=的距离为2,故满足条件的点的个数3n =。
4 ．（广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中,圆4cos ρθ=上的点到直线(sin cos )2ρθθ-=的最大距离为__________。
【答案】222+5 ．( 2013届广东省高考压轴卷数学理试题）已知曲线1C 的参数方程为（0≤θ<π)，直线l 的极坐标方程为4πθ=，()R ρ∈,则它们的交点的直角坐标为_______。
【答案】3030)66在直角坐标系中:曲线()221:105x C y y +=≥,直线:l y x =6 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学(理）试题）已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___ 【答案】222-7 ．（广东省湛江一中等“十校"2013届高三下学期联考数学（理)试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 882(t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切，则半径r =________.【答案】28 ．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理)试题）(坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫⎪⎝⎭答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z )。
高考真题理科——参数方程(2013年-2015年)
x 4 5cos t , (t y 5 5sin t
为参数)， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2 的极坐标方程为ρ = 2sinθ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ ＜2π )．
２.(2013 课标全国Ⅱ，理)已知动点 P、Q 都在曲线 C：
x 2cos t (t y 2sin t
为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α (0＜α ＜2π )，M 为 PQ 的中点． (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹 是否过坐标原点．
５. (2015 课标全国Ⅰ， 理)在直角坐标系 xOy 中。 直线 C1 : x 2 ， 圆 C2 ：
x 1 y 2
2
2
1 ,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系。 1) 求 C1 , C2 的极坐标方程； 2) 若直线 C3 的极坐标方程为 R ，设 C2 与 C3 的交点为
π 点 P 的极坐标为 4, ，则|CP|＝__________. 3
４. (2014 天津，理)在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线
sin a 相交于 A, B 两点.若 AOB 是等边三角形，则 a 的值为
___________.
二、 解答题
３. (2014 课标全国Ⅰ，理)已知曲线 C ： （ t 为参数）.
x 2 t x2 y 2 1 ，直线 l ： 4 9 y 2 2t
高考数学总复习第一轮复习课件：选修4-4(2)参数方程ppt课件(含答案)
y42＝1，∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0， ∴a＝3.]
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2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
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3．直线 l 的参数方程为xy＝ ＝12＋ －t3，t (t 为参数)，则直线 l 的斜率 为________．
－3 [将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因 此直线 l 的斜率为－3.]
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4．曲线
C
的参数方程为xy＝ ＝scions
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参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
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[解]
(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0.
第二讲 参数方程复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线直线的标准参数方程即过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． (4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． (5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e－t)2(t 为参数，a ，b >0)．解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴(x ＋4y 9)2＋(y －2x 9)2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t )2，解得⎩⎨⎧2xa ＝e t ＋e －t ， ①2yb ＝e t－e－t ， ②∴①2－②2，得4x 2a 2－4y 2b 2＝4， ∴x 2a 2－y 2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝(sin θ＋1sin θ)2－(sin θ－1sin θ)2＝4，即x 2－y 2＝4，∴x 24－y 24＝1. 又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2，当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin 2θ－1sin θ≤0，∴曲线为等轴双曲线x 24－y 24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得 t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.① ∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12＋b ＋12＝4，(b －1a ＋1)×(－1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1，|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1. 方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝144cos 2α－44＝10，所以cos 2α＝38，所以tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎨⎧x4＝cos t ，y 23＝sin t ，所以(x 4)2＋(y 23)2＝(cos t )2＋(sin t )2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y 212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2102＋x 282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3·sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．课时作业一、选择题1．直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)到直线l 的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2<r ＝2，所以l 与C 相交但不过圆心．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2) D(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C. 5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x 216， ∴y ＝4t 2＝x 24， 即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(2－2，1) B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)式，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1 解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0，∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝|－3－0|12＋(－22)2＝1.8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________． 答案 2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1.10．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝________.答案 4p |t 1|(或4p |t 2|)解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，则|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|(或2p |2t 2|)，∴|MN |＝4p |t 1|(或4p |t 2|)．三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 15．设飞机以v ＝150 m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s. 将t 0＝230代入x ＝150t 0中，得x 0＝30030 m.。
2013年理科全国各省市高考真题——坐标系与参数方程(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—坐标系与参数方程 1、2013重庆理T15.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于,A B 两点，则______AB =2、2013天津理T11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .3、2013广东理14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.4、2013陕西理T15.C. (坐标系与参数方程选做题)如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2 .x5、2013湖南理T9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .6、2013湖北理16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。
若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。
7、2013新课标I 理T23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程式⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）8、2013新课标Ⅱ理T23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 参数方程 理
