洛必达法则5种常见错误(1)

洛必达法则使用中的 5 种常见错误

求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。

在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于 普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：

0 ,

∞ 0 ∞

, ∞ − ∞,0 ⋅ ∞, ∞0 ,1∞ ,00 （其中后面 3 种可以通过 A = e ln A 进行转换） 的 7 种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。

17 世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案， 我们称之为洛必达法则 （L,Hospital Rule ）。虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。

在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。本文的目的不是为了追求解题技 巧，而是为了培养一种好的解题习惯。以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。

首先，复述洛必达法则的其中一种情形：

1

1 1

′ ′

错误： lim xe x = lim x ⋅ (e x ) = lim 1⋅ e x ⋅ (− ) = −∞ x →0+

1

x →0+

1 e x

1 e x

⋅ ( x →0+

x 2

1 )′ 正确： lim xe x

= lim = lim x = +∞ x →0+

x →0+

1 x →0+

( 1 )′

x x

例：错解

lim

x

3 − 3x + 2

= l im 3x 2 − 3 = l im

6

x = lim 6 = 1 x →1 2x 3 − x 2 − 4x + 3 x 3 − 3x + 2 x →1 6x 2 − 2x − 4 3x 2 − 3 x →1 12x −

2

6x 3

x →1 12 2 正确解： lim x →1 2x 3 − x 2 − 4x + 3 = l im

x →1 6x 2 − 2x − 4

= lim = x →1 12x − 2 5

lim = e x

− c os x = l im e x

+ s in x = l im

e x + c os x = 2 = 1 x →0

x sin x

x →0 sin x + x cos x x →0 cos x + cos x − x sin x 2

正确解： lim = e x − c os x = l im e x

+ sin x = ∞ x →0 x sin x

x →0 sin x + x cos x

更好的解法： lim = x →0

e x − cos x x sin x

= l im x →0

e x

− cos x x

2

= l im x →0

e x +

s in x = ∞

2x

经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则

█ 失误一 不预处理 Hospital Rule ：1 lim f (x ) = lim g (x ) = 0

x →a

x →a

2 在某U (a ,δ) 内， f ′(x ), g ′(x ) 存在，且 g ′(x ) ≠ 0 0

3 lim

f ′(x )

存在（或者 ∞ ）

x →a g ′(x )

则lim

f (x ) f ′(x ) x →a

g (x ) x →a g ′(x )

= l im

█ 失误二 急躁蛮干

1

x

x

2 − 上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算

1 − cos

2 x − 1

x sin 2x

lim x →0

2

x 2 (e x

− 1)

= l im x →0 sin 2

x − x sin x cos x x 2 ⋅ x 2 = l im x →0 sin x (sin x − x cos x ) x 4

＝ lim

x →0 sin x − x cos x x 3 = l im x →0 x sin x = 1

3x 2 3

lim n n

求

n →+∞

错解：属于 ∞ 0

型，先进行变形

lim n n = n →+∞

1 lim n n

= n →+∞ 1 ln n lim e

n

n →+∞

lim

ln n

= e

n →+∞ n

1 lim n

= e n

→+∞ 1

= e 0 = 1

错误原因： f (n ) = n n 是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。 正确的解：

1

1 ln x

lim

ln x

1

lim x

lim x →+∞

x x = lim x x

x →+∞ = lim e

x

x →+∞

= e

x →+∞ x

= e

x →+∞ 1

= e 0 = 1

lim

= 1

lim n n = 1

因为

x → +∞

所以 n →∞

（这是“一般”到“特殊”的过程）

lim

x + sin x = lim 1 + c os x ，而 lim 1

+ c os x 不存在，所以 lim x + sin x

不存在 正确解： lim

x →∞

x

x →∞ x

lim 2x + cos x = l im 2 − s in x ，因为 lim 2 − s in x

不存在，所以 lim 2x + cos x 不存在 x →∞

3x − sin x

x →∞

3 − c os x

2 + cos x

x →∞

3 − c os x

x →∞

3x − s in x

正确解： lim 2x + cos x

= lim x =

2 x →∞ 3x − s in x x →∞ sin x

3 x

设 f ′(x ) 在某U (0,δ) 存在，且 f (0) = 1, f ′(0) = 2 求lim

− x

错解： lim

− x = lim − 1

= 1 = 1 x →0 1 − f (x )

x →0 1 − f (x ) x →0 − f ′(x ) f ′(0) 2

█ 失误五 滥用导函数的连续性 lim f ′(x )

█ 失误四

g ′(x )

异常（既不是常数 A ，也不是∞ ）

█ 失误三 对离散点列求导

3

x →∞ x x →∞ 1 x →∞ 1 x →∞ x

x + sin x = lim (1 + sin x ⋅ 1 ) = 1 存在