§2.2.2事件的独立性 (习题课)
第二章2.2.2事件的相互独立性习题课
[学业水平训练]1．(2014·福州八县市高二期末联考)抛掷3枚质地均匀的硬币，A ＝{既有正面向上又有反面向上}，B ＝{至多有一个反面向上}，则A 与B 关系是( )A ．互斥事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．不相互独立事件解析：选C.由已知，有P (A )＝1－28＝34，P (B )＝1－48＝12，P (AB )＝38，满足P (AB )＝P (A )P (B )，则事件A 与事件B 相互独立，故选C.2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A.34 B.18 C.78 D.58解析：选D.设至少有1人解出这个问题的概率是P ，则由题意知，(1－14)(1－12)＝1－P ，∴P ＝58.3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：选A.左边转盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边转盘指针落在奇数区域的概率为23，∴两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.4．(2014·九江检测)某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13、12、23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )A.19B.16C.13D.718解析：选D.设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A 、B 、C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋A B C 的发生，故概率为P ＝(1－13)×12×23＋13×(1－12)×23＋13×12×(1－23)＝718.5．(2014·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( ) A ．2个球不都是红球的概率 B ．2个球都是红球的概率 C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．6．(2014·铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M 、N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35.答案：357．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________.解析：因为A 、B 相互独立，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65，P (A |B )＝P (A )＝0.3. 答案：0.65 0.38.如图所示，荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．解析：由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.答案：139．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一名同学当选的概率为 P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－45×35×710＝83125.10．(2014·石家庄高二检测)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．解：记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A ，B ，C . P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9. (1)该应聘者用方案一通过的概率是P 1＝P (A B C )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (ABC )＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.(2)应聘者用方案二通过的概率P 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9) ＝13×1.29＝0.43. [高考水平训练]1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：选D.由题意，P (A )·P (B )＝19，P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )．设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y ).即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ，∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23，故选D.2．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．解析：设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A－1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A －1A 2A 3) ＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A －2)·P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 答案：0.463．李浩的棋艺不如张岚，李浩每局赢张岚的概率只有0.45.假设他们下棋时各局的输赢是独立的．(1)计算他们的3局棋中李浩至少赢1局的概率； (2)计算他们的6局棋中李浩至少赢1局的概率．解：(1)用A 1，A 2，A 3分别表示第1，第2，第3局李浩输．则A ＝A 1∩A 2∩A 3表示李浩连输3局．其对立事件A 表示3局中李浩至少赢1局．因为事件A 1，A 2，A 3相互独立，并且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝1－0.45＝0.55， 所以P (A )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.553≈0.166 4. 于是P (A )＝1－P (A )＝0.833 6.说明3局棋中李浩至少赢1局的概率还是很大的．(2)用A 1，A 2，…，A 6分别表示第1，第2，…，第6局李浩输，则B ＝A 1∩A 2∩…∩A 6表示李浩连输6局，其对立事件B 表示6局中李浩至少赢1局．因为事件A 1，A 2，…，A 6相互独立，并且P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A 6)＝1－0.45＝0.55， 所以P (B )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A 6)＝0.556≈0.027 7.于是P (B )＝1－P (B )＝0.972 3. 说明6局棋中李浩至少赢1局的概率大于0.97.4．甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译不出密码的概率； (2)至多1个人译出密码的概率； (3)至少1个人译出密码的概率．解：记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)2个人都译不出密码的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12. (2)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.。
§2.2.2事件的独立性
学案48 §2.2.2事件的独立性一、基础知识1、相互独立的概念设A 、B 是两个事件，如果=)|(A B P _______，则称事件A 与事件B 相互独立。
把这两个事件叫做相互独立事件 2、相互独立的性质（1）若事件A 与事件B 独立，那么=)|(A B P ____________，=)|(B A P __________，=⋂)(B A P ___________。
（2）如果事件A 与事件B 相互独立，那么_________与__________，_________与__________，_________与__________也都相互独立。
3、相互独立事件与互斥事件的区别二、例题分析例1 在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
例2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： （1） 两人都投中的概率；（2） 其中恰有一人投中的概率； （3） 至少有一人投中的概率。
例3在一段线路中并联着三个独立自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。
假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
三、巩固练习1、袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回的摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是 （ ）A 、互斥事件B 、相互独立事件C 、对立事件D 、不相互独立事件2、两人打靶，甲击中的概率是0.8，乙击中的概率是为0.7，若两人同时射击同一目标，则他们都中靶的概率是 （ ）A 、0.56B 、0.48C 、0.75D 、0.63、某射手射击一次，击中目标的概率是0.8，他重复射击三次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，那么他第一、二次未击中，第三次击中的概率___________。
高中数学选修2-3课时作业2：2.2.2事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。
2.2.2事件的相互独立性
问题探究
一般地，对于事件A，B，如果事 件A的发生不影响事件B发生的概率， 那么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据 条件概率计算公式可得什么结论？ P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝ P(A) P(B|A) ＝ P(A) P(B).
