轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(解析版)
专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)
专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC②过点O作关于BC的对称点【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）C．6D．5A．B．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴BE ==故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A B C D ．【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE =即PB ＋PC 故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF为AE的长，由12AB=类型二、翻折型最值问题【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE 224225+=D 'B ＝25．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】353-【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：22226335AE AD DE =+=+=353AE EC '-=，∴AC '的最小值为353．类型三、旋转型最值问题例1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF =，连接EF ，DE ，DF ，并将DEF 绕点D 逆时针旋转90︒得到DMN （点M ，N 分别为点E ，F 的对应点）．连接CN ，则线段CN 长度的最小值为_____________．【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=在正方形ABCD 中，6AB =，E 为BC 中点，∴132CE BC ==，∵90EDM ∠=︒，∴90EDC CDM ∠+∠=︒，又90EDC DEC ∠+∠=︒，∴DEC CDM ∠=∠，例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴6,3,EC BC BE EJ CJ =-===,∴CG =CJ +GJ =2+.∴CG 的最小值为2+.故答案为：2.【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG 的角平分线上运动，作点C 关于勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为 将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，EF DE ∴⊥，EF DE =，90DEA FEG DEA ADE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADE FEG ∴∠=∠，又90DAE FGE ∠=∠=︒ ，(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC是等腰直角三角形，=，AD BC∴⊥，BD CD∴∠=∠=︒．90ADB ADC四边形DEFG是正方形，∴=．DE DG在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，GOK DOE ∠=∠ ，90OKG ODE ∴∠=∠=︒，EA BG ∴⊥．（3）①如图③，当旋转角为270︒时，BG AE =，此时AE 的值最大．2BC DE == ，中，如图②中，在BDG∴-≤≤+，2112BG∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF类型四、PA+KPB型最值问题3A ．27B ．23【答案】C 【分析】连接AC 与EF 相交于∵四边形ABCD 是菱形，∴OAE OCF ∠=∠，∵,AOE COF AE CF ∠=∠=，A．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，G∴是AEFGH△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到>=-AH AM MH–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC 作D A CD '''⊥，使A∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+∴()()22232326EE '=+=．故答案为：26．【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C。
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(解析版)
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【答案】B【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】解：作A关于CD的对称点H，∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面积为12，BC长为6，∴AG=4，∵CD垂直平分AH，∴AC=CH，∴S△ACH=12AC⋅HF=12CH⋅AG，∴HF=AG=4，∴AE+EF的最小值是4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.14【答案】A【分析】连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP=BP，△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF ≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF，BF，即可得出答案．【详解】解：如图所示．连接AP，∵DE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF．连接AF，∵AB=AC，点F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AF=10．∵BC=4，∴BF=2，AF=5，∴△PBF周长的最小值是AF+BF=5+2=7．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断△PBF周长的最小值是解题的关键．2(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.13【答案】C【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4AD=18，解得AD=9，∵△CDG的周长=CG+GD+CD，又CD是定值，∴当CG+GD最小时，△CDG的周长最小，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴CG+GD=GA+GD≥AD，∴当A、G、D三点共线时，CG+GD最小，最小值为AD的长，∴△CDG的周长最短=AD+CD=AD+12BC=9+12×4=11．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE =2，点P在∠ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．【详解】将E关于BD对称至点E ，连接CE ，∴EP=PE ，∴PE+PC=PE +PC，∴(PE+PC)min=CE ，∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，且BE=2，∴E 是AB中点，∴CE =1AB=2．2∴PE+PCmin=2故选：B【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短．4(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB=15°，M是边OA上的一个定点，且OM=12cm，N，P分别是边OA、OB上的动点，则PM+PN的最小值是．【答案】6cm/6厘米【分析】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，得出∠QOB=∠AOB=15°，OQ=OM=12cm，PM=PQ，∠QNO=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出QN即可．【详解】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，则∠QOB =∠AOB =15°，OQ =OM =12cm ，PM =PQ ，∠QNO =90°，∴∠QON =30°，∴QN =12OQ =6，∴PM +PN =PQ +PN =QN =6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称-最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点P 、N 的位置的解题的关键．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．【答案】72【分析】作点A 关于BC 的对称点A ，延长AD 至A ，使AD =A D ，连接A E ，交BC 于P ，此时PA +PE 的值最小，就是A E 的长，证明A E =CD 即可．【详解】解：作点A 关于BC 的对称点A ，延长AD 至A ，使AD =A D ，连接A E ，交BC 于P ，此时PA +PE 的值最小，就是A E 的长，∵AB =AC ，BC =7，AD ⊥BC ，∴BD =CD =72，∵AD =12AB ，∴∠B =30°，∴∠BAD =∠CAD =60°，∵AD =A D ，∴△AA C 是等边三角形，∵点E 为AC 边上的中点，∴A E ⊥AC ，∴A E =CD =72，即PA +PE 的最小值为72，故答案为：72．【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．【答案】4【分析】如图所示，作点D 关于OA 的对称点H ，作点C 关于OB 的对称点G ，连接OH ，FH ，OG ，EG ，HG ，由轴对称的性质可得∠AOH =∠AOB =∠BOG =20°，OH =OC =OG =4，HF =DF ，EG =CE ，证明△HOG 是等边三角形，HG =OC =4；推出当H 、F 、E 、G 四点共线时，GE +EF +HF 最小，即CE +EF +FD 最小，最小为HG 的长，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，作点D 关于OA 的对称点H ，作点C 关于OB 的对称点G ，连接OH ，FH ，OG ，EG ，HG ，由轴对称的性质可得∠AOH =∠AOB =∠BOG =20°，OH =OC =OG =4，HF =DF ，EG =CE ，∴∠HOG =60°，∴△HOG 是等边三角形，∴HG =OC =4；∵CE +EF +FD =GE +EF +HF ，∴当H 、F 、E 、G 四点共线时，GE +EF +HF 最小，即CE +EF +FD 最小，最小为HG 的长，∴CE +EF +FD 的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定CE +EF +FD 有最小值的情形是解题的关键．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C 的位置，点B 的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B 与AC 的位置关系是；(2)点P 、Q 分别是线段AC 、BC 上的两个动点(不与点A 、B 、C 重合)，已知△BB C 的面积为36，BC =8，求PB +PQ 的最小值；(3)试探索：△ABC 的内角满足什么条件时，△AB E 是直角三角形？【答案】(1)B B ⊥AC(2)9(3)当∠ACB =45°时，∠AEB =90°；当∠ABC =90°时，∠AB E =90°【分析】(1)根据轴对称的性质即可判断；(2)根据对称的性质，在B C 上取点M ，使得CQ =CM ，结合对称性质推出PB +PQ =PB +PM ，确定三点共线且垂直于B C 时，取得最小值，结合面积进行计算即可；(3)分∠AB E =90°和∠AEB =90°两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．【详解】(1)解：∵△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C 的位置，点B 的对应点为B ，∴B B ⊥AC ，故答案为：B B ⊥AC ；(2)解：如图所示，在B C 上取点M ，使得CQ =CM ，连接PM ，根据对称的性质，PQ =PM ，∴PB +PQ =PB +PM ，要求PB +PQ 的最小值，求PB +PM 的最小值即可，∴当B 、P 、M 三点共线，且BM ⊥B C 时，PB +PM 取得最小值，此时PB +PM =BM ，如图所示，由对称的性质，B C =BC =8，∵取得最小值时，BM ⊥B C ，∴S △BB C =12B C ∙BM ，即：36=12×8∙BM ，解得：BM =9，∴PB +PQ 的最小值为9；(3)解：①当∠ACB =45°时，∠AEB =90°；∵由翻折变换的性质可知，∠BCA =∠B CA ，∴∠BCB =90°，∵△ABC ≌△CDA ，∴∠BCA =∠DAC ，∴AD ∥BC ，∴∠AEB =∠BCB =90°；②由翻折的性质，当∠ABC =90°时，∠AB E =90°．【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D 为边BC 上一动点(点D 不与点B ，点C 重合)．以AD 为边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△ABD ≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D 在边BC 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：①AB 与CE 的位置关系为：；②线段EC 、AC 、CD 之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC 中，AB =3，点P 是边AC 上一定点且AP =1，若点D 为射线BC 上动点，以DP 为边向右侧作等边△DPE ，连接CE 、BE ．请问：PE +BE 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)①AB ∥CE ，②EC =AC +CD ；(3)有，5【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°从而证∠BAD =∠CAE ，从而即可证明△ABD ≌△ACE (SAS )；(2)证△ABD ≌△ACE (SAS )得∠B =∠ACE =60°，CE =BD ，∠BAC =∠ACE ，利用平行线的判定及线段的和差关系即可得证；(3)在CD 延长线上截取DM =PC ，连接EM ，证△EPC ≌△EDM (SAS )，得EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°，再判定△CEM 是等边三角形得∠ECD =60°，从而有点E 在∠ACD 角平分线上运动，作点P 关于CE 对称点P ，连接BP 与CE 交于点C ，此时点E 与点C 重合，于是BE+PE ≥BC +PC =5，即可求解．【详解】(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形∴AB =AC ，AD =AE∠BAC =∠DAE =60°∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC即∠BAD =∠CAE在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )(2)解：AB ∥CE ，EC =AC +CD ，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形∴AB =AC ，AD =AE∠BAC =∠DAE =60°∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠DAC =∠DAE +∠DAC即∠BAD =∠CAE在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )∴∠B =∠ACE =60°，CE =BD∴∠BAC =∠ACE∴AB ∥CE∵CE =BD ，AC =BC∴CE =BD =BC +CD =AC +CD ，故答案为：AB ∥CE ，CE =AC +CD ；(3)有最小值，在CD 延长线上截取DM =PC ，连接EM∵△ABC 和△PDE是等边三角形∴EP =ED ，∠ACB =∠PED =60°，∵∠ACD +∠ACB =180°，∴∠ACD +∠PED =180°-60°+60°=180°，∵∠EPC +∠ACD +∠CDE +∠PED =360°，∴∠EPC +∠CDE =180°，∵∠CDE +∠EDM =180°，∴∠EPC =∠EDM ，在△EPC 和△EDM 中，EP =ED∠EPC =∠EDMPC =DM∴△EPC ≌△EDM (SAS)∴EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°∴△CEM 是等边三角形∴∠ECD =60°，∴∠ACE =120°-60°=60°=∠ECD即点E 在∠ACD 角平分线上运动作点P 关于CE 对称点P连接BP 与CE 交于点C此时点E 与点C 重合，BE +PE ≥BC +PC =5∴最小值为5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的判定、角平分线的定义以及最短距离，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为AC =2km ，BD =5km ，CD =6km ，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【答案】(1)见解析(2)85km【分析】(1)延长AC，取A C=AC，再连接A B，与CD交于点E即可；(2)作出以A B为斜边的直角△A BF，求出直角边，利用勾股定理求出结果．【详解】(1)解：如图所示：点E即为水厂的位置；(2)如图，作出以A B为斜边的直角△A BF，由(1)可知：AE=A E，由题意可得：AC=2km，BD=5km，CD=6km，∴A C=AC=2km，BF=5+2=7km，A F=CD=6km，∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为A B=62+72=85km．【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于CD的对称点是确定建水厂位置的关键．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【答案】(1)见解析；(2)50万元.【分析】(1)作点A关于直线CD的对称点A ，连接A B，交CD于M点，即M为所求；(2)连接A A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，根据勾股定理求出BP，A B=5km即可得出答案．【详解】(1)解：如图，作点A关于直线CD的对称点A ，连接A B，交CD于M点，即M为所求.(2)解：如图，连接A A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，由题意可知：AH=A H=1km，PH=3km，AB=13km，∴PA=PH-AH=2km，PA =PH+A H=4km∴在Rt△APB中，BP=AB2-PA2=13-22=3km，∴在Rt△A PB中，A B=A P2+PB2=42+32=5km，由对称性质可知：AM=A M，水管长AM+BM=A M+BM=A B=5km，完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元)【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．【答案】(1)475米(2)1000米，8003米【分析】(1)根据勾股定理列出方程2002+x 2=4002+(800-x )2，解方程即可；(2)如图，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，交直线l 于点P ．则AP =A P ，AP +BP =A P +BP ，PA +PB 的最小值为A B ．(1)解：如图1，此时AQ =BQ ．设CQ =x ，则DQ =800-x ，∴2002+x 2=4002+(800-x )2，解得x =475，即CQ 的长为475米；(2)解：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，交直线l 于点P ．则AP =A P ，AP +BP =A P +BP ，PA +PB 的最小值为8002+400+200 2=1000米．∵AA ∥BD ，∴CP PD =A C BD =200400=12，∴CP CD =13，∴CP =13CD =13×800=8003(米)，即CP 的长度为8003米．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q 、P 的位置是本题的关键．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l 同旁有两个定点A ，B ，在直线l 上是否存在点P ，使得PA +PB 的值最小？小明的解法如下：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，则A B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A B ．