计算方法与实习(第五版)期末复习资料
计算方法与实习答案
计算方法与实习答案【篇一：《基础会计学习指导、习题与实训》答案】名词解释1．会计：是以货币为主要计量单位，以凭证为依据，运用专门的技术方法，对一定主体的经济活动进行连续、系统、全面的核算与监督，以提高经济效益为目标，向有关方面提供会计信息的一种经济管理活动。
2．会计职能：是指会计在经济管理中所具有的功能，即会计在经济管理中能发挥什么作用。
3．会计核算职能：是指以货币为主要计量单位，对企事业单位一定时期的经济活动进行真实、连续、系统、完整的记录、计量和报告。
4．会计监督职能：是指依据监督标准，利用会计核算所提供的会计信息对各单位的经济活动全过程的合法性、合理性和有效性进行的指导、控制和检查。
5．会计对象：是指会计所要核算和监督的内容，即会计工作的内容。
6．会计要素：是对会计对象按经济特性所做的基本分类，是会计对象的具体内容。
7．资产：是指企业过去的交易或者事项形成的、由企业拥有或者控制的、预期会给企业带来未来经济利益的资源。
8．负债：是指企业过去的交易或者事项形成的、预期会导致经济利益流出企业的现时义务。
9．所有者权益：是指企业资产扣除负债后由所有者享有的剩余权益，包括实收资本、资本公积、盈余公积和未分配利润。
10．收入：是指企业在日常活动中形成的、会导致所有者权益增加的、与所有者投入资本无关的经济利益的总流入，包括销售商品收入、劳务收入、利息收入等。
11．费用：是指企业在日常活动中发生的、会导致所有者权益减少的、与向所有者分配利润无关的经济利益的总流出。
12．利润：是指企业在一定会计期间的经营成果，包括收入减去费用后的净额、直接计入当期利润的利得和损失等。
13．会计方法：是为实现会计核算、进行会计管理和完成会计任务所采用的手段。
14．会计核算方法：是对单位已经发生的经济活动进行连续、系统、全面的核算所采用的方法，包括设置账户、复式记账、审核和填制会计凭证、登记账簿、成本计算、财产清查和编制财务会计报告。
计算方法复习
第1章 绪论
§2 对分法（二分法）
2、基本思想（步骤） 取 a0=a ,b0=b (隔根) ，
《 计算其中点，x0=1/2 (a0+b0) 计 如果f(x )=0,则根x*为x 计算结束 0 0， 算 方 如果f(x0) ≠ 0，计算f(a)与f(x0), 法 若 f(a)· f(x0)＜0 》
则根x*∈(a,x0),令 a1=a,b1=x0
则对于充分靠近x*的初始值x0，迭代过程是收敛的（局部收敛
《 性），且 计 算 方 ( 1 ) 当Φ’(x*) ≠0 ，迭代过程为线性收敛； 法 》 （2）当Φ’(x*) =0 ，Φ”(x*) ≠0 ，迭代过程为平方收敛。
( k = 1, 2, … )
第1章 绪论
由上面的定理知：
（1）迭代过程是一个求极限的过程，实际计算不能无限次计
k+1 k 《 计 时，取xk+1 作为根的近似值； 算 方 法 （2）由于给定x0后，x1=φ(x0)就确定了，则|x1-x0|为一定值，由 》
算 ，可按事先给定的误差ε，当相邻两次迭代的差|x
其生成一个迭代数列，来逼近方程的根。
《 计 一、迭代格式 算 方 法 考察方程f(x)=0,将f(x)=0改写为下列等价形式 》
x=φ(x)
并可以做出下列的迭代格式 xk+1= φ(xk) k=0,1,2……, (2-7) 则Φ(x) 称为迭代函数
第1章 绪论
从给定的初始近似根x0出发,按迭代公式(2-7)可以得到一个
《 计 算 方 法 》
绝对误差限 相对误差限
有效数字
相对误差
第1章 绪论
若X *的相对误差限满足
《 计 算 方 法 》
则x*至少有n位有效数字。 相对误差限 有效数字位数
计算方法复习资料
2x2 1 1 x ， （B） y ； (1 2 x)(1 x) 1 2x 1 x
2 x( x 1 1 x ) x x
， （B） y
（2）已知 x 1 ， （A） y
x
1 1 x ； x x
2sin 2 x 1 cos 2 x （3）已知 x 1 ， （A） y ， （B） y ； x x
2
敛。 （C） ( x)
1 ，由于当 x 1.3,1.6 时，有 x 1
1 1 2(1.6 1)
3 2
'( x)
2( x 1)
3 2
1.075828706 1 ，
所以对任意初值 x 1.3,1.6 （原方程的根除外） ， 迭代格式 xk 1 发散。
0
( x 0) ，
所以当 x 1.3,1.6 时，
( x) 1.3,1.6 。
2 3 x (1 x )
2 2 3
又当 x 1.3,1.6 时， '( x)
2 3
1.6 (1 1.3 )
2 2 3
0.552 1 ，
1
由迭代法收敛定理，对任意初值 x 1.3,1.6 ，迭代格式 xk 1 (1 xk ) 3 ，( k 0,1, 2,) 收
3 2
根的简单迭代法 xk 1 ( xk ) 的收敛性，其中 （A） ( x) 1 1/ x ； （B） ( x) 1 x ； （C） ( x)
2 3 2
1 x 1
解：取 1.5 附近区间 1.3,1.6 来考察。 （A） ( x) 1 减，而 (1.3) 1.59171596 ， 因此，当 x 1.3,1.6 时，
计算方法复习要点
． 3．格式是阶的方法，其计算公式为． 4．隐式格式是阶的方法． 5．差分格式是两步法,显式公式．
第四章
1． 迭代法求方程的根时，在重根附近是线性收敛的． 2．迭代是弦截法迭代公式． 3．若迭代收敛于方程的根，且，
而则此迭代是阶收敛的． 4．迭代法求方程的根时，在单根附近是平方收敛的． 5．设迭代函数在方程的根的邻近有连续的二阶导
