第一章 信号的分类与基本特性
一信号的定义及分类
第一章主要讲什么是信号，什么是系统。
首先来了解一下信号，我们平时见到的报道称为消息，消息中有意义的内容称为信息，信号是信息的载体，是信息的物理体现。
简而言之，就是通过信号传递信息。
我们平时见到的十字路口的红绿灯就是一种光信号，我们常见的广告牌也可以说成文字、图像信号，电视机接收的信号是一种电信号，而我们主要讨论的就是电信号，简称信号。
电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流，通常我们用描述信号，也可以用波形来表示。
需要注意的是在这门课里，“信号”与“函数”两词常相互通用。
1、信号的分类方法很多，下面是从不同的角度对信号分类：2、按实际用途分类：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号3、按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号等等。
下面从时间角度看一下各种信号的含义：确定信号与随机信号：顾名思义，确定性信号就是信号可以用一个确定的时间函数表示。
有便可推知，而随机信号指信号不能用一个确定的时间函数加以确定，它只能用统计方法进行描述,就像在相同条件下，随机信号不能准确的重现某一数值，只能得到某值得概率。
连续信号和离散信号：连续信号就是在连续时间都有定义的信号，至于值域可连续也可不连续，幅值连续为模拟信号（如图一中），否则为量化信号（如图一中）。
离散时间信号是仅在一些离散的时间才有定义的信号，需要注意的是其余时间无定义（不是0）。
幅值连续是取样信号（如图二），离散是数字信号（如图三）。
图一图二图三如图三的仅在一些离散时刻才有定义，间隔，取等间隔，离散信号：，简写为称为序列，k为序号。
用表达式可表示为：，其他或写为：此处必须标明模拟信号通过抽样可化为抽样信号，抽样信号经过量化可化为数字信号，以后会详细讲述变换过程。
周期信号和非周期信号：可以从字面含义理解。
连续周期信号满足：，离散周期信号满足：，满足上述关系的最小（或整数）称为该信号的周期。
信号的分类与基本特性讲课文档
通常把消息中有意义的内容称为信息。
信息量=[收到消息前对某事件的无知程度]－[收到消息后对某事件的无知程度]
2022/3/13
3
现在三页，总共五十八页。
一、信号的概念
3.信号(signal):
信号是消息的载体。通过信号传递信息。
信号是随时间和空间变化的物理量，是携带信息的载体和 工具。
f1 (t ) 1
0
1
f2 (t)
1
0
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t
t
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f(t)
2
0
1
t
42
5. 信号的相乘
f (t) = f1(t) ·f2(t)
0
0
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f (t) 1
0
t
1
1
现在四十三页，总共五十八页。
43
6. 信号的微分
f (t) 1
y(t) = df(t)/dt = f '(t)
f (t) 2
连续信号
E
lim2
2
f(t)dt
P lim1
2
2
f(t)dt
2
2
➢ 能量信号： 0 < E < ，P = 0。
➢ 功率信号： E ，0 < P < 。
➢非功非能信号： E ， P
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13
二、信号的分类
5. 一维信号 与 多维信号
一、典型普通信号
1. 直流信号
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现在十七页，总共五十八页。
信号与系统的基本概念-1
例: 求下列积分
(2)
(1)
t
(3t 2 2t 1) (1 t )dt e ( )d
(3) (t 2 3) (t 2)dt
1
1
解:
(1) 原式 (3t 2 2t 1) (t 1)dt
(3t 2 2t 1)
例: 画出 f (t)=(t-1)U(1-t2)的波形。
10
2、单位门信号
1 G (t ) 0
2 2 其余
t
性质：截取性
G (t ) U (t ) U (t ) 2 2
单位门信号G(t)具有使任意无时限信号f (t)变为时限信 号的功能，即将f (t)乘以G(t) ，所得f (t)G(t)即为时限信号。 3、单位冲激信号 (1)定义
6
m=0, ±1, ±2, …
例: 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。