问题提出：(1)如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，求PB +PE 的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【答案】(1)210(2)最少的铺设水管的费用是225000元【分析】(1)作点B关于AC的对称点B ，连接BE交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB先根据勾股定理求出AB的长，再判断出∠BAB =90°，根据勾股定理即可得出结论；(2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作A E⊥BD交BD的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出DE、A E，根据勾股定理求出A B，得到PA+PB，结合题意计算即可．【详解】(1)解：如图，作点B关于AC的对称点B ，连接B E交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB ．因为等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，所以AB =AB=AC2+BC2=42+42=42，AB=22，AE=12因为∠B AC=∠BAC=45°，所以∠B AB=90°，所以PB+PE=PB +PE=B E=B A2+AE2=422=210．2+22(2)如图，延长AC到点A ，使CA =AC，连接BA 交CD于点M，点M即为所选择的位置，过点A 作A E ⊥BD交BD的延长线于点E．在Rt△BA E中，BE=9+3=12千米，A E=9千米，所以A B=BE2+A E2=92+122=15(千米)，所以最短路线AM+BM=A B=15(千米)，最少的铺设水管的费用为15×15000=225000(元)．答：最少的铺设水管的费用是225000元．【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A -4,0 ,B 0,2 ，∴AB =22+42=25；(2)作CF ⊥x 轴于点F ，如图，则∠CFA =∠AOB =90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD 有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y =kx +b 的图像经过两点A 4,0 ，B 0,8 ．点D m ,4 在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m 的值；(3)点C 为OA 的中点，点P 为OB 上一动点，求PC +PD 的最小值．【答案】(1)y =-2x +8(2)2(3)42【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)将D m ,4 代入一次函数解析式求解即可；(3)作C 与C '关于直径y 轴对称，连接C 'D 交y 轴于P ，则PC +PD 的最小值就是线C 'D 的长度，再求出最小值即可．【详解】(1)将A 4,0 ，B 0,8 代入y =kx +b 得，4k +b =08=b ，解得k =-2b =8∴y =-2x +8；(2)将D m ,4 代入y =-2x +8得，4=-2m +8解得m =2；(3)解：如图，由平面坐标系中的对称性可知，C 与C 关于直径y 轴对称，连接C D 交y 轴于P ，则PC +PD 的最小值就是线C D 的长度，∵A 4,0 ，B 0,8 ，∴C 2,0 ，D 2,4 ，∵C 与C 关于直径y 轴对称，∴C -2,0 ，∴C D =42+42=42，∴PC +PD 的最小值为42，故答案为：42．【点睛】此题是一次函数函数综合题，主要考查了轴对称性，一次函数的性质，勾股定理，解本题的关键是找到使距离之和最小时的点P 位置．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l 1经过点A 4,0 ，与直线l 2：y =x 交于点B a ,43．(1)求a 的值和直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点C ，求△BOC 的面积；(3)在y 轴上是否存在点P ，使得PB +PA 的值最小，若存在，请求出PB +PA 的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a =43，直线l 1的解析式为y =-12x +2(2)43(3)存在，PB +PA 的最小值为4173【分析】(1)由直线l 2：y =x 经过点B a ,43 即可求得a =43，然后利用待定系数法即可求得直线l 1的解析式；(2)由直线l 1的解析式求得点C 的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；(3)作点B 关于y 轴的对称点B -43,43，连接AB ，交y 轴于点P ，则此时PB +PA 的值最小，PB +PA 的最小值为AB ，利用两点之间的距离公式求解即可得．【详解】(1)解：点B a ,43 代入y =x 得：a =43，设直线l 1的解析式为y =kx +b ，将点A 4,0 ，B 43,43 代入得：4k +b =043k +b =43，解得k =-12b =2 ，则直线l 1的解析式为y =-12x +2．(2)解：对于直线l 1：y =-12x +2，当x =0时，y =2，即C 0,2 ,OC =2，则△BOC 的面积=12×2×43=43．(3)解：存在，求解过程如下：如图，作点B 关于y 轴的对称点B -43,43，连接AB ，交y 轴于点P ，则此时PB +PA 的值最小，PB +PA 的最小值为AB ，∵A 4,0 ，∴AB =4+43 2+0-43 2=4173，∴PB +PA 的最小值为4173．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l 1:y =-14x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，直线l 2与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，两直线相交于点P ，已知点C 的坐标为(-2,0)，点P 的横坐标为-45．(1)直接写出点A 、P 的坐标，并求出直线l 2的函数表达式；(2)如图2，过点A 作x 轴的垂线，交直线l 2于点M ，点Q 是线段AM 上的一动点，连接QD ，QC ，当△QDC 的周长最小时，求点Q 的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N 是直线AM 上的一个动点，以D ，Q ，N 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】(1)A (4,0)，P -45,65 ；y =x +2(2)点Q 的坐标为Q 4,65,周长的最小值22+426,(3)4,585 或4,145 或4,6+4265 或4,6-4265 【分析】(1)对于l 1:y =-14x +1，令y =0，求出x =4可得点A 的坐标，再把点P 的横坐标代入y =-14x +1，求出x 的值即可得到点P 的坐标，再运用待定系数法求出直线l 2的解析式即可；(2)先求出点D 的坐标，再运用勾股定理求出CD =22，过点D 作AM 的对称点D ，得D 8，2 ，连接D C ，交AM 于占M ，由两点之间，线段最短可知DQ +CQ 的最小值为D C 的长，从而可得△CDQ 周长的最小值，再运用待定系数法求出直线D C 的解析式，进一步可得出点Q 的坐标；(3)设N 4,t ，分别求出DN 、QN 、DQ 的长，再分DN =QN ，DN =DQ ，QN =DQ 三种情况讨论求解即可．【详解】(1)对于y =-14x +1，当y =0时，-14x +1=0，解得，x =4，∴A (4,0)，∵点P 的横坐标为-45，∴y =-14×-45 +1=65,∴P -45,65；设直线l 2的解析式为y =kx +b ,把C -2,0 ,P -45,65代入y =kx +b ,得，-2k +b =0-45k +b =65，解得：k =1b =2 ，∴直线l 2的解析式为y =x +2；(2)对于直线y =x +2，当x =0时，y =2,∴D (0,2),过点D 作点D 关于AM 的对称点D ，连接D C 交AM 于点D ，根据“两点之间，线段最短”可知，DQ +CQ 的最小值为D C 的长，∵D (0,2)，∴D 8,2又C -2，0∴CD =8-(-2) 2+2-0 2=426，CD =22+22=22∴△CDQ 的周长最小值为：CD +CD =22+426,设D C 的解析式为：y =mx +n ,把C -2，0 ，D 8,2 代入y =mx +n ,得，-2m +n =08m +n =2 ，解得，m =15n =25∴直线D C 的解析式为y =15x +25,当x =4时，y =15×4+25=65,∴Q 4,65；(3)设N (4,t )，∵Q 4,65，C -2，0，∵DN 2=(0-4)2+(2-t )2=(2-t )2+16,QN 2=t -65 2,DQ 2=(0-4)2+2-45 2=41625.当DN =QN 时，有DN 2=QN 2,∵(2-t )2+16=t -65 2，解得，t =585,∴N 4,585；当DN =DQ 时，有DN 2=DQ 2,∴(2-t )2+16=41625，解得，t 1=145，t 2=65(不符合题意，舍去)∴N 4,145当QN =DQ 时，有QN 2=DQ 2,∴t -65 2=41625，解得，t =6+4265，t 2=6-4265，∴N 4,6+4265 或N 4,6-4265，综上,点N 的坐标为:4,585 或4,145 或4,6+4265 或4,6-4265【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、等腰三角形的性质和判定、最短问题等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l 1:y =x -1与y 轴交于点A ，直线l 2:y =-2x -4与x 轴交于点B ，直线l 1与l 2交于点C ．(1)求点A ,C 的坐标；(2)点P 在直线l 1上运动，求出满足条件S △PBC =S △ABC 且异于点A 的点P 的坐标；(3)点D (2,0)为x 轴上一定点，当点Q 在直线l 1上运动时，请直接写出DQ -BQ 的最大值．【答案】(1)点A 的坐标为(0,-1)，点C 的坐标为(-1,-2)(2)(-2,-3)(3)10【分析】(1)根据直线与坐标轴交点的特点即可求解，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可求解；(2)根据直线与坐标轴的交点，求出△ABC 的面积，设P (p ,p -1)，用含p 的式子表示△PBC 的面积，根据S △PBC =S △ABC 即可求解；(3)如图，作点B 关于直线l 1的对称点B ，连接B D 并延长交直线l 1于Q ，求DQ -BQ 的最大值转换为求B D ，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线l 1:y =x -1与y 轴交于点A ，∴令x =0，则y =-1，∴点A 的坐标为(0,-1)，联立直线l 1:y =x -1与直线l 2:y =-2x -4得，y =x -1y =-2x -4 ，解得，x =-1y =-2 ，∴点C 的坐标为(-1,-2)．(2)解：如图，直线l1与x 轴交于点M ，直线l 1:y =x -1，令y =0，则x =1，∴点M 的坐标(1,0)，直线l 2:y =-2x -4，令y =0，则x =-2，∴点B 的坐标(-2,0)，且点C (-1,-2)，∴BM =3，∴S △ABC =S △MBC -S △ABM =12×3×2-12×3×1=32，∵S △PBC =S △ABC ，∵点P 在直线l 1上运动，且点P 只能在点C 的左下方，∴设P (p ,p -1)，∴S△PBC=S△MPB-S△CBM=12×3×p-1-12×3×2=32，∴p-1=3，∴p-1=±3，解得p=-2或p=4(舍去)，∴当P(-2,-3)时，S△PBC=S△ABC=32；∴满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标为(-2,-3)．(3)解：如图，作点B关于直线l1的对称点B ，连接B D并延长交直线l1于Q，∴BQ=B Q，BE=B E，设直线l1交x轴于E，由(2)知E1,0，∵OE=OA=1，∴∠OEA=45°，∴∠B EB=90°，∵点B的坐标(-2,0)，∴BE=B E=3，∴点B 的坐标(1,-3)，∴DQ-BQ的最大值为DQ-B Q=B D，∵点D(2,0)，∴B D=(2-1)2+32=10，∴DQ-BQ的最大值为10．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，掌握一次函数图像的性质，几何图形的变换，解二元一次方程组的方法，勾股定理等知识是解题的关键．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y=-73x交于点C(a，7)．(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-73x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；【答案】(1)y=x+10(2)240(3)存在，13【分析】(1)先求得点C 的坐标(-3.7)，再将C (-3，7)和A (-10，0)代入y =kx +b ，即可得到直线AB 的解析式；(2)先求得点G 、F 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)由三角形的三边关系可知当点P 、M 、C 在一条直线上时，PM -PC 的值最大，据此求解即可；(1)将点C (a ，7)代入y =-73x ，可得a =-3，∴点C 的坐标为(-3，7)，将C (-3，7)和A (-10，0)代入y =kx +b ，可得-3k +b =7-10k +b =0 ，解得k =1b =10 ，∴直线AB 的解析式为y =x +10；(2)∵点E 的坐标是(-15，0)．∴当x =-15时，y =-73×(-15)=35和y =-15+10=-5，∴点F 的坐标为(-15，35)，点G 的坐标为(-15，-5)，∴S ΔCGF =12GF ×(x c -x E )=12×40×12=240；(3)存在，证明：由三角形的三边关系可知当点P 、M 、C 在一条直线上时，PM -PC 的值最大，令x =0，则y =10，∴点B 的坐标(0，10)，∵点M 为y 轴上OB 的中点，∴点M 的坐标为(0，5)，设直线MC 的解析式为y =ax +5，将C (-3，7)代入得：7=-3a +5，解得：a =-23，∴直线MC 的解析式为y =-23x +5，当x =-15时，y =-23×(-15)+5=15，∴点P 的坐标为(-15，15)，∴PM -PC =CM =(-3-0)2+(7-5)2=13；【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握三角形面积在坐标系内的求法，并且能够熟练使用三角形全等解题．2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2的最大值,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN为，此时P点坐标为．(直接写答案)【答案】(1)CB ,C B ,AB(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析(3)5或13；6,0或0,5【分析】(1)根据点B，B 关于直线l对称，可得CB=CB ，C B=C B ，从而得到AC+CB=AC+CB = AB ．在△AC B 中，根据三角形的三边关系，即可；(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；(3)分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N ，连接MN ，延长MN 交x轴于点P，则点P即为所求；此时PM-PN的最大值为MN ；当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P ，则点P 即为所求，此时PM-PN的最大值为MN=13，即可求解．【详解】(1)解：证明：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=CB ，C B=C B ，∴AC+CB=AC+CB =AB ．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．故答案为：CB ,C B ,AB。
轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(学生版)
轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习一、两定点一动点1、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B’．②连接AB’与直线l相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）．A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD的度数是（）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 无法确定3、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4、如图，PQ为△ABC边上的两个定点，在BC边上求作一点M，使PM+QM最短．（保留作图痕迹，不写作法，无需证明）5、如图，解答下列问题：①画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．②在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．（保留作图痕迹）6、在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（4，0），在y轴上求一点P，使△ABP的周长最小．（1）在坐标系中画出A、B两点的位置．（2）画出点P的位置．（3）求出点P的坐标．7、在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B，C的坐标分别是（-4，6），（-2，2），（-1，4）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C的对称点分别为A1，B1，C1．（2）请在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．8、如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．（1）画出△AOB关于直线x=-1轴对称后图形△A’O’B’．（2）点P在x轴上使△APB周长最小时，在图中画出点P．（请保留作图痕迹）（3）求出△AOB的面积．二、一定点两动点9、如图，∠AOB =a ，点P 是∠AOB 内的一定点，点M 、N 分别在OA 、OB 上移动，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的值为（ ）．A. 90°+a ．B. 90°+12a ．C. 180°-a ．D. 180°-2a ．10、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（ ）．A. 15B. 30C. 45D. 6011、如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，在AB ，BC 上分别找一点E 、F ，使△DEF 的周长最小，此时，∠EDF =（ ）．A. αB. 90°-12αC. 2D. 180°-2α12、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD =18cm ，则△PMN 的周长为______cm ．13、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是______ cm．14、已知：如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为______；若∠O=40°，则∠MPN=______°．15、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，垂足为E，若M为BC边上一动点，D为EF上一动点，则BD+MD的最小值为______cm．16、如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=______．17、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=65°，M、N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN=______．18、如图，D是∠ABC内一点，BD=4，∠ABC=30°，设M是射线BA上一点，N是射线BC上一点，则△MND的周长的最小值是______．19、如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为______．20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、线段AD上的动点，则MN+BN的最小值是______．21、如图，在锐角△ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．22、如图，∠AOB=30°，OC=2，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得CM+MN最小，求出此最小值．23、如图，已知点A是锐角∠MON内的一点．（1）按要求画图：（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹）①分别作点A关于OM，ON的对称点A’，A’’．②试分别在OM、ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．（2）若∠MON=45°时，试判断△ABC的形状，并说明理由．24、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．25、某班举行晚会，桌子摆成两条直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．26、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．。
部编数学八年级上册专题21轴对称之将军饮马基础篇(解析版)含答案