． 5．消去法是校正技术的应用． 6．若线性方程组按列对角占优或对称正定，则Gauss消去法无需选主元
素． 7．矩阵，为对角元为正的下三角矩阵是为对称正定
矩阵的 充要 条件．
注：仅供参考
引论
1．基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、 松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了，如多项式求值 的秦九韶算法；校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精，如求开方 值的迭代公式；松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精，如求倒数 的迭代算法． 2．由计算公式知，此算法运用了
第二章
1．五个节点的求积公式具有阶精度；而五个节点的 公式具有阶精度．
2．复化梯形求积公式具有阶代数精度． 3．（龙贝格）算法中， ． 4．已知为常数，则求积
公式的代数精度为阶． 5．个节点的公式的代数精度至少为． 6． 算法设计中，运用了松弛技术． 7．复化公式与复化公式之间存在公式. 8．个节点的求积公式具有阶的代数精度．
缩减技术. 3．设计累乘求积算法时，可以运用缩减技术． 4．由计算公式知：此算法运用了缩减技术． 5．开方公式是校正技术的应用．
第一章
1．设为次的插值基函数，为两两互异的 节点，则： ；； ； 若则为次数的插值多项式．
2． ． 3．设、是满足同一插值条件的次、插
《科学与工程计算方法》期末复习提纲
用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主 元？
高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程 组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？
乔列斯基分解与LU分解相比，有什么特点？ 何谓向量范数？给出三种常用的向量范数 何谓矩阵范数？给出三种常用的矩阵范数
第6章 线性方程组的迭代解法
科学与工程计算方法 复习提纲
第1章 科学计算与Matlab
1.1 科学计算的意义 1.2 误差基础知识（了解）
1.2.1 误差的来源 1.2.2 误差度量 1.2.3 有效数字
列出科学计算中的误差的三个来源，并说 出截断误差与舍入误差的区别。
什么是绝对误差与相对误差？什么是近似 数的有效数字？它与绝对误差和相对误差 有何关系？
7.1 非线性方程求根的基本问题 （了解） 7.2 二分法 (掌握） 7.3 不动点迭代方法 （应用） 7.5 牛顿法 （应用） 7.6 割线法 （应用）
什么是不动点迭代法？不动点迭代法的收 敛条件是什么？
什么是牛顿迭代法？什么是割线法？
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算
8.1 前言 （了解） 8.2 幂方法 （掌握）
8.2.1 乘幂法 8.2.2 反幂法
什么是乘幂法？它收敛到矩阵A的哪个特征 向量？
什么是反幂法？它收敛到矩阵A的哪个特征 向量？
在乘幂法和反幂法中，为什么每一步要讲 迭代向量规范化？
6.1 范数和条件数 （掌握）
6.1.1 向量范数和矩阵范数 6.1.2 扰动分析和条件数
6.2 基本迭代法 （应用）
6.2.1 雅可比迭代法 2 高斯-赛德尔迭代法
写出求解线性方程组Ax=b的迭代法的一般 形式
写出雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代的迭代 矩阵，它们有什么本质的区别？
数值分析(第五版)计算实习题第五章作业教学资料
>> format compact
>> A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34];
>> b=[1;1;1];
>> [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b),h=det(A),C=cond(A)
输出：
请注意：因为RA=RB，所以方程组有唯一解
ans =
-9.5863 18.3741 -3.2258 3.5240
xX =
10.4661
jxX =
0.9842
Xgxx =
22.7396
xAb =
0.0076
xAbj =
0.0076
Acp =
2.9841e+03
第四题：
（1）输入：
建立m文件:
forn=2:6
a=hilb(n);
pnH(n-1)=cond(a,inf);
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
1.0e+03 *
1.5926
-0.6319
-0.4936
h =
-0.0305
C =
3.0697e+04
(2)输入：
>> A=[3.00 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.990 -4.81 9.34];
>> b=[1;1;1];
>> [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b),h=det(A)
>> r=b-H*X,deltax=X-x
输出：
X =
计算方法第1章复习(05)
第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其确定方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