(1) f1 (t ) sin 3t cost 3 16 1 (2) f 2 (t ) A sin( t ) B cos( t ) C sin( t ) 2 15 29
解： f1(t)中两个子信号sin3t和cos t 的周期分别为 (1)
Sa (t )
特点： ① ② ③ ④ ⑤
Sa(t ) Sa(t )
偶函数
t 0
t 0, Sa (t ) 1, 即 lim Sa (t ) 1
Sa(t ) 0,
t n , n 1,2,3,
sint t dt
0
sint dt , t 2
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
信号和系统
t
ht
H
二．阶跃响应 1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响 应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。
ut
gt
H
系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程 的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶 跃响应关系求阶跃响应。
f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0)dt f (t0)
2、δ(t) 的尺度变换
(at) 1 (t)
a
(at t0)
1 a
(t t0 )
a
f (t) (at)dt 1 f (0)
a
f (t) (at t0 )dt
Hale Waihona Puke 1 af (t0 ) a
这里 a 和 t0为常数，且a0。
y(t) e2t 3 yx (t) y f (t) (2e2t 4et ) (e2t 4et 3)，t 0
强迫响应
自由响应
零状态响应 零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响
应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表
2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所
§1.2 信号分类及常见确定信号
▲ ■ 第 25 页
三、常见确定性信号
1.复指数信号
cos( ωt )
f (t ) Kest Ke( j )t
( t )
jt e cos(ωt ) j sin( ωt ) 欧拉公式:
f (t ) Ke t cos(t ) jKe t sin(t )
▲
■
第 23 页
9.信号的直流分量和交流分量：
任意信号可分解为直流分量与交流分量之和: f(t)=fD(t)+fA(t)
(1)直流分量：
(平均值）
1 f（ [ D t） T
T 2 T 2
f (t )dt ]
T
(2)交流分量：
f（ f (t ) f D (t ) A t）
▲ ■ 第 24 页
0, 0 增幅振荡 0, 0 等幅振荡 0, 0 衰减振荡
▲ ■ 第 26 页
2.抽样信号
sin t Sa( t ) t
(Sampling Signal)
性质 ① Sa(t ) Sa(t )，偶函数 ② t 0, Sa(t ) 1，即 lim Sa(t ) 1 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π dt , dt π ④ 0 t t 2 ⑤ lim Sa(t ) 0
§1.2 信号基本特性
内容
信号的描述
信号的分类
几种典型确定性信号
■
第 1页
一、信号的描述
信号：带有信息的随时间变化物理量。 信号分电信号和非电信号，它们可相互转换。 电信号易产生、处理，便于控制。 本课程主要讨论电信号---简称“信号”。 描述信号常用方法 （1）时间的函数 （2）图形--波形 “信号”与“函数”两词常相互通用。
第一章 信号的分类与基本特性
第一章 信号的分类与基本特性【内容摘要】 本章主要介绍信号的基本概念、信号的分类、连续时间的基本信号、连续时间奇异信号、及特性、离散时间信号及特点和信号的基本运算。
1．1 信号的基本概念与分类1．1．1 信号的基本概念在日常生活和社会活动中，人们会经常谈到信号，比如，交通路口的红绿灯信号，唱歌和说话的声音信号，无线电发射台的电磁波信号等等。
因此，从物理概念上，信号是标志着某种随时间变化的信息。
从数学上，信号表示一个或多个自变量的函数。
在信号与系统中，我们尤其关心的是电信号。
1．1．2 信号的分类根据信号的性质可分为：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。
一、确定信号与随机信号对应于某一确定时刻，就有某一确定数值与其对应的信号，称为确定信号。