专题21 轴对称之将军饮马基础篇1．如图，30AOB Ð=°，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN a b Ð=Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于a ，b 的数量关系正确的是（ ）A ．60b a -=°B ．210b a +=°C ．230b a -=°D ．2240b a +=°【答案】B【解析】【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN 最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN ，KD ∠OQN=180°-30°-∠ONQ ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP ，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知¢Ð=Ð=ÐOPM OPM NPQ ，¢Ð=Ð=ÐOQP AQN AQN ．∵18030Ð=°-°-ÐOQN ONQ ，30Ð=Ð=°+ÐOPM NPQ OQP 30Ð=Ð=°+ÐOQP AQN ONQ ，∴303018030210+=°+°+Ð+°-°-Ð=°ONQ ONQ a b ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．如图，△ABC 是等腰三角形，底边BC 的长为4，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值是（ ）A ．11B ．13C ．9D ．8【答案】A【解析】【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴1141822ABC S BC AD AD =×=´´=V ，解得AD =9，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴CM =AM ，∴CD +CM +DM =CD +AM +DM ，∵AM +DM ≥AD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =9+12×4=9+2=11．故选：A ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．【答案】50【解析】【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ¢¢++=，∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．4．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到PMN V 周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及30AOB Ð=°，对线段长度进行等量转化即可．【详解】解：如图所示，过点P 分别作P 点关于OB 、OA 边的对称点P ¢、P ¢¢，连接PP ¢¢、PP ¢、P P ¢¢¢、OP ¢、OP ¢¢，其中P P ¢¢¢分别交OB 、OA 于点N 、M ，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M 、N 的位置是使得PMN V 周长的最小的位置．由对称性可知：,PN P N PM P M ¢¢¢==，,P OB POB POA P OA¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð 3OP OP OP ¢¢¢===，30POA POB AOB Ð+Ð=Ð=°Q 30P OA P OB ¢¢¢\Ð+Ð=°+=60POA POB P OA P OB P OP ¢¢¢¢¢¢\Ð+ÐÐ+ÐÐ=°P OP ¢¢¢\△为等边三角形=3P P OP OP ¢¢¢¢¢¢\==\PMN V 的周长=PN PM MN ++=P N P M MN P P ¢¢¢¢¢¢++==3故答案为：3【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．5．如图，ABC V 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PCE V 的周长最小时，ACP Ð的度数为______．【答案】30°##30度【解析】【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE 的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分ACBÐ，从而可求出1==302ACP ACBÐа．【详解】如图连接BP．∵ABCV为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP，∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．又∵点E为中点，AD为高，ABCV为等边三角形，∴P点即为等边ABCV角平分线的交点，∴CP平分ACBÐ，∴1==302ACP ACBÐа．故答案为：30°【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【解析】【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC = 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB 上的动点，当BM +MN有最小值时，ABMÐ=_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM +MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，∵AM =AM ，∴△AME ≌△AMN ，∴ME =MN ，∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，∴∠ABM =90°-∠BAC =90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．8．如图，直线1l ，2l 交于点O ，点P 关于1l ，2l 的对称点分别为1P ，2P ．若4OP =，127PP =，则12POP △的周长是______．【答案】15【解析】【分析】根据对称的性质可知，OP 1=OP =OP 2=3，再根据P 1P 2=7即可求出△P 1OP 2的周长．【详解】∵P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 1、P 2，∴OP 1=OP =OP 2=4，∵P 1P 2=7，∴△P 1OP 2的周长=OP 1+OP 2+P 1P 2=4+4+7=15．故答案为15【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．9．如图，等腰三角形ABC 的面积是18，底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若D 为BC 的中点，G 为线段EF 上一动点，则CDG V 周长的最小值为___________．【答案】11【解析】【分析】连接AD ，由于ABC D 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ^，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC \^，∴S △ABC =1141822BC AD AD ×=´´= ，解得9AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，\点C 关于直线EF 的对称点为点A ，CM AM\=，CD CM DM CD AM DM\++=++，AM+DM≥AD，AD\的长为CM MD+的最小值，CDM\D的周长最短11()94921122CM MD CD AD BC=++=+=+´=+=．故答案为11．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题10．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B．请完成这个证明．（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A 和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝°．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，100【解析】【分析】（1）如图②，连接A C ¢¢，由轴对称的性质可得,,AC A C AC A C ¢¢¢¢== 再证明：,A B AC BC ¢=+ 再利用三角形的三边关系可得结论；（2）分别作点P 关于,OM ON 的对称点,,P P ¢¢¢ 连接P P ¢¢¢交OM 于,A 交ON 于,B 则PAB △的周长最短，再由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌ 证明,APB OP B OP A ¢¢¢Ð=Ð+Ð 80,P OP ¢¢¢Ð=° 再求解50,OP P OP P ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð=° 从而可得答案．【详解】证明：（1）如图②，连接A C ¢¢，∵点A ，点A ¢关于l 对称，点C 在l 上，∴CA CA ¢=，∴AC BC A C BC A B ¢¢+=+=，同理可得：AC C B A C BC ¢¢¢¢¢+=+，∵A B ¢＜A C C B ¢¢¢+，∴AC ＋BC ＜AC C B ¢¢+；（2）如图所示，点A 、B 即为所求，由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌,,,,PO P O PO P O OPB OP B OPA OP A ¢¢¢¢¢¢\==Ð=ÐÐ=Ð,,POB P OB POA P OA ¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð,APB OPB OPA OP B OP A ¢¢¢\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð40,POB POA P OB P OA ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð=°404080,P OP ¢¢¢\Ð=°+°=°,OP OP ¢¢¢=Q()11808050,2OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°-°=° 100,APB OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð+Ð=°故答案为：100°．【点睛】本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称的性质求解线段和或周长的最小值，同时考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC +的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC V 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P 即为所求做的点，点P 的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．12．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）【答案】见详解【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．【详解】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；（2）如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，1302ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点ABC V （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标．(2)在y 轴上求作一点P ，使得PA PC +最短（保留作图痕迹，不需写出作图过程）．(3)求ABC V 的面积．【答案】(1)画图见解析；()11,4C (2)画图见解析(3)6【解析】【分析】（1）利用网格，根据轴对称的性质画出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1，C 1，再连接A 1B 1，A 1C 1，B 1C 1即可；（2）连接A 1C 交y 轴于点P ，即可；（3）利用网格，用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．(1)解：如图所示，111A B C △就是所要求画的．()11,4C ．(2)解：如图所示，点P 就是所要求作的点．(3)解：111353322156222ABC S =´-´´-´´-´´=△．【点睛】本题考查利用轴对称性质作轴对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．15．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A （-4，1）、B （-3，3）、C （-1，2）．(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A₁B₁C₁；(2)作△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解；(3)答案见详解；【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，即可；(1)如图所示：分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)如图所示：分别作出点A，B，C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，△NBC的周长最小；【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，图形的平移，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．。
难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(解析版)
难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】类型一：两定一动【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBAMNA类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为 A ．3B ．4C ．D ．【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．【变式】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 A()E AFCDB()NMDCBAAB ．2C ．D ．4【分析】此处M 点为折点，作点N 关于BD 的对称点，恰好在AB 上，化折线CM +MN 为CM+MN ’．因为M 、N 皆为动点，所以过点C 作AB 的垂线，可得最小值，选C ．类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
专题 圆中将军饮马(解析版)
专题圆中将军饮马1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P 是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a∵点N是的中点，∠BAM＝20°，=40=20°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．2．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）C．D．3A．2 B．3．如图，MN是⊙O的直径，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，如果PA+PB O的直径等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN=40°，∴∠AON=80°，AN的度数是80°，则BN的度数是40°，根据垂径定理得CN的度数是40°，则∠AOC=120°，作OQ⊥AC于点Q，,则∠AOQ=60°，AQ=12∴OA=1,∴MN=2OA=2，故选A．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键．4．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若AB=1，则△PAB周长的最小值是（）A．+1 B+1 C．2 D．3 【详解】是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】试题解析：∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，∴A′D′=BC=3，DD′=2DC=4，AE′=1，∴A′D=5，∴DE′=5-1=4∴PE+PD=PE′+PD=DE′=4，故选C．考点：轴对称-最短路线问题．6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F 分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】D四边形ABCD是菱形，60∠=︒，AB＝3，BAD∴、△ADB∠=∴BDC∴∠=180ADN∴∠'=∠A DNADB∴∠+∠∴'，D，A由题意可得出：当，AB2的1O过点A，半径为1的2O过点B.P、E、F分别是边CD，1O和2O上的动点.则+的最小值等于()PE PFA ．B ．6C ．3+D ．9 交2O F ，连接交1O 2FO ，连接，根据平行四边形的性质得到C 60∠∠=，求根据已知条件得到1O ，2O 外切，交2O F ，连接交1O 于E ，则此时，PE PF +的值最小，PE PF +的最小值OO EO FO =--，在60，AB 60，3BH 322=，2OO 2O 2BC ∴==AB 6=，半径为的1O 过点A 的2O 过点1O ∴，2O 外切，12O O 3∴=，AB//CD ，2OO CD ，2OO AB ∴⊥，2AO O 90∠∴=，2122OO O O ∴=+PE PF ∴+的最小值9126=--=.故选B ．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质以及相切两圆的性质，勾股定理等知识，根据题意得出P 点位置是解题关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题8．如图所示，AB 是O 的直径，20AB =，30CAB ∠=︒，点D 为弧BC 的中点，点P 是直径AB 上的一个动点，PC PD +的最小值为__________．又∵点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为弧BC 的中点，即'，【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．为O 的直径，A B 是O 上的两点，过A B BD MN ⊥于点D ，P 为DC 上的任意一点，若20MN =，8AC =，6BD =，则PA PB +的最小值为______．则四边形CDB′E 是矩形，B BD MN ⊥于点D ，P 为DC 上的任意一点，若10MN =，4AC =，3BD =，则PA PB +的最小值是__________．【答案】．【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质三、解答题13．【问题发现】（1）如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．【问题研究】（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．【问题解决】（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．则此时PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB 上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．∴AD=4，∵点P 与点C 关于OB 对称，与⊙O 上各点之间的最短距离．证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB PA >．如图2，在⊙O 上任取一点C （与点,A B 不重合），连结,PC OC ．PO PC OC <+，且,PO PA OA OA OC =+=，PA PC ∴<PA ∴的长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离．由此可得真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述真命题解决下列问题．（1）如图3，在Rt ABC 中，90,2ACB AC BC ︒∠===，以BC 为直径的半圆O 交AB 于,D P 是弧CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 长的最小值是________．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，60,A M ︒∠=是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将AMN 沿MN 所在的直线翻折得到A MN '△连接A C '．①点A '的轨迹是______（填直线、线段、圆、半圆）②求线段A C '长的最小值．（3）如图5，已知正方形ABCD 的边长为4，点G 是以BC 为直径的半圆O 上的一动点，点P 是AB 边上另一动点，连接,PG PD ，求PD PG +的最小值．【答案】（1）；（2）①圆；②；（3）（2）①由折叠知A′M=AM，（3）如图，取点D关于直线AB的对称点D′，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，最短距离问题，解直角三角形，理解圆。
专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】(含答案解析)
模型
作法
结论
△PCD 周
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最 小.
