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(探索版)相似三角形的研究与探索

(探索版)相似三角形的研究与探索目标
本文旨在研究和探索相似三角形的性质和应用。

我们将通过深入分析相似三角形的特点和定理，探讨其在几何学中的重要性和实际应用。

相似三角形的定义
相似三角形是指具有相等比例的相似边的三角形。

相似三角形的性质
1. AAA相似性质：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

2. AA相似性质：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对应边成比例，则它们是相似的。

3. SSS相似性质：如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。

相似三角形的定理
1. 相似三角形内部的对应角度相等。

2. 相似三角形的对应边成比例。

3. 相似三角形的高线成比例。

相似三角形的应用
相似三角形在几何学中有广泛的应用，例如：
1. 测量不可直接访问的高度或距离：通过相似三角形的比例关系，我们可以使用已知的距离和高度，来测量无法直接测量的高度或距离。

2. 建模和设计：相似三角形的性质可以用于建模和设计各种物体和结构，例如建筑、桥梁和机械零件。

3. 地图和导航：地图和导航系统中常用相似三角形的性质来计算位置、距离和方向。

4. 绘图和艺术：相似三角形的比例关系可以用于绘画和雕塑等艺术形式中，以创造出逼真和对称的效果。

总结
相似三角形是几何学中重要的概念之一，具有广泛的应用。

通过深入研究和探索相似三角形的性质和定理，我们可以更好地理解几何学的基本原理，并将其应用于实际问题中。

希望本文对读者在学习和应用相似三角形方面有所帮助。

相似三角形存在性探究

相似三角形存在性探究-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形存在性探究如图，点D 在△ABC 的边上.(1)要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是(2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC =(3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。

在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似若存在，求出AF 的长。

变式如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。

C AD B CE FB EF例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式(2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的三角形与△BCP相似若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

做一做如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。

初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值．（3）点C 关于x 轴的对称点为H ，当55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式（2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A、B两点的坐标；（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ．①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线y=12x+3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积； (3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题

中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题几何图形的存在性问题是中考常见的问题。

本文内容选自2020年广东省中考数学压轴题，考查相似三角形的存在性问题，难度不小。

一个三角形形状大小确定，另外一个三角形有两个动点。

具体请看下面内容。

【中考真题】（2020·广东）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【分析】题（1）利用待定系数法求解析式，根据BO=3AO=3，得出点，点坐标，代入求抛物线解析式。

题（2）求BD的解析式，需要确定点D的坐标。

由于题目已知BC与CD的比例关系，可以考虑过点D作x轴的垂线，得到一个A字型的相似，求出点D的横坐标，代入二次函数的解析式，然后即可得到结论。

当然，如果先设直线BD的解析式为y=kx－3k，联立二次函数的解析式，得到一元二次方程的两根x1与x2的关系即可求出k的值。

题（3）中需要确定与△ABD相似的△BPQ。

由于A、B、D三点的位置的固定的，坐标也是确定的。

那么形状与大小就确定了。

先求出3边长度，且易得∠BAD为钝角。

而∠PBQ不可能为钝角，所以只需要分两种情况讨论即可：①点B与点B对应；②点B与点D对应。

两种情况中边的比例又有两种情况，因此分为4种情况讨论。

设PQ的坐标，然后根据比例关系得出结论。

【答案】解：（1），点，点，抛物线解析式为：，，；（2）如图1，过点作于，，，，，，，点横坐标为，点坐标为，，设直线的函数解析式为：，由题意可得：，解得：，直线的函数解析式为；（3）点，点，点，，，，，对称轴为直线，直线与轴交于点，点，，，，如图2，过点作于，，，，，如图，设对称轴与轴的交点为，即点，若，，，，，当，，，点，；当，，，点，；若，，，当，，，点，；当，，，点，；综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，．。

2018中考数学压轴题探究专题：相似三角形的存在性问题

中考数学解法探究专题相似三角形的存在性问题考题研究：相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．解题攻略：相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．解题思路：相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为，则对应线段已经确定。

2、若题目中为与相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①,②、③、3、若题目中为与,并且有、（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、，②、需要分类讨论上述的各种情况。

