插值法习题及解答
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
第三章多项式插值方法习题
4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章 习 题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程（实用版）目录一、插值法简介二、插值法例题计算过程1.公式变形2.计算过程3.结论正文一、插值法简介插值法是一种求解未知数值的方法，通常用于预测和推断。
在财务管理中，插值法常用于计算实际利率、股票价格和债券价格等。
插值法的核心思想是根据已知的数据点，通过数学模型估算出未知数据点的值。
二、插值法例题计算过程假设有一个财务问题，需要计算一个项目的净现值（NPV）。
已知该项目在不同折现率下的净现值如下：- 当折现率为 12% 时，净现值为 116530- 当折现率为 i 时，净现值为 120000- 当折现率为 10% 时，净现值为 121765为了计算项目的实际利率，我们可以使用插值法。
首先，我们需要将公式进行变形，以便于理解和计算。
变形后的公式如下：(i-12%) / (10%-12%) = (120000-116530) / (121765-116530)接下来，我们可以按照以下步骤进行计算：1.将已知的数值代入公式中，得到：(i-12%) / (10%-12%) = 3470 / 52352.对公式进行化简，得到：(i-12%) / (10%-12%) = 0.66023.解方程，得到：i = 12% + 0.6602 * (10%-12%)i = 12% + 0.6602 * (-2%)i = 12% - 1.3204%i = 10.68%因此，该项目的实际利率为 10.68%。
通过以上计算过程，我们可以看到插值法在计算实际利率方面的应用。
在实际应用中，插值法还可以用于计算其他财务指标，如股票价格、债券价格等。
插值法求复利现值系数例题
插值法求复利现值系数例题
1.在其他条件相同的条件下，下列说法正确的是（）。
A、利率与一次性收付款终值呈同方向变化
B、利率与普通年金终值呈反方向变化
C、期限与一次性收付的现值呈反向变化
D、期限与普通年金现值呈反向变化答案：AC
解析：利率与一次性收付款复利终值呈同方向变化，期限与一次性收付款的复利现值呈反向变化2.有一项银行存款M元，年利率是10%，每季复利一次，期限是2年，那么期终值为（）。
A、M*（F/P，10%，2）
B、M*（F/P，2.5%，8）
C、M*（F/P，10.38%，2）
D、M*（F/P，5%，4）
答案：BC
解析：如果用名义利率表示，则每季利率为2.5%，期限为8，所以B正确；如果用实际利率表示，则实际利率为（1+10%/4）4-
1=10.38%，期限为2，所以C正确。
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是数学中常用的一种近似计算方法，通过已知的离散数据点构造二次函数，进而求解给定数据处的函数值，从而实现插值计算。
二次插值方法在实际应用中经常被广泛地使用，例如在图像和声音信号处理、数学模型和物理现象等方面。
在二次插值计算中，需要假设有三个已知数据点，分别为$(x_0,y_0)$，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，其中$x_0<x_1<x_2$。
在这三个点之间构造二次函数$y=ax^2+bx+c$，并且要满足函数在这三个点处的取值与已知数据相同，即满足以下三个方程组：$$y_0=ax_0^2+bx_0+c \\y_1=ax_1^2+bx_1+c \\y_2=ax_2^2+bx_2+c$$通过解这个方程组得到二次函数的系数$a$、$b$和$c$，进而求得在给定数据点处的函数值。
求解这个方程组的方法，可以使用高斯消元法、矩阵求逆法或拉格朗日插值法等多种计算方法。
其中拉格朗日插值法是一种比较常用的方法。
通过拉格朗日插值法可以构造出一个满足给定数据点的二次函数，其具体方法如下：$$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \\L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \\L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$构造出三个拉格朗日插值基函数$L_0(x)$、$L_1(x)$和$L_2(x)$，满足$L_i(x_j)=\delta_{ij}$。
其中，$\delta_{ij}$为克罗内克 delta 函数，当$i=j$时取值为1，否则取值为0。
通过将这三个插值基函数与已知数据点进行组合，可以得到一个满足插值条件的二次函数：$$y(x)=L_0(x)y_0+L_1(x)y_1+L_2(x)y_2$$利用这个二次函数，可以计算任意给定位置$x$处的函数值$y(x)$。
