锐角三角函数

1． 掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2． 知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3． 同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4． 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．
模块一 三角函数基础
一、
锐角三角函数的定义
如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．
（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a
A c
=
． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b
A c
=．
（3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b
=． 注意：
① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、
cos 与A 、tan 与A 的乘积．
③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、
特殊角三角函数
这些特殊角的三角函
数值一定要牢牢记住！
三、锐角三角函数的取值范围
在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a
A b
=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．
锐角三角函数
a
四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos A
A A
= 2．互余角三角函数关系：
(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；
(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：
(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B
(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <
模块一 三角函数基础
【例1】 如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，
．求sin A 和sin B 的值．
【巩固】在ABC △中，1
90tan 3
C A ∠=︒=，，则sin B 的值为（ ）． A
B ．23
C ．3
4
D
【巩固】在ABC △中，90C ∠=︒
，cos B a =
则b = ． 【例2】 已知：如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒.D 是AC 边上一点，DE AB ⊥于E 点，:1:2DE AE =．
求：sin B 、cos B 、tan B
【巩固】如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，
则'tan B 的值为（ ） A ．
12 B ．13
C ．14
D
C
B
A
E
A
B
D
C
【巩固】已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为（1，0），
以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA x ⊥轴交OM 于C 点．设AOM α∠=．
求：P 点和C 点的坐标．（用α的三角函数表示）
αy P
O
C
B
A
【例3】 已知cos1930'︒=09426．
，则sin7030'︒= ． 【巩固】在ABC △中90C ∠=︒，若sin A +cos B 2A ∠等于（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
【例4】
如图，两条宽都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为α，求他们的重叠部分的面积（即图像的阴影部分的面积）
D
α
C
B
A
【巩固】如图所示，将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）cm ．
A 23
B 43
C 5
D ．2
2cm
60°
模块二 比较大小
【例5】 已知：如图，90AOB AO OB C D ∠=︒=，，
、是AB 上的两点，AOD AOC ∠>∠． 求证：（1）0sin sin 1AOC AOD <∠<∠<；
（2）0cos cos 1AOD AOC <∠<∠<；
（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而______； （4）锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
【巩固】已知：如图，CA AO ⊥，E F 、是AC 上的两点，AOF AOE ∠>∠．
（1）求证：tan tan AOF AOE ∠>∠；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而______．
【例6】
已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）
A ．sin cos A A =
B ．sin cos A A >
C ．sin tan A A >
D ．sin cos A A <
【巩固】已知α为锐角，且2
cos 3
α=
，则α的取值范围是 ( )． A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒
模块三 化简求值
【例7】
（1）计算：2(2)tan 452cos60-+︒-︒
（2
）计算：101
()2010tan603
--+--︒
【巩固】（1
）计算：11
()12sin 60tan 602
--︒⋅︒
O
D
C
B
A
C E F
A
O
（204sin 45(3)4π︒+-+-
【例8】
化简计算
（1）22(2sin cos )(2cos sin )αααα++-；
（2）2222sin 1sin 2....sin 88sin 89︒+︒++︒+︒；
（其中090α︒<<︒）
【巩固】已知α为锐角，sin cos αα-=sin cos αα+=____________；
【例9】 先化简再求值：22121
(1)24
x x x x ++-÷
+-，其中tan601x =︒-．
模块四 三角函数与代数综合
【例10】 求适合下列条件的锐角α：sin 22
α=；
【巩固】求适合下列条件的锐角α
：2cos(10)α+︒=
【例11】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数.
【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数.
模块五 三角函数与几何综合
【例12】 如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE △沿BE 折叠为BFE △，点F 落在AD 上.
（1）求证：ABE DFE △∽△
（2）若1
sin 3
DFE ∠=，求tan EBC ∠的值.
【例13】 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C
等于（ ）．
A .34
B .4
3 C .35 D . 45
【例14】 如图，在等边ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，
且60ADE ∠=︒， 4
4,3
BD CE ==，则ABC △的面积为 （ ）． A
． B ．15 C
． D
．
E
F
D C
B
A
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
【巩固】如图，ABC △
中，3
cos 5
B C =，5AC =，则ABC △的面积是（ ）
A ．
21
2
B ．12
C ．14
D .21
【例15】 已知：如图，O 的半径16,OA cm OC AB =⊥于C
点，tan AOC ∠=
． 求：AB 及OC 的长．
【例16】 用几何方法求sin15︒、cos15︒、tan15︒的值．
A
B
C。