4．误差传播（一元函数的、二元函数、多元函数误差传播公式） 4．数值计算中应注意的一些问题（算法设计的几个原则）。
三、典型例题分析1．近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或2,3m n ==，m-n=-1，其误差限为 13210211021--⨯=⨯=ε 所以 答案为B. 2．已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
类似地，还可估计e的近似值的有效数字位数。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限：rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε3．已知 ,1415926.3*==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε因为1,3,4m n m n ==--=，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数字，则可直接求出误差限和有效数字。
计算方法总复习
数值分析复习一、期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。
解答题共7个题，分数约占70％。
期末考试主要考核：●基本概念；●基本原理；●基本运算。
必须带简易计算器。
总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%二、考核知识点、复习要求第1章误差(一) 考核知识点●误差的来源类型；●绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；●绝对误差的传播。
(二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
第2章方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。
2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。
3. 熟练掌握牛顿法。
掌握初始值的选择条件。
4. 收敛阶和收敛速度第3章线性方程组的数值解法(一) 考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法，超松弛迭代法；迭代解数列收敛的条件。
(二) 复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。
2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充分条件。
4. Cond(A)的概念和性质第4章函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点●插值函数，插值多项式；●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;●分段线性插值、线性插值基函数●最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。
(二) 复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
计算方法复习资料
复习资料第一章主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。
1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467-+-+--=x x x x x x x p 在2=x 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(-=p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x = ；（2）12.10x = ；（3）12.100x= 。
解：有效数字位数分别为：3，4，53. 下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y xx-=-++，（B ）22(12)(1)xy x x =++；（2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =-（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.3-⨯=<=- π 3个。
,1428.3722 =2722105.0005.0001.0-⨯=<=-π 3个。
计算方法复习资料(学生版)
填空题
2. 试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命 制试题， 四个认知层次在试卷中的所占的比例大致分别为： 识记占 20%、领会占 30% 、简单应用占 30%、综合应用占 20%。 3. 试卷难易度大致可分为 “容易、 中等偏易、 中等偏难、 难” 。 根据课程的特点，每份试卷中，不同难易度试题所占的分 数比例大致依次为易占 30 分、中等偏易占 30 分、中等偏 难占 20 分、难占 20 分。
－2
( k 1) 7. max a ik k i n
8. －2.4
9.