例题解析1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为点D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值；（2）①根据（1）中的m值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标，根据坐标特点写出AB和OC的长，利用三角形面积公式求△ABC 的面积；②由对称性可知：x=1，点A和B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最短路径可知：连接BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC 的解析式，将x=1代入得：y=，则点H的坐标为（1，）；（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，根据∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM 时；②当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．【解答】解：（1）把点G（2，2）代入抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：2=﹣（2+2）（2﹣m），m=4；（2）①由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣（x+2）（x﹣4），当x=0时，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，∴C（0，2），∴OC=2，当y=0时，﹣（x+2）（x﹣4）=0，x=﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AB=2+4=6，∴S△ABC=AB?OC=×6×2=6；则△ABC的面积是6；②∵A（﹣2，0），B（4，0），由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1，∵点A和B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH为最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）；（3）存在符合条件的点M，由图形可知：∠ACB与∠ABM为钝角，分两种情况考虑：①当△ACB∽△ABM时，则有，即AB2=AC?AM，∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，如图2，过M作MN⊥x轴于N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），∵AB2=AC?AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2 ?2（m+1），解得：m=2±2，∵m＞0，∴m=2+2；②当△ACB∽△MBA时，则，即AB2=CB?MA，∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴，∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，∵AB2=CB?MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=?，整理得：=0，显然不成立，综上，在第四象限内，当m=2 +2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．2．图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明=，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE 的外接圆的切线；（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″Ｏ均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：﹣3a=3，∴a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴B（1，4）．（2）如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．∵A（3，0），E（0，3），∴OE=OA=3．∴∠OEA=45°．∵E（0，3），B（1，4），∴EF=BF．∴∠FEB=45°．∴∠BEA=90°．∴AB为△ABE的外接圆的直径．∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，∴△BFE∽△AOE．∴tan∠EAB==．∵tan∠CBE=，∴∠CBE=∠EAB．∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．∴CB是△ABE的外接圆的切线．（3）如图2所示：∵且∠DOE=∠BEA=90°，∴△EOD∽△AEB．∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．∴点P的坐标为（0，0）．过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，∴△EDP′∽△EOD．又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP′∽△AEB．∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，∴∠ODP′＝∠DEP′．∴=，即．∴OP′＝．∴点P′的坐标为（0，﹣）．过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．∵∠EDP″＝∠EDO，∠EOD=∠DEP″，∴△EDO∽△P″DE．∵又∵△EOD∽△AEB，∴△EDP″∽△AEB．∴∠EP″O=∠BAE．∴tan∠EP″O==，即=．∴OP″=9．∴P″（9，0）．综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，﹣）或（9，0）．3．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D 的坐标；（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=OB=3，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH=CE=，所以BH=2，然后利用正切的定义求解；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定义得到tan∠AD=，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE；当=时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，∵点C与E点为抛物线上的对称点，∴E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，∵OC=OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，BC=OB=3，∴∠ECB=45°，∴△CHE为等腰直角三角形，∴CH=EH=CE=，∴BH=BC﹣CH=2，在Rt△BEH中，tan∠EBH===，即tan∠CBE的值为；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AF=2，DF=4，∴tan∠ADF==，而tan∠CBE=，∴∠CBE=∠ADF，AD==2，BE==，BC=3，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当=时，△DAM∽△BCE，即=，解得m=，此时M点的坐标为（1，）；当=时，△DAM∽△BEC，即=，解得m=﹣2，此时M点的坐标为（1，﹣2）；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，综上所述，满足条件的点M坐标为（1，），（1，﹣2）．4．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x 轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时，判断四边形AEMC的形状，并给出证明；（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，进而∠MEB=∠AEC=60°．即可得出结论；（3）分在x轴上方和x轴上方两种情况，利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA?t a n60°=1×=，OB=OC?cot30°＝×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；故答案为：3，0，0，；学科网（2）四边形AEMC是菱形．∵△OCE∽△OBC，∴，即，解得OE=1，∴E（1，0）在抛物线对称轴上，∴△CAE为等边三角形，∴∠AEC=∠A=60°．又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=∠AEC=60°．∴点C与点M关于抛物线的对称轴（x=1）对称．C（0，），∴M（2，）．∴MC=AE=2，MC∥AE∴四边形AEMC是平行四边形．∵AC=CM=2∴四边形AEMC是菱形．（3）由⊙P与直线AC和x轴同时相切，易知点P在两线夹角的平分线上，①当在x轴上方时，如图，∠PAO=30°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+），过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ，得m+1=（﹣m2+m+）解得，m1=2，m2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（2，）②当在x轴下方时，∠PAO=60°，设点P坐标为（n，﹣n2+n+），过P'作P'Q'⊥x轴，交点为Q'，则AQ'=P'Q'，得（n+1）=﹣（﹣n2+n+）解得，n1=6，n2=﹣1（舍去），所以点P坐标为（6，﹣7）综上所述，存在点P满足条件，点P坐标为（2，）或（6，﹣7）．5．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．∴C（8，0），∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t的或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）存在符合条件的M、N点，EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4，），N（4，﹣）．6．如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点M（﹣，5）是抛物线C1上一点，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称点分别为点A′、B′、M′．（1）求抛物线C1的解析式；（2）过点M′作M′Ｅ⊥x轴于点E，交直线A′Ｃ于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′Ｃ相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线C1的解析式；（2）根据抛物线C1的解析式求出B（1，0），C（0，4）．根据关于y轴对称的两点坐标特征以及抛物线的对称性得出M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠∠CA′Ａ，那么AB′=2．利用待定系数法求出直线A′Ｃ的解析式，求出D（，CAA′＝2）．由勾股定理得出AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．分m＜3与m＞3两种情况讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），M（﹣，5）代入y=ax2+bx+4得，，解得，所以抛物线C1的解析式为y=﹣x2﹣x+4；学科网（2）令y=0，则﹣x2﹣x+4=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴B（1，0），令x=0，则y=4，∴C（0，4）．由题意，知M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′＝∠CA′Ａ，∴AB′=2．设直线A′Ｃ的解析式为y=px+q．把A′（3，0），C（0，4）代入，得，解得，∴y=﹣x+4，当x=时，y=﹣×+4=2，∴D（，2）．由勾股定理得，AC==5，DA′＝=．设P（m，0）．当m＜3时，此时点P在点A′的左边，若=，即有△DA′Ｐ∽△CAB′，∴=（3﹣m），解得m=2，∴P（2，0）．若=，即有△DA′Ｐ∽△B′AC，∴=（3﹣m），解得m=﹣，∴P（﹣，0）．当m＞3时，此时点P在点A′的右边，∵∠CB′Ｏ≠∠DA′Ｅ，∴∠AB′Ｃ≠∠DA′Ｐ，∴此情况，△DA′Ｐ与△B′AC不能相似．综上所述，存在点P（2，0）或（﹣，0）满足条件．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得=，可证得结论；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），从而可表示出OM和PM的长，分=和=两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，∴A（1，1），联立直线与抛物线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）证明：∵A（1，1），B（2，0），C（﹣1，﹣3），∴AB==，BC==3，AC==2，∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴∠ABC=∠ODC，∵C（﹣1，﹣3），∴OD=1，CD=3，∴==，∴△ODC∽△ABC；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x），∴OM=|x|，PM=|﹣x2+2x|，∵∠OMP=∠ABC=90°，∴当以△OPM与△ABC相似时，有=或=两种情况，①当=时，则=，解得x=或x=，此时P点坐标为（，）或（，﹣）；②当=时，则=，解得x=5或x=﹣1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，﹣15）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（，﹣）或（5，﹣15）．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=?BQ?PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=?BQ?PM=?2t?t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，点C在C处时，∵BE=BC=10，∴当AE=AP=6时，△PQB与△ABE相似，∴t=6．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+或﹣8﹣（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，（也可以先证明△BFI∽△GFC，想办法推出△GFB∽△CFI，推出∠BGH=∠BCI）。