如图1-1（a ）为一个线性斜波信号，在1t 时刻,对应的数值为1y ,在2t 时刻，对应的数值为2y 。
确定信号往往可以用函数解析式、图表和波形来表示。
如果一个信号事先无法预测它的变化趋势，也无法预先知道其变化规律，则该信号称为随机信号，如图1-1（b ）所示。
在实际工作中，系统总会受到各种干扰信号的影响，这些干扰信号不仅在不同时刻的信号值是互不相关的，而且在任一时刻信号的幅值和相位都是在不断变化的。
因此，从严格意义上讲，绝大多数信号都是随机信号。
只不过我们在研究信号与系统时，常常忽略一些次要的干扰信号，主要研究占统治地位的信号的性质和变化趋势。
本教材主要研究确定信号。
y )(a 12y)(b图 1-1二、连续时间信号与离散时间信号对任意一个信号，如果在定义域内，除有限个间断点外均有定义，则称此信号为连续时间信号。
连续时间信号的自变量是连续可变的，而函数值在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。
如图1-1（a ）中所示的斜坡信号，即是一个连续时间信号。
对任意一个信号，如果自变量仅在离散时间点上有定义，称为离散时间信号。
信号与系统第二讲
若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
25
二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
18
二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
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信号与系统第一章课件
系统的传递函数
传递函数是描述线性时不变系统的复数域数学模型 ，它包含了系统的频率响应信息。
复数域分析的优势与应用
复数域分析方法可以方便地处理具有非线性 特性的系统和信号，广泛应用于控制工程、 电路分析等领域。
04 线性时不变系统
线性时不变系统的定义与性质
线性
系统的输出与输入成正比 关系，比例系数为常数。
系统的频率响应
系统的频率响应是描述系统对不同频率信号的响 应特性，通过频率响应曲线可以了解系统的性能。
3
频域分析的优势与应用
频域分析方法可以方便地处理复杂信号和系统， 广泛应用于信号处理、通信、雷达等领域。
系统的复数域分析
拉普拉斯变换与复频域分 析
拉普拉斯变换将信号从时域转换到复频域， 通过复频域分析可以了解系统的动态特性和 稳定性。
系统的定义与分类
定义
系统是指一组相互关联的元素或组成部分，它们共同完成某为线性系统和非线性系统；根据系统的动态行为，可 以分为时不变系统和时变系统。
信号与系统的重要性及应用领域
重要性
信号与系统是通信工程、电子工程、 自动控制工程等领域的核心基础，是 实现信息传输、处理、控制和应用的 关键。
要点三
信号与系统的重要意 义
信号与系统作为现代工程和科学研究 的重要基础，其发展对于推动科技进 步和产业升级具有重要意义。未来， 信号与系统的理论和技术将继续发挥 重要作用，为人类社会的进步和发展 做出贡献。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
因果性
系统的输出只与过去的输入 有关，与未来的输入无关。
时不变
系统的特性不随时间变化。
稳定性
系统在受到外部激励时， 其输出不会无限增长。
信号与系统郑君里复习要点.pdf
若Hale Waihona Puke f (t) → yf(t) ， 则
f ’(t) → y ’ f (t)
②积分特性：
若
f (t) → yf(t)
t
t
， 则 f (x) d x yf (x) d x
4.5 因果系统与非因果系统 5、 系 统 的框图描述 第二章 连续系统的时域分析
1、LTI 连续系统的响应 1.1 微分方程的经典解
信号与系统复习
书 中 最 重要的三大变 换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、 信 号 的分类 ① 连 续 信号和离散信 号 ② 周 期 信号和非周期 信号 连续周期信号 f(t)满足
f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号 f(k)满足
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
当特征根λ为 r 重根时，齐次解 yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 1,2 e j 时，齐次解 yn(k)形式为：
k C cos(k) Dsin(k)
1.2.2 特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1） 。 ①所有特征根均不等于 1 时;