分别作点 P 关 于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接
长的最小 值为 P′P″
P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、
D 即为所求.
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小.
【例 11】 11．村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直 的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
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12．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， AB 12 ，AD 平分 CAB ，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE EF 的最小值为（ ）
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参考答案： 1． 3
4 【分析】作 A 关于 x 3的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3与点 C，先求得 BA 的解析式，然 后将 x 3代入直线 BA 的解析式，从而可求得 y 的值． 【详解】解：作 A 关于 x 3 的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3 与点 C．
【例 5】 5．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（ ）
试卷第 4页，共 11页
A．140° 【例 6】
B．100°
C．50°
D．40°
6．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E
将军饮马问题专项训练
将军饮马问题专项训练一、基本模型古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题．二、实战演练1．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP PQ QN++最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP PQ＋最短．2．将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a ，沿河OB 排开（从点P 到点Q ）；将军从马棚M 出发到达队头P ，从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场N ．请问：在什么位置列队（即选择点P 和Q ），可以使得将军走的总路程MP PQ QN ++最短?3．如图，点M 在锐角AOB ∠内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小．4．已知MON ∠内有一点P ，P 关于OM ，ON 的对称点分别是1P 和2P ，12P P 分别交OM ，ON 于点A 、B ，已知1215PP =，则△PAB 的周长为（ ）． A. 15 B 7.5 C. 10 D. 245．已知AOB ∠，试在AOB ∠内确定一点P ，如图，使P 到OA 、OB 的距离相等，并且到M 、N 两点的距离也相等．6．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△P AB 的周长取最小值时，求APB ∠的度数．7．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，4AD =，连接BD ，BD ⊥CD ，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为________．8．已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．9．如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?aBA10．已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．11．如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．NMD CB A12．如图，已知AOB ∠内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF的周长最小．试画出图形，并说明理由．13．如图，直角坐标系中有两点A 、B ，在坐标轴上找两点C 、D ，使得四边形ABCD 的周长最小．14．如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近?15．221(9)4y x x =++-+，试判断：当x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值．16．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB CD AD ===，120D ∠=︒，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP+AP 最短．. A. B17．已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和R ，使△PQR 的周长最短吗?18．如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ．乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）19．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 与直线l 的交点即为P ，且P A P B +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC 的直角边长为2，E 是斜边 AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB PE +的最小值为________；（2）几何拓展：如图2，△ABC 中，2AB =，30BAC ∠=︒，若在AC 、AB 上各取一点M 、N 使BM+MN 的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式221(4)4x x ++-+（0≤x ≤4）的最小值．。
将军饮马问题专练练习附答案
将军饮马问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∵作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∵P A+PB=PB′+P A=AB′为最小故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．2．如图，等边∵ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，此时EM ＋CM 的值最小，求出BE 即可．【详解】解：连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，∵∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∵B 点与C 点关于AD 对称，∵BM ＝CM ，∵EM ＋CM ＝EM ＋BM ＝BE ，此时EM ＋CM 的值最小，∵AC ＝6，AE ＝2，∵EC ＝4，在Rt ∵EFC 中，∵ECF ＝60°，∵FC ＝2，EF ＝在Rt ∵BEF 中，BF ＝4，∵BE ＝故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）A．4B．4.5C．5.5D．5【答案】D【解析】【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∵点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∵DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+ EN' BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∵AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt∵BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∵BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．二、填空题4．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∵AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，∵A（0，3），∵A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∵A'B，∵P点到A、B的距离最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．5．如图，在等边∵ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∵点E关于AD的对应点为点F，∵CF就是EP+CP的最小值．∵∵ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∵F是AB的中点，∵CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．6．已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______． 【答案】43【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ，连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，利用待定系数法求得直线A 'B 的解析式，即可得到点C 的坐标．【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ， 连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，∵A （1，1），∵A '（1，−1），设直线A 'B 的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），把A '（1，−1），B （3，5）代入得153k b k b -=+⎧⎨=+⎩， 解得34k b =⎧⎨=-⎩， ∵y ＝3x −4，当y ＝0时，x ＝43， ∵点C 的横坐标为43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，一牧童在A 处放羊，牧童的家在B 处，A 、B 距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和700m ，且C 、D 两地相距500m ，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m ．【答案】1300【解析】【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A 关于CD 的对称点，求解对称点与B 之间的距离即可．【详解】解：作A 关于CD 的对称点E ，连接BE ，并作BF AC ⊥于点F ．则5007001200EF BD AC m =+=+=，500BF CD m ==．在Rt BEF △中，根据勾股定理得：1300BE 米． 故答案为：1300．【点睛】此题的难点在于确定点P 的位置，能够根据轴对称的知识正确作图．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC 的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P即为所求做的点，点P的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∵BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∵BPE=90°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P 为AB 的中点，要使∵ABC 是等边三角形，则需BC =AB ，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP ∵AB ，即∵BPE =90°．【详解】解：（1）如图，连接CP 交AB 于点E ，则点E 为所求；（2）∵BPE =90° ，理由如下：∵∵BPE =90°∵CP ∵AB ，∵点P 为AB 的中点，∵CP 垂直平分AB∵CA =CB∵AB =AC∵AB =AC =BC∵∵ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．10．如图，铁路上A 、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄，AC AB ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，已知2km AC =，4km BD =，现在要在铁路AB 上修建一个中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC PD +的最小值．【答案】图见解析，10cm【解析】【分析】试卷第11页，共11页 根据轴对称求最短路线作出C 点对称点C ′，连接C′D 即可得出P 点位置，再利用勾股定理得出C′D 即为收购站P 到C 、D 两村庄的距离和最小值．【详解】解：作C 点关于AB 的对称点C '，连接C D '与AB 的交点就是P 点过C '作C E DB '⊥的延长线于点E则2BE AC AC '===，8C E AB '==∵6DE BD BE =+=在Rt DEC '中2222268100C D DE C E =+'='=+∵10C D '=∵PC PD +的最小值为10cm ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P 点位置是解题关键．。
八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)
最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是 ．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
将军饮马问题及轴对称
【例 1】下列” 表情”中属于轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【解析】C
【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【解析】Ｄ
【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10
【解析】见右上图．
【例21】(2000年全国数学联赛)如图，设正 的边长为2， 是 边上的中点， 是 边上的任意一点， 的最大值和最小值分别记为 和 ．求 的值．
【解析】作点 关于 的对称点 ，连接 、 ．
由点 、 关于 对称可知， ．
故
当且仅当 、 、 共线时，等号成立，故 ．
另外两个临界位置在点 和点 处．
【解析】见右上图．
【例24】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的一动点，求 的最小值与最大值．
【解析】找点 关于 的对称点，
由正方形的性质可知， 就是点 关于 的对称点，
连接 、 ，由 可知，
当且仅当 、 、 三点共线时， 的值最小，该最小值为 ．
当点 在 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：
【解析】①②③
【例13】(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．
【解析】答案见右上图．
板块二、轴对称的应用
【例14】如图， 和 关于直线 对称，且 ， ，求 的度数和 的长．
【解析】∵ 和 关于直线 成轴对称
【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个外角平分线与线段 的垂直平分线的交点
专题13 轴对称之将军饮马模型全攻略(解析版)四川成都七年级数学下册-
专题13轴对称之将军饮马模型全攻略【模型说明】模型一、两定一动模型模型二、一定两动【答案】30°/30度【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知为等边三角形，ABCAD为BC的垂直平分线，又∵点E为中点，AD为高，角平分线的交点，∴P点即为等边ABC∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于∴PM CM OP OCCOA ==∠，，∵点P 关于OB 的对称点为D ∴PN DN OP OD DOB ==∠，，∴3cm OC OD OP ===，COD COA POA POB ∠=∠+∠+∠【答案】80∵∠BCD＝50°，∠B＝∠∴∠BAD＝360°﹣90°﹣∵点P关于OA的对称点为∴PM=CM，OP=OC，∠∵点P关于OB的对称点为∴PN=DN，OP=OD，∠【答案】5【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键．如图，在AB截取BN'，使得BN+=+'，可知当由CM MN CM MN∵BD 平分ABC ∠，∴N BM NBM '∠=∠，∵BN BN '=，N BM NBM '∠=∠∴()SAS N BM NBM ' ≌，∴MN MN '=，（1）如图1，若∠O =∠OMN ，过M 作射线MD //OB (如图)，点C 是射线MD 上一动点，∠MNC 的平分线NE 交射线OA 于E 点．试探究∠MEN 与∠MCN 的数量关系；（2）如图2，若P 是线段ON 上一动点，Q 是射线MA 上一动点．∠AOB =20︒，当MP +PQ +QN 取得最小值时，求∠OPM +∠OQN 的值．【答案】（1）∠MCN =2∠MEN ，理由见解析；（2）∠OPM +∠OQN 200=︒．【详解】解：（1）∠MCN =2∠MEN ，理由如下：如图，∵NE 是∠MNC 的平分线，MD //OB ，∠O =∠OMN ，∴∠1=∠2，∠MCN =∠CNB ，∠O =∠OMN =∠4，在△OMN 中，∠MNB =∠O +∠OMN ，∴∠1+∠2+∠MCN =2∠O ，即2∠2+∠MCN =2∠O ①，又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN ，即∠2+∠MCN =∠O +∠MEN ②，由①②得：∠MCN =2∠MEN ；（2）如图，过作点M 关于OB 的对称点M 1，作点N 关于OA 的对称点N 1，连接M 1N 1交OA 于点Q ，交OB 于点P ，∴PM +PQ +NQ =PM 1+PQ +QN 1，由两点之间，线段最短，可得PM +PQ +NQ 的最小值为M 1N 1，由对称的性质，知：∠MPO =∠M 1PO ，∠NQA =∠N 1QA ，设∠OQP =β，∠ONQ =α，由对顶角的性质得∠MPO =∠M 1PO =∠QPN ，∠NQA =∠N 1QA =∠OQP =β，在△OQN 中，∠NQA =∠O +∠ONQ ，即20βα=︒+，在△OPQ 中，∠QPN =∠O +∠OQP ，即∠OPM 2040βα=︒+=︒+，∠OQN =180°-∠NQA =180°20α-︒-，∴∠OPM +∠OQN =40α︒++160°200α-=︒．。
