大学物理第一章答案

1.5一质点沿半径为

0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 +4t

3．求：

（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；

（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]

（1）角速度为

ω= dθ/dt = 12t2 = 48(rad²s-1)，

法向加速度为

an = rω2 =

230.4(m²s-2)；

角加速度为

β= dω/dt = 24t = 48(rad²s-2)，

切向加速度为

at = rβ=

4.8(m²s-2)．

（2）总加速度为，

当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，

即，

解得．

所以=3.154(rad)．

（3）当at = an时，可得rβ= rω2，

即24t = (12t2)2，

解得．

1.7一个半径为R =

1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体

A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt =

2.0s内下降的距离h=

0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．

[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．

由于，所以

at = 2h/Δt2 =

0.2(m²s-2)．

物体下降3s末的速度为

v = att =

0.6(m²s-1)，

这也是边缘的线速度，因此法向加速度为

=

0.36(m²s-2)．

1.8一升降机以加速度

1.22m²s-2上升，当上升速度为

2.44m²s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距

2.74m．计算：

（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；

（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．

[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为．由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为

=

0.705(s)．

算得h2 = -

0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为

0.716m．

[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程，

由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．

第一章质点运动学

1.1一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t

3．试求：

（1）第2s内的位移和平均速度；

（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；

（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．

[解答]

（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6³12 - 2³13 = 4(m)．在第2s末的位移大小为x(2) = 6³22 - 2³23 = 8(m)．

在第2s内的位移大小为

Δx = x

(2)–x

(1) = 4(m)，

经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为

=Δx/Δt = 4(m²s-1)．

（2）质点的瞬时速度大小为

v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，

因此v

(1) = 12³1 - 6³12 = 6(m²s-1)，v(2) = 12³2 - 6³22 = 0，

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs =Δx = 4m．（3）质点的瞬时加速度大小为

a(t) = dv/dt = 12 - 12t，

因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 12³1 = 0，

第2s内的平均加速度为

= [v

(2) - v

(1)]/Δt = [0–6]/1 = -6(m²s-2)．

[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1.2一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为．

并由上述数据求出量值．

[证明]依题意得vt = nvo，

根据速度公式vt = vo + at，得

a = (n–1)vo/t，

(1)

根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得

a = (n2–，

(2)

（1）平方之后除以

（2）式证得．计算得加速度为

=

0.4(m²s-2)．

1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成

22.5°的夹角的初速度65m²s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m²s-

2．问：

（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？

[解答]方法一：

分步法．

（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为

vy0 = v0sinθ=

24.87(m²s-1)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

vt - v0 = at，

这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g =

2.49(s)．

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式

vt2 - v02 = 2as，

可得上升的最大高度为．他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为

h2 = h1 + h =

100.94(m)．

根据自由落体运动公式，得下落的时间为

=

4.49(s)．