C
k 0
n
(n) k
(n) (n) 1; C k Cn k (或归一性
10. f ( x 0 ) f ( x 0 ) 0 (或 f(x0)与 f(x0)同号)
三、计算题(每小题 15 分，共 60 分) 11. 设直线 y＝a0+a1x，那么 a0,a1 满足的法方程组公式为
h=1, 用梯形公式 7 9 h 6 x 5dx [ f ( x 0 ) f ( x8 ) 2 f ( x k )] (12分) 1 2 k 1 1 [1 7 2(2.646 3.606 4.359 5.000 5.568 6.083 6.557)] 2
2
2、 填空题 (每小题 2 分，共 20 分) 要求：直接将答案填在横线上，不需要写出过程。 范例：向量范数满足的三个性质为非负性, ,三角不等 式性。 解答： 齐次性 3、 改错题（每小题 2 分，共 10 分） 要求：把改正后的正确叙述写出来。 范例：3.141 是 3.14159265... 的四位有效数字。 解答：“四位”改为“三位” 4、简答题（每小题 5 分，共 20 分） 要求：简要答出要点。 范例：何谓龙贝格算法，其优点主要是什么? 解答：将收敛相对缓慢的梯形序列 Tn 通过加工得到迅速收敛的龙 贝格序列即为龙贝格算法。主要优点是精度高，算法简单，计算 量小。 5、 计算题（每小题 10 分，共 20 分）要求：写出主要过程 范例：已给数据表：
计算方法复习要点
注：仅供参考引 论1．基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了，如多项式求值的秦九韶算法；校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精，如求开方值的迭代公式；松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精，如求倒数的迭代算法．2．由计算公式32((()))ax bx cx d ax b x c x d +++=+++知，此算法运用了 缩减技术.3．设计累乘求积1ni i T a ==∏算法时，可以运用缩减技术．4．由计算公式322222(((())))x x x =知：此算法运用了缩减技术．5．开方公式是校正技术的应用．第一章1．设()i x ϕ为n 次的Lagrange 插值基函数，0~i x i n=（）为两两互异的 节点，则：()i x ϕ=0(),0~n j i j j j ix x i n x x =≠-=-∏； 32()x ϕ= 0 ； 0()n i i x ϕ==∑ 1 ； 若0()()()n n i i i P x x f x ϕ==∑则()n P x 为次数n 的插值多项式．2．20ni i y =∆=∑ 10n y y + ∆ - ∆ ．3．设()p x 、()N x 是()f x 满足同一插值条件的n 次lagrange 、Newton 插值多项式，则()p x = ()N x ；若()f x 也是次数不超过n 的代数多项式，则：()p x = ()f x ．4．设()3(1)(2)(3)f x x x x x =---，则差商[0,1,2,3]f = 0 ，[0,1,2,3,4]f = 3 ，[0,1,2,3,4,5]f = 0 ．5．已知32()61f x x x =++，则差商23[1,2,2,2]f = 6 ．6．332,01()1(1)(1)(1)1,132x x s x x a x b x x ⎧ ≤≤⎪=⎨-+-+-+ ≤≤⎪⎩ ，若()s x 是[]0,3上以 0,1,3为节点的三次样条函数，则,a b = 3 = 3 .7．构造插值多项式的三种基本方法是余项校正法、基函数法、待定系数法．第二章1．五个节点的Gauss 求积公式具有 9 阶精度；而五个节点的Newton Cotes -公式具有 5 阶精度．2．复化梯形求积公式具有 1 阶代数精度．3．Romberg （龙贝格）算法中，24133n n n S T T =- ． 4．已知[](1)0()()(),,,n b m i i a i f x dx A f x kf a b k ξξ-==+∈∑⎰为常数，则求积公式0()()n b i i a i f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度为2m - 阶．5．n 个节点的cot Newton es -公式的代数精度至少为1n - ． 6． Romberg 算法设计中，运用了松弛技术．7．复化Cotes 公式与复化Simpson 公式之间存在公式21611515n n n C S S = - .8．n 个节点的Gauss 求积公式具有21n - 阶的代数精度．第三章1．梯形格式111((,)(,))2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++具有 2 阶精度． 2．改进的Euler 格式是 2 阶的方法，其计算公式为11[(,)(,(,))]2n n n n n n n n h y y f x y f x y hf x y ++ =+++ ． 3．Euler 格式是 1 阶的方法，其计算公式为1(,)n n n n y y hf x y + =+ ．4．隐式Euler 格式111(,)n n n n y y hf x y +++=+是 1 阶的方法．5．差分格式112(,)n n n n y y hf x y +-=+是两步法,显式公式．第四章1． Newton 迭代法求方程的根时，在重根附近是线性收敛的．2．迭代010()()()k k k k k x x x x f x f x f x +-=--是弦截法迭代公式． 3．若迭代1()k k x g x +=收敛于方程()x g x =的根*x ，且**()()0g x g x '''==， 而*()0g x '''≠则此迭代是 3 阶收敛的．4．Newton 迭代法求方程的根时，在单根附近是平方收敛的．5．设迭代函数()x ϕ在方程()x x ϕ=的根*x 的邻近有连续的二阶导 数，且*()1x ϕ'<，则1()k k x x ϕ+=在*x 附近，当*()0x ϕ'≠时，是 1阶收敛的；而*()0x ϕ'= ，*()0x ϕ''≠时，是 2 阶收敛的． 6．“设[]1(),0,11x x x ϕ= ∈+，则由于(0)1ϕ'=， 即迭代函数不满足 压缩性条件，所以[]00,1x ∀∈ ，迭代1()k k x x ϕ+=是发散的” 此结 论 不正确 的．7．方程()0f x =求根的迭代111()()()k k k k k k k x x x x f x f x f x -+--=--是快速弦截法。
大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦
