导数中的二阶导问题

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导数的二阶及三阶的几何意义

导数的二阶及三阶的几何意义摘要：1.导数的概念回顾2.二阶导数的几何意义3.三阶导数的几何意义4.导数在实际问题中的应用正文：导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在数学和物理等领域，导数被广泛应用。

本文将讨论导数的二阶和三阶几何意义，并探讨其在实际问题中的应用。

首先，我们来回顾一下导数的概念。

导数表示函数f(x)在x处的变化率，可以用以下公式表示：f"(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x)) / h]其中，h表示自变量x的变化量。

当h趋近于0时，f"(x)的极限值就是函数f(x)在x处的导数。

接下来，我们来探讨导数的二阶和三阶几何意义。

1.二阶导数的几何意义二阶导数表示函数在某一点处的曲率。

设函数f(x)的二阶导数为f""(x)，那么f""(x)表示函数f(x)在x处的曲率半径。

在二维平面上，曲率半径描述了曲线的弯曲程度。

如果f""(x)大于0，说明曲线在x处向上凸；如果f""(x)小于0，说明曲线在x处向下凸。

2.三阶导数的几何意义三阶导数表示函数在某一点处的拐点。

设函数f(x)的三阶导数为f"""(x)，那么f"""(x)表示函数f(x)在x处的拐点方向。

在三维空间中，拐点描述了曲面的转折点。

如果f"""(x)大于0，说明曲面在x处向上凸；如果f"""(x)小于0，说明曲面在x处向下凸。

最后，我们来看一下导数在实际问题中的应用。

导数在实际问题中的应用非常广泛，例如：1.优化问题：在经济学、工程等领域，我们常常需要优化某个目标函数。

利用导数，我们可以求解最优解，从而达到预期的目标。

2.变化率问题：在物理、化学等领域，导数被用来描述变化率。

二阶导数的题型及解题技巧

二阶导数的题型及解题技巧
二阶导数是指一个函数的导函数的导数，也可以理解为对函数的自变量求导两次。

以下是一些常见的二阶导数的题型及解题技巧：
1. 求给定函数的二阶导数：
- 首先求一阶导数；
- 然后将一阶导数再次求导。

2. 求函数的二阶导数后的特定值：
- 先求出二阶导数；
- 再将特定值代入二阶导数中进行计算。

3. 求函数的二阶导数为零或不存在的点：
- 先求出二阶导数；
- 然后将二阶导数等于零或不存在的情况求解。

4. 求曲线的凹凸性：
- 首先求出二阶导数；
- 然后将二阶导数的正负性讨论出曲线的凹凸性。

5. 求函数的极值点：
- 首先求出一阶导数，并令其等于零求解得到极值点；
- 然后再求出二阶导数，并将极值点代入二阶导数，判断其正负性来确定极值点的类型。

解题技巧：
- 在求解二阶导数时，要注意使用链式法则或换元法；
- 注意一阶导数的自变量的取值范围，以避免产生不符合题意的解；
- 在讨论函数的凹凸性时，要注意判别函数的二阶导数的正负性；
- 在求极值点时，要使用二阶导数的信息来判别极值的类型（极大值或极小值）；
- 注意二阶导数不存在的情况，例如函数可能在某些点上不可导。

总之，解决二阶导数的题型需要熟练掌握求导法则和函数的一阶导数的性质，以及能够灵活应用这些知识来解题。

2阶导数求导公式

2阶导数求导公式概述：求导是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而2阶导数求导公式则是对函数的二次导数进行求导的公式。

本文将介绍2阶导数的概念及其求导公式，并通过例题展示其应用。

一、2阶导数的概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的斜率或变化率。

而2阶导数则是对一阶导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。

换句话说，2阶导数可以帮助我们分析函数的曲率。

二、2阶导数求导公式对于函数f(x)，其一阶导数为f'(x)，二阶导数为f''(x)。

下面是常见函数的2阶导数求导公式：1. 常数函数：对于常数c，它的任意阶导数都为0，即f''(x) = 0。

2. 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的二阶导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。

3. 指数函数：对于指数函数f(x) = e^x，它的二阶导数仍为f''(x) = e^x。

4. 对数函数：对于对数函数f(x) = ln(x)，它的二阶导数为f''(x) = -1/x^2。

5. 三角函数：对于三角函数f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，它们的二阶导数分别为f''(x) = -sin(x)和f''(x) = -cos(x)。

三、示例问题为了更好地理解2阶导数求导公式的应用，我们来看几个示例问题：1. 已知函数f(x) = x^3，求其二阶导数f''(x)。

根据幂函数的2阶导数求导公式，我们有f''(x) = 3(3-1)x^(3-2) = 6x。

2. 已知函数f(x) = e^x，求其二阶导数f''(x)。

根据指数函数的2阶导数求导公式，我们有f''(x) = e^x。

3. 已知函数f(x) = ln(x)，求其二阶导数f''(x)。

专题07 导数之二阶导数的应用(解析版)

