4.21天一大联考高三四联理数试题及答案

天一大联考
2019-2020学年高中毕业班阶段性测试（四）
理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{})2ln(,0)4()1(x y x N x x x M -==≥--=，则N M I =（ ）
A.)
2,1( B.]2,1[ C.]1-，（∞ D.]4,2(2.复数z 满足
i z i 2121-=+，则z 的共轭复数z =（ ） A.i 43+- B.i 43-- C.i 5453+- D.
i 54533.已知两个平面βα，，直线R l ⊂，则“β∥l ”是“βα∥”的（
） A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件4.4)21(-+
x x 展开式中的常数项为（ ） A.11 B.11 C.70 D.
705.已知正实数c b a ,,满足2log ,log )4
1(,log )21
(333===c b a b n ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.a c b << D.b
a c <<
6.已知向量b a ,的夹角为135322==，且b a λ+与b a
垂直，则λ=（ ） A.1514 B.65 C.32 D.6
17.设不等式组⎩⎨⎧+-
+
x x x ，表示的平面区域为D ，命题p ：点（2,1）在区域D 内，命题q ：点（1,1）在
区域D 内.则下列命题中，真命题是（ ）
A.q p ∨⌝)(
B.)(q p ⌝∨
C.)()(q p ⌝∧⌝
D.q p ∧
8.函数x x x x f -+-=3
33)(的图象大致是（ ）
A B C D
9.已知21F F ，为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x E ：的左、右焦点，点M 为E 右支上一点.若1MF 恰好被y 轴平分，且ο3021=∠F MF ，则E 的渐近线方程为（ ） A.x y 2
2±= B.x y 2±= C.x y 3±= D.x y 2±= 10.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)()1(4*2N n a S n n ∈+=，则8765a a a a +++=（ ）
A.24
B.48
C.64
D.72
11.已知斜率为k （k>0）的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与圆2)1()2(2
2=+++y x 相切.若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（ ） A.24 B.34 C.8 D.12
12.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若)(2)(x f x f <'，则不等式)23()(84+>--x f e x f e x 的解集是（ ） A.),21(+∞- B.)21,(-∞ C.)1,2
1(- D.)21,1(- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～),100(2
σN ，若已知47.0)10070(=≤<X P ，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为 .
14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)3(32,1122≥=+=--n S S S a n n n ，则5a = .
15.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<
>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列说法正确的有 .
（写出所有正确说法的序号）
①)(x f 的图象关于点)0,6(π-对称；
②)(x f 的图象关于直线125π-
=x 对称； ③)(x f 的图象可由x x y 2cos 2sin 3-=的图象向左平移
2π个单位长度得到； ④方程03)(=+x f 在]0,2[π
-上有两个不相等的实数根.
16.已知正三棱锥P-ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB= .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.（12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C C C c ,32sin 322sin ,342
=+=为锐角.
（1）若4=a ，求角B ；
（2）若A B sin 2sin =，求△ABC 的面积.
18.（12分）
某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人.为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样.其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀.
甲抽取的样本数据：
女抽取的样本数据：
（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关； （Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由. 附:))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19.（12分） 已知直三棱柱111C B A ABC -中，E AA BC AC AB ,322,21====是BC 中点，F 是E A 1上一点，EF E A 41
=. （Ⅰ）证明：⊥AF 平面BC A 1；
（Ⅱ）求二面角11B E A C 的余弦值.
20.（12分）
已知椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x E ：的四个顶点依次连接可得到一个边长为32，面积为36的菱形.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线m kx y l +=：与圆322
22b y x O =+：相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求
22k m +的值.
21.（12分）
已知函数x e x x f )1()(2-=.
（Ⅰ）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴交于点)0,(0x ，求曲线在该点处的切线方程；
（Ⅱ）设方程)0()(>=m m x f 有两个实数根21,x x ，求证：)211(221e
m x x +
-<-
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 224112（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)3cos(=-
πθρ
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求△OMN 的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数14)(,1)(+-=-+-=x x g x a x x f
（Ⅰ）当2=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x g x f ≤的解集包含]1,0[，求a 的取值范围.。