专题2.1 轴对称的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(解析版)
专题2.1 轴对称的几何综合【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B 的长．（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______．（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．（1）根据轴对称的性质作出图形；（2）根据两点之间线段最短解答；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAE(SAS)，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=1a+b，∠CFE=90°．2（1）解：作图如下：（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，连接OM、ON，如图，由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，∠MON=2∠AOB=60°，∴△MON为等边三角形，∴MN=12，∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，如图，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴△ACM≌△ACB，∴FM=FB=b，a+b，∠CFE=90°．∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=121．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD 是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．【思路点拨】在AB上截取AQ1=AQ，连接QD，Q1D，可证△AQD≌△AQ1D，根据全等三角形的性质可知点Q1和点Q关于AD对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．【解题过程】解：如图，在AB上截取AQ1=AQ，连接QD，Q1D，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠QAD =∠Q 1AD在△AQD 与△AQ 1D 中AQ =AQ 1∠QAD =∠Q 1AD AD =AD∴△AQD≌△AQ 1D∴点Q 1和点Q 关于AD 对称，连接CQ 1，CQ 1与AD 交于P 点，连接PQ ，此时PC +PQ =CQ 1，∵Q 是动点，∴Q 1也是动点，当CQ 1与AB 垂直时，CQ 1最小，即PC +PQ 最小．此时，由面积法得CQ 1=3×4÷5=125．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，若△ABC 为等边三角形，∠BAD =90°，AD =DC =2．（1）求证：BD 垂直平分AC ；（2）求BE 的长；（3）若点F 为BC 的中点，请在BD 上找出一点P ，使PC +PF 取得最小值；PC +PF 的最小值为______（直接写出结果）．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线性质定理的逆定理证明即可；（2）根据∠ABD =30°，确定BD =4；根据∠EAD =30°，确定ED =1；根据BE =BD−ED 计算即可；（3）根据轴对称的性质求线段和的最值问题，然后根据等边三角形的性质确定即可．【解题过程】（1）∵AD =DC ，∴点D 在线段AC 的垂直平分线上；∵△ABC 是等边三角形，∴BA =BC，∴点B在线段AC的垂直平分线上；根据两点确定一条直线，∴BD是线段AC的垂直平分线；∴BD垂直平分AC；（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，∴∠ABD=30°，∠EAD=30°，∵AD＝DC＝2，∴BD=4，ED=1，∴BE=BD−ED=4−1=3；（3）∵BD垂直平分AC，∴点C关于直线BD的对称点为点A，连接AF，交BD于点P，则点P即为所求；∵△ABC是等边三角形，BF=CF，∴AF⊥BC，∴AF=BE=3，故答案为：3．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC 上的点，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数．【思路点拨】作点A关于BC的对称点H，作A点关于CD的对称点G，连结GH交BC于E点，交CD于点F，当G、F、E、H共线时，△AEF的周长最小，先求∠BAE+∠DAF=50°，则∠EAF=130°−50°=80°．【解题过程】解：如答图①，分别作点A关于直线CD，CB的对称点M，N，则AF=MF，AE=NE．∴△AEF的周长=AF+EF+AE=MF+EF+NE，∴当M，F，E，N四点共线（如答图②）时，△AEF的周长取到最小值．∵∠ABC=∠ADC=90°，∠C=50°，∴∠BAD=130°．根据轴对称的性质可得∠FMD=∠FAD，∠ENB=∠EAB．又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得∠MFC+∠NEC=∠FMD+∠FDM+∠ENB+∠NBE=∠FMD+90°+∠ENB+90°=∠FMD+∠ENB+180°，又∵∠MFC+∠NEC=∠FEC+∠C+∠EFC+∠C=(∠FEC+∠C+∠EFC)+∠C=∠180°+∠C，∴∠FMD+∠ENB+180°=180°+∠C，∴∠FMD+∠ENB=∠C=50°，∴∠FAD+∠EAB=50°，∴∠EAF=130°−50°=80°．4．（2023春·江西抚州·八年级校考阶段练习）等边△ABC的边长为1，△BCD是∠BDC=120度的等腰三角形，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，以D为顶点做等边△DMN，两边分别交AB,AC于M、N①图中有两个三角形可以相互旋转得到吗？若有指出这两个三角形，并指出旋转中心及旋转角的度数．②图中有成轴对称图形的两个三角形吗？若有，指出对称轴．③求△AMN的周长．【思路点拨】①根据等边三角形和等腰三角形的性质，证明△DBM≌△DCE，再指出旋转中心和旋转角度即可；②利用等边三角形的性质，可得△DCN,△DCE是两个成轴对称的三角形，对称轴为直线DC；③利用全等三角形的性质，将MN转化为BM+CN，即可解答．【解题过程】①解：图中△DCE可由△DBM旋转得到，旋转中心为点D，旋转角度为120°，理由如下：∵△BCD是∠BDC=120度的等腰三角形，=30°，∴DB=DC，∠DBC=∠DCB=180−∠BDC2∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠MBD=∠NCD=60°+30°=90°，∴∠DCE=180°−∠NCD=90°，∵CE=BM，∴△DBM≌△DCE(SAS)，故图中△DCE可由△DBM旋转得到，旋转中心为点D，旋转角度为120°；②△DCN,△DCE是两个成轴对称的三角形，对称轴为直线DC，理由如下：∵△DMN为等边三角形，∴DM=DN=DE，在Rt△DCN与Rt△DCE中，DN=DEDC=DC，∴△DCN≌△DCE(HL)，∴ △DCN,△DCE 是两个成轴对称的三角形，对称轴为直线DC ；③解：∵△DMN 为等边三角形，∴∠MDN =60°，∵△BDM≌△CDE ，∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，∴∠MDE =∠MDC +∠CDE =∠MDC +∠BDM =∠BDC =120°，∴ ∠CDN =120°−60°=60°，在△DNM 与△DNE 中，DM =DE ∠MDN =∠EDN DN =DN，∴△DNM≌△DNE (SAS)，∴MN =EN ，∴MN =CN +CE =CN +MB ，∴△DMN 的周长为AM +MN +AN =AM +MB +AN +NC =AB +AC =2．5．（2022秋·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）如图，等腰三角形ABC 的周长是21cm ，底边BC =5cm ．（1）求AB 的长；（2）若N 是AB 的中点，点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 运动．同时点Q 从点C 出发向点A 运动，当△BPN 与△CQP 全等时，求点Q 的速度．（3）点D,E,F 分别是BC,AB,AC 上的动点，当△DEF 的周长取最小值时，探究∠EDF 与∠A 之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）先证明AB =AC,再结合三角形的周长公式即可得到答案；（2）如图，设Q 的速度为每秒v cm ，运动时间为t s ，再分两种情况：当△BPN≌△CPQ 时，则BP =CP,BN =CQ, 当△BPN≌△CQP 时，则BP =CQ,BN =CP, 再建立方程求解即可；（3）如图，分别作D 关于AB,AC 的对称点G,H, 连接GH, 交AB,AC 于E,F, 则此时△DEF 的周长最小，且为线段GH 的长，连接AG,AH,AD, 由轴对称的性质可得：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8, 结合∠GAH +∠AGH +∠AHG =180°, 从而可得答案．【解题过程】（1）解：∵等腰三角形ABC 的周长是21cm ，∴AB =AC,AB +AC +BC =21,∵BC =5cm ．∴AB =12×(21−5)=8(cm).（2）如图，设Q 的速度为每秒v cm ，运动时间为t s ，∵N 为AB 的中点，则AN =BN =4cm,∴BP =2t,CQ =vt,∵AB =AC,∴∠B =∠C,当△BPN≌△CPQ 时，则BP =CP,BN =CQ,∴2t =5−2t,4=vt,解得：t =54,v =165, 当△BPN≌△CQP 时，则BP =CQ,BN =CP,∴2t =vt,4=5−2t,∴v =2,t =12,综上：Q 的速度为每秒165cm 或2cm.（3）如图，分别作D关于AB,AC的对称点G,H,连接GH,交AB,AC于E,F,则此时△DEF的周长最小，且为线段GH的长，连接AG,AH,AD,由轴对称的性质可得：∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8,而∠GAH+∠AGH+∠AHG=180°,∴2∠2+2∠3+∠6+∠7=180°,∴2∠BAC+∠EDF=180°.6．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角∠EAC 的平分线AF所在的直线交于点D．（1）求证：∠B=2∠D；（2）若作点D关于AC所在直线的对称点D′，并连接AD′、CD′．①如图2，当∠BAC=90∘时，求证：AD⊥AD′；②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD′与∠D之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系；（2）①利用外角的关系用其他角度表示∠DAD′，再由三角形外角进行换角计算得到∠DAD′为90°，得到垂直关系；②通过设元∠DAD′，通过外角和角平分线换角用∠DAD′表示∠D，即可得到两个角的大小关系．【解题过程】（1）∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵AF 是外角∠EAC 的平分线，∴∠CAF =∠FAE =12∠CAE ，又∵∠CAF =∠D +∠ACD ，∠CAE =∠B +∠ACB ，∴∠D =∠CAF−∠ACD =12(∠CAE−∠ACB )=12∠B ，∴∠B =2∠D（2）①如图2，D ′C 与AF 交于点O ，由对称的性质可知，∠D =∠D ′，∠DCD ′=2∠ACD ，当∠BAC =90°时，∠EAC =90°，∵∠DAD ′=∠D ′+∠D ′OA ，∠D ′OA =∠D +∠OCD ，∴∠DAD ′=∠D ′+∠D +∠OCD =2∠D +2∠ACD =2(∠D +∠ACD)=2∠FAC ，∵∠EAC =90∘=2∠FAC ，∠DAD ′=∠EAC =90°，∴AD ⊥AD ′；①当AC =BC 时，∠D +12∠DAD ′=90∘，理由如下：如图3，设∠DAD ′=α∵△DAC 与△D ′AC 关于AC 对称，∴∠DAC =∠D ′AC =360∘−α2=180∘−α2∴∠CAF =180∘−∠DAC =α2，∴∠CAE =2∠CAF =α，∴∠BAC =180∘−∠CAE =180∘−α，当AC =BC 时，∠B =∠BAC =180∘−α由（1）知∠B =2∠D∴∠D =12∠B =90∘−12α，∴∠D +12∠DAD ′=90∘．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 在BC 边上，连接AD ，AE ⊥AD ，AE =AD ，连接CE ，DE ．（1）求证：∠B =∠ACE ；（2）点A 关于直线CE 的对称点为M ，连接CM ，EM ．①补全图形并证明∠EMC =∠BAD ；②试探究，当D ，E ，M 三点恰好共线时．∠BAD 的度数为___________．【思路点拨】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而判断出△BAD≌△CAE ，即可得出结论；（2）①先判断出∠EMC =∠EAC ，再根据（1）得出∠BAD =∠EAC 即可得出结论；②先判断得出∠AMD =∠EAM ，进而得出∠CDE =∠EAM ，再判断出∠EAM =∠BAD ，进而得出∠BAD =∠CAE =∠EAM ，最后求出∠CAM =45°即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE =90°=∠BAC ，∴∠BAD =∠CAE∵AB =AC ，AE =AD ，∴ △BAD≌△CAE （SAS ），∴∠B =∠ACE ，（2）补全图形如图1所示，连接AM，∵点A关于直线CE的对称点为M，∴AE=ME，AC=MC∵CE=CE∴△ACE≌△MCE（SSS）∴∠EMC=∠EAC由（1）知△ABD≌△ACE∴∠BAD=∠EAC∴∠BAD=∠EMC②如图，连接AM，由（1）知∠ACE=∠B在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ∴∠B=∠ACB=45°∴∠ACE=∠B=45°∴∠BCE=90°∵点M，A关于CE对称∴AE=ME，AM⊥CE∴AM∥BC∴∠AMD=∠CDE∴∠AMD=∠EAM∴∠CDE=∠EAM∵∠B=∠ADE=45°∴∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=135°∴∠BAD=∠CDE∴∠EAN=∠BAD由（1）知△BAD≌△CAE∴∠BAD=∠CAE∴∠BAD=∠CAE=∠EAM∵AM//BC∴∠BAM=180°−∠B=135°∵∠BAC=90°∴∠CAM=∠BAM−∠BAD=45°∴∠CAE=12∠CAM=22.5°∴∠BAD=22.5°．故答案为：22.5°．8．（2022秋·北京海淀·八年级101中学校考期中）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．（1）如图1，若∠PAB=30°，则∠ACE=_________；（2）如图2，若60°<∠PAB<90°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．（1）根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；（2）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．【解题过程】（1）解：连接AD，如图，在等边△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=CA，∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴AD=AC，∠DAC=∠DAP+∠BAP+∠BAC=120°，∴∠ACE+∠ADC+120°=180°，∠ACE=∠ADC+120°，∴∠ACE=30°，故答案为：30°；（2）解：补全图形如下：线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD，EB，如图2．在等边△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=CA，∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，DE=BE，∴∠BDA=∠DBA，∠EDB=∠EBD，∴∠EDA=∠EBA，∵AB=AC，AB=AD，∴AD=AC，∴∠ADE=∠ACE，∴∠ABE=∠ACE．设AC，BE交于点F，又∵∠AFB=∠CFE，∴∠BAC=∠BEC=60°，结合：AB=BC，DE=BE，可知以线段AB，CE，ED构成的三角形必与△EBC全等，∵∠BEC=60°，∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．9．（2022秋·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期中）如图，∠MON=60°，点A、B分别是射线OM、射线ON上的动点，连接AB，∠AMB的角平分线与∠NBA的角平分线交于点P．（1）当OA=OB时，求证：AP∥OB；（2）在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度数；若改变请说明理由；（3）连接OP，C是线段OP上的动点，D是线段OA上的动点，当S△AOB=12，OB=6时，求AC+CD的最小值．【思路点拨】（1）如图1，先证ΔAOB是等边三角形，再证∠PAB=∠ABO=60°，即可证得结论；（2）如图2，∠P的大小不变，∠P=60°．只需求出∠PAB+∠PBA的大小即可得结论；（3）如图3，过点A作AH⊥OB于H，过点P作PJ⊥ON于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I，先证OP平分∠MON，作点D关于OP的对称点D′，连接CD′，证得AC+CD=AC+CD′≥AH，求出AH即可得到结论．【解题过程】（1）如图1∵∠MON=60°，OA=OB，∴ΔAOB是等边三角形，∴∠OAB=∠OBA=60°，∵∠BAM+∠OAB=180°，∴∠BAM=120°，∵AP平分∠MAB，∠MAB=60°，∴∠BAP=12∴∠BAP=∠OBA=60°，∴AP∥OB；（2）如图2，∠P的大小不变，∠P=60°．