武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时用）学院：学号：姓名：得分：一、（10分）已知的三个值（1）求二次拉格朗日插值L2(x)；（2）写出余项R2(x)。
二、（10分）给定求积公式求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。
三、（10分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。
四、（12分）已知方程在[0,0.4]内有唯一根。
迭代格式A：；迭代格式B：试分析这两个迭代格式的收敛性。
五、（12分）设方程组，其中，分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、（12分）已知的一组值2.21.0 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算七、（12分）20XX年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。
为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表20XX年5月2，3，4，5日。
根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。
八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：（取步长）1]。
九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程的根。
（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷1、解：（1）二次拉格朗日插值为（2）余项为2、解：当时，左边=2,右边=2；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=223,右边=3；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=25,右边=29,左边右边；于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。
3、解：而，于是，所以题干中结论成立。
4、解：（1）对于迭代格式A：，其迭代函数为，在[0,，所以发散。
（2）对于迭代格式B：x1，其迭代函数为10e，在，所以收敛。
22 0.4]内5、解：（1）Jocobi迭代法：0b/2因为a21/a22a21a12a11a22（2）Gauss-Seidel迭代法：a12/a11a21a12/a11a22a12/a1101/a22a21a12a11a22| 01/a22(k)因为a21a12a11a22a21a12a11a22综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。
数值计算方法与算法复习资料参考答案
数值计算方法与算法复习资料参考答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March数值计算方法与算法复习资料参考答案一、概念1.相对误差：绝对误差与准确值之比称为相对误差。
2.矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应称为矩阵范数。
3.算子范数：设A 为n 阶方阵，|| ·||是R n 中的向量范数，则||||||||max ||||x Ax x A θ≠=是一种矩阵范数，称算子范数。
4.矩阵范数与向量范数的相容性：对任意的n 维向量在，都有||Ax||≦||A|| ||x||称为矩阵范数与向量范数的相容性。
5.1 1-范数：||A||1=1||||max 1=x ||Ax||1=∑=≤≤n i ij a n j 1||1max （矩阵） ∑==n i i x x 11||||||（向量） ∞-范数||A||∞=1||||max =∞x ||Ax||∞=∑=≤≤n j ij a n i 1||1max （矩阵）|}{|1max ||||i x n i x ≤≤=∞（向量）2-范数||A||2=1||||max 2=x ||Ax||2=1λ（矩阵） 222212||||n x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=（向量） 6.误差：计算值与其真实值之差。
7.有效数字：近似值的一种表示方法，既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
8.算法：解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
9.向量范数：设对任意向量n R x ∈，按一定的规则有一实数与之对应，则称||x||为向量x 的范数。
10.插值法：是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
计算方法复习要点.doc
注:仅供参考引论1.基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了, 如多项式求值的秦九韶算法;校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精,如求开方值的迭代公式;松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精,如求倒数的迭代算法.2・由计算公式o? +亦+e + d = (((处+ b)x + c)x) + 〃知，此算法运用了缩减技术.3.设计累乘求积T=n，/,算法时，可以运用缩减技术. f=l4.由计算公式x^((((W)2)2)2知：此算法运用了缩减技术.5.开方公式是校正技术的应用.第一早1.设0(兀)为兄次的Lagrange插值基函数，兀口= 0〜Q为两两互异的节点，贝1」：= TT( ),/ = 0- n ; 03(兀2)= °；工％(兀)=1 ;/=0y=0 儿 _ Xjj若w = 则P..M为次数n的插值多项式・/=()2・=△几+厂△ X)・/=03・设p(x)、N(x)是/(x)满足同一插值条件的刃次lagrange、Newton插值多项式，则心)二Ng;若/(兀)也是次数不超过〃的代数多项式，贝Ih P（x） = f（x）・4 ・设/（x） = 3x（x -1）（% 一2）（兀-3）,则差商/TO, 1,2,3］ = _0_ ,AI0,1,2,3,41= 3 , /L0,l,2,3,4,5J = _0_ ・5.已知/（X）=6?+X2+1,则差商 /［1,2,22,231 = _6_ ・x3 , 0<%<16・S（兀） = ｛］,若S（兀）是［0,3］上以—（% —1） + d（兀一1）~+/?（兀一1） +1 ,15 兀5320,1,3为节点的三次样条函数，则3、b= 3 .7.构造插值多项式的三种基本方法是余项校正法、基函数法、待定系数法.第二章1.五个节点的G G邸求积公式具有丄阶精度；而五个节点的Newton - Cotes公式具有5阶精度.2.复化梯形求积公式具有丄阶代数精度.3・Romberg（龙贝格）算法中，S“ =吕石“ - g T n .4.已知打。
