高中数学 2.3直线的参数方程 新人教A版选修4-4

得(1＋sin2α)t2＋ 10tcos α＋32＝0.
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则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝2（1＋s3in2α）.
又直线与曲线相交，
x＝1＋12t，
(t
y＝3＋
3 2t
为参数)和方程xy＝＝31＋＋t，3t(t
为参数)是否为直线
l
的参
栏 目 链 接
数方程．如果是直线 l 的参数方程，那么请指出是参数方程中的哪种
形式，并指出方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数的几何意义．
分析：判断直线的参数方程是否为标准形式，主要看能否满足 a2＋
和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的
距离公式来求．
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解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为34，设直线
的倾斜角为 α，
则 tan α＝43，sin α＝53，cos α＝54.
栏
目
又点 P(1，1)在直线 l 上，
链
接
x＝1＋54t， 所以直线 l 的参数方程为 y＝1＋35t (t 为参数)．
链 接
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2
＝45t2＋5t＋25＝45(t＋2)2＋20.
当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线的距离，
则|PM|＝ 20＝2 5.
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解法二 由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如上图所示，它
栏
对应参数 t＝－2，代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标：x＝2，y 目
栏 目
解析：(1)由题意知直线的点斜式方程为
链 接
y－3＝－24(x－1)．设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝31＋－t2t.，
所以该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
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(2)解法一 如下图所示，在直线上任取一点M(x，y)，则
栏
目
|PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
x＝1＋ 515t′，
得到直线 l 的参数方程的标准形式为：
(t′为参数
栏 目
y＝3＋
10 5 t′
链 接
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2．直线过点 A(1，3)，且与向量(2，－4)共线．
(1)写出该直线的参数方程；
(2)求点 P(－2，－1)到此直线的距离．
分析：已知直线与向量(2，－4)共线，可知直线的斜率
k＝－24.
上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和点 N(－2，6)
的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为43，即直线的倾斜角(设
栏 目
链
为 α)的正切值为43，tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为点 P 接
在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定点，到点 M
1．化直线的参数方程xy＝＝31＋＋3t6，t (t 为参数)为参数方程的标准形
式．
栏
目
点拨：只需把 t 的系数作变换，使其满足 a2＋b2＝1.
链
解析：由x＝1＋3t，得：
接
y＝3＋ 6t
x＝1＋
3 32＋（
6）2
32＋（
6）2t，
y＝3＋
6 32＋（
（ 6）2
32＋（
6）2t）
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令 t′＝ 32＋（ 6）2t，
2．3 直线的参数方程
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栏 目 链 接
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1．了解直线的几何性质，选择适当的参数写出它们 的参数方程． 2．举例说明某些直线用参数方程表示比用普通方程 表示更方便，感受参数方程的优越性．
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栏 目 链 接
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题型一 直线的参数方程及其理解
π 例 1 已知直 线 l 过点 Mo(1，3)，倾斜角为 3 ，判断方程
因为 3×5－4×4＋1＝0，
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所以点 M 在直线 l 上．
由 1＋45t＝5，得 t＝5，
栏
目
即点 P 到点 M 的距离为 5.
链
接
因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得
|PN|＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
所以点 P 到点 N 的距离为 34.
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►变式训练
目 链 接
解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
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例5
过点
百度文库
P
210，0作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2＋2y2＝1 交
于点 M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的 α 值．
解析：设直线方程为x＝
210＋tcos
α， (t 为参数)，
栏 目 链
y＝tsin α
接
代入 x2＋2y2＝1，
参数 t 的绝对值是有向线段M→oM的长度， 而方程xy＝＝31＋＋t，3t(t 为参数)是非标准形式，
参数 t 不具有上述几何意义．
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例 2 设直线的参数方程为xy＝＝150＋－34t，t.
(1)求直线的普通方程；
栏
(2)化参数方程为标准形式．
目
链
解析：(1)由 y＝10－4t，得 t＝104－y，代入 x＝5＋3t，得 x＝5 接
＋3×104－y.
化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0.
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x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， (2)把方程变形为
y＝10＋54×（－5t）.
栏
目
链
令 cos α＝－35，sin α＝45.
接
x＝5－35u， u＝－5t，则参数方程的标准形式为： y＝10＋45u.
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例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在直线 l
程组确定交点 M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出|MP0|.而利用
直线的参数方程，无需求出交点的坐标，由参数的几何意义可直接求
得|MP0|.
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x＝3＋ 22t，
解析：设直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝4＋
2 2t
栏
将它代入已知直线
3x＋2y－6＝0
得
33＋
22t＋24＋
22t＝6，
b2＝1，且 a，b 所对应的 α 是否满足是直线的倾斜角．
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解析：因为以上两个方程消去参数后，均可以得到直线 l 的普通
方程为 3x－y－ 3＋3＝0，
所以以上两个方程都是直线 l 的参数方程，其中
x＝1＋12t，
cos
y＝3＋
3 2t
α＝12，sin
α＝
23，t为参数是标准形式，
栏 目 链 接
链
＝1，即垂足 P0(2，1)，显然有|PP0|＝ （2＋2）2＋（1＋1）2＝2 5. 接
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题型二 直线参数方程的应用
π 例 4 一直线过点 P0(3，4)，倾斜角 a＝ 4 ，求此直线与直线 3x
＋2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
栏 目
链
分析：如果用一般方法来解，那么先要确定直线的方程，再通过解方 接