等腰直角三角形例题

有关等腰直角三角形的几何证明题（2013.12.30FZX）

（郭方媛）

【知识要点】等腰直角三角形是几何证明的特殊图形，它的性质（两腰相等、两底角等于45°）在证明中作用重大，充分应用其性质能达到轻松解题的效果。

【例】、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．

（1）求证：DM=DN；

（2）若∠DMC=15°，BN=1，求MN的长．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：（1）连接CD，求出CD=BD，∠CDM=∠BDN，∠MCD=∠

DBN，证△DCM≌△DBN，推出即可；

（2）求出CM=BN=1，∠MNC=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．

【1】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

【2】如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

【3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D

是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．

试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

【4】如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF 为BC中线，交BE于G．

（1）求证：BE=2CD；

（2）CE和BG大小如何？不必证明．

【5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．（3）求证：BD=BF

【6】等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．

（1）求证：△EGM为等腰三角形；

（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论

【7】已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM 和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

（2）分析：方法一：延长DM至F，使DM=MF 连接CF,BF,BD延长CF,AD交于G 则EM=MC 角EMD=角FMC ∴ED=CF ED∥FC ∵ED⊥AD∴CG⊥AG ∴角GAC+角GCA=90°∴角BAC-角BAD+角BCA+角FCB=90°∴角BAD=角FCB ∴△BAD≌△BCF ∴BD=BF 角ABD=角CBF ∴角DBF=90°又∵DM=MF ∴BM⊥DM DM=BM

方法二：取AE的中点G,AC的中点F,连接DG,MG,BF,MF. 又M为CE中点,则:MF=AE/2=DG;GM=AC/2=BF;GM∥AC;MF∥AE.(中位线的性质) 得:∠MFC=∠EAC=∠EGM;又∠BFC=∠EGD=90度.则∠MFB=∠DGM. ∴⊿BFM≌⊿MGD(SAS),BM=DM;∠FBM=∠GMD. 又GM平行AC,BF垂直AC,则GM垂直BF. 故∠FBM+∠BMG=90度=∠GMD+∠BMG,即∠BMD=90度,得:BM⊥DM.