新课讲解
设A,B两个事件,如果事件A是否发生 对事件B发生的概率没有影响 (即 P(AB)=P(A)P(B) ),
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
课堂小结
1.事件A与B相互独立可直观理解为： 事件A的发生对事件B发生的概率没有影 响，同时事件B的发生对事件A发生的概 率也没有影响.在实际应用中，如果事件 A与B是在相同条件下进行的随机试验， 则事件A与B相互独立.
典例讲评
例2 某商场推出二次开奖活动，凡购 买一定价值的商品可以获得一张奖券， 每张奖券可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动，如果两次兑奖活动的中 奖概率都是0.05，求两次抽奖中下列事 件的概率. （1）两次都中奖； 0.0025 （2）恰有一次中奖； 0.095 （3）至少有一次中奖.0.0975
1
P ( A) 1 P ( B ) 1 P (C )
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是 P 1 P ( A B C ) 1 0.027 0.973
练习5
(1 0.7) (1 0.7) (1 0.7) 0.027
课件11：2.2.2 事件的独立性
入门答辩 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球、 2 个黑球．从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A 为“从甲箱里摸出白球”，B 为“从乙箱里摸出白球”．
问题 1：事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？
提示：不影响．
问题 2：试求 P(A)、P(B)、P(A∩B)．
【答案】0.912
4．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分 别为51，31，41，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密 码被破译的概率为________．
【解析】用 A，B，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码， 则 P(A)＝15，P(B)＝13，P(C)＝14， 且 P( A ∩ B ∩ C )＝P( A )P( B )P( C )＝54×32×43＝52. 所以此密码被译出的概率为 1－52＝53.
考点二 相互独立事件同时发生的概率
例 2 某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次 考试中排名全班第一的概率：语文为 0.9，数学为 0.8， 英语为 0.85，求： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班 第一的事件为 A，B，C，则 A，B，C 两两相互独立且 P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用，A ∩ B ∩ C 表示 P( A ∩ B ∩ C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.
【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独 立的，其结果不受先后影响，故 A 是独立事件；B 中 是不放回地摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立； 对于 C，A，B 应为互斥事件，不相互独立；D 是条件 概率，事件 B 受事件 A 的影响． 【答案】A
课时作业12：2．2.2 事件的独立性
2.2.2 事件的独立性1．已知事件A 、B 发生的概率都大于零，则( )A ．如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件 B ．如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C ．如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D ．如果A ＋B 是必然事件，那么它们一定是对立事件2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A ．35B ．34C ．1225D ．3．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( )A ．115B ．215C ．15D ．1105．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为( )A ．36125B ．44125C ．54125D ．981256．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )A ．0.12B ．0.88C ．0.28D ．0.427．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为( )A ．35B ．25C ．160D ．不确定8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．349．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为________．10．甲、乙两同学同时解一道数学题．设事件A ：“甲同学做对”，事件B ：“乙同学做对”，(1)甲同学做错，乙同学做对，用事件A ，B 表示为________； (2)甲、乙两同学同时做错，用事件A ，B 表示为________； (3)甲、乙两同学中至少一人做对，用事件A ，B 表示为________； (4)甲、乙两同学中至多一人做对，用事件A ，B 表示为________； (5)甲、乙两同学中恰有一人做对，用事件A ，B 表示为________．11．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________.12．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．13．已知A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是12，事件B 发生的概率是23，事件C 发生的概率是34，求下列事件的概率：(1)事件A 、B 、C 只发生两个； (2)事件A 、B 、C 至多发生两个．14．某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率分别为0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么这种零件的次品率是多少？