培优讲义——相似三角形的存在性问题

培优讲义——相似三角形的存在性问题
常见方法一：先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等；
常见方法二：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

1、如图，在直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,4)B ，(1,0)C ，在坐标轴上找到点
D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由．
2、如下图，在矩形ABCD 中，AB=12 cm ，BC=6 cm ．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：
（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？
3、如图，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在
直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式．
26、（13分）如图，正方形ABCD 边长为10cm ，P 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AP ，过点P 作PE ⊥PA 交CD 于点E ．（1）求证：△ABP ∽△PCE ；
（2）当P 在BC 上运动时，对应的点E 也随之在CD 上运动，设CP x =，DE y =，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围。

（3）在线段BC 上，是否存在不同于P 的点Q ，使得QA ⊥QE ？若存在，求线段BQ 与BP 之间的数量关系；若不存在，请说明理由。

（备用图）。

《相似三角形存在性问题》教学设计

《相似三角形存在性问题》教学设计三角形是数学中最为重要的图形，它承载着着众多有趣的性质和定理。

其中，在三角形学中，最为重要的考究就是三角形的相似性。

相似三角形存在性问题就是在考察三角形的相似性的过程中，出现的一类重要的问题，即以特定的条件下可以存在相似三角形，这对于三角形学的发展有着重要的意义。

本文将从多个角度，对相似三角形存在性问题的思想进行整体性的阐述，并在此基础上制定教学设计，以便学生通过具体的实践，认识和掌握知识点。

二、相似三角形存在性问题1、定义相似三角形存在性问题是指当三角形的两个边长满足某一特定的关系时，三角形是存在的。

2、概念任意两个三角形若存在着一一对应的相似的边和角，即称两个三角形相似。

具体地说，当三角形abc和ABC的两个边ab，ac分别与AB，AC满足某一特定关系时，它们便满足相似三角形存在性问题，即它们两个三角形相似，存在。

3、特点相似三角形存在性问题，反映出三角形的部分性质，它是三角形学中重要的研究内容，它涉及到数学中有关角的关系及相似三角形的边的比例等，反映出三角形的结构及形体性质的一种体现。

三、教学设计1、课前准备堂准备：教师准备素材和图形，提前告知学生掌握本节课的知识点;生准备：学生初步了解本节课的知识点，并且提前准备好推理用的纸、笔等物资。

2、课堂教学活动1）引入：教师利用课前准备好的素材和图形，引入本节课的主题：“相似三角形的存在性问题”，介绍它的定义和概念，并且举例说明。

2）探究：让学生利用手中的纸笔，完成一系列的探究题，以探究不同的边的关系下三角形的相似性。

3）归纳：根据学生探究的结果，归纳出三角形的相似性，促进学生能够深入理解相似三角形存在性问题。

4）拓展：拓展到更多的实际例子中，让学生在实际应用中进行探究，促进学生在实际中的操作能力。

3、课后作业据课堂的内容，安排学生在家完成课后作业，也可以安排小测验，考察学生对于相似三角形存在性问题的理解程度。

四、结语相似三角形存在性问题是数学中一个重要的研究课题，也是推动三角形学向前发展的重要突破口。

压轴题“一题精讲”（一）：相似三角形的存在性

压轴题“一题精讲”（一）：相似三角形的存在性处理相似三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：第一步：确定对应关系对于需要讨论的两个三角形，常常可以从发现一组同角（等角）入手，继而进一步挖掘条件或分类讨论，确定对应关系.第二步：解得未知量①代数方法：通过对应关系列出比例式，用未知数和常数表示比例式中的每条边，通过列方程求解.根据定理“两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似”，围绕着已证明等角的夹边列比例式比较简单.如下图：在两个三角形中，有∠A=∠D，则∠A的夹边AB和AC，∠D的夹边DE和DF，则可列出以下两组比例式，即AB:AC=DE:DF 或AB:AC=DF:DE.②几何方法：通过对应关系确定对应角，通过角之间的等量关系发现新的等腰或相似三角形，建立数量关系，从而得以求解。