选修4-4 第二节 参数方程1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.2．在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小距离．解：因为椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d ＝|3cos φ＋4sin φ－10|5＝|5cos φ·35＋sin φ·45－10|5＝15|5cos(φ－φ0)－10|， 其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝45.由三角函数的性质知，当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝95，2sin φ＝2sin φ0＝85.因此，当点M 位于(95，85)时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程， 得y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.4．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的圆心F是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围．解：圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ，(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．5．(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos(θ－π4)＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102. 6．(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解： (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋ 5.或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2. 8．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上两个动点，且分别在直线AC 的两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．解：设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x ＋4y －20＝0.又设B (4cos α，5sin α)，D (4cos β，5sin β)，其中α∈(0，π2)，β∈(π2，2π)．点B 到AC 距离d 1＝2041|cos α＋sin α－1|＝2041|2sin(α＋π4)－1|≤2041(2－1)(当α＝π4时取等号)．点D 到AC 的距离d 2＝2041|2sin(β＋π4)－1|≤2041(2＋1)(当α＝54π时取等号)．∴所求S 四边形ABCD 的最大值为12AC ·[2041(2－1)＋2041(2＋1)]＝20 2。
2013年文科全国各省市高考真题——坐标系与参数方程(解答题带答案)
2013年全国各省市文科数学—坐标系与参数方程 1、2013广东文T14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．2、2013陕西文C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .3、2013新课标1文T23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。
（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。
4、2013辽宁文T23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33,,.12x t a t R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值5、2013新课标Ⅱ文T23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
参考答案：1、【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 2、【解析】)0,1(4.222F x y ty t x 抛物线的焦点⇒=⇒⎩⎨⎧==3、4、[解析] （I）圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,解得,,所以交点的极坐标为，注不唯一（II）P,Q的直角坐标为 PQ的直角方程为，由参数方程可得所以解得。
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第二讲 参数方程班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.判断以下各点,哪一个在曲线231432x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)上( )A.(0,2)B.(-1,6)C.(1,3)D.(3,4)解析:∵x=1+t 2+t 4=2213124t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为( ) 2.12.A .2x sintx tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφφ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩⎧=⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩。
解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ､C ､D,只有B 符合. 答案:B3.若直线的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数),则直线的斜率为( )2233 (3)322A B C D --解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.∴直线的斜率k=- . 答案:D4.过点M(2,1)作曲线C:44x cosy sinθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.y-1=- (x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=- (x-1)D.y-2=-2(x-1)解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直,∵kOM= ,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2).答案:B5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为2313x cos y sinθθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为10的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=310=<,所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又10,故满足题意的点有2个.答案:B6.(2010·上海)直线l的参数方程是122x ty t=+⎧⎨=-⎩(t∈R),则l的方向向量d可以是( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)解析:化参数方程122x t y t=+⎧⎨=-⎩为一般方程得x+2y-5=0,所以直线l 的斜率为- ,∴方向向量为(-2,1),选C. 答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.若直线1223x ty t=-⎧⎨=+⎩ (t 为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=________.解析:将11237,23223.2y k x t x y t =-⎧=-+⎨=+-∴⎩=化为斜率显然k=0时,直线4x+ky=1与上述直线不垂直. ∴k≠0,从而直线4x+ky=1的斜率k 2=-4k.依题意k 1k 2=-1,即431, 6.2k k ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭⨯ 答案:-68.(2010·武汉质检)圆C:3424x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩ (θ为参数)的圆心坐标为________,和圆C 关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程是________.解析:将圆C 的方程化为普通方程得(x-3)2+(y+2)2=16. ∴其圆心坐标为(3,-2).则点(3,-2)关于x-y=0的对称点为(-2,3). ∴圆C′的方程为(x+2)2+(y-3)2=16. 答案:(3,-2) (x+2)2+(y-3)2=169.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t∈R),圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩ (参数θ∈[0,2π)),则圆C 的圆心到直线l 的距离为________. 解析:圆C 的圆心坐标为(0,2),直线l:33x t y t =+⎧⎨=-⎩消去系数t 得:x+y=6,圆心到直线l 的距离|26|-=答案10.(2010·陕西)已知圆C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩,(α为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析:圆C 的普通方程为x 2+(y-1)2=1,直线l 的直角坐标方程为y=1, 解方程组221,1,(,1)11, 1.1x x x y y y y =-=⎧+-=⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩得或故直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1). 答案:(-1,1),(1,1)评析:此题巧妙地将参数方程､极坐标方程与直角坐标方程结合起来,体现了在知识交汇处命题的指导思想,但题目又不难,也是今后命题的方向.三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.) 11.(2010·辽宁)已知P 为半圆C:x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧 AP的长度均为3π. (1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程. 解:(1)由已知,M 点的极角为,3,3M ππ且点的极径等于故点M 的极坐标为(),.33,,(1,0)6611,.62M ,AM (t ).6A x t y t ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎧⎪⎛⎫=+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩点的直角坐标为故直线的参数方程为为参数12.(2010·福建)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρθ.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B.若点P 的坐标为),求|PA|+|PB|. 解:(1)由ρθ,得x 2+y 2即x 22=5.(2)解法一:将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2235,22⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即t 2由于Δ2-4×4=2>0, 故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以(((((12122212122l P t PA PB t t t t :C r l :y x 3,,4.,5,31,2,23x 3x 20.:A 1P (31,2,2,1,t t t t x y y x x x y y B ⎧+=⎪⎨=⎪⎩=+⎧+-=⎪⎨⎪=-++⎩==⎧⎧⎪⎪⎨+⎨=+=+=+=+=⎪⎪⎩⎩++=-+-=+又直线过点故由上式及的几何意义得解法二因为圆的圆心为半径直线的普通方程为由得解得不妨设又点的坐标为PA PB =+=故13.(2010·全国新课标)已知直线C 1:{2t ),C :,).,(,1(x cos x tcos y tsin y sin θααθθ=⎧=+=⎨=⎩为参数圆为参数(1)当α=3π时,求C 1与C 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当α=3π时,C 1的普通方程为2的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组()12221),1,C C 1,0,.221.y x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⎨ ⎪+=⎪⎝⎭⎩解得与的交点为 (2)C 1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α). 故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为222().P 1,21.211.41611,0,44P x sin y sin cos x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭为参数点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为半径为的圆.评析:本题给出了两个参数方程,在解题过程中如果都用参数方程就不好做了,因此可以将其都化为普通方程,至少将其中的某个方程化为我们便于应用的普通方程,即参数方程普通化的主导思想.。