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
第4、5讲 插值与拟合 作业参考答案
第四、五讲作业题参考答案一、填空题1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。
2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的二次插值多项式为 （2527633x x +- ）。
3、由下列数据所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。
4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。
5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引入变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。
8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,]k k x x +上是（ 三次多项式 ）。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的一次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：642111111111122221120-=-==x x x x x x A37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析课后题
故
有
A B C 4 2 1dx 2 2 A( ) B 0 C (C A) 0 2xdx A( ) 2 B 0 2 C 2 ( A C ) 2 16 2 x 2 dx 3 2 2 A( ) 3 B 0 3 C 3 (C A) 3 0 x 3 dx 2 2 64 4 4 4 4 4 A( ) B 0 C ( A C ) 5 2x dx 2 A( ) 5 B 0 5 C 5 (C A) 5 0 x 6 dx 2
1 2 1 1 1 2 [ ] x 4 dx 3 4 4 3 5 1
得 数 值 积 分 公 式
2
2
f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( ) 为 Gauss 型公式。
2 2
[解]要使数值积分公式 f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( ) 为 Gauss 型公式，则 其具有 2n 1 5 次代数精度。依次将 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 代入都应精确成
1
0
f ( x)dx Af (0) Bf ( x1 ) Cf (1) 具有尽可能高的代数精度。此时的代数精度是
多少？它是否是 Gauss 型公式？ [解]依次将 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 代入求积公式，得到：
A B C 1 11dx A B C 1 0 1 1 Bx1 C 1 A 0 Bx C 1 Bx C xdx 1 1 2 2 0 ， 即 1 ， 解 得 2 1 1 Bx1 C 3 A 0 2 Bx12 C 12 Bx12 C x 2 dx 3 0 Bx3 C 1 1 1 3 3 3 3 3 1 A 0 Bx C 1 Bx C x dx 1 1 4 4 0 1 x1 2 B 2 3 ，从而求积公式为 1 f ( x)dx 1 f (0) 2 f ( 1 ) 1 f (1) ，令 f ( x) x 4 代 0 6 3 2 6 C 1 6 1 A 6 入得到：
插值答案
i 0 i 0 k j 0
n
n
k
( 1) C x ( xik j li ( x))
j j 0 j k j i 0
n
利用结论(2)可知，
n
x
i 0
i
n
k j i i
l ( x ) x k j ，代人上式得到
k
(x
i 0
x) k li ( x) (1) j Ckj x j x k j ( x x) k 0
断误差；
4) 哪一个近似值更好？为什么？ 解： 1) L1 ( x) 1 x x0 x x1 e0.5 x0 x1 x1 x0
把 x 0.5 代入 L1 ( x) 中， 得到 y 1.3244 ， 与精确解 e0.5 相比， 误差绝对值为 0.0404， 或者用误差估计式求得：
则 f ( x) 以 x0 , x1 , , xn 为插值节点的 n 次 Lagrange 插值多项式为 (2) 设 f ( x) x k ，
Ln ( x) f ( xi )li ( x) xik li ( x)
i 0 i 0
n
n
由插值余项定理知
f ( x) Ln ( x) f n 1 ( ) n 1 ( x) 0 (n 1)!