专题07 导数之二阶导数的应用一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >，由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1，故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切，记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=，所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+，有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)xxkxxk f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦，当3k =时，22(1)()(2)4xx x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减；当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增，所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增；所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减；当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增；所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增，又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ，则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈，当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >）， ∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x ，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞，即得202a a -≤⇒≤，故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x xh x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减. 11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++， ()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sin ln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤ C ．0ab ≥ D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥，则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数，即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解. 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ，的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=，在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-；令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=， 112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<<所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈，则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解. 【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='，令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭，设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅. 当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212e e e 22212e2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >. 设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e x x h x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =. 综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max 14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->，于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增，因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤，所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >.即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=， ∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+，所以()11132314e e >+>，即a b c >>，故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x xh x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0，则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+=∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可.【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（）∴()sin cos f x x x =+，∴()e x f x x -=-，∴()ln 2f x x x =-，∴3()21f x x x =-+-. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是否是负数即可.【详解】∴()sin cos f x x x =+,则()sin cos f x x x ''=--，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，则()sin cos 0f x x x ''=--<，选项∴满足；∴()e x f x x -=-，则()(2)x f x x e -''=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x ->，即()0f x ''>，∴不符题意； ∴()ln 2f x x x =-，则21()0f x x ''=-<，选项∴满足； ∴3()21f x x x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()60f x x ''=-<，选项∴满足.综上有3个函数符合题意. 故选：B例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(-∞【分析】对函数()f x 求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.【详解】由()21ln f x m x x x=++，得()212m f x x x x '=-+，令()212m h x xx x =-+，则()2322m h x x x'=-++，令23220m x x-++>恒成立，即222m x x <+恒成立，令()()2220g x x x x =+>，则()()32214224x g x x x x-'=-+=，当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，g （x ）单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0g x '>，g （x ）单调递增，所以()2221g x g ≥=+=所以m <故答案为：(-∞.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出．【详解】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立．对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立，符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立，符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.。

二阶导数判定法

二阶导数判定法二阶导数判定法是高等数学中关于函数凹凸性质的重要判定方法之一。

本文将详细介绍二阶导数判定法的理论基础、具体步骤以及其在实际问题中的应用。

一、二阶导数判定法的理论基础二阶导数是函数的导数的导数，表示了函数变化的速率的变化。

对于一元函数f(x)，其二阶导数是f''(x)，即f''(x)=d^2f(x)/dx^2。

二阶导数判定法是通过研究函数的二阶导数来判断该函数在某个区间上的凹凸性质。

1. 凹凸点的定义凹凸点是函数f(x)图像上的特殊点，对于给定的函数f(x)，如果存在区间[a,b]，使得对于任意的x1,x2∈[a,b]，并且有f''(x)>0，那么称点(x,f(x))为函数f(x)在[a,b]上的凹点。

如果对于任意的x1,x2∈[a,b]，并且有f''(x)<0，那么称点(x,f(x))为函数f(x)在[a,b]上的凸点。

2. 凹凸区间的定义凹凸区间是函数f(x)图像上的特殊区间，对于给定的函数f(x)，如果在[a,b]上的每个点都是凹点，那么称区间[a,b]为函数f(x)的凹区间。

如果在[a,b]上的每个点都是凸点，那么称区间[a,b]为函数f(x)的凸区间。

3. 临界点的定义临界点是函数f(x)图像上的特殊点，对于给定的函数f(x)，如果在点c处f''(c)=0或者f''(c)不存在，那么称点(x,f(x))为函数f(x)的临界点。

二、二阶导数判定法的具体步骤二阶导数判定法通过研究函数的二阶导数的正负来判断函数的凹凸性质。

具体步骤如下：1. 求出函数f(x)的一阶导数f'(x)；2. 求出函数f'(x)的二阶导数f''(x)；3. 解方程f''(x)=0，找出函数f(x)的临界点；4. 确定函数f(x)的凹凸区间：a. 将临界点和定义域的端点分别作为凹凸区间的边界点；b. 将f''(x)的符号变化的点也加入凹凸区间的边界点；c. 根据f''(x)的符号确定函数f(x)的凹凸性质。

五类型函数的二阶导数计算方法举例习题L2

五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。

1. 基础复合函数二阶导数2. 函数和差类型二阶导数3. 函数乘积类型二阶导数4. 函数商类型二阶偏导数5. 三角函数二阶偏导数五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(2x+24)4二阶导数。

