圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备: １. 直线方程的形式

（１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d =

③夹角公式：

2121

tan 1k k k k α-=

+

（3）弦长公式

直线

y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

= 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

标准方程:22

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且

距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22

1(0)x y m n m n

+=⋅<

距离式方程

:|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如:已知21F F 、是椭圆13

42

2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足

221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( )

Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1

2

2tan 2

F PF P b θ

∆=在椭圆上时，S

1

2

2cot 2

F PF P b θ

∆=在双曲线上时，S

(其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅）

（6)、记住焦半径公式:(1）

00

;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。

(2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

(3)11||,||22

p

p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

１、点差法（中点弦问题) 设()

11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13

42

2=+y x 的弦AB 中点则有

1342

12

1=+y x ，1342

22

2=+y x ;两式相减得(

)()03

4

2

2

2

1

2

2

21=-+-y y

x x

⇒

()()

()()

3

4

21212121y y y y x x x x +--

=+-⇒AB k ＝b

a 43-

2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经

典套路是什么？如果有两个参数怎么办?

设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一

个二次方程，使用判别式0∆≥,以及根与系数的关系,代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到错误!错误!两个式子，然后错误!-错误!，整体消元······,若有两个字母未知数，则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点，则可以利用三点Ａ、B 、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为

y kx b =+,就意味着k 存在。

例１、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).

(1)若三角形AB Ｃ的重心是椭圆的右焦点，试求直线ＢC 的方程; （2）若角A 为090,AD 垂直B Ｃ于D,试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出A Ｂ⊥A Ｃ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点Ｄ的轨迹方程；

解:（1)设B(1x ,1y ）,C （2x ,2y ),BC 中点为（00,y x )，F(2,０）则有

116

20,116202

2

222121=+=+y x y x ﻫ两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x （1）ﻫF(2，0)为三角形重心,所以由2321=+x x ,得30=x ，由03

4

21=++y y 得20-=y ,代入(1）得5

6

=k

直线B Ｃ的方程为02856=--y x ﻫ2)由AB ⊥ＡＣ得

016)(14212121=++-+y y y y x x （2）

设直线ＢC

方程为

8054,22=++=y x b kx y 代入，得

080510)54(2

2

2

=-+++b bkx x k ﻫ

2

215410k kb

x x +-=

+,

2

22154805k b x x +-=

ﻫ

2

2

22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(２）式得 0541632922=+--k b b ,解得)(4舍=b 或9

4

-

=b 直线过定点（0，)9

4

-，设D(x,ｙ)，则

1494

-=-⨯+

x

y x y ,即016329922=--+y x y

所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20

()916(222≠=-

+y y x 。 4、设而不求法

例２、如图，已知梯形ＡBCD 中CD

AB

2=,点Ｅ分有向线段AC 所

成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、Ｂ为焦点当4

33

2≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立