插值法习题及解答
一、填空题：1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=---2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1二、选择题1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D2．. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1),所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 12.设在上具有二阶连续导数，且，求证：解：由，则在的线性插值多项式为：，于是由，可得：3． 试利用差分性质证明：证明：记：可以证明：， 又： 故：. 四、计算题： 1.．已知数值表试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是一种通过已知数据点的值来估计未知数据点的值的插值方法。
它被广泛应用于数值分析、数值计算、图像处理等领域。
假设我们已知某个函数在三个点上的取值为f(x0)，f(x1)和f(x2)，并且这三个点在实数轴上呈等距离分布，即x1-x0 = x2-x1 = h。
我们需要估计函数在另一个点x的取值。
首先，我们假设函数f(x)是一个二次多项式：f(x) = ax^2 + bx + c。
我们可以利用这个假设来计算参数a、b和c的值。
通过代入已知点的坐标，我们可以得到三个方程：f(x0) = ax0^2 + bx0 + cf(x1) = ax1^2 + bx1 + cf(x2) = ax2^2 + bx2 + c解这个方程组，可以得到参数a、b和c的值：a = (f(x0) - 2f(x1) + f(x2)) / (h^2)b = (f(x2) - f(x0))/(2h) - a*hc = f(x1) - a*x1^2 - b*x1然后，我们可以利用得到的参数值来计算函数在点x处的值。
这个计算公式为：f(x) = ax^2 + bx + c通过这样的计算过程，我们可以估计函数在任意位置的值。
值得注意的是，二次插值的精度依赖于已知数据点的数量和分布。
通常情况下，更多的数据点会得到更准确的估计值。
另外，如果我们想要插值出一个连续函数而不是一个二次多项式，可以使用拉格朗日插值方法。
该方法基于拉格朗日多项式，通过多个已知数据点的线性组合来估计未知数据点的值。
这个方法的详细推导可以参考数值分析、插值和逼近等数学教材。
总结起来，二次插值是一种能够通过已知数据点的值来估计未知数据点的值的方法。
它利用二次多项式的假设和已知点的坐标信息，通过求解一个方程组来计算函数的参数值，然后利用这些参数值来计算函数在其他位置的值。
二次插值可以应用于各种数值计算和图像处理的应用中，但需要注意已知数据点的数量和分布对插值结果的影响。
2、插值法部分练习题
1、已知 f （x ）=ln x 的数值表如下，分别用线性及二次 Lagrange 插值法计算f (0.54) 的近似值，并估计误差。
解：（1）线性插值法：因为()ln f x x = 时递增函数，所以取0.5和0.6为插值节点。
则线性插值多项式为：0011()()()()f x F x f l x f l x ==+0.540.60.540.5(0.54)(0.54)(0.5)(0.6)0.50.60.60.50.6930.6(0.510)0.40.6198f F f f --≈=+-- =-⨯+-⨯=-截断误差：101011()''()()(),(,)2R x f x x x x x x ξξ=--∈ 121(0.54)0.0012R ξ=11(0.5,0.6)110.0012(0.54)0.00120.360.25,0.0032(0.54)0.0048R R ξ∈∴⨯<<⨯<<即 （2）二次lagrange 插值法：A ：若取0.4，0.5和0.6为插值点，0120.916,0.693,0.510f f f =-=-=-012(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.40.5)(0.40.6)(0.540.4)(0.540.6)0.84(0.50.4)(0.50.6)(0.540.4)(0.540.5)0.28(0.60.4)(0.60.5)l l l --==-----==----==--001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.615f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=---则231(0.54)0.000112R ξ=333233[0.4,0.6],()111,0.60.4110.000112(0.54)0.0001120.40.6f x R ξξ∈∴<<-⨯<<-⨯递增；即20.00175(0.54)0.000519R -<<-B ：若取0.5，0.6和0.7为插值点，0120.693,0.510,0.357f f f =-=-=-012(0.540.6)(0.540.7)0.48(0.50.6)(0.50.7)(0.540.5)(0.540.7)0.64(0.60.5)(0.60.7)(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.70.5)(0.70.6)l l l --==----==----==---001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.6162f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=--- 则231(0.54)0.000128R ξ=333233[0.5,0.7],()111,0.70.5110.000128(0.54)0.0001280.70.5f x R ξξ∈∴<<⨯<<⨯递增；即20.000373(0.54)0.001024R <<2、已知f(x)=e -x 的一组数据见下表，用抛物插值法计算e -2.1的近似值。
二次插值法例题
二次插值法例题二次插值法是一种常用的数值计算方法，用于在给定的几个点之间计算线性插值函数。
下面是一个简单的二次插值法例题: 假设我们有四个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ ,我们需要计算一个线性插值函数 $y$ ,使得 $y$ 在 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 四个点之间保持连续。