大学计算方法复习资料
计算方法复习资料第一章 数值计算中的误差主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。
1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467-+-+--=x x x x x x x p 在2=x 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(-=p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：有效数字位数分别为：3，4，53. 下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =-（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.3-⨯=<=- π 3个。
计算方法总复习
计算方法总复习 第一章 绪论例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x 具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。
解；**3142.718281828 2.71820.00008182110.0005101022e x x --=-=-=≤=⨯=⨯故有四位有效数字。
例2．近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字解：**4130.019990.020000.00001110.00005101022e x x ---=-=-=≤=⨯=⨯故有三位有效数字。
例3．数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*xx ( )，则称x 有4位有效数字点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。
解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如1230.n a a a a 的数则绝对误差限一定为41102-⨯，由于题目中的数2120.10n x a a a -=⨯ ,故最终的绝对误差为4261110101022---⨯⨯=⨯例4．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。
点评；此题考查相对误差的传播。
*****1()()()n r r i i i i f e y e x x yx =⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦∑故有************112233123123******123123()()()()()()()r r r r e x x e x x e x x e x e x e x e x x x x x xx x x++++++==++++解：333******123123***123111101010()()()222() 3.1050.0010.100r e x e x e x e x x x x x x---⨯+⨯+⨯++++===++-++=0.0004993例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：00625.01016110821112=⨯=⨯⨯-+-（有效数字与相对误差限的关系）解法2；21100.840.00595242-⨯÷=（相对误差限的概念）例6．*x 的相对误差的----倍。
计算方法期末复习
第一章引论1、误差来源及分类1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。
）要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差2、五个关于误差的概念3.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。
注意：近似值后面的零不能随便省去！2≤⨯1102≤⨯10.00000734102≤⨯（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！ 4、一元函数的误差估计问题：设y =f (x )，x 的近似值为x *，则y 的近似值 y *的误差如何计算？(*)(*)(*)(*)e y dy f x dx f x e x ''≈=≈(*)(*)(*)e y f x e x '≈ *(*)(*)(*)(*)r r x e y f x e x f x '≈故相应的误差限计算如下(*)(*)(*)y f x x εε'≈ *(*)(*)(*)(*)r r x y f x x f x εε'≈ 5、算法的数值稳定性概念及运算（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。
一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该算法具有较好的数值稳定性 6、设计算法的五个原则 (一) 要避免相近两数相减;=()ln ln ln 1;εx εx x ⎛⎫+-=+⎪⎝⎭sin()sin 2cos()sin 22x x x εεε+-=+2311126x e x x x -=+++(二) 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据(*)(*)*(*)(*)(*)(*)(*)r r dy f x e x x e y f x e x y f x f x ''≈≈=9110x ==91229110110c c x x x a a x ⋅=⇒===⋅求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
计算方法复习资料2
第一章 引论一、判断题1.*x =–12.0326作为x 的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限≤41021-⨯。