☂2：求y=22-24x 2 的二阶导数。

☂3：求y=e 5x 二阶导数y"的计算过程。

☂4：计算y=sin(27x+30)的二阶导数。

☂5：求y=e 3x 2cos1x+53x 二阶导数。

☂6：求y=ln(4x-3x 2-22)的二阶导数。

二、函数和差类型二阶导数☂7：求y=5x4+25x-75的二阶导数。

☂8：求y=3x6+22x8-43x+3的二阶导数。

☂9：求y=x3-7x6+28x+15的二阶导数。

☂10：计算y=12x5-sin6x的二阶导数。

☂11：求y=cos(2x+7)+x8+e2的二阶导数过程。

三、函数乘积类型二阶导数☂12：求函数y=x(33-54x)的二阶导数。

☂13：y=xe7x的二阶导数。

☂14：y=x 4*10x的二阶导数。

☂15：求y=xe -x 4+5的二阶导数。

☂16：y=sin21x*cos15x，求此函数的二阶导数。

☂17：z=xln(3x+5y)，求其所有二阶偏导数。

四、函数商类型二阶偏导数☂18：求y=x-90x+35的二阶导数。

☂19：函数 y=7x 2-15x+25的二阶导数。

☂20：求y=5x 28+x 2的二阶导数。

☂21：计算y=sin2x x+3的二阶导数。

☂22：求y=10x+x x 2-37的二阶导数。

五、三角函数二阶偏导数☂23：y=sin 3x 求二阶导数。

☂24：求函数y=cos6xtan7x 的二阶导数。

☂25：求函数y=cos(14x+20)x的二阶导数。

巧用导数　高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例

巧用导数㊀高效解题以二次求导在函数问题中的应用为例陈雯娜(福建省宁德市高级中学ꎬ福建宁德３５２１００)摘㊀要:本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论ꎬ简述了二阶导数的数学意义ꎬ详细介绍了二阶导数在求函数单调性㊁极值㊁参数取值范围中的具体应用方法.关键词:导数ꎻ解题ꎻ函数问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:陈雯娜(１９９５.１０ )ꎬ女ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀从高考形势来看ꎬ二次求导被频繁应用在综合题型的解决中ꎬ对学生考试成绩的影响非常大.所以ꎬ教师要重视二次求导知识点的教学.１二阶导数二次求导是指通过观察一阶导数的变化率ꎬ确定图像的凹凸性.在部分指数式㊁对数式的函数问题中ꎬ求导之后无法判断原函数单调性时才会进行二次求导ꎬ找到导数正负ꎬ确定函数单调性.如果函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上连续ꎬ且二次可导ꎬ若在该区间上函数二阶导数大于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凹的ꎻ若在该区间上函数二阶导数小于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凸的[１].另外ꎬ部分函数问题需要先构造函数后才能二次求导.整体来说ꎬ二次求导虽能降低解题难度㊁提高解题效率ꎬ但是对学生思维的灵活性要求比较高.因此ꎬ教师要多锻炼㊁启发学生思维ꎬ保证学生能熟练掌握二次求导的方法ꎬ拥有更加灵活的思维.２二次求导在函数问题中的应用２.１在函数单调性问题中的应用如果要判断原函数的单调性ꎬ则要先观察二次导数在定义域内的取值.当其值恒大于零或恒小于零时ꎬ则可推出一阶导函数在定义域内的单调性ꎬ同时ꎬ考虑一阶导数的最大值或最小值ꎬ两者结合判断原函数的单调性.若一阶导函数是单调递增的ꎬ且最小值大于零ꎬ则证明原函数单调递增ꎻ若一阶导函数是单调递减的ꎬ且最大值小于零ꎬ则证明原函数单调递减.这一结论在其他函数综合题型中也有着极其重要的应用ꎬ如极值㊁含参问题.所以教师应当要求学生打好基础ꎬ熟练掌握通过二次求导判断函数单调性的方法ꎬ以便后续解决问题时能随时调用[２].２.１.１直接讨论函数单调性相对来说ꎬ讨论不含参数的函数单调性问题时ꎬ直接进行求导㊁化简㊁在定义域内讨论导数符号进而判断单调性即可ꎬ其解题难度一般.例１㊀讨论函数ｆｘ()＝ｌｎ２(１＋ｘ)－ｘ２１＋ｘ的单调性.分析㊀针对这道题目来说ꎬ可以先确定该函数的定义域为－１ꎬ＋ɕ().对该函数求导可得:ｆᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)ｘ＋１－ｘ２＋２ｘ１＋ｘ()２ꎬ通分得到ｆᶄｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘ１＋ｘ()２.仔细观察该函数不难发２５现ꎬ分母大于零ꎬ但是分子符号不确定ꎬ所以要进一步讨论.此时ꎬ假设ｇｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘꎬ若想确定该函数的正负ꎬ则要对其求导ꎬ判断其单调性或最值ꎬ以此确定一阶导数符号ꎬ反推原函数单调区间.对ｇｘ()求导可得到ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘꎬ再二次求导可得ｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘꎬ这时就可以分情况讨论.第一种情况:当－１<ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ>０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是增函数ꎻ第二种情况:当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ<０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是单调减函数ꎬ综合考虑这两种情况ꎬｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在ｘ＝０时有最大值ꎬ又因为ｇᶄ０()＝０ꎬ所以ꎬｇᶄｘ()ɤ０.反推可知函数ｇｘ()在－１ꎬ＋ɕ()上是单调减函数ꎬ在－１<ｘ<０时ꎬｇｘ()>ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()>０ꎬ函数ｆｘ()是单调递增的ꎻ当ｘ>０时ꎬｇｘ()<ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()<０ꎬ函数ｆｘ()是单调递减的.综上ꎬ可知函数ｆｘ()的单调递增区间为－１ꎬ０()ꎬ单调递减区间为０ꎬ＋ɕ().从这道题目的解析中能够看出ꎬ应用二阶导数判断函数单调区间的关键是要合理化简函数表达式ꎬ合理分类讨论自变量的范围.２.１.２带有参数函数单调性的讨论通常ꎬ在含有参数的函数单调性问题中ꎬ应用二阶导数的解题思路与直接讨论函数单调性的解题思路相反ꎬ需要根据题干结论反推ꎬ分类讨论参数的取值范围.结合历年高考试题来看ꎬ真题中多是出现与对数㊁指数有关的函数ꎬ总体上来说ꎬ含参数函数单调性的主要解题思路为对带有对数㊁指数的函数进行化简ꎬ尽可能地使其表达式简洁㊁规整ꎬ之后再根据函数定义域ꎬ进行分类讨论.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１－ｅ－ｘꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ求ａ的取值范围.这道题目的解决可以采用放缩代换法ꎬ这一方法对学生的思维能力㊁解题能力的要求比较高ꎬ部分学生是无法达到要求的[３].所以ꎬ可以尝试利用二阶导数ꎬ降低解题难度ꎬ提高解题准确率.那么针对问题②来说ꎬ可按照以下步骤进行解题:根据题意ｘȡ０ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ显然ａ的取值范围不确定ꎬ所以要分成两种情况进行讨论.当ａ<０时ꎬ若ｘ>－１ａꎬ则ｘａｘ＋１<０ꎬ那么ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不成立ꎻ当ａȡ０时ꎬａｘ＋１>０ꎬ由ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１移项可得ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘɤ０.