(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)
(t
2)2
'(t) d t
d dt
[(t
2)2 ]
t 0
2(t
2)
t 0
4
(n)
(at)
|
1 a
|
1 an
(n)
(t)
(at) 1 (t) |a|
信号与系统 总结
解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1
显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性
（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0)
y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其 周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周 期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
例: 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin (3πk/4) + cos (0.5πk) （2）f2(k) = sin (2k)
δ(5t)(t 2)2 dt ? 4
5
f(5－2t)
f(t) (4)
例: 已知信号f (5 2t)的波形，
(2)
请画出f (t)的波形。
t 0 123
-1 0 1 2 3
第 11 页
1.5 系统的特性与分类
连续系统与离散系统：分别用微分方程与差分方程来描述 动态系统与即时系统：动态系统也称为记忆系统 线性系统与非线性系统：齐次性和可加性
求导
(2) -1
f '(t)
1t 0 (-2)
第8 页
1.4 阶跃函数和冲激函数
冲激函数的性质（习题1.10）
取样性
δ(t) f (t) f (0) δ(t)
δ(t) f (t) d t f (0)
f (t) δ(t t 0) f (t0 ) δ(t t 0)
信号与系统第一章 信号与系统概述
小结 简单介绍了常用的信号分类，引入了对系统分析非常重要的 两类信号：冲激信号和阶跃信号，并详细介绍了冲激信号的 性质。本章还介绍了几个重要的系统的性质，包括线性、因 果性、稳定性、时不变性等性质。
1 信号
一 信号的定义
信号是信息的一种物理体现，信息则是信号的具体内容
二 信号的分类
信号的分类
模
确
连
周
拟
定
续
期
信
信
信
信
号
号
号
号
与
与
与
与
数
随
离
非
字
机
散
周
信
信
信
期
号
号
号
信
号
2 基本信号及时域特性
1.指数信号 指数信号的表达式为
ƒ(t)=Aeat 指数信号波形如图1-1所示
图1-1 指数信号波形
2.正弦信号 正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差1800，统称为正弦 信号，表达式为
图1-11 信号的反转
2.平移（移位）
以变量t-b代替信号ƒ(t)中的独立变量t，得信号ƒ(t-b)，它 是信号ƒ(t)沿时间轴平移ｂ的波形。如图1-12所示，ƒ(t)与 ƒ(t-b)的波形形状完全一样，只是在位置上移动了ｂ。 当 b>0时, ƒ(t)右移b；当b<0时, ƒ(t)左移∣b∣。
图1-12 信号的平移
df (t) dy(t)
dt
dt
称为系统的微分性质。
4.积分性质
一个连续时间系统对激励ƒ（t）的响应为y (t)，则
t
t
信号与系统概论第一章
2）冲激函数定义 （多种方式演变） ①单位冲激函数（狄拉克函数）
（ ※ 0时刻取不定值，面积为1。为广义函数）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
◆ t=t0时刻的单位冲激函数：
②矩形脉冲定义的单位冲激函数
（ ※ 面积为冲激强度，强度为1时为单位冲激）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
※ 对于冲激偶函数可继续二次求导。（如双边指数脉冲等）
冲激函数
冲激偶函数
强度无穷大
（单向面积：1/τ）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
2）冲激偶函数的性质 ①
推导：
0
性质
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②面积为零：
③冲激偶函数与普通函数乘积的性质： （证：两边取积分）
-f’(0)
0
-f’(0)
1.4 信号的基本运算及波形变换（续）
② 若以变量 at+b 代替 t，可得沿时间轴伸缩平移的 新信号 f(at+b)。 a>0时：信号沿时间轴伸缩、平移。