15．甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)恰有1个人译出密码的概率； (4)至多1个人译出密码的概率； (5)至少1个人译出密码的概率．参考答案1．【解析】 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因而它们不可能为互斥事件． 【答案】 C2．【解析】 设“甲射击一次中靶”为事件A ，“乙射击一次中靶”为事件B ，则P (A )＝810＝45，P (B )＝710.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝1425.【答案】 D 3．【答案】 A4．【解析】 记“甲投篮1次投进”为事件A 1，“乙投篮1次投进”为事件A 2，“丙投篮1次投进”为事件A 3，“3人都没有投进”为事件A .则P (A 1)＝13，P (A 2)＝25，P (A 3)＝12，P (A )＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3)＝[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)]＝(1－13)(1－25)(1－12)＝15，故3人都没有投进的概率为15. 【答案】 C5．【解析】 事件A ：“至多有两人选择去武侯祠游览”的对立事件为B ：“三人均选择去武侯祠游览”，其概率为P (B )＝(35)3＝27125，∴P (A )＝1－P (B )＝1－27125＝98125.【答案】 D6．【解析】 P ＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42. 【答案】 D7．【解析】 P ＝1－(1－15)(1－13)(1－14)＝35.【答案】 A8．【解析】 P (A ＋B )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝12×56＋12×16＋12×16＝712，故选C. 【答案】 C9．【答案】 (1－a )(1－b )10．【解析】 由于事件A 和事件B 是相互独立的，故只须选择适合的形式表示相应事件便可．【答案】 (1)A ·B (2)A ·B (3)A ·B ＋A ·B ＋A ·B (4)A ·B ＋A ·B ＋A ·B (5)A ·B ＋A ·B 11．【答案】 0.65 0.312．【解析】 加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 【答案】37013.解 (1)记“事件A ，B ，C 只发生两个”为A 1，则事件A 1包括三种彼此互斥的情况，A ·B ·C ；A ·B ·C ；A ·B ·C ，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所以概率为P (A 1)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝224＋324＋624＝1124，∴事件A ，B ，C 只发生两个的概率为1124.(2)记“事件A ，B ，C 至多发生两个”为A 2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A ，B ，C 一个也不发生，记为A 3，事件A ，B ，C 只发生一个，记为A 4，事件A ，B ，C 只发生两个，记为A 5，故P (A 2)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝124＋624＋1124＝34.∴事件A 、B 、C 至多发生两个的概率为34.14．解 设“第i 道工序出次品”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5,6，它们相互独立，但不互斥，所以出现次品的概率为P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5＋A 6) ＝1－P (A －1·A －2·A －3·A －4·A －5·A －6)＝1－(1－0.01)·(1－0.02)·(1－0.03)2·(1－0.05)2＝0.176 1.15.解 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2 个人都译出密码”的概率为： P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12.(3)“恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝13(1－14)＋(1－13)×14＝512.(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：1－P (A ·B )＝1－P (A )P (B )＝1－23×34＝12.。
2017年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性习题课件新人教A版选修2_3
解：记“甲射击 1 次，击中目标”为事件 A，“乙射击 1 次， 击中目标”为事件 B，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B ，A 与 B 为相互 独立事件，
(1)2 人都射中目标的概率为： P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况： 一种是甲射中、乙未射中(事件 A B 发生)，另一种是甲未射中、乙 射中(事件 A B 发生)．根据题意，事件 A B 与 A B 互斥，根据互斥 事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概 率为：
(2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回 答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回 答第一、二、三、四轮问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问 题能否正确回答互不影响：
(3)分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 M：“第 1 枚为正面”，
事件 N：“两枚结果相同”．
这 3 个问题中，M，N 是相互独立事件的有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
解析：(1)中，M，N 是互斥事件；(2)中，P(M)＝35，P(N)＝12.