（以下习题及解法部分选自黄喆《图解中考数学压轴题》）(1)本题的第一问是证明AE和PE间的数量关系，由此可以联想到通过发现相似三角形，从而找到线段间的数量关系。

可以发现图中有两组相似三角形，其中一组是“斜A型”相似三角形：△ADP和△ABC，其三边的比为1:2:√5；另一组是“共边共角型相似三角形”△PDE和△APE，其中两边的相似比为1:2.(2)本题的第二问是建立三△BEP的面积和线段AP间的函数关系.由于BP的长度可以用含x的代数式表示，因此过点E作BP的垂线EH，用含x的代数式表示EH的长度即可.对于EH的求法，可以借助构造的DP-EH-A型图进行求解，结合DE与AE的数量关系，可以求得DP 和EH的比值，进而可以求出用用含x的代数式表示EH的长度.(3)本题的第三问是相似三角形存在性的讨论。

①寻找等角：∵∠DPE=∠A，∠DPA=∠C=90°，∴∠ABC=∠BPE(等角的余角相等)方法1 代数方法：根据夹边列出比例关系列出比例关系：PB:PE=AB:BC或PB:PE=BC:AB，即用含x的代数式表示PE成为关键。

相似三角形的性质(经典全面)

相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。

相似图形之间的互相变换称为相似变换。

二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。

三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。

3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。

如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。

如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。

4.相似三角形周长的比等于相似比。

如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。

ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。

这种方法被称为等量代换法。

在证明比例式时，常常会用到中间比。

证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。

证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

相似三角形存在性问题(含解析)

相像存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 D 两点，与 y 轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点 A 的坐标为（ 1，0），点 B 的坐标为（ 0，4），已知点 E（ m， 0）是线段 DO上的动点，过点 E 作 PE⊥ x 轴交抛物线于点 P，交 BC于点 G，交 BD于点 H．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）当点 P 在直线 BC上方时，请用含 m的代数式表示 PG的长度；（ 3）在（ 2）的条件下，能否存在这样的点 P，使得以 P、B、G为极点的三角形与△ DEH相像？若存在，求出此时 m的值；若不存在，请说明原因．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线25C xy ax x c过点A（，）和（，），（，）是轴正0 48 0 P t0690°得线段 PB．过点 B作x轴的垂线、过点半轴上的一个动点， M是线段 AP 的中点，将线段MP绕点 P 顺时针旋转A 作y轴的垂线，两直线订交于点D．（ 1）求此抛物线的对称轴；（ 2）当t为什么值时，点 D落在抛物线上？（ 3）能否存在t，使得以 A、B、D 为极点的三角形与△PEB相像？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明原因．333．如图，过点 A （ 0， 3）的直线 l 1 与 x 轴交于点 B ， tan ∠ ABO=4．过点 A 的另向来线 l 2： y ＝－4 tx ＋ b (t ＞0)与 x 轴交于点 Q ，点 P 是射线 AB 上的一个动点，过 P 作 PH ⊥ x 轴于点 H ，设 PB ＝ 5t ．（ 1）求直线 l 1 的函数分析式；（ 2）当点 P 在线段 AB 上运动时，设△ PHQ 的面积为 S （ S ≠ 0），求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）当点 P 在射线 AB上运动时，能否存在这样的 t 值，使以 P， H，Q为极点的三角形与△ AOQ相像？若存在，直接写出全部知足条件的 t 值所对应的 P 点坐标；若不存在，请说明原因．4．如图，点 A 是x 轴正半轴上的动点，点 B 的坐标为（0， 4），将线段AB 的中点绕点 A 按顺时针方向旋转90°得点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为F，过点 B 作 y 点，连结AC、 BC、 CD，设点 A 的横坐标为t ．轴的垂线与直线CF 订交于点E，点D是点A 对于直线CF的对称（ 1）线段AB与AC的数目关系是，地点关系是．（2）当 t=2 时，求 CF 的长；（3）当 t 为什么值时，点 C 落在线段 BD上？求出此时点 C的坐标；（4）设△ BCE的面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系式．5．如图，抛物线y=－1x2+3x－ 2 交 x 轴于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C，分别过点B， C 作 y 42轴， x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C 逆时针旋转，使点D旋转到y 轴上获得△FEC，连结BF．（1）求点 B， C所在直线的函数分析式；（ 2）求△ BCF的面积；（3）在线段 BC上能否存在点 P，使得以点 P，A， B 为极点的三角形与△ BOC相像？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．。

