解三角形典型例题答案
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1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-=
cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=
cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=
所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc
a c
b A 2cos 2
22-+=代入右边 得右边22222222
22()222a c b b c a a b c abc abc ab
+-+--=-= 22a b a b ab b a
-==-=左边， ∴)cos cos (a
A b
B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB
C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2
A B π
>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222
A C A C
B B +-=，
∴1sin cos 222B A C -==0,22
B π<<∴cos 2B =
∴sin 2sin
cos 22244B B B ==⨯=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B
++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B
π===+=或2 ∴等腰或直角三角形
6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ⋅-⋅=-
222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-
222
2220
,cos45
22
a b c
a b c C C
ab
+-
+-====
222
2,2sin,2,
sin
c
R c R C a b R
C
===+-=
2
222
22,
R a b ab ab
+=+≥≤
2
1
sin
244
S ab C ab
==≤2
max2
1
2
R
S
+
=
另法：
1
sin2sin2sin
244
S ab C R A R B
===⨯
2
2sin2sin sin sin
4
R A R B A B
=⨯⨯=
2
1
[cos()cos()]
2
A B A B
=⨯⨯--+
2
2
1
[cos()
22
(1
22
A B
=⨯⨯-+
≤⨯+
2
max
1
2
S R
∴=此时A B
=取得等号
7解：sin sin2sin,2sin cos4sin cos
2222
A C A C A C A C
A C B
+-++ +==
1
sin cos,cos,sin2sin cos 22242422
B A
C B B B
B
-
=====
3
,,,
24242
B B
A C A C
B A C
πππ
π
-=+=-=-=-
333
sin sin()sin cos cos sin
444
A B B B
πππ
=-=-=
sin sin()sin cos cos sin
444
C B B B
πππ
=-=-=
::sin:sin:sin
a b c A B C
==)7
7(:7:)7
7(-
+
8解：2220
1
()()3,,cos,60
2
a b c a b c ac a c b ac B B
++-+=+-===
tan tan3
tan(),,
1tan tan1tan tan
A C
A C
A C A C
+
+==
--
tan tan2
A C=+
tan tan3
A C
+=+
得
tan1
tan2
tan1tan2
A
A
C C
=
⎧⎧
=
⎪⎪
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩⎩
00
00
7545
4575
A A
C C
⎧⎧
==
⎪⎪
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩⎩
或
当00
75,45
A C
==
时，1),8
sin
b c a
A
====
当00
45,75
A C
==
时，1),8
sin
b c a
A
====
∴当000
75,60,45
A B C
===
时，8,1),
a b c
===
当000
45,60,75
A B C
===
时，8,1)
a b c
===。
9. 解：（Ⅰ）由22
sin cos1
C C，得
26
sin
5
C.
则
4
sin
cos
4
cos
sin
)
4
sin(
π
π
π
C
C
C+
=
+
.
10
2
3
4
2
2
5
1
2
2
5
6
2+
=
⨯
+
⨯
=
（Ⅱ）因为1
cos
|
||
|=
=
⋅C
CB
CA
CB
CA，则5
ab.
又37
a b，所以222
()227
a b a b ab.
所以2222cos25
c a b ab C.
则5
c.
所以.6
sin
2
1
=
=
∆
C
ab
S
ABC
10. 解：（1）由.1
3
2
cos
)
2
4
(
cos
sin
4
1
32-
=
-
+
-
=
⋅B
B
B
π
得
∴.1
3
sin
2
1
2
)
2
cos(
1
sin
42-
=
+
-
+
+
⋅B
B
B
π
∴.1
3
1
sin
2-
=
-
B