即事件 M 的结果对事件 N 的结果有影响，所以 M，N 不是相互
P(A B )＋P( A B)＝P(A)·P( B )＋P( A )·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为
高中数学选修2(新课标)课件2.2.2事件的相互独立性
由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件．于
是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B) 成立．从而事件 A 与 B 是相互独立的．
【答案】 (2)见解析
状元随笔 (1)因为事件 A 和事件 B 相互独立，故 P(A B )＝P(A)
－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P( B )．
由相互独立事件的定义知事件 A 与事件 B 相互独立．类似可证
明 A 与 B， A 与 B 也都相互独立． (2)两个事件的相互独立性可以推广到 n(n＞2，n∈N*)个事件的
＋P( A )P(B)＝0.6×0.4×2＝0.48.
(3)至少有 1 人击中目标，即事件 A B 或事件 A B 或事件 AB 发 生，由于两人各射击一次，事件 A B 、事件 A B、事件 AB 不可能同 时发生，为互斥事件，所以至少有 1 人击中目标的概率为 P(AB)＋ P(A B )＋P( A B)＝0.36＋0.48＝0.84.
【答案】 (1)①②③
(2)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能 的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下列两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：
事件的独立性习题课
点拨： (1)利用独立事件同时发生的概率求解. (2)恰有3次连续击中包括前3次和后3次连续击中这 两个互斥事件. (3)包括前2次击中，后2次连续不中和只有第二次 击中，其余3次均未击中这两个事件.
解： (1)记事件A表示"甲击中目标"，事件B表示"乙 击中目标"，依题意知事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为 2 3 1 P(AB)=P(A)P(B)= . 3 4 2
因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P[(AB) (AB)] =P(AB)+P(AB)=(1-0.6) 0.6+0.6 (1-0.6) 0.48. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是 P(AB) P[(A B) (A B)] 0.36 0.48 0.84. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
(1)"两人各射击一次，都击中目标"就是事件AB，又 事件A与B相互独立， P(AB)=P(A)P(B)=0.8 0.8=0.64.
(2)"两人各射击一次，恰有一人击中目标"包括两种情 况：一种是甲击中乙未击中，即AB ，另一种是甲未 击中乙击中，即AB.根据题意， 这两种情况在各射击一次时不可能同时发生， 即事件AB与AB是互斥的， 所求概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8 (1-0.8)+(1-0.8) 0.8 =0.16+0.16=0.32.
解：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况： 第一局中乙胜甲(A1 ),其概率为1-0.4=0.6， 第一局中乙胜丙(A 2 ),其概率为0.5， 第一局中乙胜甲(A 3 ),其概率为1-0.4=0.6， 第一局中乙胜丙(A 4 ),其概率为0.5， 因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜 四局的概率为P(A)=P(A1A 2 A 3A 4 )=0.6 2 0.52 =0.09.
学案7：2.2.2 事件的独立性
2.2.2事件的独立性课堂导学三点剖析一、条件概率例1 一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？温馨提示关键是弄清楚P（A·B）及P（A）.二、事件的独立性的应用例2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率.三、条件概率与事件独立性的综合应用例3 益趣玩具厂有职工500人，男、女各占一半，男、女职工中非熟练工人分别为40人与10人，现从该企业中任选一名职工，试问：A .该职工为非熟练工人的概率是多少？b .若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？思路分析：题a 的求解同学们已很熟，它是一般的古典概型问题，b 的情况有所不同.它增加了一个附加信息，设A 表示非熟练工人，B 表示出的是女职工，问题b 可以叙述为在已知事件B 发生的条件下，求事件A 发生的概率.各个击破类题演练 1在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率.变式提升 1设A 、B 互斥，且P （A ）＞0,则P （B |A ）=______________.若A 、B 相互独立，P （A ）＞0,则P （B |A ）=______________.类题演练 2 甲、乙二人独立地解开密码，甲完成的概率是51，乙完成的概率是52，则甲、乙都完不成的概率是多少？变式提升 2分别掷两枚均匀硬币，令A ={甲出现正面}，B ={乙出现正面}验证：事件A 、B 是否独立.类题演练3某种产品用满6 000小时未坏的概率为75%，用满10 000小时未坏的概率为50%,现有这样的一个元件，已用过6 000小时未坏，问它能用10 000小时的概率？变式提升3设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是____________.参考答案课堂导学三点剖析一、条件概率例1 解：一个家庭的两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为Ω，A =“其中一个是女孩”，B =“其中一个是男孩”，则Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A ={（男，女），（女，男），（女，女）}，B ={（男，男），（男，女），（女，男）}，AB ={（男，女），（女，男）}，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P （B |A ）.由上面分析可知P （A ）=43，P （AB ）=42. 由公式②可得P （B |A ）=324342, 因此所求条件概率为32. 例2 解：（1）设A =“甲投篮一次，投中”，B =“乙投篮一次，投中”，则AB =“两人各投篮一次，都投中”.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为P （AB ）=P （A ）·P (B )=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中（事件A ∩B 发生），另一种是甲未投中、乙投中（事件A ∩B 发生）。
课时作业13：2．2.2 事件的独立性
2.2.2 事件的独立性1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸到白球”，用B 表示“第二次摸到白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．非相互独立事件2．某射击运动员射击一次命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是( )A ．0.64B ．0.56C ．0.81D ．0.993．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A 型螺栓的概率为( )A ．120B ．1516C ．35D ．19204．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于( )A ．29B ．118C ．13D ．235．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．7．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．8．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．参考答案1．【解析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A 与B 为非相互独立事件．【答案】D2．【解析】A i 表示“第i 次击中目标”，i ＝1,2，则P (A 1∩A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.9×0.9＝0.81.【答案】C3．