中考数学压轴题解题策略五：相似三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程,解方程并检验，如例题1、2、3、4.应用判定定理1解题,先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组). 例题解析例❶ 如图1-１，抛物线213482y x x =-+与ｘ轴交于Ａ、B 两点（Ａ点在B 点左侧）,与y 轴交于点C .动直线EF (ＥF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点,动点P 同时从点B 出发,在线段ＯB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动.是否存在t ,使得△BPF 与△A ＢC 相似．若存在,试求出t 的值;若不存在，请说明理由.图１-1【解析】△BPF 与△ＡBC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边.△ABC 是确定的.由213482y x x =-+，可得A （4, 0)、B (８，０)、Ｃ（０, 4). 于是得到ＢA =4,BC =4512CE CO EF OB ==． △BPF 中,BP ＝２ｔ,那么ＢＦ的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了. 在Rt △EFC 中，CE =t ，EF =2ｔ，所以5CF t =．因此4555(4)BF t t ==-. 于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程：①当BA BP BC BF =455(4)t =-43t =（如图1-2）.②当BA BF BC BP =时，45(4)245t t -=．解得207t =（如图１-3).图１－2 图1-３例❷ 如图2-1,在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y =ａx 2+b ｘ（a ＞０)经过点Ａ和ｘ轴正半轴上的点B ,AO =ＢO ＝2,∠AOB =120°．(1）求这条抛物线的解析式;（2）连结O M ，求∠ＡOM 的大小;(3)如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△ＡO Ｍ相似，求点C 的坐标.图2-1【解析】△ＡBC 与△AO Ｍ中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入．第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（2)题求∠ＡOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小,第（３）题暗示了要在△AB Ｃ中寻找与∠AO Ｍ相等的角.（1)如图2-2,过点A 作AH ⊥ｙ轴,垂足为H .容易得到A (1,3)-.再由A (1,3)-、B (2,0)两点,可求得抛物线的解析式为232333y x x =-. (2)由2232333(1)3333y x x x =-=--,得顶点Ｍ 3(1,)3-. 所以3tan 3BOM ∠=．所以∠BOM ＝3０°．所以∠AOM =1５0°.图2-2（3）由Ａ(1,3)-、B (2，0)，可得∠A ＢO =30°．因此当点Ｃ在点B 右侧时,∠ABC ＝∠ＡO Ｍ＝１50°.所以△ABC 与△AOM 相似,存在两种情况: ①当3BA OA BC OM ==时,23233BA BC ===.此时C (4,0)（如图２-3). ②当3BC OA BA OM ==时，33236BC BA ==⨯=．此时C (8,0)(如图2-4).图2-3 图2-４例❸ 如图3-１，抛物线y =ax 2+ｂx -3与x 轴交于A （１, ０）、B (3, 0）两点,与ｙ轴交于点Ｄ,顶点为Ｃ．(1)求此抛物线的解析式;（２）在x 轴下方的抛物线上是否存在点Ｍ，过M 作MN ⊥ｘ轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ＢCD 相似？若存在,求出点Ｍ的坐标；若不存在,请说明理由.图3-1【解析】△AM Ｎ是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．(1）抛物线的解析式为y ＝－x 2+4x -3．（２）由ｙ=－ｘ2+4x -３＝－(x -2)２＋1，得D (0,-3)，Ｃ(2, 1).如图3-2，由B (3, 0)、D (0,-３)、C (2, 1)，可知∠C ＢO =４5°，∠DB Ｏ＝45°. 所以∠CB Ｄ=9０°,且21332BC BD ==．图3-2 图3-３图3-4设点M 、N 的横坐标为x ,那么NM ＝－y Ｍ，而ＮA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”:当N 在A 右侧时，NA ＝x -１,分两种情况列方程: ①当3NA BD NM BC ==时,13(1)(3)x x x -=--.解得103x =.此时M 107(,)39-（如图3－3). ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝６.此时M (6，－15)（如图３－5）．当N 在A 左侧时,N Ａ=1－x ,也要分两种情况列方程:①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--.解得83x =>1，不符合题意（如图３-４）． ②当13NA BC NM BD ==时,11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝0,此时Ｍ(0,－3）(如图3-6）．图３-5 图3-6例❹ 如图4-１，在平面直角坐标系中，Ａ(8,0)，Ｂ(0,6),点C 在x 轴上,B Ｃ平分∠OB Ａ.点P 在直线A Ｂ上,直线CP 与y 轴交于点F ,如果△AC Ｐ与△ＢPF 相似,求直线CP 的解析式.图４-１【解析】首先求得点C (３，0).△ACP 与△B ＰF 中,相等的角在哪里啊?①如图４-2，当点P 在线段A Ｂ上时,△A ＣP 与△ＢPF 中,∠AP Ｃ与∠B ＰF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此ＣP 与AB 是垂直的.可以求得F (0,-4），于是直线CF (CP )为443y x =-． ②如图4-3,当点P 在A Ｂ的延长线上时，△ＡＣP 与△B ＰF 有公共角∠P .于是∠OF Ｃ＝∠PF Ｂ＝∠A ,可以求得F (０, 4）,因此直线C Ｆ(CP )为443y x =-+． ③如图４-4，当点P 在ＢA 的延长线上时，∠B 与∠PCA 不可能相等.在△ＡOB 中,根据大边对大角，∠B >∠ＢAO ；∠BAO 又是△PCA 的一个外角，∠BAO >∠PCA.图4－2 图4-3 图4－4例❺ 如图5-１,二次函数y ＝ｘ2＋3ｘ的图象经过点A (１,a ),线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D .在ｙ轴上取一点Ｃ(0, ２)，直线ＡＣ交抛物线于点B ,连结OA 、OB 、OD 、ＢＤ．求坐标平面内使△EO Ｄ∽△AOB 的点Ｅ的坐标；图5-1【解法一】点Ａ、D 、B 都是确定的，可以求得A （１，４)，D （－4, 4)，B (－２,－2）．所以17AO =,22BO =,35AB =，42DO =．△ＥＯＤ∽△AO Ｂ，对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理3列方程．由EO OD DE AO OB BA ==,得42172235==.所以217EO =,65DE =．设点E 的坐标为(ｘ， y ）,根据EO 2＝６8，D Ｅ2＝18０，列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩解得118,2,x y =⎧⎨=-⎩ 222,8,x y =⎧⎨=-⎩ 所以点E 的坐标为(8,-2)或(－２, 8)．上面的解题过程是“盲解”,我们并不明白两个三角形的位置关系.【解法二】如图5-2，△AO Ｂ是确定的,△A ＯB 与△EO Ｄ有公共点O ，O Ｂ∶OD =1∶2,∠BOD =90°．如果△ＥＯD ∽△A ＯB ，我们可以把△AO Ｂ绕着点O 顺时针旋转，使得点Ｂ′落在OD 上，此时旋转角为９0°，点B ′恰好落在OD 的中点.按照这个运动规则,点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°，得到点A ′(4,－1),点Ａ′是线段O Ｅ的中点,因此点E 的坐标为(8,－2)．如图5-3,点E (８,－2)关于直线OD (即直线y ＝-x )对称的点为E ′(2,－８)．图５-2 图5-３例❻ 如图６-1，在△ＡBC 中，AB ＝AC ＝４2，ＢC ＝8.⊙A 的半径为２,动点P 从点B 出发沿ＢC 方向以每秒１个单位的速度向点C 运动.延长BA 交⊙A 于点Ｄ,连结AP 交⊙A 于点E ,连结D Ｅ并延长交B Ｃ于点Ｆ.设点P 运动的时间为t 秒,当△A ＢP 与△FBD 相似时，求t 的值．图6-1【解析】△ＡBC 是等腰直角三角形，⊙A 是确定的,先按照题意把图形补充完整．如图6-２，容易发现△ＡBP 与△FBD 有公共角∠Ｂ，如果根据对应边成比例列方程BA BD BP BF =或BA BF BP BD=，其中BA ＝４2,B Ｐ=ｔ，BD ＝42＋2,但是用含ｔ的式子表示BF 困难重重啊！图６－2图6-３图6－4我们另起炉灶,按照判定定理1来解决．△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，我们以∠D 为分类标准,分两种情况讨论它们相似：第一种情况,如图6-3,∠BAP =∠Ｄ是不可能的，这是因为∠BAP 是等腰三角形A ＤE 的外角，∠BA Ｐ=2∠D ．第二种情况,如图6-4，当∠B ＰA =∠D 时，在△ＡBP 中，由于∠BAP ＝2∠D ＝2∠ＢP A , 因此45°+３∠ＢP A =1８0°.解得∠ＢＰA ＝45°.此时△ＡBP是等腰直角三角形，P与C重合,所以t=8．解答这道题目,如果选取点Ｐ的３个不同位置,按照题意画图,可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠ＢPＡ=∠D时，我们容易被已知图６－１给定的点Ｐ的位置所误导，以为图6-２中“锐角∠D”与“钝角∠ＢP A”不可能相等．－-。