( )2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )4. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
( ) 二、填空题1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为11,))94(3(12-=+-++=x t t t t y ；2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 4位有效数字，绝对误差限为361061,1021,4--⨯⨯，相对误差限为361061,1021,4--⨯⨯；3. 用四舍五入得到的近似数0.550，有 3 位有效数字，其相对误差是 0.0909% 。
三、选择题1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( C ) 。
(A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( A )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x所产生的误差是( C )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用221gt s =表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，t s 是在时间t 内的实际距离，则s *是（ C ）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( A )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
第二章 插值方法一、判断题 1. 在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。
( )2.120102()()()()x x x x x x x x ----表示节点0x 处的二次插值基函数。
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《计算机在材料科学中的应用》习题课第一章 误差等概念1. 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差2. 绝对误差（限）：e=x*-x ，|e|＝|x*-x|≤ε3. 相对误差（限）：e r ＝(x*-x)/x ，|e r |＝|x*-x|/|x|≤εr4. 有效数字：|e|≤m-n 11025. 防止误差的危害：避免两相近数相减，多数作乘数或小数作除数，大数“吃”小数第二章 方程求根1. 根的存在及隔离2. 二分法：误差是()k+11b-a 23. 迭代法：'1x (x)|(x)|1 ||k k x x ϕϕε+=<-<， ，4. 加速法：'()L x ϕ≈取， 1111() L 1Lk k k k k k x x x x x x ϕ-+--+++⎧⎪⎨+-⎪⎩-＝＝（） 5. 牛顿迭代法：1000''1'111111'f()f()f ()0f ()f() f ()=c f()-f()f()()f ()=f()-f()f() f ()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x λλ++--+--+->-----g ''＝, 选取时使得简化牛顿法:，＝拟牛顿法（割线法）: ，＝牛顿下山法:＝, 选取下山因子使得1|f()|<|f()|k k x x +⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩第三章 方程组求解1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，消元因子 ()()k ikik k kka l a =消元公式 (k+1)(k)(k)ij ij ik kj (k+1)(k)(k)i i ik k a =a -l a (i,j=k+1,k+2,...,n)b =b -l b (i=k+1,k+2,...,n)⎧⎪⎨⎪⎩ 回代公式 kjn(k)(k)kjj=k+1k (k)kkb - a x x =(k=n,...,1)a∑2. 矩阵直接分解：紧凑格式3. 追赶法4. 迭代法：收敛条件1||||nii ij j j ia a =≠>∑①雅可比法迭代格式：ji n(k)i ij j=1j i(1)iib -a x x =(i=1,2,...,n) a k ≠+∑②高斯-赛德尔法迭代格式：jji i-1n(k+1)(k)i ij ij j=1j=i+1(1)iib -a x -a x x =(i=1,2,...,n)a k +∑∑第四章 插值法1. 插值多项式2012j j j j (1)n+1 ()()... , (x )= f( x )= y (j=0,1,...,n) x [a,b],() ()=()-()=()(n+1)!n n n n f x P x a a x a x a x P f R x f x P x x ξω+≈=++++=插值条件，插值节点，插值区间插值余项2. 拉格朗日插值： 插值基函数 n 001 () L ()()0 n nji j i i j i j j ix x i j l x x y i jx x ==≠-=⎧==⎨≠-⎩∑∏g ，3. 差商：10011002010122101k-2k 01k-2k-101k k k-1f(x )-f(x )f[x ,x ]=x -x f[x ,x ]-f[x ,x ]f[x ,x ,x ]=x -x f[x ,x ,...,x ,x ]-f[x ,x ,...,x ,x ]f[x ,x ,...,x ]=x -x 一阶差商二阶差商k 阶差商4. 牛顿插值公式f(x)=f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+f[x 0,x 1,x 2](x-x 0)(x-x 1)+… +f[x 0,x 1,…,x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n-1) 5. 差分（等间距节点）111122111 = () , () -() -() - - k k k k k k k k k k k k k k m m m k k k x x kh x x f f x f x x h f f f f x x h f f f f x x h f f fm f f f δ+-+---+=+-∆≡∇≡≡∆=∆∆k 0k+1k 等距节点时，（k=0,1,...,n ）,h=记则在处以为步长的向前差分：在处以为步长的向后差分：在处以为步长的中心差分：同样也有各自的阶差分111111122- -m m m k k k m m m k k k f f f f f fδδδ-----+-∇=∇∇=6. 