【解析】设“从甲盒中取一螺杆为A 型螺杆”为事件A ，“从乙盒中取一螺母为A 型螺母”为事件B ，则A 与B 相互独立，P (A )＝160200＝45，P (B )＝180240＝34，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A 型螺栓的概率为P ＝P (A ∩B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35. 【答案】C4．【解析】由P (A ∩B )＝P (B ∩A )得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A ∩B )＝19， ∴P (A )＝P (B )＝13.∴P (A )＝23. 【答案】D5．【解析】由题意知P ＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.【答案】0.656．【解析】设从甲袋中任取一个球，事件A 为“取得白球”，则事件A 为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B 为“取得白球”，则事件B 为“取得红球”．∵事件A 与B 相互独立，∴事件A 与B 相互独立．∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P ((A ∩B )∪(A －∩B －))＝P (A ∩B )＋P (A －∩B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －)＝23×12＋13×12＝12. 【答案】127．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B .(1)P (A ∩B )＝P (A )×P (B )＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (A ∩B )＝1－P (A )×P (B )＝1－15×14＝1920. 8．解：记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ，依题意得P(A i)＝0.7，P(B i)＝0.6，且A i，B i相互独立．(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件A1∩A2∩A3，且这三次试跳相互独立．∴P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(A1)P(B1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件M i(i＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件N i(i＝0,1,2)，∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1∩N0＋M2∩N1，且M1∩N0，M2∩N1为互斥事件，则所求的概率为P(M1∩N0＋M2∩N1)＝P(M1∩N0)＋P(M2∩N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝C12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C12×0.6×0.4＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.∴甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.。
#2.2.2《事件的相互独立性(一)》(新人教A版选修2-3)
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2 人击中目标的概率都是0.6，计算：
(2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种
情况:一种是甲击中, 乙未91
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
P(A)+P(Ā)=1
2.2.2事件的相互独立性(二)
Ja在这段时间内 闭合” 在这段时间内， A ：“Ja在这段时间内，闭合” Jc Jb在这段时间内 闭合” 在这段时间内， B ：“Jb在这段时间内，闭合” Jc在这段时间内 闭合” 在这段时间内， C ：“ Jc在这段时间内，闭合”。
变题：世纪金榜P37例3 变题：
1.射击时 甲射 次可射中 次;乙射 次可射中 次. 射击时, 甲射10次可射中 次可射中8次 乙射 次可射中7次 乙射10次可射中 射击时 14 乙同时射中同一目标的概率为 则甲,乙同时射中同一目标的概率为 乙同时射中同一目标的概率为_______ 25 2.甲袋中有 球 (3红,2白), 乙袋中有 球 (2红,1白). 甲袋中有5球 红 白 乙袋中有3球 红 白 甲袋中有 3 从每袋中任取1球 则至少取到1个白球的概率是___ 个白球的概率是 从每袋中任取 球,则至少取到 个白球的概率是 5 3.甲,乙二人单独解一道题 若甲 乙能解对该题的概率 甲 乙二人单独解一道题 若甲,乙能解对该题的概率 乙二人单独解一道题, 分别是m, 此题被解对的概率是 的概率是_______ 分别是 n . 则此题被解对的概率是 m+n- mn
每次1件则两次都抽出次品的概率是 ③从中抽两次,每次 件则两次都抽出次品的概率是 从中抽两次 每次 件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取 放回抽取) 放回抽取 C41·C41 C1001·C1001
例4某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考试依 某大学毕业生参加某单位的应聘考试，
存分为笔试、面试、实际操作三轮进行， 存分为笔试、面试、实际操作三轮进行，规定只有 通过前一轮才能进入下一轮考试，否则被淘汰。三 通过前一轮才能进入下一轮考试，否则被淘汰。 轮考试都通过才能正式录用。设该大学生同行一、 轮考试都通过才能正式录用。设该大学生同行一、 三轮考试的概率分别是2/3,3/4,4/5,且各轮考试 二、三轮考试的概率分别是 且各轮考试 通过与否相互独立。 通过与否相互独立。 （1）求该大学生进入第三轮考试的概率 ） （2）设该大学生在应聘考试中考试的轮数为ξ ，求 ξ ） 的分布列。 的分布列。
2.2.2事件的独立性
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
又见同步P37 例一 小组讨论 投影展示讲解
1.相互独立事件的若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
两个事件A、B相互独立等价于 P(AB) P(A)P(B)
两个事件互斥，有 P(A B) P(A) P(B). 反之，不成立。
例题举例
例2、甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮， 如果两人投中的概率都是0.6，计算：
（1）两人都投中的概率
（2）其中恰有一人投中的概率
（3）至少有一人投中的概率
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P(ABC) 1 0.50.550.6 0.835
>0.8
0.8 P(D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过
诸葛亮.
完成学案达标检测（分三个小组展示）
解决问题
图形中蕴含的原理
1 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
(1)
1
2
P1=r2
1
2
(3)
1
2
P3=1－(1－r2)2
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
答案
2. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，
只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定
课时作业15：2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性1．下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是()A．互斥的事件B．相互独立的事件C．对立的事件D．不相互独立的事件3．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩．(2)家庭中有三个小孩．题组二相互独立事件同时发生的概率4．如图，元件A i(i＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是()A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.98915．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.136．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________． 题组三 相互独立事件的综合应用7．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( ) A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.48．