理由如下：∵∠MAB=∠MON+∠OBA，∠ABN=∠MON+∠OBA，∴∠MAB+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠OAB+∠MON，∵∠MON+∠OAB+∠ABO=180°，∠MON=60°，∴∠MAB+∠ABN=180°+60°=240°，∵PA，PB分别平分∠MAB，∠ABN，∴∠PAB+∠PBA=1(∠MAB+∠ABN)=120°，2∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°−120°=60°；（3）如图3，过点A作AH⊥OB于H，过点P作PJ⊥ON于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I，∵PA平分∠MAB，PJ⊥AB，PK⊥OM，∴PK=PJ，∵PB平分∠ABN，PJ⊥AB，PI⊥ON，∴PI=PJ，∴PI=PK，∴OP平分∠MON，作点D关于OP的对称点D′，连接CD，CD′，OB·AH=12，∵SΔAOB=12×6×AH=12，∴12∴AH=4，∵CD=CD′，∴AC+CD=AC+CD′≥AH，∴AC+CD≥4，∴AC+CD的最小值为4．10．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，△BDC和△AEC分别为等边三角形，AE与BD交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．（1）求证：CG⊥AB；（2）如图2，点M为CE边上点，连接AM，且∠MAE=∠BAE．①证明：∠ACD=∠MAB；②若CD⊥CE，点P为线段AM上动点，若AB=3，求PC−PB的最大值．【思路点拨】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质得到∠FAG=∠FBG，推出AF=BF，求证△CFA≌△CFB(SSS)可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可证明；（2）①设∠MAE=∠BAE=x，根据三角形的外角的性质得出∠ABC=60°+x，∠CMA=∠MAE+∠E=60°+x，根据三角形呢几何定理得出∠ACD=∠MAB；②作点B关于AM的对称点B′，连接CB′并延长交AM于点P，连接AB′，根据PC−PB=PC−PB′=B′C最大，证明△ABB′是等边三角形，进而得出BB′=CB′=AB=3，即可求解．【解题过程】（1）证明：∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵△AEC和△BCD为等边三角形，∴∠CAE=∠CBD，∴∠FAG=∠FBG，∴AF=BF．在△CFA和△CFB中，AF=BFAC=BC，CF=CF∴△CFA≌△CFB(SSS)，∴∠ACF=∠BCF，∴AG=BG，∵CA=CB，∴CG⊥AB；（2）①设∠MAE=∠BAE=x由（1）可得AF=BF，则∠EAB=∠FBA=x 又∵∠CBD=60°∴∠ABC=60°+x,∵∠E=60°，∴∠CMA=∠MAE+∠E=60°+x∵∠MAB+∠CBA=∠BCM+∠CMA，∴∠MAB=∠BCM，∵∠DCB−∠ACB=∠ECA−∠ACB即∠ACD=∠BCM，∴∠ACD=∠MAB，②∵CD⊥CE∴∠DCE=90°∵∠DCB=∠ACE=60°∴∠DCA=∠ACB=∠BCE=30°∴∠CBA=∠CMA=75°，∠MAB=30°作点B关于AM的对称点B′，如图所示，连接CB′并延长交AM于点P，连接AB′此时PC−PB=PC−PB′=B′C最大，由①可得∠MAB=∠BCM∴∠BAB′=60°∵∠MAB=30°∴∠B′AM=30°∴∠B′AB=60°∴△ABB′是等边三角形∴∠ABB′=60°∴∠B′BC=∠ABC−60°=15°∠ACB=15°∵∠GCB=12∴BB′=CB′=AB=3即PC−PB的最大值为3．11．（2023春·四川成都·八年级校考期中）阅读下面材料：小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为△ABC的边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF=90°，试比较BE+CF与EF的大小．小胖通过探究发现，延长FD至点G，使得DG=DF，连接F′E和F′B，如图2：可以得到一对全等三角形和一个等腰三角形，从而解决问题．试回答：（1）小胖同学发现BE+CF与EF的大小关系是．（2）证明小胖发现的结论．（3）如图3，BC=3，∠BAC=30°，△ABC的面积为12，点D是边BC上一点（点D不与B、C两点重合），点E、F分别是边AB、AC上一点，求△DEF周长的最小值．【思路点拨】（1）根据三角形三边关系，即可求解．（2）过点B作BH∥CF，交FD的延长线于H，由“ASA”可证△BDH≌△CDF，可得BH=CF，DH=DF，由线段垂直平分线的性质可得EF=EH，由三边关系可求解；（3）作D关于AB和AC的对称点G和H，连接GH交AB于E，交AC于F，则DE+EF+DF=GE+EF+FH=GH=AD，△DEF周长的最小值就是AD的最小值，由点到直线的距离可得，当AD⊥BC时，AD最小，再根据面积，求解即可．【解题过程】（1）解：根据三角形三边关系可得：BE+CF>EF，故答案为：BE+CF>EF；（2）证明如下，过点B作BH∥CF，交FD的延长线于H，∴∠C=∠HBD，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDH和△CDF中，∠C=∠HBDBD=CD，∠CDF=∠BDH∴△BDH≌△CDF(ASA)，∴BH=CF，DH=DF，∵∠EDF=90°，DH=DF，∴△EFH为等腰三角形，即EF=EH，在△BEH中，BE+BH＞EH，∴BE+CF>EF．（3）如图3，作D关于AB和AC的对称点G和H，连接GH交AB于E，交AC于F，由对称性得，∠GAE=∠BAD，∠HAC=∠CAD，GE=DE，FH=DF，AG=AD，AD=AH，∴DE+EF+DF=GE+EF+FH=GH，AG=AH，∠GAH=∠GAE+∠BAD+∠HAC+∠CAD=2∠BAD+2∠CAD=2(∠BAD+∠CAD)=2×30°=60°∴△AGH是正三角形，∴DE+EF+DF=GH=AD，∴△DEF周长的最小值就是AD的最小值，由点到直线的距离可得，当AD⊥BC时，AD最小，∵S△ABC=12×BC×AD=12×3×AD=12，∴AD=8，∴DE+EF+DF=8，∴△DEF的周长的最小值是8．12．（2023·广东广州·统考二模）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，且EA=EC=ED．（1）如图1，当∠BAC=35°时，则∠AED=_________；（2）如图2，当∠BAC=60°时，①连接AD，判断△AED的形状，并证明；②直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，判断PE、PD与AB之间的数量关系，并证明．【思路点拨】（1）根据∠BAC=35°，∠B=90°即可得到∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠BAC=125°，根据EA=EC=ED得到∠ACE=∠EAC，∠EDC=∠ECD，结合三角形内角和定理即可得到答案；（2）①根据（1）得到∠AED，即可得到答案；②作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′，当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，利用全等三角形的性质证明ED′=AC，即可得到答案；【解题过程】（1）解：∵∠BAC=35°，∠B=90°，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠BAC=125°，∵EA=EC=ED，∴∠ACE=∠EAC，∠EDC=∠ECD，∴∠AEC=180°−2∠ACE，∠DEC=180°−2∠DCE，∴∠AED=AEC+∠DEC=360°−2∠ACE−2∠DCE=360°−2×125°=110°，故答案为：110°；（2）解：①∵∠BAC=60°，∠B=90°，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠B+∠BAC=150°，∵EA=EC=ED，∴∠ACE=∠EAC，∠EDC=∠ECD，∴∠AEC=180°−2∠ACE，∠DEC=180°−2∠DCE，∴∠AED=AEC+∠DEC=360°−2∠ACE−2∠DCE=360°−2×150°=60°，∵EA=ED，∴△AED是等边三角形；②PE−PD=2AB，证明如下，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′，，根据三角形任意两边之和大于第三边可得，当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，∵D关于直线CF的对称点D′，∴PD=PD′，CD=CD′，∴PE−PD=ED′，∵∠AED=60°，∠CFD=∠CAE，∴∠ACF=360°−60°−180°=120°，∵∠ACD=150°，∴∠FCD=30°，∴∠D′CD=60°，∴∠D′CE=∠DCE−60°∵△AED是等边三角形，∴∠CDA=∠CDE−60°，∴∠CDA=∠D′CE，又∵CD=CD′，EC=ED，∴△CDA≌△D′CE(SAS)，∴AC=ED′，∵∠BAC=60°，∠B=90°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴PE−PD=2AB．13．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．（1）当∠CAB=60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是：，BE与AE的数量关系是：；（2）当∠CAB是锐角(∠CAB≠60°)时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．【思路点拨】（1）根据轴对称的性质，得出∠B=30°，∠ACE=90°−∠CAB=30°=∠ADE，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD =2AE ，AC =12AB ，进而得出BE =3AE ；（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：∵ ∠CAB =2∠B ，点D 与点C 关于直线AB 对称，∠CAB =60°∴ CD ⊥AB ，∠ACE =90°−∠CAB =30°=∠ADE ，∠B =30°，则∠ACB =90°∴ AD =2AE ，AC =12AB ，∴AE =12AC =14AB ，EB =AB−AE =34AB ，∴BE =3AE ．故答案为：AD =2AE ；BE =3AE ．（2）选择图2时．①补全图形如图2，图2②数量关系：AD =BE−AE ．证明：在EB 上取点F ，使FE =AE ，连接CF ．∵点C 与点D 关于直线AB 对称，∴CD ⊥AB ，CE =DE ．∴AD =AC ，AC =FC ．．∴AD =FC ， ∠CFA =∠CAB ．∵∠CAB=2∠B，∴∠CFA=2∠B．∵∠CFA=∠B+∠BCF，∴∠BCF=∠B．∴FC=FB．∴FB=AD．∵FB=BE−EF，∴AD=BE−AE．选择图3时．①补全图形如图3，图3-②数量关系：AD=BE+AE．证明：在BE的延长线上取点F，使FE=AE，连接FC．∵点C与点D关于直线AB对称，∴CD⊥AB，CE=DE．∴AD=AC，AC=FC．∴AD=FC，∠CFA=∠CAF．∵∠CAF+∠BAC=180°，∴∠CFA+∠BAC=180°．∵∠BAC=2∠B，∴∠CFA+2∠B=180°．∵∠CFA+∠B+∠BCF=180°，∴∠BCF=∠B．∴FC=FB．∴FB=AD．∵FB=BE+FE，∴AD=BE+AE．14．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D 是直线BC上一点，点 C 关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．（1）如图1，点 D 在线段BC上，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；（2）如果∠α=60°，①如图2，当点D 在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；②如图3，当点D 在线段CB的延长线上时，补全图形，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．【思路点拨】（1）连接AE、CE，由轴对称的性质可得AE=AC，EF=FC，∠EAD=∠CAD，设∠EAD=∠CAD=x，则∠CAE=2x，由等腰三角形的性质可得出结论；（2）①延长FB至点G，使FG=FA，连接AG，证明△AFG为等边三角形，由等边三角形的性质得出AG=AF，∠GAF=60°，证明△ABG≅△ACF，由全等三角形的性质得出BG=CF，即可得出结论；②在BE上取点G，使得FG=FA，连接AG，证明△AGE≅△AFB，由全等三角形的性质得出BF=EG，即可得出结论．【解题过程】（1）解：连接AE、CE，∵点E为点C关于AD的对称点，∴AE=AC，EF=FC，∠EAD=∠CAD，设∠EAD=∠CAD=x，则∠CAE=2x，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=α,∴∠BAE=180°−2x−2α，∴∠ABE+∠AEB=2x+2α，∵AE=AB，∴∠ABE=AEB=x+α，∴∠AFB=∠AEB−∠EAD=α；（2）解：①AF=BF+CF，延长FB至点G，使FG=FA，连接AG，∵AB=AC，∴∠ABC=α=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BAC=60°，由（1）知，∠AFB=α=60°，∴△AFG 为等边三角形，∴AG =AF ，∠GAF =60°，∴∠GAB =∠FAC ，在△ABG 和△ACF 中，AG =AF ∠GAB =∠FAC AB =AC，∴△ABG≅△ACF (SAS )，∴BG =CF ，∴CF +BF =BG +BF =GF ，∵GF =AF ，∴AF =BF +CF ；②CF =AF +BF ，连接AE ，∵点E 为点C 关于AD 的对称点，∴AE =AC ，EF =FC ，∠EAD =∠CAD ，设∠EAD =∠CAD =x ，则∠CAE =2x ，∵AB =AC =AE ，∴∠ACB =∠ABC =∠BAC =60°，∴∠DAB =x−60°，∴∠EAB =x +x−60°=2x−60°，∵AE =AB ，∴∠ABE =∠AEB =180°−2x 60°2=120°−x ，∴∠AFE =∠DAB +∠ABE =x−60°+120°−x =60°，在BE 上取点G ，使得FG =FA ，连接AG ，∴△AFG为等边三角形，∴AG =AF ，∠GAF =60°，∴∠GAE =∠FAB =x−60°，在△AGE 和△AFB 中，AG =AF ∠GAE =∠FAB AE =AB， ∴△AGE≅△AFB (SAS )，∴BF =EG ，∴EF =EG +FG =BF +AF ，∴CF =EF =BF +AF ．15．（2023·全国·八年级专题练习）在直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，将△DEA 沿DE 翻折，得到△DEF ．（1）如图①，若∠CED =70°，则∠CEF =______°；（2）如图②，∠BDF 的平分线交线段BC 于点G .若∠CED =∠BDG ，求证BC ∥DF ．（3）已知∠A =α，∠BDF 的平分线交直线BC 于点G .当△DEF 的其中一条边与BC 平行时，直接写出∠BGD 的度数（可用含α的式表示）．【思路点拨】（1）先求出∠AED=180°−∠CED=110°，再利用翻折即可得出答案；（2）根据角平分线的定义得出∠FDG=∠BDG，设∠FDG=∠BDG=β，则∠ADF=180°−2β，根据翻折得出∠ADE=∠FDE=90°−β，再求出∠EMD=180°−(∠EDF+∠DEC)=90°，即可得出结论；（3）分情况：①当ED∥BC，②当DF∥BC，③当EF∥BC，④当DF∥BC时，DF在AB的下方，⑤当EF∥BC 时，F在AB的下方，分别求解即可．【解题过程】（1）解：∵∠CED=70°，∴∠AED=180°−∠CED=110°，∵翻折，∴∠AED=∠DEF=110°，∴∠CEF=∠FED−∠CED=110°−70°=40°，故答案为：40；（2）解：∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠FDG=∠BDG，∵∠CED=∠BDG，设∠FDG=∠BDG=β，∴∠ADF=180°−∠BDF=180°−2β，∵翻折，∠ADF=90°−β，∴∠ADE=∠FDE=12∴∠EDF+∠DEC=90°−β+β=90°，∴∠EMD=180°−(∠EDF+∠DEC)=90°，∵∠C=90°，∴BC∥DF；（3）解：①当ED∥BC，如图①所示：∴∠1=∠C=90°，∵∠A=α，∴∠2=180°−∠2−∠A=90°−α，∵翻折，∴∠3=∠2=90°−α，∴∠FDB=180°−∠2−∠3=2α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∠BDF=α，∴∠4=12∵∠B=90°−α，∴∠BGD=180°−∠B−∠4=90°；②当DF∥BC，如图②所示：∴∠1=∠C =90°，∴∠ADF =180°−∠1−∠A =90°−α，∴∠FDB =180°−∠ADF =90°+α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠2=12∠BDF =45°+12α，∵∠B =90°−α，∴∠BGD =180°−∠B−∠2=45°+12α；③当EF ∥BC ，如图③所示：∴∠1=∠C =90°，∵翻折，∠F =∠A =α，∴∠2=∠1+∠F =90°+α，∴∠FDB =∠A +∠2=90°+2α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠GDB =12∠BDF =45°+α，∵∠B =90°−α，∴∠BGD =180°−∠B−∠GDB =45°；④当DF ∥BC 时，DF 在AB 的下方，如图④所示：∴∠FDB =∠A =90°−α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠GDB =12∠BDF =45°−12α，∴∠BGD =∠1−∠GDB =45°−12α；⑤当EF ∥BC 时，F 在AB 的下方，如图⑤所示：∴∠1=∠2=90°−α，∵翻折，∠F =∠A =α，∴∠FDB =∠1−∠F =90°−2α，∵∠BDF 的平分线交线段BC 于点G ，∴∠GDB =12∠BDF =45°−α，∴∠BGD =∠2−∠GDB =45°；综上所述，∠BGD =90°或∠BGD =45°+12α或∠BGD =45°或∠BGD =45°−12α．16．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC 中，过点A 在AB 边的右侧作射线AP ，∠BAP ＝α (30°＜α＜90°)，点B 与点E 关于直线AP 对称，连接AE ，BE ，且BE 交射线AP 于点D ，过C 、E 两点作直线交射线AP 于点F ．（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；（2）在α变换过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围，如果不变化，求∠AFE的大小；（3）在α变化过程中，直接写出线段AF，CF，DF之间的数量关系．