牛顿前插公式20000001012nf f f ()=()+(-)()()....()...()()h 2!h n!h n n n f x f x x x x x x x x x x x R x -∆∆∆+--++--+7. 样条插值：三次样条插值，要求光滑、连续第五章 曲线拟合最小二乘原理2012n2i 01m j j j=1n (j=1,2,...,n),[]()...a (i=0,1,..., m),• (a ,...,a )= [P(x ) - y ] (x)(x,y ) m m p x a a x a x a x p n ϕ=++++∑j j 1n 有对数据(x ,y )在x ,x 上求一个m 次多项式适当选取使得,a 为最小值，则称为最小二乘拟合多项式是间的经验公式。
有正规方程组200010012000 ... ... ................................................. ... n n nmj j j j j j n n m j j j j n n n m m mj j j j j j x x x x x x x x ===+==+===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑00100 ........ nj j nj j j n mm j j j a y x y a a x y ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑列表计算累加和如下从正规方程组中解得拟合多项式的各个系数值a i (i=0,1,…,m)。
第六章 数值积分、微分1. 积分的有限过程()() nbk k k ak f x dx A f x x =≈∑⎰k ，其中A 是求积系数，是求积节点a) 插值型求积公式用插值多项式代替被积函数，()()()() ()nnnbbb bn kkkkkaa aa k k kb k af x dx L x dx f x l x dx f x l x dx f x l x dx===≈====∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰kk （）（）（）A 所以A从而在有两个求积节点时得到梯形公式 []b-a()()f(a)+f(b)2ba f x dx T f ≈=⎰ 有三个等距求积节点时得到Simpson 公式 b-a a+b f(a)+4f()+f(b)62()ba f x dx ≈⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰S(f)=2. 柯特斯公式（等距节点情况）：①柯特斯系数 ()()001(1)()!()!n k n n n kj j kCt j dt n k n k -=≠-=⋅--∏⎰ ②柯特斯求积公式（有五个等距求积节点时） []01234b-a 7f(x )+32f(x )+12f(x )+32f(x )+12f(x )90()ba f x dx ≈=⎰4C(f)=I3. 复化求积x b an h n-=k 将求积区间[a,b]作等分,并记步长值，则＝a+kh (k=0,1,...,n)。
①复化梯形公式h ()f(a)+2f(x )+f(b) 2baf x dx ⎡⎤≈=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰n-1n-1n k k k=1k=1T(f)=I ②复化Simpson 公式12k+h ()f(a)+4f(x )+2f(x )f(b) 6baf x dx S ⎡⎤≈=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑⎰n-1n-1n-1n k k k=1k=0k=1(f)=I③复化柯特斯公式113424n-10k k+k+k+k=0h7f(x )+90()(32f(x )+12f(x )+32f(x )+14f(x )+7f(b))baf x dx ≈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑⎰n C (f)=4. 步长自适应n+1h f(a)+2f(x )+f(b)2x x n+111 f(x )22⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑∑∑12n-1n-1n k k k=1k=1k k+12n n n-12n n k+k=0将求积区间n 等分后，共有个分点，可以得到积分值T =I 若将每个小区间[,]再二分，则有2个分点，此时的积分值T 与T 之间有关系如下T =T 5. 龙贝格求积公式n 2n n n 2n n n 2n n 41S =T -T 33161C =S -S 1515641R =C -C 6363⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩6. 数值微分①二点公式010111021h f'(x )=[f(x )-f(x )]-f"() h 21h f'(x )=[f(x )-f(x )]+f"() h 2ξξ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②三点公式200121210222201231h f'(x )=[-3f(x )+4f(x )-f(x )]+f"'() 2h 31h f'(x )=[-f(x )+f(x )]-f"'()2h 61h f'(x )=[f(x )-4f(x )+3f(x )]+f"'()2h 3ξξξ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩第七章 常微分方程的数值解法1. 边值问题和初值问题①边值问题 y"=f(x,y,y') yy(a)=, y(b)=αβ⎧⎪⎨⎪⎩求解边值问题可以转化为初值问题求解。
②初值问题 000y'=f(x,y) x xy(x )=y ⎧⎨⎩≥求解满足上述两式的近似值y i ，即在a ≤x 0≤x 1≤…≤x n ≤b 上的y(x i )的近 似值y i (i=0,1,2,…,n)。
通常取等距节点，即h=x i+1-x i ，有x i =x 0+ih (i=0,1,2,…,n)。
初值问题的数值解法特点：按节点顺序依次推进，由已知的y 0 , y 1 , …, y i ，求出y i+1，这可以通过递推公式得到。