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13B.23C.12D ．19．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________． 综合提升练 一、选择题1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12B.35C.23D.342．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 片上，则跳三次之后停在A 片上的概率是( )A.13B.29C.49D.8273．甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答题及格的概率为810，乙答题及格的概率为610，丙答题及格的概率为710，3人各答题1次，则3人中只有1人答题及格的概率为( ) A.320 B.42125C.47250D ．以上全不对二、填空题4．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是________．5．已知甲袋中有除颜色外大小相同的8个白球，4个红球；乙袋中有除颜色外大小相同的6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________． 三、解答题6．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．7.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率．【参考答案】1．A【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为对立事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A. 2．D【解析】P (A 1)＝35，若A 1发生，则P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，则P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，故A 1与A 2不是相互独立事件．故选D. 3．解：有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件． 于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的． 题组二 相互独立事件同时发生的概率 4．B【解析】电流能通过A 1，A 2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A 3的概率为0.9， 故电流不能通过A 1，A 2且也不能通过A 3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.故电流能通过系统A 1，A 2，A 3的概率为1－0.019＝0.981. 而电流能通过A 4的概率为0.9，故电流能在M ，N 之间通过的概率是0.981×0.9＝0.8829. 5．A【解析】“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝46＝23，事件A 、B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.6．35192【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192.题组三 相互独立事件的综合应用 7．A【解析】解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A. 8．C【解析】设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”． 依题意知，事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ，则C ＝A ∪A －B ，且A B －和A －B 互斥．故P (C )＝P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝ P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－12×13＝12. 9．0.46【解析】设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立， 同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生， 故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3) ＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 综合提升练 一、选择题 1．D【解析】根据题意，由于甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，根 据两队每局中胜出的概率都为12，则可知甲队获得冠军的概率为12×12＋12＝34.2．A【解析】由题意知逆时针方向跳的概率为23，顺时针方向跳的概率为13，青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条，按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A 上的概率为P 1＋P 2＝827＋127＝13.3．C【解析】设“甲答题及格”为事件A ，“乙答题及格”为事件B ，“丙答题及格”为事件C ， 显然事件A ，B ，C 相互独立，设“3人各答1次，只有1人及格”为事件D ，则D 的可能情况为A B －C －，A －B C －，A －B －C (其中A －，B －，C －分别表示甲、乙、丙答题不及格)． A B －C －，A －B C －，A －B －C 不能同时发生，故两两互斥，所以P (D )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C ) ＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C )＝810×410×310＋210×610×310＋210×410×710＝47250. 二、填空题 4．0.902【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确记为事件A －，B －，C －，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1， 至少两颗卫星预报准确的事件有AB C －，A B －C ，A －BC ，ABC ，这四个事件两两互斥． ∴至少两颗卫星预报准确的概率为P ＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＋P (ABC )＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 5．12【解析】设从甲袋中任取一个球，事件A ：“取得白球”，则此时事件A －：“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B ：“取得白球”，则此时事件B －：“取得红球”． ∵事件A 与B 相互独立；∴事件A －与B －相互独立．∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A －B －)＝P (AB )＋P (A －B －)＝P (A )·P (B )＋P (A －)·P (B －)＝23×12＋13×12＝12.三、解答题6．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)·P (A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)·P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59.P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)·P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (B 3)＝29.P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)·P (B 2)P (A 3)·P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081.P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为7. 解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场， 分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B －∪A －B ，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.。
课时作业2：2.2.2 事件的独立性