首先，我们可以使用二次插值法在四个点之间计算一个二次多项式 $y_2(x)$。
具体来说，我们可以使用以下公式:$$y_2(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$$其中，$a_0, a_1, a_2$ 是由四个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 计算出来的系数。
接下来，我们可以使用二次多项式 $y_2(x)$ 来计算插值函数$y$ 在 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 四个点之间的值。
具体来说，我们可以使用以下公式:$$y(x) = y_2(x_{target}) cdot (x - x_{target}) + y_2(x_0)$$ 其中，$x_0$ 是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 四个点中的一个，$x_{target}$ 是我们需要计算插值函数的点。
例如，如果我们的目标是计算 $(x_3, y_3)$ 点的插值函数，那么我们可以使用以下公式:$$y(x) = y_2(x_{target}) cdot (x - x_{target}) + y_2(x_0)$$ 其中，$x_0$ 可以是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),(x_4, y_4)$ 四个点中的一个，$x_{target}$ 则是我们需要计算插值函数的点，例如 $x_{target} = x_3$ 就是不错的选择。
插值法计算公式例题
插值法计算公式例题插值法计算公式例题：插值法是一种用于估计数据集中缺失值的方法。
插值法可以通过已知的数据点来推断未知点的值。
这种方法可以应用于各种领域，如气象学、地理信息系统、图形学和金融等。
在插值法中，需要确定插值函数。
插值函数是一种通过已知数据点来估计未知点的函数。
插值函数的形式可以根据问题的具体情况而定，例如线性插值、多项式插值和样条插值等。
接下来，我们以多项式插值为例来计算公式。
多项式插值的原理是通过已知的数据点，构造一个n次多项式来拟合数据，然后用这个多项式估计未知点的值。
n 次多项式的形式为：f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + ... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，x0、x1、...、xn-1为已知数据点，f(x0)、f(x1)、...、f(xn-1)为对应的函数值，a0、a1、...、an为待求系数。
将已知数据点代入多项式中，可以得到一个包含n+1个未知数的方程组，通过解方程组即可求出多项式系数。
例如，已知数据点为(0,1)、(1,2)、(2,3)，求x=1.5时的插值值。
根据多项式插值的原理，可以得到二次多项式：f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1)将已知数据点代入多项式中，得到以下三个方程：a0 = 1a0 + a1(1-0) + a2(1-0)(1-1) = 2a0 + a1(2-0) + a2(2-0)(2-1) = 3将方程组求解，可以得到a0=1、a1=1、a2=0.5，因此插值多项式为：f(x) = 1 + 1(x-0) + 0.5(x-0)(x-1)将x=1.5代入多项式中，得到插值值为2.25。
以上就是插值法计算公式例题的详细介绍。
数值计算课后问题详解4
习题四解答1、设x o=0,x1=l ,写出f(x) = e-的一次插值多项式厶(X),并估计插值误差。
解：根据已知条件，有设插值函数为厶(x) = ax + b I由插值条件，建立线性方程组为a×O+b=1<a×↑ + b = e^解之得严宀1b = ∖则Z I(X) = (6>^,-l)x + l因为y∖x} = -e-∖y∖x) = e-χ所以，插值余项为心)=f (X)-pW = 7-^-∕0,+υ(⅞W)(τι + l)!2∖ξ}π(x)=⅛∕(Z)^)U-⅞)U--Vι)选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)o解：设三次插值多项式为f (X) = a l x + U2X2+ a3x i I由插值条件，建立方程组为866 πC8寸S▼629— HSI寸・OH £≡N ½IEOlH⅛86∙0+ F o + 一9寸O9L二H£ 寸寸E・0+£8寸・0+ 9oδ∙0 O H ;oδz o ∙o +√,oδ0∙0+^∙0 ,-s .7π∕S O l9Z； IH扌8&0 + f W o仆π £8ZOO + £80.0+ W寸「66.0 π玄00.0—i,Oo +hiOIOD寸』寸O π £1 EEl + hl Z・I+一2 ・ I + O B「9卜・0π寸E.0+£6寸.0+££/0+O UV n 「66・0πζr z τo ∙o + €寸」寸・0 H ・二X £ +j ・I X & +1・IX£ + £ S 9卜・0 π‰∙0 × £+‰∙0 ×√ +L ・o× 富 + O U「66・HeOX £ + 玄・0 × £ +7 i (I +o i (I +o ≡OH(Xk g k ‰)一P- π (X)x 3(一+=J —p-H(X )d—KH (XM ^s ≡・苗叵丄 O l - v(x ) 7N πk(X) 7M H (X)Md M也Z SXXH>S E丄H 7N H(Λ')C、1« U世 亠 XH(X)JHMX・O、tp ≡ffi只UX∙∙∙7×τ×0 XM ・ S Wi r a S S f f i (I)-SO i -O (1:7TOHr)OH(X)7⅞l x )M ( 0)X O i -,(VlZTOM a )X M (X )7V M (I)..s ⅛u E tp Ifltw e l +u 酿(：：7TOHWX®√寸卜二 IHOoO × 86∙6+∞X8寸S —8.0X6z ∙9IlpOH (∞0<16∙0-HdoX86∙6+Zox8寸SleOX6e ∙9 I I寸O HQo <SO H86∙6+H8寸∙T K 6C 9I一寸.N (K)J只怔&1恥«川≡κ⅛f l所以∑∕,(x)Af =X Ar-0结论得证。
计算物理学(刘金远)第-3-章-函数近似方法(课后习题及答案)
第３章函数近似方法（习题及答案）§3.1插值法【3.1.1】已知sin()x 在030,45,60的值分别为1/2，分别用一次插值和二次插值求0sin(50)近似值。
