(完整版)初二动点问题(含答案)2

L F

E

H

F

G

E

C

G

图2

F

H

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想

一、单动点问题

小菜一碟：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为

例

（10 年房ft 二模压轴）25. （1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E

D

A

D

A

D

B

C

B

B

C

图1

图3

作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG;

(2) 若点 E 在ＢＣ的延长线上，如图 2，过点 E 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 的延长线于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ， 则 EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL ，点 E 是 CL 上任一点, EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥BC 于点 G ，猜想 EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有 EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.

D F 图 2

F

D

D F F

D

1.(2009 临沂 25)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． ∠AEF = 90 ，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证：AE=EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M ，连接 ME ，则 AM=EC ，易证 △≌AM △E ECF ，所以 AE = EF ．

在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1） 小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2） 小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论

“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

解：（1）正确． A

证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM = EC ，连接 ME ． A

∴ BM = BE ．∴∠BME = 45° ，∴∠AME = 135° ． M CF 是外角平分线，∴∠DCF = 45° ，∴∠ECF = 135° ． ∴∠AME = ∠ECF ． B ∠AEB + ∠BAE = 90° ， ∠AEB + ∠CEF = 90° ， E C G B E C G

图 1 A ∴ ∠BAE = ∠CEF ． （2）正确．

∴△≌A M △E BCF （ASA ）． ∴ AE = EF ． 证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN = CE ，连接 NE ． B E C

G

∴ BN = BE ． ∴∠N = ∠PCE = 45° ．

N 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ∥ BE ． A

A

∴∠DAE = ∠BEA ． ∴∠NAE = ∠CEF ． ∴△≌A N △E ECF （ASA ）． ∴ AE = EF ．

B

C E G

B

C E G

图 3

2.（2009 年江西中考题 25）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD //BC ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF //BC 交 CD 于点 F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．

（1） 求点 E 到 BC 的距离； （2） 点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM ⊥EF 交 BC 于 M ，过 M 作 MN //AB 交折线 ADC 于 N ，连结 PN ，设 EP ＝x ．

①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由．

D F

3

3

3

3 7

3 7

1

图1 图2 图3

思路点拨

1.先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF、EF 与BC 间的距离相等．

2.当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．

3.分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．

满分解答

（1）如图4，过点E 作EG⊥BC 于G．

在Rt△BEG 中，BE =AB = 2 ，∠B＝60°，

2

所以BG =BE ⋅ cos 60︒= 1，EG =BE ⋅sin 60︒=．

所以点E 到BC 的距离为．

（2）因为AD//EF//BC，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中

点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF＝4．

①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改

变．过点N 作NH⊥EF 于H，设PH 与NM 交于点Q．

在矩形EGMP 中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝

．

在平行四边形BMQE 中，BM＝EQ＝1＋x．

所以BG＝PQ＝1．

因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH＝2PQ＝

2．在Rt△PNH 中，NH＝，PH＝2，所以PN

＝．

在平行四边形ABMN 中，MN＝AB＝4．

因此△PMN 的周长为＋＋4．

图4 图5

②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．

如图5，当PM＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线