（a>1, a<1)
a<0时：信号沿时间轴伸缩、平移、反褶。（a>-1,a<-1) ◆特点：
所有运算都是自变量t的变换，且变换前后端点函数值不变。
③其他函数形式定义的单位冲激函数
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
3）冲激函数的性质 ①抽样性质（筛选特性）
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
冲激函数与普通函数乘积的积分可将普通 函数在冲激出现时刻的函数值抽取出来！
1.5 奇异信号及其基本特性（续）
②偶函数性质： ③与阶跃函数的关系： ◆冲激函数的积分是阶跃函数： δ(t) = δ(-t)
信号与系统基本概念和特性
信号与系统基本概念和特性信号与系统是电子工程、通信工程等领域中的基础学科，它研究了信号的产生、传输、处理以及系统对信号的响应和影响。
了解信号与系统的基本概念和特性对于我们理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
一、信号的定义与分类信号是指表征某一物理量、信息或者行为的变化规律或变化情况的一种形式。
信号可以分为连续信号和离散信号两种类型。
1. 连续信号连续信号是指在时间和幅度上都是连续变化的信号。
例如，声音、光线等都可以用连续信号来描述。
连续信号可以用数学函数来表示，常见的形式有正弦信号、方波信号等。
2. 离散信号离散信号是指在时间上是间断的、在幅度上是离散的信号。
例如，数字音频、数字图像等都可以用离散信号来表示。
离散信号可以用序列或者矩阵来表示，常见的形式有数字化的声音、图像等。
二、信号的特性与描述方法为了更好地理解和分析信号，我们需要对信号的特性进行描述。
信号的特性主要包括信号的幅度、频率、相位等。
1. 幅度幅度是信号在某一时刻的大小或者能量的大小。
通常用振幅、电压、功率等来描述信号的幅度特性。
在连续信号中，振幅可以是任意实数值；在离散信号中，振幅通常是离散值。
2. 频率频率是指信号中重复变化的次数。
对于连续信号，频率可以是任意实数值；对于离散信号，频率通常是离散值。
在信号处理中，我们经常用频谱分析来研究信号的频率特性。
3. 相位相位是指信号相对于某个基准点的相对位置，也可以理解为信号的起始点。
相位可以是任意实数值或者离散值。
三、系统的定义与分类系统是指对输入信号进行处理，产生输出信号的过程。
系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统等不同类型。
1. 线性系统与非线性系统线性系统是指满足叠加原理的系统，即输入信号与系统的响应满足线性叠加关系；非线性系统则不满足这一条件。
线性系统的特点是具有可加性、比例性和移位不变性。
2. 时不变系统与时变系统时不变系统是指对输入信号的处理不随时间变化而变化的系统，即系统的性质不随时间而改变；时变系统则随时间的变化而变化。
信号与系统复习提纲
信号与系统复习提纲第一章 信号的分类与基本特性1.1 信号的基本概念与分类能量信号：∞<=⎰-∞→dt t f E 222)(limτττ，能量信号的平均功率为零。
功率信号：∞<==∞→-∞→⎰E dt t f P ττττττ1lim)(1lim222，功率信号的能量无穷大。
时限信号是能量信号，周期信号是功率信号。
1.2 常用连续时间基本信号及特点● 欧拉公式：cos sin ,cos sin 11cos sin 22j t j t j t j tj t j te t j t e t j tt e e t e e jωωωωωωωωωωωω---=+=-=+=-（）,（）● 周期信号：()()sin(),()j t f t A t f t Ae ωϕωϕ+=+=，2T πω=12()()()f t f t f t =+，T 为1T 和2T 的最小公倍数。
● 奇异信号✓ 单位阶跃信号：10()0t u t t >⎧=⎨<⎩画信号波形：(),(1),(1)(),(1)(1),tu t tu t t u t t u t ----以阶跃信号可以将分段函数表达式写成封闭式函数表达式。
✓ 单位冲激信号：0(),()10t t t dt t δδ+∞-∞∞=⎧==⎨≠⎩⎰dt t du t )()(=δ ττδd t u t)()(⎰∞-= ✓ 冲激信号的性质)()0()()(t f t t f δδ= )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ)()(t t -=δδ )(1)(t aat δδ=)(1)(00a t t a t at -=-δδ1.3离散时间基本信号及特点● 欧拉公式：cos sin ,cos sin 11cos sin 22j n j n j n j n j n j n e n j n e n j n n e e n e e j ωωωωωωωωωωωω---=+=-=+=-（）,（）● 周期序列：()()sin(),()j n f n A n f n Ae ωϕωϕ+=+=，2N kπω=，N 为整数12()()()f n f n f n =+，T 为1T 和2T 的最小公倍数。