【3.1.2】误差函数的数据表：x 0.460.470.480.49…f(x)0.48465550.49374520.50274980.5116683…利用二次插值计算：（1）(0.472)f ;(2)()0.5,?f x x ==【3.1.3】【3.1.4】已知列表函数x -101y-15-5-3给出二次插值函数【解】0(0)(1)1()(1)(10)(11)2x x l x x x --==-----;1(1)(1)()(1)(1)(01)(01)x x l x x x +-==--++-2(1)(0)1()(1)(11)(10)2x x l x x x +-==++-2153()(1)5(1)(1)(1)22L x x x x x x x =--+-+--【3.1.5】已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
【解】取插值节点014, 9x x ==，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=»L f 误差为)(2)95)(45(!2)()5(2x x f f R ¢¢-=--¢¢=【3.1.6】已知(1)2,(1)1,(2)1f f f -===，求()f x 的二次拉格郎日插值多项式【解】22(1)(2)(1)(2)(1)(1)()21(11)(12)(11)(12)(21)(21)1(38)6x x x x x x L x x x --+-+-=++----+-+-=-+【3.1.7】求经过(0,1),(1,2),(2,3)A B C 三点的二次拉格郎日插值多项式【解】22(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1(343)2x x x x x x L x x x ------=++------=-+【3.1.8】编写拉格朗日三点插值程序，绘出)cos(x y =在[p ,0]区间的插值曲线，将[p ,0]区间8等份（9个插值点），由插值函数取25个点绘出插值曲线。
牛顿插值法计算题
牛顿插值法计算题牛顿插值法是一种利用已知数据点构造一个多项式函数，通过该函数来进行插值和外推的方法。
在数值分析中，牛顿插值法可以用于估计未知函数在给定插值节点上所处的位置。
本文将通过一个例子来介绍牛顿插值法的计算过程。
假设有一些已知数据点：(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们希望利用这些数据点来构造一个多项式函数f(x)，并且通过该函数来计算未知的插值点。
牛顿插值法的关键思想是将插值问题转化为一个差商的问题。
首先，我们需要计算差商表。
差商可以由以下公式计算得到：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, xi+2] = (f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]) / (xi+2 - xi)...f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+k] - f[xi, xi+1, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)其中f[xi, xi+1, ..., xi+k]是由xi, xi+1, ..., xi+k确定的差商。
利用这些差商，我们可以得到一个插值多项式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...插值多项式的系数可以通过递推的方法计算得到。
例如，假设我们有以下数据点：x0=0,y0=1x1=1,y1=2x2=2,y2=3首先，计算差商表：f[x0]=y0=1f[x1]=y1=2f[x0,x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)=(2-1)/(1-0)=1f[x1,x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)=(3-2)/(2-1)=1然后，根据插值多项式的公式计算多项式系数：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)=1+1(x-0)+1(x-0)(x-1)=1+x+x(x-1)=x^2-x+1我们可以使用这个多项式来计算未知的插值点。
二次插值法例题
三点二次插值法例1. 用三点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。
解：首先找出满足123()()()t t t ϕϕϕ><且123t t t <<的1t ，2t ，3t ； 易知，10t =，20t =，30t =； 第一次迭代：1()1t ϕ=，2()0t ϕ=，3()22t ϕ=，代入公式，得：0.625μ=， 由于()()20.0060t ϕμϕ=-<=， 并且20.375t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.625t μ==，321t t == 第二次迭代：()11t ϕ=，()20.006t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.808μ=， 由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-<=-， 并且 20.183t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><，则令：120.625t t ==，20.808t μ==，331t t == 第三次迭代：()10.006t ϕ=-，()20.089t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.815μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-==-， 并且 20.007t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.815μ=或0.808μ=。
例2 用三点二次插值法求：30min ()32t t t t ϕ≥=-+的近似最优解（精确极小点*1t =），设已确定其初始搜索区间为[]0,3，取初始插值点02t =，终止误差0.05ε=。