此时ꎬ令ｇｘ()＝ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘꎬ则ｇᶄｘ()＝ｅ－ｘａｘ＋１－ａ()＋ａ－１ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ().根据题干ｘȡ０ꎬ当ａɪ０ꎬ１２[]时可判断出ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()ɤ０ꎬ此时ｇᶄｘ()在定义域内是递减的ꎬｇᶄｘ()ɤｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()单调递减ꎬｇｘ()ɤｇ０()＝０ꎬ可知原不等式成立.进一步分类讨论ａ的取值范围ꎬ若ａɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷ꎬ２ａ－１>０ꎬ令ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()＝０ꎬ计算可得ｘ＝２ａ－１ａꎬ当０<ｘ<２ａ－１ａꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()>０ꎬ此时ｇᶄｘ()在该区间上单调递增ꎬｇᶄｘ()>ｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()在０ꎬ２ａ－１ａæèçöø÷上单调递增ꎬｇｘ()>ｇ(０)＝０ꎬ不符合题意ꎬ所以ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不恒成立.所以ａɪ０ꎬ１２[].从这道题目的解析中能够看出ꎬ利用二次求导的方法判断函数单调性更高效ꎬ尤其在含有对数或指数的导函数中ꎬ二次求导更有利于判断导数符号ꎬ进而判断原函数的增减情况.２.２在函数极值问题中的应用一般地ꎬ函数极值问题可以按照确定函数定义域㊁求导㊁计算驻点㊁分析单调性㊁确定极值的步骤进行求解.如果需要利用二阶导数解题ꎬ当一阶导数为零ꎬ而二阶导数大于零时ꎬ所求的点为极小值点ꎻ当一阶导数为零ꎬ二阶导数小于零时ꎬ则所求的点为极大值点ꎻ当一阶㊁二阶导数均为零时ꎬ则所求得的点为驻点.概括地说ꎬ函数ｆ(ｘ)在点ｘ处具有二阶导数ꎬ且ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬｆᵡｘ()ʂ０ꎬ那么当ｆᵡ(ｘ)>０时ꎬ函数３５在点ｘ处取得极小值ꎻ当ｆᵡ(ｘ)<０时ꎬ函数在点ｘ处取得极大值.例３㊀已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－ｅｘ＋２ｘ－１ꎬ求函数ｆｘ()极值点的个数.分析㊀针对这道题目来说ꎬ若想求解函数极值点的个数ꎬ需要先判断函数的单调性.具体来说ꎬ其解题步骤为:ｆｘ()的定义域为Ｒꎬｆᶄｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ此时一阶导数的驻点及符号不好判断ꎬ因此构造函数ｇｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ求导可得ｇᶄｘ()＝１－ｅｘ.当ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()>０ꎬ当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()<０ꎬ所以ｇｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ即ｆᶄｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆᶄ０()＝１>０.又ｆᶄ－２()＝－ｅ－２<０ꎬｆᶄ２()＝４－ｅ２<０ꎬ则ｆᶄ－２() ｆᶄ０()<０ꎬｆᶄ０() ｆᶄ２()<０ꎬ由零点存在定理可知存在唯一的ｘ１ɪ－２ꎬ０()ꎬｘ２ɪ０ꎬ２()ꎬ使ｆᶄｘ１()＝ｆᶄｘ２()＝０ꎬ且当ｘɪ－ɕꎬｘ１()和ｘɪｘ２ꎬ＋ɕ()时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ函数单调递减ꎻ当ｘɪｘ１ꎬｘ２()时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ函数单调递增ꎬ故ｆｘ()在ｘ１处取得极小值ꎬ在ｘ２处取得极大值ꎬ即函数ｆｘ()的极值点的个数为２.从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导可以更好地判断原函数的单调性ꎬ进而得到函数的极值点情况ꎬ大大简化了解题的过程.２.３在函数的参数范围中的应用应用二次求导求解函数参数范围的关键是要根据函数满足的条件倒推ꎬ得到函数的单调性ꎬ并依据性质倒推参数范围.如果有必要ꎬ还应构造函数ꎬ进行推导㊁计算.例４㊀已知关于ｘ的不等式２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ则整数ｍ的最小值为(㊀㊀).分析㊀针对这道题目来说ꎬ因为２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２ꎬ进行移项㊁化简可得到ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ.此时ꎬ构造函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘꎬ求导可得ｆᶄｘ()＝－２ｘ＋１()ｘ＋２ｌｎｘ()ｘ２＋２ｘ()２ꎬ令ｆᶄｘ()＝０ꎬ则可得到ｘ＋２ｌｎｘ＝０.继续构造函数ꎬ令ｇｘ()＝ｘ＋２ｌｎｘꎬ对其求导可得到ｇᶄｘ()＝１＋２ｘꎬ当ｘɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬｇᶄｘ()＝１＋２ｘ>０ꎬ则ｇ(ｘ)在ｘɪ０ꎬ＋ɕ()是单调递增函数.又ｇ１２æèçöø÷<０ꎬｇ１()>０ꎬ所以存在一个点ｔɪ１２ꎬ１æèçöø÷ꎬ满足ｔ＋２ｌｎｔ＝０ꎬ当０<ｘ<ｔ时ꎬｇ(ｘ)<０ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ则ｆｘ()在０ꎬｔ()上单调递增ꎻ当ｘ>ｔ时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ则ｆｘ()在ｔꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ＝２(ｌｎｔ＋ｔ＋１)ｔ２＋２ｔ＝１ｔ１ꎬ２().因为ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ所以ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ][ｍａｘꎬ故ｍȡ２ꎬ则整数ｍ的最小值为２[４].从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导判断参数的取值范围仍然需要分析导数与零之间的关系ꎬ不同的是要根据函数的最大值倒推参数.３结束语二次求导在函数问题的解决中有着极其重要的应用ꎬ教师应当加大专题教学的力度ꎬ力求学生能深入理解㊁掌握二次求导的方法ꎬ而且能够熟练应用二次求导解决各种函数难题.参考文献:[１]许国庆.二次求导在解题中的妙用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２２(１５):５０－５１.[２]白亚军.利用二次求导突破函数综合问题[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(０７):１５－１６.[３]毛芹.利用二次求导简化函数综合问题的策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０４):３９.[４]石家屹.小构造再求导大智慧:浅谈函数问题中二次求导的应用[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１８(０９):３６.[责任编辑:李㊀璟]４５。