【思路点拨】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，根据轴对称的性质得到BD=DE，BE ⊥AP，求得AB=BC=AC=AE，得到∠AEC=∠ACE=180°−∠CAE；2（1）当∠BAP＝α＝40°时，如图1．得到∠BAD＝∠EAD＝40°，求得∠CAE＝∠BAD+∠EAD−∠BAC＝20°，于是得到∠AEC＝∠ACE＝80°；（2）①当30°<α≤90°时，60°<2α≤180°，D，F在射线AP上，如图1．得到∠BAD=∠EAD=α，求得∠CAE=∠BAD+∠EAD−∠BAC＝2α−60°，于是得到∠AFE=180°−∠AEC−∠EAD=60°；②当90°<α<120°时，180°<2α<240°，D，F在点A的两侧，如图2．根据轴对称的性质得到BD=DE，BE⊥AP，求得∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，根据等边三角形的性质得到∠EAP=∠BAP=α，AB=AC，求得∠CAE=2α−60°，于是得到∠AFE=180°−∠AEC−∠EAP=60°；（3）连接BF，在FA上截取FH=FC，连接CH．由（2）知∠AFE=60°，根据等边三角形的性质得到∠HFC=∠FHC=∠HCF=60°，HF=FC=HC，根据线段垂直平分线的性质得到BF=EF，∠FDE=90°，于是得到EF=2DF =BF；①当30°<α≤60°时，如图3．根据全等三角形的性质得到AH＝BF．求得AF=AH+HF=2DF+CF；②当60°<α<120°时，如图4．得到∠ACB+∠ACF+∠HCF+∠ACF，根据全等三角形的性质得到AH=BF．求得AF=AH−HF=2DF−CF．【解题过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB＝BC＝AC，∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，∴BD=DE，BE⊥AP，∴AB=AE，∠BAD=∠EAD，∴AB=BC=AC=AE，∴∠AEC=∠ACE=180°−∠CAE；2当∠BAP=α=40°时，如图1．∴∠BAD=∠EAD=40°，∴∠CAE=∠BAD+∠EAD−∠BAC=20°，∴∠AEC=∠ACE=80°；（2）当30°<α≤90°时，60°<2α≤180°，D，F在射线AP上，如图1．∴∠BAD=∠EAD=α，∴∠CAE=∠BAD+∠EAD−∠BAC=2α−60°，∴∠AEC=∠ACE=120°−α，∴∠AFE=180°−∠AEC−∠EAD=60°；当90°<α<120°时，180°<2α<240°，D，F在点A的两侧，如图2．∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，∴BD=DE，BE⊥AP，∴∠BAD=∠EAD，AB=AE，∵等边△ABC，∠BAP=α，∴∠EAP=∠BAP＝α，AB=AC，∴∠CAE=2α−60°，∴∠AEC=∠ACE=120°−α，∴∠AFE=180°−∠AEC−∠EAP=60°；∴综上所述，当30°<α<120°时，∠AFE＝60°；（3）①当30°<α≤60°时，AF=2DF+CF，②当60°<α≤90°时，AF=2DF−CF，理由如下：连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH．由（2）知∠AFE＝60°，∴△HFC是等边三角形，∴∠HFC=∠FHC=∠HCF=60°，HF=FC=HC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，BC=AC．∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D，∴AP为BE中垂线，∴BF=EF，∠FDE=90°，又有∠AFE=60°，∴∠DEF=90°−∠AFE=30°，∴EF=2DF=BF；①当30°<α≤60°时，如图3．∴∠ACB−∠HCB=∠HCF−∠HCB，∴∠ACH=∠BCF，∴△ACH≌△BCF(SAS)，∴AH=BF．∴AH=BF=EF=2DF，∴AF=AH+HF=2DF+CF；②当60°<α<120°时，如图4．∴∠ACB+∠ACF=∠HCF+∠ACF，∴∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH(SAS)，∴AH=BF．∴AH=BF=EF=2DF，∴AF=AH−HF=2DF−CF，综上所述，①当30°<α≤60°时，AF=2DF+CF，②当60°<α≤90°时，AF=2DF−CF．17．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图①，在△ABD中，∠ABD=90°，∠A=60°，AB=2cm，以BD为直角边在BD的上方作直角三角形BCD，使∠BDC=90°，且BC∥AD，点E是AD的中点，点P从点A出发，沿折线AB−BC以1cm/s的速度向终点C运动，连接PE，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）用含t的式子表示PB的长；（3）当PE 将四边形ABCD 的周长分成2:3两部分时，求t 的值；（4）如图②，在点P 运动的过程中，作点A 关于直线PE 的对称点A ′，连接A ′E ，当A ′E 所在直线与四边形ABCD 的边垂直时，请直接写出∠AEP 的度数．【思路点拨】（1）易证∠ABD =∠CDB ，再由平行线的性质得到∠ADB =∠CBD ，然后由ASA 得到△ABD≌△CDB 即可；（2）先由含30°角直角三角形的性质得AD =2AB =2×2=4cm ，当点P 在AB 上运动时，则PB =(2−t )cm ，当点P 在BC 上运动时，PB =(t−2)cm ；（3）先求出四边形ABCD 的周长为12cm ，AE =12AD =12×4=2cm ，再由PE 将四边形ABCD 的周长分成2：3两部分可列方程2+t =12×25或2+t =12×35，即可求解；（4）先证∠AEP =∠A ′EP =12∠AEA ′，再分四种情况讨论：当A ′E ⊥AB ，且点P 在AB 上时；当A ′E ⊥AD ，且点P 在AB 上时；当A ′E ⊥AB ，且点P 在BC 上时；当A ′E ⊥AD ，且点P 在BC 上时；分别求出相应的∠AEP 的度数即可．【解题过程】（1）证明：∵∠ABD =90°，∠BDC =90°，∴∠ABD =∠CDB ，∵BC∥AD ，∴∠ADB =∠CBD ，在△ABD 和△CDB 中，∠ABD =∠CDB BD =BD ∠ADB =∠CBD，∴△ABD≌△CDB （ASA ）；（2）解：∵∠ABD =90°，∠A =60°，∴∠ADB =90°−60°=30°，∴AB =12AD ，∴AD =2AB =2×2=4（cm ），∵△ABD≌△CDB ，∴BC =AD =4cm ，∴AB +BC =2+4=6（cm ），∴当0≤t ≤2时，PB =(2−t )cm ；当2＜t ≤6时，PB =(t−2)cm ；（3）解：∵△ABD≌△CDB ，∴CD =AB =2cm ，∴AB +CB +CD +AD =2×2+4×2=12（cm ），∵E 为AD 的中点，∴AE =12AD =12×4=2（cm ），∵PE 将四边形ABCD 的周长分成2:3两部分，∴2+t =12×25或2+t =12×35，解得：t =145或t =265；（4）解：∵点A ′与点A 关于直线PE 成轴对称，∴点P 、点E 都在对称轴上，∴△PA ′E 与△PAE 关于直线PE 成轴对称，∴∠AEP =∠A ′EP =12∠AEA ′，当A ′E ⊥AB ，且点P 在AB 上时，如图②所示：∵∠A =60°，∴∠AEA ′=30°，∴∠AEP =12×30°=15°；当A ′E ⊥AD ，且点P 在AB 上时，如图③所示：∵∠AEA ′=90°，∴∠AEP=1×90°=45°；2当A′E⊥AB，且点P在BC上时，如图④所示：延长A′E交AB于点F，则∠AFE=90°，∵∠BAD=60°，∴∠AEF=30°，∴∠AEA′=180°−30°=150°，×(360°−150°)=105°，∴∠AEP=12当A′E⊥AD，且点P在BC上时，如图⑤所示：∵∠AEA′=90°，×(360°−90°)=135°，∴∠AEP=12综上所述，∠AEP的度数为15°或45°或105°或135°．18．（2023秋·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，连结CD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E．（1）如图1，若∠BCE=2∠DBE，BE=4，求△ABC的面积；（2）如图2，延长EB到点F使EF=CE，分别连结CF，AF，AF交EC于点G．求证：BF=2EG．（3）如图3，若AC=AD，点M是直线AC上的一个动点，连结MD，将线段MD绕点D顺时针方向旋转90°得到线段M′D，点P是AC边上一点，AP=3PC，Q是线段CD上的一个动点，连结PQ，QM′．当PQ+QM′的值最小时，请直接写出∠PQM′的度数．【思路点拨】（1）过点C作CF⊥AB于点F，利用8字型图，得到∠DCF=∠DBE，易得∠BCE=30°，从而得到AC=BC=2BE=8，再利用面积公式进行计算即可；（2）延长FE到T，使ET=EF，连接AT和CT，证明△ACT≌△BCF(SAS)，得到AT=BF，连接TG，推出△AGT 是等腰三角形，过点G作GM⊥AT，得到AT=2MT，根据平行线间距离处处相等，得到MT=EG，从而得到AT=2GE，即可得证；（3）过点D作DE⊥AB交AC的延长线于点E，作点P关于CD的对称点P′，连接AM′,CP′,QP′,P′M′，证明△MDE≌△M′DA(SAS)，推出点M在直线AC上运动时，点M′在过点A且垂直于AC的直线上运动，根据轴对称和三角形的三边关系以及垂线段最短，得到P′Q＋QM′≥P′M′，得到P′,Q,M′三点共线时，且P′M′⊥AM′时，PQ+QM′有最小值，根据P′M′⊥BC，P′M′∥AC，求出∠CP′M′=45°，证明PQ∥CP′，进而得到∠PQM′=∠C P′M′，即可得出结论．【解题过程】（1）如图1，过点C作CF⊥AB于点F，∵∠ACB=90°,AC=BC，∴∠ABC=∠A=45°，∵CF⊥AB,BE⊥CD，∴∠CFD=∠E=90°，∠BCF=45°，∵∠CDF=∠BDE，∵∠DCF=180°−∠CFD−∠FDC,∠DBE=180°−∠BED−∠BDE，∴∠DCF=∠DBE，∵∠BCE=2∠DBE，∠BCE+∠DCF=∠BCF=45°，。
轴对称之将军饮马模型练习及其答案
轴对称之将军饮马模型基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.模型归纳【典例1】如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB 值最小的是（）A．B．C．D．【变式1】如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C．D．【典例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【变式2-1】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【变式2-2】如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）A．4B．6C．7D．10【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．C．3.5D．【典例3】如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【变式3-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．4D．2【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【典例4】如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【变式4-1】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【变式4-2】如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【典例5】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【变式5-1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【变式5-2】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【变式6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小.随堂练习1．如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．2．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．3．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5B．3C．D．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15B．30C．45D．606．如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN 的周长最小时，∠MAN的度数为（）A．72°B．36°C．108°D．38°8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4B．5C．6D．79．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F 点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．611．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（）A．12B．9C．6D．312.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是°．13.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是．14.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是．15.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是边BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF点的度数为．答案及其解析【典例1】如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB 值最小的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．故选：D．【变式1】如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，由对称性可知AP＝A'P，∴P A+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，故选：B．【典例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【答案】B【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，＝•AB•CE＝•AC•BC，∴S△ABC∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故选：B．【变式2-1】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，∴点F′在AC上，∵BE+EF＝BE+EF′，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH 的长．在Rt△ACD中，AC＝5，∵•BC•AD＝•AC•BH，∴BH＝，∴BE+EF的最小值为，故选：C【变式2-2】如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，点F为直线l上任意一点，AC＝3，CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）A．4B．6C．7D．10【答案】C【解答】解：∵直线l垂直平分AB，∴A，B关于直线l为对称，∴F与D点重合时，AF+CF最小，最小值是BC＝4，∴△ACF周长的最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝3+4＝7，故选：C．【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．C．3.5D．【答案】A【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，∴PN+PM＝PN+PM'，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，∴PM+PN的最小值为3，故选：A．【典例3】如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】D【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D【变式3-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．4D．2【答案】B【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∴S△ABC∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，连接AM，则CM+DM＝AM+DM≥AD，∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小，∴AD的长为CM+MD的最小值．故选：B．【变式3-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，∴点A与点C关于EF对称．连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，∴AD⊥BC．＝16，BC＝4，∵S△ABC∴AD＝＝＝8．∵MA＝MC，∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．故选：D【典例4】如图，已知∠AOB的大小为30°，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝1，点E、F分别是OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【答案】D【解答】解：作P点关于OA的对称点P'，作P点关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于点E、交BO于点F，连接OP'、OP''，由对称性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，此时△PEF周长最小，∵PO＝OP'，OP＝OP''，∴OP'＝OP''，∵∠AOB＝30°，∴∠P'OP''＝60°，∴△OP'P''是等边三角形，∵OP＝1，∴P'P''＝1，故选：D．