三角函数的求值

三角函数的求值

一、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 二、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用． 三、教学过程：

（一）主要知识：

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 （4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形

重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 （二）主要方法：

1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．

（三）例题分析：

例1、计算)310(tan 40sin 0

0-的值。

【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。

解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000

- =0

000

60

cos 10cos 50sin 40sin -⋅ =160cos 10cos 280sin 0

00

-=⋅-

[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系

注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。

练习:（全国高考）tan20°+4sin20°

解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=0

020cos 40sin 80sin +

=320

cos 20cos 60sin 20

0= 例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2

θ的值 解：法一：由已知

2

1

tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ

sin2θ-2cos 2

θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5

4

tan 12tan 22

-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2

θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(

θπ22

+)-sin(

θπ22

+)-1

=5

41)

4

(tan 1)

4tan(2)4(tan 1)

4(

tan 1222-=-+++-+++--θπθπ

θπθπ

[点评] “给值求值” 法一,由tan θ的值，利用齐次式求值。法二，由角度之间关系求解 练习:)6

sin(,212

tan

π

αα

+=

求已知 解：（利用万能公式）

10

3

34+ 例3、已知sin(

-4πx)=135，0

π

，求)

4

cos(2cos x x

+π

的值。

【解法1】∵2)4()4(πππ=++-x x ，∴cos(4π+x)=sin(4π

-x)

又cos2x=sin(2π-2x)=sin2(4π-x)=2sin(4π-x)cos(4

π

-x)

∴)4

cos(2cos x x +π=2 cos(4π-x)=213

24)1312(=⨯ 【解法2】)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 2

2

x x x x x x x -+=-= )4

cos()4sin(2π

π

++

x x ∴

)4

cos(2cos x x +π

)

4

cos()

4cos()4sin(2x x x +++=

ππ

π=)4sin(2x +π 下同解法1。

[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ

=++-x x 及)4

(222x x -=-π

π ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。

练习：设cos(α2

β-

)=91-

，sin(βα-2)=3

2

,且2

0,2

πβπαπ<<<<，求cos(α+β)

解：cos(

2

β

α+)=cos[(α2

β

-

)-(

βα

-2

)]┉=

27

57 ∴cos(α+β)=

1

2

cos

22

-+β

α=┉=729

239

-

〈对角的范围要讨论〉 例4、若),0(,πβα∈，31

tan ,50

7

cos -=-

=βα，求α+2β。

解：∵),0(,πβα∈，50

7cos -

=α

∴),0,33(71tan -∈-=α),0,3

3

(31tan -∈-=β ∴),65(

,ππβα∈，α+2β)3,2

5(ππ

∈, 又tan2β=

43tan 1tan 22

-=-β

β,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβ

αβα, ∴α+2β=

4

11π

[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。

练习:已知α，β为锐角，tan α=1/7 sin β=

10

10

,求2α+β的值 解：由已知0<2α+β<

23π, 求得cos(2α+β)=22或tan(2α+β)=1.得2α+β=4

π

例5、已知3

1

)sin(,21)sin(=-=

+βαβα，求tan α:tan β的值。 解：由已知，sin αcos β+cos αsin β=1/2......(1), sin αcos β-cos αsin β=1/3 (2)

()()()()

得2121-+tan α:tan β=5:1

[点评] “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。 练习: 已知sin α+sin β= m 已知cos α+cos β= n(mn ≠0). 求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)

解：⑴两式平方相加得：2+2(cos αcos β+sin αsin β)=m 2+n 2