解：1t =，22t =，33t =，第一次迭代：()12t ϕ=，()24t ϕ=，()320t ϕ=，代入公式，得：0.9μ=， 由于2()0.029()4t ϕμϕ=-<=， 并且 2 1.1t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.9t μ==，322t t == 第二次迭代：()12t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.82759μ=， 由于2()0.08405()0.029t ϕμϕ=>=， 并且 20.07241t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕμϕϕ><，则令：10.82759t μ==，220.9t t ==，332t t == 第三次迭代：()10.08405t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.96577μ=， 由于2()0.00347()0.029t ϕμϕ=-<=， 并且 20.06577t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：120.9t t ==，20.96577t μ==，332t t == 第三次迭代：()10.029t ϕ=，()20.00347t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.98308μ=， 由于2()0.00086()0.00347t ϕμϕ=<=， 并且 20.01731t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.98308μ=。
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一、填空题：
1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()
()()()3!
a b c f R x x x x x x x ξ'''=---
2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1
二、选择题
1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D
2．. 已知等距节点的插值型求积公式
()()35
2
k
k
k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3
k
k A
==∑（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C
3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题
1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1
证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有
F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 1 2.设
在
上具有二阶连续导数，且
，求证：
解：由，则在的线性插值多项式为：
，于是由
，可得：
3． 试利用差分性质证明：
证明：记：
可以证明：，
又：
故：
. 四、计算题： 1.．已知数值表
x
()f x
试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
（要写出二次插值多项式）
答： 过()0.5,0.447943，()0.6,0.56464，()0.7,0.64422作二次插值多项式
()()()()()()()()()
20.60.70.50.70.479430.564640.50.60.50.70.60.50.60.7x x x x P x ----=⨯+⨯----
()()()()
0.50.60.644220.70.50.70.6x x --+⨯-- （5分）
所以
()()()()()()
20.576810.60.576810.70.576810.576810.479430.50.60.50.7f P --≈=⨯--
()()()()0.576810.50.576810.70.564640.60.50.60.7--+
⨯--
()()()()
0.576810.50.576810.60.644220.70.50.70.6--+⨯--
（9
分）
0.002860.009460.00178
0.479430.564640.644220.20.10.10.10.20.1
=⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯
0.068560.534280.057380.54546=+-= （15分）
2.用已知函数表
求抛物插值多项式，并求1()2
f 的近似值。
解答：作差商表：
()()()()2
210011N x x x x x =+-+--=+
2115
1.25224
f N ⎛⎫⎛⎫≈== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3. 已知函数2
1
1y x
=
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.
解答 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=
⨯+
⨯=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221
x x L x x --=
⨯+⨯=-+--% 所以分段线性插值函数为
()[][]
10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩% 10分 ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=% 12
分
4． 试给出样条函数：
的分段表达式. 解：由
的定义可得：
5. 求一次数小于等于三次多项式
，满足如下插值条件：
，
，
，
解：
，其中
为二次多项式，满足插值条件：
，
，
可求得：. 由
得：.(
)
故：.
6.设：
求
之值，
.这里互异
解：利用差商的性质：
，
.
可得：
，得：。