相似三角形的存在性问题的探究

2
3
AP 5 即： 3 5 2 10 13 AP P ) 1 ( 2, 3 3
AP AB BA BC
y 2( x 2) 1
2
(3,3)
3 AB 5 , BC 2
②若△ ABP∽ △ BAC
P
，则
AP AB BC BA
2 3
即：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 AP 2
5 P2 (2, ) 2
△BCD与△ABO中，保持不 △ABP与△ABC中，保持不变变的是∠ABO= ∠BCD ．的是∠ABC= ∠BAP ．
分两种情况：分两种情况：
2 3
①若△ ABP ∽△ ①若△ BCD ∽BCA △ OBA ②若△ ②若△ ABP BCD ∽△ ∽BAC △ ABO
一、解题步骤：三步曲
第一步：寻找分类标准第二步：画出示意图第三步：计算——具体问题具体分析
2
(3,3)
2
3
P
y 2( x 2)2 1
(3,3) △ABP与△ABC中，保持不变的是 ∠ABC= ∠BAP ．
P
分两种情况：
①若△ ABP∽ △ BCA
2 3
②若△ ABP∽ △ BAC
P
y 2( x 2)2 1
(3,3)
3 AB 5 , BC 2
①若△ ABP∽ △ BCA ，则
BA 2 , BO 4, BC 4 2
①若△ BCD∽ △ OBA ，则
CD BC BA OB
CD BC BO AB
CD 4 2 4 2
CD 2
D1 (6,0) D2 (20,0)
②若△ BCD∽ △ ABO

