概率统计课件第七章练习册答案

a2
，S＝
4S1＝
3 8
a2.
3、所围成的面积 S 的面积微元
ds 1 r2d 1 4a2(1 cos )2 d 2a2(1 2cos cos2 )d ，
2
2
由对称性 S 2 2a2(1 2cos cos2 )d 6 a2. 0
四解 1、如图示r 3cos （圆）和r 1 cos （心型
线）的交点： ，r 3
A2
32
面积分成两部分：S＝2（ A1 A2）
A1
2
A1由
0，
3
及r
3cos围成
A 10 31 2(1cos)2d9 16 3 4
A2由
， 3 5
2
和r
1
cos围成 A 2 3 21 2(3cos)2d38 9163
所以S＝
4
2、由对称性：r
2 sin （圆）及r 2 cos 2 （双纽线）的交点的
2
2
所求立体体积为
2 25x2
5 5
3(25 x2 )dx 500 3
3
三、（1）绕 x 轴旋转：在 x 轴的区间[2,4]上任取一点 x，过
点 x 作垂直于 x 轴的平面，这个平面与旋转体的截面是圆，
其面积S(x) y2 (2x 4)，
体积微元dv S(x)dx (2x 4)dx，Vx
五、解：如图：y ex上的点(x0 ,ex0 )处的切线的斜率为ex0 ， 故可假设点(x0,ex0 )处的切线方程为： y ex0 ex0 (x x0)； 又因为切线过（0，0），所以 x0 1，切线方程为 y ex，
如图阴影部分的面积即为所求：分为左右两部分
左边面积为 0 exdx 1，
在点(0,3)处的切线 y 4x 3,
在(3,0)处的切线 y 2x 6，
两切线的交点横坐标x 3 ，所围成的面积：左边＋右边 2
左边由 y x2 4x 3与 y 4x 3， x 3 围成的， 2
面积为
3
2 [4x
3
(x2
4x
3)]dx
9
；
0
8
右边由 y x2 4x 3与 y 2x 6， x 3 围成的， 2
的面积，S1＝
1
ydx
0
a
sin
3
td
(a
cos3
t
)
0
2
3a2 2 sin4 t cos2 tdt 3a2 2 sin4 t (1 sin2 t)dt
0
0
y
-a
O
ax
3a2[
2 sin4 tdt
0
2
sin
6
tdt
]
3a2
(
3!!
Fra Baidu bibliotek
0
4!! 2
5!! ) 6!! 2
3 32
第七章
习题答案
7.1 微元分析法
7.2 平面图形的面积 7.3 体积 7.4 平面曲线的弧长 7.5 经济应用
习题 7.1
一、1：如图示：抛物线 y 1 x2与园 x2 y2 8
2
的图形，设阴影部分面积为 S1
则
S1＝ 2
2
(
0
8 x2 1 x2 )dx 2 2
2
0
8 x2 dx 8 ,
右边面积 1(ex 0
ex)dx
e 2
1，
故总面积为 e 。 2
六、面积S
3
|
x2
2x
|dx
2 2x x2dx
3 x2 2xdx 2
1
1
2
习题 7.2
一、1、解：在 y y轴的[0,1]内任取一个点 y ，过 y 垂直与 y 轴 的平面，这个平面与旋转体的截面是圆环，其面积
S(y) ( y)2 (y2)2 (y y4)
2 xf (x)的柱体，其体积dv 2 xf (x)dx
所以旋转体的体积V b 2 xf (x)dx。 a
6
所求的面积 S 分为左右两部分；而右边部分的面积又分为两部分计算：S1 S2 ,
S1由
0，
6
和r
2
sin
围成，所以
S1
6 0
1 2
(
2 sin )2d 12
3 8
S2由
,
6
和r2
4
cos
2围成，所以 S2
4 6
1 2
cos 2d
1 4
3 8
所以
S＝2（ S1
S2
）＝
6
1 2
3。 2
所以旋转体的体积微元dv s( y)dy ( y y4)dy，
所以旋转体的体积V
1
0 ( y
y4 )dy
3
10
。
2、解在 x轴的区间[-4,4]内任取一点 x，过点 x作垂直与 x轴
的平面，这个平面与旋转体的截面为圆环，其面积
S(x) (5 16 x2 )2 (5 16 x2 )2 20 16 x2
3
令x2
2
sin t ,所以 S1
2
4 3
所以下方面积： S2
8
(2
4) 3
6
4 3
.
2、如图： y 1 与 y x的交点的横坐标 x 1
x
则阴影部分面积为
2
1
(
x
1 x
)dx
3 2
ln
2
3、解围成图形面积为
1(ex 0
ex
)dx
e
1 e
2
。
| 4、S lnb (ey 0)dy ey lnb b a。
体积微元dv S(x)dx 20 16 x2 dx
所以旋转体的体积V 4 20 16 x2 dx 160 2。 4
二、建立坐标系，如图
圆的方程为 x2 y2 25 选 x 为积分变量 过 x 的截面为等边三角形，边长为2 25 x2 ， 截面面积为
1 2 25 x2 3 2 25 x2 3(25 x2 )
面积为
3
3 [2x
2
6
(
x2
4x
3)]dx
9 8
，面积为
99 88
9. 4
三、1 解：如图图形是圆，具有对称性
面积微元：ds 1 r2d 1 4a2 cos2 d 2a2 cos2 d ，
2
2
故面积 S 2 2
1 r2d 2
2
2a2 cos2 d ＝ a2 .
02
0
2、如图示：围成的面积分为四部分，，其中 S1是第一象限部分
ln a
ln a
5、如图示： y x2与 y x交于点（1，0）， y x2与
y 2x交于点（2，0），所围成面积分为：左边＋右边
左边部分面积：
1
0
(2
x
x)dx
1 2
右边部分面积：
2
(2x
x2 )dx
2
，
1
3
所以围成的面积为 1 2 7 。
23 6
二、解：可求得抛物线 y x2 4x 3
4 2
(2x 4)dx 4
（2）绕 y 轴旋转：利用第四题的结论
4
Vy 2
xf (x)dx 2
2
4
x
2
2x 4dx 256 。
15
四、如图示，在[a,b]内任取一个点 x ,在 x 处给 其一个增量dx，则在小区间[x, x dx]上对应着一 个小矩形，绕 y 轴旋转，得到一个薄的空心圆柱 体，将其展开得到一个厚度为 dx ，上表面积为