一信号的定义及分类
第一章主要讲什么是信号，什么是系统。
首先来了解一下信号，我们平时见到的报道称为消息，消息中有意义的内容称为信息，信号是信息的载体，是信息的物理体现。
简而言之，就是通过信号传递信息。
我们平时见到的十字路口的红绿灯就是一种光信号，我们常见的广告牌也可以说成文字、图像信号，电视机接收的信号是一种电信号，而我们主要讨论的就是电信号，简称信号。
电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流，通常我们用描述信号，也可以用波形来表示。
需要注意的是在这门课里，“信号”与“函数”两词常相互通用。
1、信号的分类方法很多，下面是从不同的角度对信号分类：2、按实际用途分类：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号3、按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号等等。
下面从时间角度看一下各种信号的含义：确定信号与随机信号：顾名思义，确定性信号就是信号可以用一个确定的时间函数表示。
有便可推知，而随机信号指信号不能用一个确定的时间函数加以确定，它只能用统计方法进行描述,就像在相同条件下，随机信号不能准确的重现某一数值，只能得到某值得概率。
连续信号和离散信号：连续信号就是在连续时间都有定义的信号，至于值域可连续也可不连续，幅值连续为模拟信号（如图一中），否则为量化信号（如图一中）。
离散时间信号是仅在一些离散的时间才有定义的信号，需要注意的是其余时间无定义（不是0）。
幅值连续是取样信号（如图二），离散是数字信号（如图三）。
图一图二图三如图三的仅在一些离散时刻才有定义，间隔，取等间隔，离散信号：，简写为称为序列，k为序号。
用表达式可表示为：，其他或写为：此处必须标明模拟信号通过抽样可化为抽样信号，抽样信号经过量化可化为数字信号，以后会详细讲述变换过程。
周期信号和非周期信号：可以从字面含义理解。
连续周期信号满足：，离散周期信号满足：，满足上述关系的最小（或整数）称为该信号的周期。
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第一章 信号的分类与基本特性【内容摘要】 本章主要介绍信号的基本概念、信号的分类、连续时间的基本信号、连续时间奇异信号、及特性、离散时间信号及特点和信号的基本运算。
1．1 信号的基本概念与分类1．1．1 信号的基本概念在日常生活和社会活动中，人们会经常谈到信号，比如，交通路口的红绿灯信号，唱歌和说话的声音信号，无线电发射台的电磁波信号等等。
因此，从物理概念上，信号是标志着某种随时间变化的信息。
从数学上，信号表示一个或多个自变量的函数。
在信号与系统中，我们尤其关心的是电信号。
1．1．2 信号的分类根据信号的性质可分为：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。
一、确定信号与随机信号对应于某一确定时刻，就有某一确定数值与其对应的信号，称为确定信号。
如图1-1（a ）为一个线性斜波信号，在1t 时刻,对应的数值为1y ,在2t 时刻，对应的数值为2y 。
确定信号往往可以用函数解析式、图表和波形来表示。
如果一个信号事先无法预测它的变化趋势，也无法预先知道其变化规律，则该信号称为随机信号，如图1-1（b ）所示。
在实际工作中，系统总会受到各种干扰信号的影响，这些干扰信号不仅在不同时刻的信号值是互不相关的，而且在任一时刻信号的幅值和相位都是在不断变化的。
因此，从严格意义上讲，绝大多数信号都是随机信号。
只不过我们在研究信号与系统时，常常忽略一些次要的干扰信号，主要研究占统治地位的信号的性质和变化趋势。
本教材主要研究确定信号。
y )(a 12y)(b图 1-1二、连续时间信号与离散时间信号对任意一个信号，如果在定义域内，除有限个间断点外均有定义，则称此信号为连续时间信号。
连续时间信号的自变量是连续可变的，而函数值在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。
如图1-1（a ）中所示的斜坡信号，即是一个连续时间信号。
对任意一个信号，如果自变量仅在离散时间点上有定义，称为离散时间信号。
离散时间信号相邻离散时间点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的，在这些离散时间点之外，信号无定义。