二阶导数推导

二阶导数推导二阶导数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们分析函数的曲率和变化率。

在本文中，我们将探讨二阶导数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

让我们回顾一下一阶导数的概念。

一阶导数描述了函数在某点上的变化率，即函数在该点的切线斜率。

而二阶导数则描述了函数的曲率，即函数曲线在某点上的弯曲程度。

二阶导数的定义是通过对一阶导数再求导得到的。

假设有一个函数f(x)，它的一阶导数为f'(x)，那么f'(x)的导数就是f''(x)，即f(x)的二阶导数。

可以将其表示为：f''(x) = (d/dx)(f'(x))二阶导数可以用来判断函数的凸凹性。

如果在某个区间上，函数的二阶导数大于0，那么该函数在该区间上是凸的；如果二阶导数小于0，则函数是凹的。

这一概念在经济学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。

除了凸凹性，二阶导数还可以用来确定函数的拐点。

拐点是函数曲线由凸转为凹（或由凹转为凸）的点。

通过求解二阶导数等于0的方程，可以找到函数的拐点。

在实际问题中，二阶导数也有许多应用。

例如，在物理学中，二阶导数可以描述物体的加速度，从而帮助分析物体的运动轨迹。

在经济学中，二阶导数可以用来分析市场的供求关系，判断市场的均衡点。

在工程学中，二阶导数可以用来优化系统的性能，例如控制系统的稳定性分析。

二阶导数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们分析函数的曲率和变化率。

通过判断二阶导数的正负，我们可以确定函数的凸凹性和拐点。

在实际问题中，二阶导数也有广泛的应用。

它不仅在数学领域中有重要意义，还在物理学、经济学和工程学等领域中发挥着重要的作用。

希望通过本文的介绍，读者对二阶导数有了更清晰的理解。

同时也希望读者能够意识到二阶导数在实际问题中的应用价值，进一步探索和研究这一领域。

二阶导数行列式

二阶导数行列式二阶导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数的曲率和变化率。

在这篇文章中，我们将探讨二阶导数的概念、性质以及它在实际问题中的应用。

一、二阶导数的概念在微积分中，函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。

而二阶导数则描述了函数变化率的变化率，或者说描述了函数曲线的曲率。

二阶导数的定义为函数f(x)的导函数f'(x)的导数，通常表示为f''(x)或者d²f(x)/dx²。

二、二阶导数的性质1. 二阶导数的存在性：若函数f(x)在某一点x处可导，则f''(x)存在。

2. 二阶导数的对称性：若函数f(x)的二阶导数存在，则f''(x)=f''(-x)。

3. 二阶导数与函数的性质：若函数f(x)的二阶导数存在且连续，则函数f(x)在某一区间内的凹凸性由f''(x)的正负号确定。

三、二阶导数的应用1. 曲线的凹凸性：通过计算函数的二阶导数，我们可以确定函数在某一区间内的凹凸性。

若二阶导数大于零，则函数在该区间内为凸函数；若二阶导数小于零，则函数在该区间内为凹函数。

2. 极值点的判断：对于函数的极值点，我们可以通过计算函数的一阶导数和二阶导数来判断。

若一阶导数为零且二阶导数大于零，则该点为函数的极小值点；若一阶导数为零且二阶导数小于零，则该点为函数的极大值点。

3. 弹簧振动的分析：在物理学中，弹簧的振动可以通过二阶导数来描述。

弹簧的位移关于时间的二阶导数正比于弹簧的刚度系数和质量，可以用二阶导数来表示弹簧的加速度。

4. 曲线拟合与插值：在数据分析和图像处理中，二阶导数可以用于曲线的拟合与插值。

通过计算数据点的二阶导数，我们可以找到曲线的拐点或者确定曲线的形状。

二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数的曲率和变化率的变化率。

通过计算二阶导数，我们可以判断函数的凹凸性、确定极值点，以及分析实际问题中的振动和曲线拟合。

浅谈高等数学中两类二阶导数的计算

浅谈高等数学中两类二阶导数的计算【摘要】高等数学中的二阶导数是一个重要的概念，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。