《相似三角形存在性问题》教学设计

《相似三角形存在性问题》教学设计
在数学中，相似三角形的存在性是一个重要的问题，因为它能够帮助我们理解三角形的形状、大小和角度，以及它们之间的关系。

在本文中，我们将分析相似三角形从定义和存在性等不同角度，研究如何证明它们的存在。

我们提出一种教学设计来帮助学生们在实际应用时理解相似三角形的概念，并运用这种概念解决问题。

一、义
相似三角形是指两个三角形，它们都有相同的外接圆，且各个相邻的角的度数和长度相等，叫做相似三角形。

又称六边形规则。

二、在性
证明相似三角形的存在性首先需要证明它们的长度和角度都相等。

我们可以使用三角形几何原理进行证明，三角形几何原理是指任意一条直线上角顶点两边对称，对应角一定相等。

因此，在计算机上可以使用相关的算法计算三角形的角度和长度，以证明两个三角形的相似性。

三、学设计
本教学设计从三个方面进行设计，包括概念提出、实例说明和计算机求解。

1.念提出：首先给学生们介绍相似三角形的定义，让学生们理解这种相似三角形的概念和特点。

2.实例说明：接着介绍如何运用相似三角形解决实际应用中的问题，如如何计算墙壁外面三个垂直平面构成的三角形的角度等。

3.算机求解：最后用计算机模拟实际情况，以验证相似三角形的存在性。

四、论
通过本文的探讨，我们已经简要地介绍了相似三角形的定义、存在性以及与之相关的教学设计。

本教学设计旨在帮助学生将相似三角形的概念应用到实际的问题中，结合实际情况来求解三角形的角度和长度，进而证明它们的存在性。

中考数学压轴题破解策略专题26《相似三角形的存在性》

专题26《相似三角形的存在性》破解策略探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题，相似三角形的基本模型有： 1．“A ”字形已知：在△ABC 中．点D 在AB 上，点E 在AC 上．DE ∥B C ．结论：△ABC ∽△ADE ．D E CBA2．反“A ”字形（1）已知：在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，∠AED ＝∠AB C ．结论：△ABC ∽△AE D ．A BCD E（2）已知：在△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD ＝∠AB C ．结论：△ABC ∽△A （：D ．A BCD3．“8”字形已知：在△ABC 中，点D 在CA 的延长线上，点E 在BA 的延长线上，DE ∥B C ．结论：△ABC ∽△AE D ．E4．反“8”字形已知：在△ABC 中，点D 在CA 的延长线上，点E 在BA 的延长线上，∠ADE ＝∠AB C ．结论：△ABC ∽△ADE ．D5．双垂直已知：△ABC 中，∠BAC ＝90，AD 为斜边BC 上的高．结论：△ABC ∽△DBA ，△ABC ∽△DAC ，△ABD ∽△CA D ．DBCA6．一线三等角（1）已知Rt △ABC 和Rt △CED ，B ，C ，E 三点共线，90B E ACD ∠=∠=∠=．结论：△ABC ∽△CE D ．BC（2）已知△ABC 和△CDE ，B ，C ，E 三点共线，90B E ACD ∠=∠=∠<．结论：△ABC ∽△CE D ．BEA（3）已知△ABC 和△CED ，B ，C ，E 三点共线，90B E ACD ∠=∠=∠>．结论：△ABC ∽△CE D ．DC例题讲解例1如图，已知A （－1，0），B （4，0），C （2，6）三点，G 是线段AC 上的动点（不与点A，C重合）．若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．x解：设直线AC的表达式为y sx t=+，把A，C两点坐标代入可得62s ts t=+⎧⎨-=+⎩，解得22st=-⎧⎨=-⎩．所以直线AC的表达式为22y x=--．设点G的坐标为（k，－2k－2），因为点G与点C不重合，所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．所以AG AB AB AC=．而AB＝5，AC=1AG=+，=即513k+=，解得123k=，283k=-（舍）．所以点G的坐标210 (,) 33-．例2如图，抛物线2)(4)y x x=+-与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D．P是抛物线上一点，问：是否存在点P，使以P，A，B 为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．x解：存在．因为点A（－2，0），B（4，0），C（0，D（2，DE⊥AB于点E，由勾股定理得AD BD=①如图，当△1P AB ∽△ABD 时，1PB AB AB BD=，所以1PB = 过点1P 作11PM ⊥AB 于点1M ，所以111P M DE P B BD =，解得11PM = ∵11BM BEP B BD =，∴112BM =，∴点1P 的坐标为（－8，因为此时点1P 不在抛物线上，所以此种情况不存在．②当△2P AB ∽△BDA 时，2P B ABAB AD=，所以2P B =2P 作22P M ⊥AB 于点2M ，所以222P M DEP B AD =，解得22P M =．因为22BM AE P B AD=，所以28BM =，所以点2P 的坐标为（－4，x ＝－4代入抛物线的表达式得y =，所以点2P 在抛物线上．③由抛物线的对称性可知：点2P 与点3P 关于直线x ＝1对称，所以3P 的坐标为（6，④当点4P 位于点C 处时，两个三角形全等，所以点4P 的坐标为（0，-）．综上所得，点P 的坐标为（－4，6，0，-）时，以P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABD 相似．例3 如图，已知直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同运动时间为t 秒．设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3，0），B点坐标将A（3，0），B（0，3）代入2y x bx c=-++，得930 3b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，所以抛物线的解析式为2223(1)4y x x x=-++=--+．∴点M的坐标为（1，4），MB所以222BM AB AM+=，90MBA∠=．如图，设运动时间为t秒，则OP＝t，(3BQ t=-①当△BOP∽△QBM时，MB BQOP OB==2330t t-+=，而234130∆=-⨯⨯<，所以此种情况不存在；②当△BOP所以当tx进阶训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线234y x bx c=-++的图象交x轴于()4,0A，()1,0B-两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）若P 是线段OA 上的一点（不与点O ，A 重合），Q 是AC 上一点，且PQ ＝PA ，在x 轴上是否存在点D ，使得△ACD 与△APQ 相似？如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为239344y x x =-++，对称轴为32x =（2）存在．点D 的坐标为()4,0-，7,08⎛⎫⎪⎝⎭．[提示]（2）由题意知△APQ 为等腰三角形，如果△ACD 与△APQ 相似，那么△ACD 也是等腰三角形．①如图1，当AD 为底边时，D ，A 关于y 轴对称，此时点D 的坐标为()4,0-； ②如图2．当AC 为底边时，58DA AC =，所以58DA =，此时点D 的坐标为7,08⎛⎫⎪⎝⎭．图1图22．如图，设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于不同的点()1,0A -，(),0B m ，与y 轴交于点C ，已知ACB ＝90°．（1）求m 的值和抛物线的表达式；（2）已知点()1,D n 在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线与另一点E ．若点P 在x 轴上，是否存在这样的点P ，使得以点P ，B ，D 为顶点的三角形与△AEB 相似？解：2．（1）4m =，抛物线的表达式为213222y x x =--；（2）存在．点P 的坐标为13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或22,05⎛⎫- ⎪⎝⎭【提示】（1）由已知条件可得OA ＝1，OC ＝2，易证△AOC ∽△COB ，从而m ＝OB ＝4，再将A ，B 两点的坐标代入表达式即可求得．（2）易求得点()1,3D -，()6,7E ，分别过点D ，E 作x 轴的垂线，垂足分别为H ，G ．易证EAG ＝DBH ．所以△PBD 和△AEB 相似存在两种情况：①如图1，当△ABE ∽△BPD 时，有AB BPAE BD=，得点P 的坐标为13,07⎛⎫⎪⎝⎭②如图2，当△ABE ∽△BDP 时，有AB BD AE BP =，得点P 的坐标为22,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．图1图23．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧部分上运动，直线m 经过B ，Q 两点，与y 轴交于点N ，与直线l 交于点G ．问：是否存在直线m ，使得直线l ，m 与x 轴围成的三角形和直线l ，m 与y 轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m 的表达式，若不存在，请说明理由．解．存在，直线m的表达式为113y x=-．【提示】根据AGB＝GNC＋GCN．所以当△AGB∽△NGC时，只能AGB＝CGB＝90°，所以△AOC≌△NOB，所以直线m的表达式为113y x=-．。

