锐角三角函数

1． 掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2． 知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3． 同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4． 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．

模块一 三角函数基础

一、

锐角三角函数的定义

如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．

（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin a

A c

=

． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b

A c

=．

（3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b

=． 注意：

① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、

cos 与A 、tan 与A 的乘积．

③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、

特殊角三角函数

这些特殊角的三角函

数值一定要牢牢记住！

三、锐角三角函数的取值范围

在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a

A b

=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．

锐角三角函数

a

四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos A

A A

= 2．互余角三角函数关系：

(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；

(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：

(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A

(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A

模块一 三角函数基础

【例1】 如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，

．求sin A 和sin B 的值．

【巩固】在ABC △中，1

90tan 3

C A ∠=︒=，，则sin B 的值为（ ）． A

B ．23

C ．3

4

D

【巩固】在ABC △中，90C ∠=︒

，cos B a =

则b = ． 【例2】 已知：如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒.D 是AC 边上一点，DE AB ⊥于E 点，:1:2DE AE =．

求：sin B 、cos B 、tan B

【巩固】如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，

则'tan B 的值为（ ） A ．

12 B ．13

C ．14

D

C

B

A

E

A

B

D

C

【巩固】已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为（1，0），

以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA x ⊥轴交OM 于C 点．设AOM α∠=．

求：P 点和C 点的坐标．（用α的三角函数表示）

αy P

O

C

B

A

【例3】 已知cos1930'︒=09426．

，则sin7030'︒= ． 【巩固】在ABC △中90C ∠=︒，若sin A +cos B 2A ∠等于（ ）

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．75︒

【例4】

如图，两条宽都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为α，求他们的重叠部分的面积（即图像的阴影部分的面积）

D

α

C

B

A

【巩固】如图所示，将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）cm ．

A 23

B 43

C 5

D ．2

2cm

60°

模块二 比较大小

【例5】 已知：如图，90AOB AO OB C D ∠=︒=，，

、是AB 上的两点，AOD AOC ∠>∠． 求证：（1）0sin sin 1AOC AOD <∠<∠<；

（2）0cos cos 1AOD AOC <∠<∠<；

（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而______； （4）锐角的余弦函数值随角度的增大而______．

【巩固】已知：如图，CA AO ⊥，E F 、是AC 上的两点，AOF AOE ∠>∠．

（1）求证：tan tan AOF AOE ∠>∠；

（2）锐角的正切函数值随角度的增大而______．

【例6】

已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）

A ．sin cos A A =

B ．sin cos A A >

C ．sin tan A A >

D ．sin cos A A <

【巩固】已知α为锐角，且2

cos 3

α=

，则α的取值范围是 ( )． A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒

模块三 化简求值

【例7】

（1）计算：2(2)tan 452cos60-+︒-︒

（2

）计算：101

()2010tan603

--+--︒

【巩固】（1

）计算：11

()12sin 60tan 602

--︒⋅︒

O

D

C

B

A

C E F

A

O