本文从极限定义出发，介绍了计算二阶导数的基本原理和方法。

通过利用高阶导数的性质，简化了计算过程，同时探讨了二阶导数的几何解释和特殊函数的计算方法。

还探讨了二阶导数在微分方程中的应用，展示了它在实际问题中的重要性。

总结了两类二阶导数的计算方法及其重要性，并展望了未来高等数学中二阶导数的研究方向。

通过本文的讨论，读者可以更深入地了解高等数学中二阶导数的计算方法和应用领域，为进一步学习和研究打下基础。

【关键词】高等数学、二阶导数、计算、极限定义、高阶导数、几何解释、特殊函数、微分方程、重要性、研究方向。

1. 引言1.1 介绍高等数学中二阶导数的重要性高等数学中二阶导数的重要性非常显著，它在数学和科学领域中扮演着重要角色。

一阶导数可以描述函数的变化率，而二阶导数则可以描述函数的曲率和凹凸性，更加深入地揭示了函数的性质。

通过计算二阶导数，我们能够更好地理解函数的形态和特性，从而为求解数学问题和解决实际应用奠定基础。

在微积分中，二阶导数可以帮助我们找到函数的最值点，判断函数的凸凹性，解决优化问题等。

在物理学中，二阶导数可以描述物体的加速度，速度和位移之间的关系，为物理问题的建模和预测提供重要参考。

在工程学和经济学中，二阶导数也有着广泛的应用，如控制系统设计、股票市场预测等。

二阶导数在数学和科学领域中扮演着至关重要的角色，对理解和解决问题都具有不可替代的作用。

深入研究和掌握二阶导数的计算方法对于培养学生的数学思维能力和提高科学研究水平有着重要意义。

.1.2 说明二阶导数计算的基本原理在高等数学中，二阶导数的计算是一个重要且基础的部分。

在计算二阶导数时，我们需要理解其基本原理，以便准确地求解各种函数的二阶导数。

二阶导数表示的是函数的变化率的变化率。

也就是说，二阶导数反映了函数的曲率或凹凸性。

通过计算二阶导数，我们可以更加深入地了解函数在不同点的曲率情况。

二阶导数推导

二阶导数推导二阶导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的曲率和变化率。

在本文中，我们将通过简单的例子和直观的解释，来理解二阶导数的概念及其在实际问题中的应用。

我们回顾一下一阶导数的概念。

一阶导数描述了函数在某一点上的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。

而二阶导数则描述了一阶导数的变化率，即函数的曲率。

为了更好地理解二阶导数的概念，我们考虑一个简单的例子：一个沿直线运动的物体。

假设该物体的位移函数为f(t)，其中t表示时间。

我们可以通过一阶导数f'(t)来描述物体的速度，即物体在某一时刻的位移变化率。

而二阶导数f''(t)则描述了物体的加速度，即速度的变化率。

通过这个例子，我们可以看到二阶导数在描述物体运动方面的应用。

在实际问题中，我们经常需要分析物体的加速度来判断物体的运动状态，比如判断物体是否做匀加速运动、判断物体的转向等等。

二阶导数可以帮助我们更准确地描述这些运动状态。

除了物体的运动，二阶导数在其他领域也有广泛的应用。

在经济学中，二阶导数可以描述市场的弹性和变化率，帮助分析经济的发展趋势。

在生物学中，二阶导数可以描述生物的生长速率和变化趋势，帮助研究生物的发展规律。

除了描述变化率和曲率，二阶导数还有其他一些重要的性质。

比如，函数的二阶导数为正时，表示函数在该点上凸向上；二阶导数为负时，表示函数在该点上凸向下。

这些性质可以帮助我们更好地理解函数的形状和特点。

在实际问题中，如何计算二阶导数也是一个重要的问题。

一阶导数的计算可以通过求导公式来得到，但二阶导数的计算则需要使用高阶导数的定义。

对于一些简单的函数，我们可以直接使用求导公式进行计算；对于一些复杂的函数，我们可以使用数值方法进行近似计算。

二阶导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的曲率和变化率。

通过理解二阶导数的概念和应用，我们可以更好地分析和解决实际问题。

希望本文能帮助读者更好地理解二阶导数的概念和应用，为进一步学习和研究提供基础。

一阶导数在点导数为常数二阶导数

一阶导数在点导数为常数二阶导数一阶导数和二阶导数是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某一点的变化率和曲率。

在本文中，我们将探讨一阶导数为常数，二阶导数为题的情况。

首先，我们回顾一下导数的定义。

对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它描述了函数在该点的变化率。

如果f'(x)是一个常数，那么这意味着函数在该点处的变化率是恒定的。

假设我们有一个函数f(x)，它在某一点x处的一阶导数为常数k。

这意味着f'(x) = k。

根据导数的定义，我们知道f'(x)可以表示为函数f(x)在该点处的切线斜率。

因此，如果切线斜率是常数k，那么这意味着函数在该点处的变化率是恒定的。

接下来，我们来看二阶导数。

二阶导数描述了函数曲线在某一点处的曲率。

如果一个函数f(x)在某一点x处的二阶导数为题，即f''(x) = k'，那么这意味着函数曲线在该点处的曲率是恒定的。

换句话说，如果一个函数具有一阶导数为常数k和二阶导数为题k'，那么这意味着函数在该点处的变化率和曲率都是恒定的。

这样的函数在数学和物理中有着重要的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。

如果一个物体在某一点处的速度恒定，那么它的一阶导数（即速度）是常数。

如果该物体在该点处的加速度恒定，那么它的二阶导数（即加速度）是题。

另一个例子是金融学中的复利计算。

如果一个投资在某一时刻的增长率恒定，那么它的一阶导数（即增长率）是常数。

如果该投资在该时刻的增长率变化恒定，那么它的二阶导数（即增长率变化率）是题。

总结起来，一阶导数为常数，二阶导数为题意味着函数在某一点处的变化率和曲率都是恒定的。

这样的函数在许多领域中有着广泛应用，从物理学到金融学都可以找到相应的例子。

通过研究这些函数特性，我们可以更好地理解和描述自然界和人类活动中的各种现象。

2阶导数存在的条件

2阶导数存在的条件2阶导数的存在的条件2阶导数的存在在数学上发挥着重要的作用，尤其是在微积分学上更是重要。

2阶导数的存在受到多种条件的影响，下面列举一些2阶导数存在的条件：1．函数可导条件：2阶导数存在前提是函数可导，只有函数连续时其二阶导数才有意义，也就是指函数的导数仍是另一个函数，而这又要求函数在某一点处及其附近具有可导性，也就是在某一点处及其附近该函数可以求值。

2．一阶导现存条件：要想2阶导数存在，必须先满足1阶导数存在，也就是说必须要有定义域内某一函数的斜率存在。

在考虑1阶导数存在时，可考虑该函数分步长不断缩小，当极限趋近于某一值时，1阶导数也就存在了。

3．函数连续条件：函数的2阶导数的存在需要前提函数的连续性，也就是函数在其定义域内没有跳变、坑突等情况，都是一段连续的曲线，这样2阶导数才会存在，2阶导数是分段求取极值时结合连续曲线利用这种连续性得到最终的结果。

4．函数凸性条件：函数凸性也是2阶导数存在的条件之一，由于2阶导数的作用是判断函数的拐点，而函数的函数凸性并不能判断拐点，因此2阶导数的存在必须要满足函数的凸性条件。

5.函数的定义域条件:函数的定义域通常大小有限，因此2阶导数的有效性仅限于函数定义域内，当函数定义域受到某些因素的影响，而导致无法求出2阶导数，比如函数出现跳变等，则无法求出2阶导数，因此2阶导数的存在具有该函数定义域的条件限制。