第4讲相似三角形存在性问题处理策略

第四讲相似三角形存在性问题知识必备一、相似的判定1、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，简称为”SAS”2、两角分别相等的个三角形相似，简称为“AA二、相似与∽1、一般地，若△ABC 与△DEF相似，,则不具备对应关系,需分类求解2、若△ABC ∽△DE,，则具备对应关系三、定边与定角1、定边与定长：确定的边、其长度确定,必可求；2、定角定比：确定的角、其三角函数值确定,必可求。

方法提炼一、导边处理(“AA”法)相似三角形存在性问题、基本上都可以按部就班,如下解决：第一步：先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程此法为通法。

如图4-2-1、在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,则要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:AB/AC=DE/DF或AB/AC=DF/DE,再依次列方程求解二、导角处理(“AA法)第一步先找到一组关键的等角第二步:另两个内角分两类对应相等。

不称此通法为”AA法举例:如图4-2-1,在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:∠B=∠E 或∠B=∠F,再导角分析处理。

三温馨提示1.解法一(“SAS法),通用性更强,普适性更广,往往是首选。

2.解法二(“AA法),导角分析，常转化为角的存在性问题。

举例（一）显性的相等角例1、在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=90°，AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上的一动点，若△PAD与△PBC相似，则满足条件的点P共有（）个A.1B. 2C. 3D.4（二）隐形的相等角例2、已知二次函数的图像经过A(-2,0),B(-3,3)及原点，顶点为C。

（1）求此二次函数的解析式；（2）连接BC，交x轴于点F，y轴上是否存在点P,使得△POC与△BOF相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

相似三角形的存在性问题解题策略共46页

相似三角形的存在性问题解题策略
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

相似三角形的存在性问题解题策略ppt课件

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第三步计算——几何法、代数法同时
②Q在OB的反向延长线上
三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．
怎样求OQ? 如果知 co1道 t52 3就好办了！
Q P H c H 1 o 5 t 4 (2 3 ) 8 43
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第三步计算——几何法、代数法同时
②∠AD精N选＝课件∠BEM
4
第二步比比画画——不求准确，但求思路
三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．
①∠ADN＝∠BME
②∠ADN＝∠BEM
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第三步计算——具体问题具体分析
三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．
①当∠ADN＝∠BME 又∠ADN＝∠DBE
所以∠BME＝∠DBE 因此△BME∽△DBE
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小结
非常规的相似三角形的存在性问题
三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．
第一次讨论：只存在△OPQ ∽△OEC一种情况第二次讨论：点Q的位置存在两种情况三角形相似→特殊角度→→解直角三角形
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详细的解题过程和动感体验
请参考
《挑战中考数学压轴题》
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想的多还是算的多？
DE为腰ED为为顶顶角角的的顶顶点点 DE为底边
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三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算．
08嘉定24
点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．