如下例函数表示的信号为一个离散时间信号。
其波形图如图1-2所示⎩⎨⎧--===,2,113,2,1)(n n n n y定义在等间隔离散时间点上的离散时间信号，称为序列，序列可以表示成函数形式，也可以直接列出序列值或写成序列值的集合。
在工程应用中，常常将幅值连续可变的信号称为模拟信号，将幅值连续的信号，在固定时间点上取值得到的信号称为取样信号。
将幅值只能取某些固定的值，而在时间上等间隔的离散时间信号称为数字信号。
四、能量信号和功率信号 1、 能量信号将一个电压或电流信号()f t 加到单位电阻上，则在该电阻上产生的瞬时功率为2()f t ，在一段时间)2,2(ττ-内消耗一定的能量。
把该能量对时间区域取平均，即得信号在此区间内的平均功率。
定义：若将时间区域无限扩展，信号满足条件∞<=⎰-∞→dt t f E 222)(limτττ （1-1-1）称为能量信号。
即如果一个信号在无限大时间区域内信号的能量为有限值，则称该信号为能量有限信号或能量信号。
能量信号的平均功率为零。
图 1-22、功率信号 定义：将时间区域无限扩展，信号满足条件∞<==∞→-∞→⎰E dt t f P ττττττ1lim)(1lim222（1-1-2）称为功率信号。
即如果在无限大时间区域内信号的功率为有限值，则称为功率有限信号或功率信号。
功率信号的能量无穷大。
根据能量信号和功率信号的定义，显然可以得出：时限信号（在有限时间区域内存在非零值的信号）是能量信号，周期信号是功率信号，非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。
1．2 常用连续时间基本信号及特点1.2.1 常用基本信号1、正弦信号正弦信号的表达式为)cos()(ϕω+=t A t f （1-2-1）式中：A 为振幅；ϕ为初相角；ω为角频率。
正弦信号为周期信号，其周期ωπ2=T 。
其波形图如图1-3所示2、指数信号连续时间指数信号的一般表达式stAe t f =)( （1-2-2） 根据A 和s 的不同取值，有三种情况；1） 当m A =和α=s 均为实数时，则)(t f 为实指数信号图 1-3图 1-4当0>α时，为指数递增信号； 当0<α时，为指数递减信号； 当0=α时，)(t f 等于常数。
波形如图1-4所示2）、当1=A 和ωj s =时， 则)(t f 为虚指数信号 t j ste Aet f ω==)(根据欧拉公式，虚指数可表示为 t j t et f tj ωωωsin cos )(+==显然是一个周期信号。
3）、当A 和s 均为复数时，则)(t f 为复指数信号 设ϕj e A A = ωσjs +=则)(t f 可表示为()()()[cos()sin()]st j j t t j t tf t Ae A e e A e e A e t j t ϕσωσωϕσωϕωϕ++==•=•=+++可见当0>σ时，)(t f 为幅度指数递增的正弦振荡信号； 当0<σ时，)(t f 为幅度指数递减的正弦振荡信号 当0=σ时，)(t f 为幅度等幅的正弦振荡信号)(t f 在0>σ，0<σ和0=σ不同情况下的波形如图1-5(a)(b)(c)所示图 1-51．2．2 连续时间周期信号对一个连续时间信号)(t f ，若对所有的t 值均满足条件•••±±=+=,2,1,0)()(m mT t f t f （1-2-3）则称为周期信号。
满足上式的最小T 值称为)(t f 的周期。
不满足周期信号条件的信号为非周期信号。
需要注意：两个周期的相加不一定为周期信号。
若这两个信号的周期分别为1T 和2T ，只有当N M T T =21，且M 和N 均为正整数时，或21T T 为有理数，信号才是周期的。
下面以正弦信号和复指数信号为例说明其周期性：1、连续时间正弦信号t A t f ωsin )(=()sin ()sin()sin(2)sin ()2,2f t T A t T A t T A t k A t f t T k T kωωωωπωπωπω+=+=+=+====由周期信号的定义可见 最小周期 取1k = 2T πω= （1-2-4）（2）、连续时间复指数信号 ()()()j tj t T j t j T f t Aef t T Ae Ae e ωωωω+==+==只有 ωππωω221kT k T eTj ===取 ωπ21==T k （1-2-5）此时 )()(T t f t f +=【例1-1】 判断下列信号是否为周期信号，若是，求出其周期1）、()2(3)4f t cos t π=+2）、2]6[sin()(π-=t t f3)、tj et f 6)(π=4）、t t t f πcos 43sin 2)(+=解： 1）、()2(3)4f t cos t π=+3223πωπω===T 是周期信号，周期为32π2）、)]32cos(1[21]6[sin()(2ππ--=-=t t t fππωπω====2222T 是周期信号，周期为π3）、t j e t f 6)(π=126226====ππωππωT 是周期信号，周期为124）、)()(cos 43sin 2)(21t f t f t t t f +=+=π222322322211=======ππωππωπωπωT T则321π=T T 为无理数，故该函数不是周期信号。