【变式4-1】如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【答案】B【解答】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD＝OP，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，故选：B．【变式4-2】如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【答案】C【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点.∴△P AB即为所求的三角形，根据对称性知道：∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，而∠MON＝50°，∴∠P1OP2＝100°，∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，∴∠APB＝2×40°＝80°．故选：C．【典例5】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【答案】C【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠F AN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．【变式5-1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【答案】C【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．故选：C．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【答案】B【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故选：B．【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，∴B1的坐标（3，﹣2）；＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；（2）S△ABC（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于P，则点P即为所求．【变式6】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，并写出B1的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小.【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．从图象看，B1点的坐标是（﹣3，2）．（2）A点关于x轴的对称点A′坐标为（4，﹣4），连接A'B交x轴于P点，则PA+PB＝PA'+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，随堂练习1．如图，点M，N在直线L的同侧，小东同学想通过作图在直线L上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：先作点M关于直线l的对称点，再连接连接N和对称点交l于点Q，则MQ +NQ ＝M ′Q +NQ ＝M ′N ，由“两点之间，线段最短”可知，点Q 即为所求的点，故选：C ．2．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P ，现有如下四种方案，则核酸采集点P 到A 、B 两个小区之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．【答案】B 【解答】解：作点A 关于直线m 的对称点A '，连接A 'B 交直线m 于P ，根据两点之间线段最短，可知选项B 中的核酸采集点P 到A 、B 两个小区之间的距离之和最短．故选：B ．3．如图，∠AOB 内一点P ，P 1，P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长是5cm ，则P 1P 2的长为（）A．3cmB．4cm C．5cm D．6cm【答案】C 【解答】解：∵P 点关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，∴PM ＝P 1M ，PN ＝P 2N ，∴△PMN 的周长＝PM +MN +PN ＝P 1M +MN +P 2N ＝P 1P 2，∵△PMN 的周长是5cm ，∴P 1P 2＝5cm ．故选：C4．已知∠AOB ＝30°，在∠AOB 内有一定点P ，点M ，N 分别是OA ，OB 上的动点，若△PMN 的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5B．3C．D．【答案】B【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∴∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝OP，∵△PMN周长的最小值是3cm，∴PM+PN+MN＝3cm，∴DM+CN+MN＝3cm，即CD＝3cm＝OP，故选：B．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A．15B．30C．45D．60【答案】B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN＝6，∴DM+CN+MN＝6，即CD＝6＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°，故选：B．6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α【答案】D【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵∠C＝α°，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＝180°﹣α°，∴∠AA′E+∠A″＝α°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝α°，∴∠EAF＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°．故选：D．7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（）A．72°B．36°C．108°D．38°【答案】B【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝108°，∴∠HAA′＝72°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°，∴∠MAN＝36°，故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解答】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP＝PC．∴PA+BP＝AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．故选：A．9．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，AF＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ECF＝30°．故选：C．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F 点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【答案】B【解答】解：连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∴S∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AM＝CM，当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故选：B．11．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（）A．12B．9C．6D．3【答案】C【解答】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF＝AD＝6，即EP+CP的最小值为6，故选：C12.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是°．【答案】100【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故答案为：100．13.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是．【答案】6【解答】解作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；在△OP'P''中，OP'＝OP''，∠AOB＝30°，∴∠P'OP''＝60°，∵OP＝6，∴P'P''＝6；故答案为6；14.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是．【答案】128°【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，∴AM＝EM，AN＝NF，∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，∵∠BAD＝116°，∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，故答案为：128°．15.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是边BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF点的度数为．【答案】80°【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故答案为80°．。
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轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习一、两定点一动点1、答案：D分析：解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB’，又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．2、答案：B分析：解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴，∴PD=AP，当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上，此时∠PCD=45°．3、答案：C分析：解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵D、E分别是边BC，AC的中点，∴P为等边△ABC的重心，∴BE⊥AC，∴∠PCE=12∠ACB=12×60°=30°，∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，选C．4、答案：作图见解答．分析：解答：如图所示：5、答案：作图见解答．分析：解答：所作图形如图所示：6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．（3）P（0，4）．分析：解答：（1）（2）（3）过点A作AM⊥x轴于M，∵A（2，6），∴M（2，0），AM=6，又∵B（4，0），∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0），∴B’M=6=AM，∴△AB’M为等腰直角三角形，∴∠P’BO=45°，∴△P’BO也为等腰直角三角形，∴B’O=PO=4，∴P（0，4）．7、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．分析：解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．（2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周长最小．8、答案：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）3.5．分析：解答：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）S△AOB=3×3-12×1×2-12×2×3-12×1×3=9-1-3-1.5=9-5.5=3.5．二、一定点两动点9、答案：D分析：解答：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周长的最小值=P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2M=∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，选D．10、答案：B分析：解答：分别作点P关于OB，OA对称点C、D，连CD，分别交OA、OB于点M、N，连OC、OD、PM、PN、MN，∴PM=DM，OP=OD，∠COB=∠POB，∠DOA=∠POA，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD为等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．11、答案：D分析：解答：如图，作点D关于直线AB的对称点G，作点D关于直线BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，则此时△DEF的周长最小，∵∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC=360°，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=α∴∠ADC=360°-∠DAB-∠DCB-∠ABC=180°-α，∴∠G+∠H=180°-∠ADC=α，∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE+∠CDF）=180°-2α．选D．12、答案：18分析：解答：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm．13、答案：20分析：解答：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20．14、答案：15；100分析：解答：连接OP，OP1，OP2，PP1，PP2．由对称可知，MP1=MP，NP=NP2，∴△PMN的周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=15．由对称可知，∠OPM=∠OP1M，∠OPN=∠OP2N，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=180°-2∠AOB=100°．15、答案：6分析：解答：连AD，过A作AN⊥BC于N，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴DB+DM=AD+DM，在△ADM中，AD+DM＞AM，∴（AD+DM）min=AM，又M为BC上动点，∴当AM⊥BC时最小，即为AN，∵S△ABC=12cm2，BC=4cm，∴AN=2×12÷4=6cm．16、答案：2α分析：解答：过P的作关于OB的对称点P’，作P’C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD’，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P’C最短．∵∠PDB=P’DB，∠CDO=∠P’DB，∴∠CDO=∠PDB，∵P’C⊥OA，∠AOB=α，∴∠CDO=90°-α，∴∠PDC=180°-2（90°-α）=2α．17、答案：50°分析：解答：作A关于BC的对称点为E，作A关于CD的对称点F，连接EF交BC，CD于点M，N．此时AMN的周长就是最小的时候．设∠NAD=∠F=α，∠E=∠BAM=β，∵∠B=∠D=90°，∠C=65°，∴∠BAD=α+β+∠MAN=115°．∵2α+2β+∠MAN=180°，∴α+β=65°．∴∠MAN=∠BAD-（α+β）=50°．18、答案：4分析：解答：作D关于BA，BC的对称点E，F．连接BE，BF．则当M，N是CD与BA，BC的交点时，△MND的周长最短，最短的值是EF的长．连接BE、BF，∵D、E关于BA对称，BE=BD，∴∠ABE=∠ABD，同理，∠FBC=∠DBC，BF=BD，∴∠EBF=2∠ABC=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形．∴EF=BE=BD=4．故答案是：4．19、答案：4分析：解答：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为20，AB=10，∴12×10×CE=20，∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故答案为4．20、答案：3分析：解答：如图：CM即为最短距离．∠BAC=30°，CM⊥AB，AC=2CM=6，CM=3．21、答案：5分析：解答：如图，作N关于AD的对称点N’，连接MN’，作BN’’⊥AC于N’’，交AD于M’．∵BM+MN=BM+MN’≤BN’’，∴当M与M’，N与N’’重合时，BN’’最小，∵S△ABC=12·AC·BN’’=15，AC=6，∴解得BN’’=5，∴BM+MN的最小值为5．22分析：解答：如图所示，易得CM+MN．∴可得CM+MN．23、答案：（1）如图所示：（2）△ABC是直角三角形．分析：解答：（1）如图所示：（2）△ABC是直角三角形，理由如下：由（1）可知：AA’⊥OM，AA’’⊥ON，AB=A’B，AC=A’’C，∴∠A’=∠BAA’，∠A’’=∠CAA’’，∴∠A’AA’’=360°-90°-90°-∠MON=135°，∴∠BAA’+∠CAA’’=∠A’’+∠A’=180°-∠A’AA’’=45°，∠BAC=∠A’AA’’-（∠BAA’+∠CAA’’）=90°，∴△ABC是直角三角形．24、答案：△PQR周长的最小值为PO=8．分析：解答：作P点关于OA，OB的对称点P1、P2，利用轴对称的知识，证明OP=OP1=OP2，且∠P1OP2=60°，得到等边三角形OP1P2，∴△PQR周长的最小值为PO=8．25、答案：作图见解答．分析：解答：如图所示：作法：①作点C关于直线AO的对称点点D，②作点C关于直线BO的对称点点E，③连接DE分别交直线AO，BO于点M，N，则CM+MN+CN最短．26、答案：4.8．分析：解答：如图，作PQ⊥AC于点Q，PE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PE，要使PC+PQ最小，即使PC+PE最小，∴当C、P、E共线且CE⊥AB时PC+PE最小，这时PC+PQ=PC+PE=8610=4.8．。