插值法习题及解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、填空题：
1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()
()()()3!
a b c f R x x x x x x x ξ'''=---
2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1
二、选择题
1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D
2．. 已知等距节点的插值型求积公式
()()35
2
k
k
k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3
k
k A
==∑（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C
3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。 (A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题
1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1
证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有
F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 1 2.设
在
上具有二阶连续导数，且
，求证：
解：由，则在的线性插值多项式为：
，于是由
，可得：
3． 试利用差分性质证明：
证明：记：
可以证明：，
又：
故：
. 四、计算题： 1.．已知数值表
x
()f x
试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。（要写出二次插值多项式）
答： 过()0.5,0.447943，()0.6,0.56464，()0.7,0.64422作二次插值多项式
()()()()()()()()()
20.60.70.50.70.479430.564640.50.60.50.70.60.50.60.7x x x x P x ----=⨯+⨯----
()()()()
0.50.60.644220.70.50.70.6x x --+⨯-- （5分）
所以
()()()()()()
20.576810.60.576810.70.576810.576810.479430.50.60.50.7f P --≈=⨯--
()()()()0.576810.50.576810.70.564640.60.50.60.7--+
⨯--
()()()()
0.576810.50.576810.60.644220.70.50.70.6--+⨯--
（9
分）
0.002860.009460.00178
0.479430.564640.644220.20.10.10.10.20.1
=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯
0.068560.534280.057380.54546=+-= （15分）
2.用已知函数表
求抛物插值多项式，并求1()2
f 的近似值。 解答：作差商表：
()()()()2
210011N x x x x x =+-+--=+
2115
1.25224
f N ⎛⎫⎛⎫≈== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3. 已知函数2
1
1y x
=
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.
解答 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=
⨯+
⨯=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221
x x L x x --=
⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为
()[][]
10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩% 10分 ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=% 12
分
4． 试给出样条函数：
的分段表达式. 解：由
的定义可得：
5. 求一次数小于等于三次多项式
，满足如下插值条件：
，
，
，
解：
，其中
为二次多项式，满足插值条件：
，
，
可求得：. 由
得：.(
)
故：.
6.设：
求
之值，
.这里互异
解：利用差商的性质：
，
.
可得：
，得：