1．2．3 连续时间奇异信号1、连续时间阶跃信号连续时间阶跃信号的定义：（1-2-6）值得注意的是，单位阶跃信号在0t =这一点 是不连续的。
经时移后0001()0t t u t t t t ⎧>⎪-=⎨<⎪⎩ （1-2-7）其波形分别如图1-6和图1-7所示在实际应用中，阶跃信号是一个非常有用 的信号，下面举例说明：【例1-2】 阶跃信号可以确定信号的起点和区间。
画出下列信号的波形 1）、)()(1t tu t f =2）、)()(02t t tu t f -=10()0t u t t ⎧>=⎨<⎩图 1-7图 1-63）、)]2()1([)(3---=t u t u t t f 解：1）、确定信号的起点从0=t 开始波形图如图1-8(a) 2)、确定信号的起点从0t t =开始 波形图如图1-8(b)3)、确定信号的区间从1=t 到2=t波形图如图1-8(c)1()f t t()a t2()f t 0t ()b 03()f t t12()c阶跃信号可以将分段函数表达式写成封闭式函数表达式【例1-3】画出下列信号)(t f 的波形，并写出封闭式表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤-+=其它031)1(2112)2(31)(t t t t t f 信号的波形如图1-9所示其封闭表达式为：)]3()1()[1(21)]1()2()[2(31)(-------++=t u t u t t u t u t t f【例1-4】 写出图1-10的表达式解：其表达式为)3()1()1(2)]3()1([)]1()1([2)(----+=---+--+=t u t u t u t u t u t u t u t f图 1-8图 1-9图 1-102、连续时间单位冲激信号 1）连续时间冲激信号的定义：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎩⎨⎧≠=∞=⎰∞+∞-1)(000)(dt t t t t δδ （1-2-8）单位冲激信号有两个方面的含义：一方面是在0=t 点有一个幅值为无穷大的信号， 另一方面冲激信号与时间轴覆盖的面积为1。
波形如图1-11所示2）连续时间阶跃信号与冲激信号之间的关系dtt du t )()(=δ （1-2-9） ττδd t u t)()(⎰∞-=（1-2-10）3）连续时间冲激信号的性质1） 相加性质)()()()(t b a t b t a δδδ+=+ （1-2-11）2）相乘性质)()0()()(t f t t f δδ= （1-2-12） )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ （1-2-13）3）、取样性质⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ （1-2-14） ⎰+∞∞-=-)()()(00t f dt tt t f δ （1-2-15）4）、偶函数)()(t t -=δδ （1-2-16）5）、尺度变换性质)(1)(t aat δδ=（1-2-17） )(1)(00at t a t at -=-δδ （1-2-18）图 1-11⎰+∞∞-=)0(1)()(f adt at t f δ （1-2-19） 6、冲激偶 dtt d t )()()1(δδ=（1-2-20） 冲激偶的性质列于表1-1：表1-1 冲激偶的性质【例1-5】 计算下列各式的值 1） )2()42(23-++t t t δ 2） )22(4+-t et δ3）dt t t )4(sin πδ-⎰+∞∞-4）dt t e t )10(266+-+-⎰δ5） )1()(2+-t t u etδ解：1） )2(20)2()4222()2()42(2323-=-+⨯+=-++t t t t t δδδ 2） )1(21)1(21)22(444+=+=+--t e t e t et tδδδ3）22)4sin()4(sin ==-⎰+∞∞-ππδdt t t 4）0)10(266=+-+-⎰dt t e t δ5) 0)1()(2=+-t t u e tδ1．3 离散时间基本信号及特点1．3．1 正弦序列正弦序列的一般形式)cos()(ϕω+=n A n f （1-3-1）式中：A 为正弦序列的振幅；ω为正弦序列的数字频率；ϕ为正弦序列的初相角。