总结：经过以上分析，可以知道2阶导数的存在具有多种条件，其中主要有函数可导条件、一阶导现存条件、函数连续条件、函数凸性条件、函数的定义域条件。

2阶导数的存在受到以上几个的条件的影响，如果不满足相应的条件，2阶导数无法存在，从而影响函数的极值的计算。

二阶导数表达式推导

二阶导数表达式推导二阶导数是对函数的导数进行两次求导得到的结果。

在数学中，二阶导数用于描述一个函数的曲线弯曲程度，是微积分学中很重要的概念之一。

二阶导数的表达式是通过对函数的一阶导数进行求导来得到的。

为了方便推导，我们设函数f(x)的一阶导数为g(x)，即g(x) = f'(x)。

首先，我们需要求得f(x)的二阶导数，也就是(g(x))'。

根据导数定义，我们可以得到(g(x))'的表达式为：(g(x))' = lim(h->0) [ f'(x+h) - f'(x) ] / h接下来，我们需要对(g(x))'继续进行求导，得到f(x)的二阶导数f''(x)。

具体步骤如下：f''(x) = (g(x))''= lim(h->0) [ g'(x+h) - g'(x) ] / h= lim(h->0) [ f''(x+h) - f''(x) ] / h将(g(x))'的表达式代入上式中，我们可以得到：f''(x) = lim(h->0) [ { f'(x+h) - f'(x) }' / h ]= lim(h->0) [ ( f'(x+h)' - f'(x)' ) / h ]= lim(h->0) [ { lim(delta->0) [ f'(x+h+delta) - f'(x+h) ] /delta - lim(delta->0) [ f'(x+delta) - f'(x) ] / delta } / h ]= lim(h->0) [ lim(delta->0) { [ f'(x+h+delta) - f'(x+h) ] /delta - [ f'(x+delta) - f'(x) ] / delta } / h ]= lim(delta->0) lim(h->0) { [ f'(x+h+delta) - f'(x+h) ] / deltah - [ f'(x+delta) - f'(x) ] / deltah }= lim(delta->0) { lim(h->0) [ f'(x+h+delta) - f'(x+h) ] / deltah - lim(h->0) [ f'(x+delta) - f'(x) ] / deltah }= lim(delta->0) { f''(x+delta) - f''(x) }通过以上推导可以发现，f''(x)和f'(x)都是由极限表达式得到的，因此在求导时需要对它们进行一些变形和化简。

二阶导数计算公式

二阶导数计算公式二阶导数是微积分中的重要概念之一，它在计算函数的曲率、凹凸性以及最值等方面有着广泛应用。

本文将详细介绍二阶导数的计算公式及其应用，希望能够给读者带来指导意义。

首先，我们需要回顾一阶导数的定义。

一阶导数表示函数在某一点的斜率，用于描述函数的变化率。

一阶导数的计算公式是通过极限的方式得出的，即f(x)在x点的导数可以表示为：f'(x) = lim(h趋于0)[f(x+h) - f(x)] / h其中h表示x的增量。

一阶导数的概念在数学中有着广泛的应用，但有时仅靠一阶导数无法全面描述函数的性质，这时就需要引入二阶导数。

二阶导数是一阶导数的导数，表示函数的变化率的变化率。

在计算二阶导数之前，我们需要先计算一阶导数。

如果函数f(x)在某一点可导（即一阶导数存在），那么它的二阶导数可以通过一阶导数的导数来计算，记为f''(x)或d²f(x)/dx²。

计算二阶导数有多种方法，其中最常用的方法是利用一阶导数的定义进行求解。

假设f(x)在某一点x处二阶可导，那么它的二阶导数可以表示为：f''(x) = lim(h趋于0)[f'(x+h) - f'(x)] / h其中f'(x)表示一阶导数。

这个公式的含义是，在x点附近取一个微小的增量h，分别计算f'(x+h)和f'(x)，然后将两者之差除以h，求得极限值。

这样就可以得到函数在x点的二阶导数。

通过二阶导数的计算，我们可以进一步研究函数的特性。

特别是凹凸性的判断，如果f''(x)>0，则函数在该点附近为凹函数；如果f''(x)<0，则函数在该点附近为凸函数。

而f''(x)=0的点则可能是函数的拐点。

除了凹凸性的判断，二阶导数还可以用于判断函数的最值。

如果函数在某一点x处的二阶导数大于零，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么该点是函数的极大值点。

二阶导判断极值点例题

二阶导判断极值点例题
二阶导判断极值点是数学中的一个重要概念，用于确定函数的极值点。

极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。

通过二阶导数的正负性可以判断函数的极值点。

下面我们来看一个例题：
已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数f(x)的极值点。

首先，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数。

对函数f(x)求一阶导数得f'(x)=3x^2-6x+2。

再对一阶导数f'(x)求二阶导数得f''(x)=6x-6。

接下来，我们需要判断二阶导数f''(x)的正负性。

当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上具有极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上具有极大值。

将f''(x)=6x-6=0求解，得x=1。

我们将x=1代入一阶导数f'(x)中，得f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1。

由此可知，函数f(x)在x=1处取得极大值。

因此，函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极大值点为x=1。

拓展部分：
二阶导数判断极值点的方法可以应用于更复杂的函数，例如三次函数、多项式函数甚至是三角函数等。

此外，二阶导数还可以用于判断函数的拐点。

拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，通过判断二阶导数的变号可以确定函数的拐点位置。

总之，二阶导数判断极值点是一种重要的数学方法，在解决实际问题时具有广泛的应用价值。

通过掌握这一方法，我们能够更好地理解和分析函数的性质和特点。

dx比dy的二阶导数

dx比dy的二阶导数【原创实用版】目录1.导数的基本概念2.二阶导数的定义3.dx 比 dy 的二阶导数的计算方法4.dx 比 dy 的二阶导数在实际问题中的应用正文导数是微积分学中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。