2．2.2 事件的独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件答案 A解析 由题意可得A 2表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34 答案 C解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16， ∴P (A )＝12，P (B )＝56. 又A ，B 为相互独立事件，∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512. ∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A B )＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为()A.116 B.18C.316 D.14答案 C解析满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.∴所求事件的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)()A.49 B.190 C.45 D.59答案 B解析该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(A B)＝________；P(A B)＝________.答案1616解析∵P(A)＝12，P(B)＝23，∴P(A)＝12，P(B)＝13.∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16， P (A B )＝P (A )P (B )＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 35解析 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625， ∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1 A 2A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23 答案 D解析 由题意，P (A )·P (B )＝19， P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y ). 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ，∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78 答案 B解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(AB C )∪(A B C ) ＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．答案35 192解析由题意P(A)＝2560＝512；P(B)＝3560＝712；P(C)＝4560＝34；所以所求概率P＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解(1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A，则A为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P(A)＝C36C310＝16，所以P(A)＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A，女同学甲通过测验的事件为B，男同学乙通过测验的事件为C，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A∩B∩C，由条件知A，B，C三个事件为相互独立事件，所以P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)．而P(A)＝C18C310＝115，P(B)＝45，P(C)＝35，所以P(A∩B∩C)＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为A k(k＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1·A 2·A 3·A 4·A 5. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1·A 2·A 3·A 4·A 5)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)·P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列． 解 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×(1－45)＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×(1－34)＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为。
2021学年高中数学2.2.2事件的独立性练习含解析人教A版选修2_3
第二章 2.2 2.2.2请同学们认真完成练案[12]A 级 基础巩固一、选择题1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( A )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[解析] 由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件． 2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )A ．49 B ．29 C ．23D ．13[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49．3．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[解析] P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射一次，那么56等于( D ) A ．甲、乙都击中靶心的概率 B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率 C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率 D ．甲、乙不全击中靶心的概率[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝56．5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12 B ．512 C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512．6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为( C )A ．320 B ．42135 C ．47250D ．1735[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.故选C ．二、填空题7．在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为__35192__． [解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为512、712、34． ∴所求概率P ＝512×712×34＝35192．8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，能配成A 型螺栓的概率为__35__．[解析] 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35． 9．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46． 三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． [解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P A B ＝14，PB C＝112，PAC ＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P A ·[1－P B ]＝14， ①P B ·[1－P C ]＝112， ②PA ·P C ＝29. ③由①、③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0． 解得P (C )＝23或 119(舍去)．将P (C )＝23分别代入③、②可得P (A )＝13、P (B )＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23．(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56．B 级 素养提升一、选择题1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13 B ．29 C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13．2．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个 问题的概率是P 2，则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1，乙不能解决这个问题的概率是1－P 2， 则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2)，故选D ．二、填空题3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__ ． [解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14．设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516．4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为__13__，问题得到解决的概率为__23__．[解析] 甲、乙两人都未能解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题， ∴P ＝1－13＝23．三、解答题5．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12，(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．[解析] (1)记事件M ：甲连胜四场，则P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116．(2)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为P ′＝P (ABAB )＋P (ACAC )＋P (BCBC )＋P (BABA )＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，所以，需要进行第五场比赛的概率为P ＝1－P ′＝34．(3)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输， 记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，所以，甲赢的概率为P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝932．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为P (N )＝1－2×932＝716．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415． (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A B)＝P(A)·P(B)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－1415＝145．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(A B)＝1－145＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．。
课时作业6 ：2.2.2事件的独立性
事件的独立性一、选择题1、 若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（ ）A. A 与A --B.A 与B --C. A -- 与BD. A --与B --2、 抛掷一颗骰子一次,记A 表示事件:出现偶数点，B 表示事件：出现3点或6点，则事件A 与B 的关系.（）A 、相互互斥事件B 、相互独立事件C 、既相互互斥事件又相互独立事件D 、既不互斥事件又不独立事件3、在下列命题中为假命题的是（ ）A. 概率为0的事件与任何事件都是互相独立的B. 互斥的两个事件一定不是相互独立的，同样互相独立的两个事件也一定不是互斥的C. 必然事件与不可能事件是相互独立的D. 概率为1的事件与任何事件都是相互独立的4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为12、14、112，现在三人射击一个目标各一次，目标被设计中的概率是（ ）A. 196B. 4796C. 2132D. 56 5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件A 发生的概率P （A ）是（ ） A.23 B. 13 C. 19 D 118 二、填空题6、每门高射炮射击飞机的命中率为0.6，至少要 门高射炮独立的对飞机同时进行一次射击就可以使击中的概率超过0.98.7、甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为0.5和0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率8、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则连续三位顾客都使用信用卡的概率为9、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为1P ,2P ,3P ,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是10、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人中至少有一人射中的概率是三、解答题11、甲．乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求： （1） 三人中有且只有两人及格的概率；（2） 三人中至少有一人不及格的概率。
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学案49 §2.2.2事件的独立性 （习题课）
一、基础知识
1、相互独立的概念
2、相互独立的性质
3、相互独立事件与互斥事件的区别 二、习题
1、若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（ ） A. A 与A --
B.A 与B --
C. A --
与B D. A --
与B --
2、设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为
1
9
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件A 发生的概率P （A ）是（ ） A.
23 B. 13 C. 19 D 118
3、假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-P ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（ ） A ． 2,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为12、14、1
12
，现在三人射击一个目标各一次，目标被击中的概率是（ ） A.
196 B. 4796 C. 2132
D. 56
5、一袋中有3个红球、2个白球，另一袋中有2个红球、1个白球，从每袋中任取
一球，则至少取一白球的概率是 （ ）
A 、
83 B 、53 C 、52 D 、5
1 6、在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是1
5
，假定两人的行动相互之间没
有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )
()
A 320 ()
B 15 ()
C 25 ()
D 9
20
7、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则连续三位顾客都使用信用卡的概率为
8、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为1P ,2P ,3P ,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是
9、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人中至少有一人射中的概率是
10、每门高射炮射击飞机的命中率为0.6，至少要 门高射炮独立的对飞机同时进行一次射击就可以使击中的概率超过0.98.
11、甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为0.5和0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率
12、甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率
13、甲．乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为
45、35、710
， 求：（1）三人中有且只有两人及格的概率；
（2）三人中至少有一人不及格的概率。
14、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；
（2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？。