二阶导数是导数的导数，表示函数在某一点处的变化率的变化率，也称为函数的加速度。

在微积分学中，dx 比 dy 的二阶导数是一个重要的研究对象，下面我们来详细介绍一下它的计算方法和在实际问题中的应用。

首先，让我们回顾一下导数的基本概念。

导数表示函数在某一点处的变化率，可以用以下公式表示：f"(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]。

其中，f 表示函数，x 表示函数的自变量，h 表示函数在某一点处的变化量。

导数可以用来求解函数的极值、拐点和曲率等。

接下来，我们来介绍一下二阶导数的定义。

二阶导数表示函数在某一点处的变化率的变化率，可以用以下公式表示：f""(x) = lim(h->0) [(f"(x+h) - f"(x))/h]。

其中，f 表示函数，x 表示函数的自变量，h 表示函数在某一点处的变化量。

二阶导数可以用来求解函数的凹凸性、拐点和曲率等。

在实际问题中，dx 比 dy 的二阶导数经常被用来分析两个变量之间的关系。

例如，如果我们考虑两个变量 x 和 y 的关系，我们可以通过计算 dx 比 dy 的二阶导数来判断它们之间的关系。

如果 dx 比 dy 的二阶导数大于零，那么 x 和 y 之间存在正相关关系；如果 dx 比 dy 的二阶导数小于零，那么 x 和 y 之间存在负相关关系。

综上所述，dx 比 dy 的二阶导数是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率的变化率。

二阶连续导数和二阶导数的

二阶连续导数和二阶导数的二阶连续导数和二阶导数是微积分学中非常重要的概念，下面我们来详细讲解一下它们。

一、什么是二阶连续导数二阶连续导数指的是函数的二阶导数存在且连续，也就是说函数在某一点处的二阶导数存在，且在该点的一个邻域内二阶导数也存在。

具体来说，如果函数在某一点处的一阶导数存在，则可以求出它的二阶导数。

如果函数在该点处的二阶导数也存在，那么我们就说这个函数在该点处有二阶导数。

如果二阶导数存在的点不止一个，那么我们就说这个函数在这些点处有二阶导数。

二、二阶连续导数的性质1. 如果函数f(x)在某一点处有二阶连续导数，则其一阶导数也必须存在。

2. 如果函数f(x)在某一点处的二阶导数存在，则它的导数f'(x)在该点的一个邻域内也必须存在。

3. 如果函数f(x)的二阶导数在某一点处存在，则其在该点处的泰勒公式为：其中，R2(x)是余项，其满足R2(x)/[(x-a)^2] → 0 (x → a)。

三、什么是二阶导数二阶导数是函数的一阶导数的导数。

也就是说，如果函数f(x)在某一点处有一阶导数，则我们可以求出它的二阶导数。

二阶导数也被称为“导函数的导数”。

具体来说，如果函数f(x)的一阶导数f'(x)存在，则可以求出它的二阶导数f''(x)，它的表达式为f''(x) = [d/dx][f'(x)]。

如果函数在某一点处的二阶导数存在，则我们就说这个函数在该点处有二阶导数。

四、二阶导数的性质1. 函数f(x)的二阶导数f''(x)的符号表示了函数f(x)的凸凹性。

如果f''(x) > 0，则f(x)在该点处是下凸的；如果f''(x) < 0，则f(x)在该点处是上凸的。

2. 如果函数f(x)的二阶导数存在，则它的一阶导数f'(x)是函数f(x)在该点处的切线的斜率。

3. 如果函数f(x)的二阶导数f''(x)存在，则其在该点处的泰勒公式为：其中，R2(x)是余项，其满足R2(x)/[(x-a)^2] → 0 (x → a)。

二阶导数的求法例子(一)

二阶导数的求法例子(一)二阶导数的求法1. 什么是二阶导数？二阶导数是函数的导数的导数，即对函数进行两次求导得到的导数值。

它可以描述函数曲线的凹凸性和加速度等特性。

2. 一元函数的二阶导数求法对于一元函数，其二阶导数的求法可以通过以下几个步骤：•首先求得一阶导数•然后对一阶导数再次求导即可得到二阶导数例如，对于函数f(x)=x3，我们可以按照上述步骤求解其二阶导数：•第一步，求一阶导数：f′(x)=3x2•第二步，再次求导得到二阶导数：f″(x)=6x 因此，函数f(x)=x3的二阶导数为f″(x)=6x。

3. 多元函数的二阶导数求法对于多元函数，其二阶导数的求法稍微复杂一些，可以通过以下步骤进行：•首先求得一阶偏导数•然后对一阶偏导数再次求导即可得到二阶偏导数例如，对于函数g(x,y)=x2+y2，我们可以按照上述步骤求解其二阶偏导数：•第一步，求一阶偏导数：∂g∂x=2x∂g∂y=2y•第二步，再次求导得到二阶偏导数：∂2g∂x2=2∂2g∂y2=2因此，函数g(x,y)=x2+y2的二阶偏导数为∂2g∂x2=2和∂2g∂y2=2。

4. 应用示例二阶导数在数学中有广泛的应用，下面举例说明两种常见的应用场景：凹凸性判断通过求函数的二阶导数可以判断函数曲线的凹凸性。

若二阶导数大于零，则函数呈凹形；若二阶导数小于零，则函数呈凸形。

例如，对于函数ℎ(x)=x2，我们可以求得其二阶导数为ℎ″(x)=2。

由于ℎ″(x)>0，所以ℎ(x)是一个凹函数。

加速度分析在物理学中，加速度可以通过对位移关于时间求二阶导数得到。

通过求解二阶导数，我们可以分析物体的加速度变化情况。

例如，对于位移函数s(t)=t2，我们可以对其进行两次求导得到加速度函数a(t)=2，即物体的加速度为常数2。

总结通过以上几个例子的讲解，我们可以看到，二阶导数的求法可以通过对一阶导数再次求导得到。

对于一元函数和多元函数，其求法稍有不同。

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