九年级数学圆的内接四边形

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北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计

北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》是本节课的主要内容。

通过学习，学生能够理解圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。

本节课的内容是九年级数学的重要知识点，也是高考的考点之一。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识。

但圆的内接四边形的性质较为复杂，需要学生通过实例探究、推理归纳等方法来理解和掌握。

同时，学生需要具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.理解圆的内接四边形的性质。

2.能够运用圆的内接四边形的性质解决相关问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆的内接四边形的性质。

2.如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.实例探究：通过具体的图形，引导学生探究圆的内接四边形的性质。

2.推理归纳：引导学生运用已知的数学知识，推理归纳出圆的内接四边形的性质。

3.小组讨论：学生在小组内讨论如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解圆的内接四边形的性质。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的图形，引导学生观察圆的内接四边形，引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）利用教学课件，呈现圆的内接四边形的性质，引导学生直观地理解。

3.操练（10分钟）让学生通过观察、思考、推理等方法，归纳出圆的内接四边形的性质。

4.巩固（10分钟）通过一些相关的练习题，巩固学生对圆的内接四边形性质的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生运用圆的内接四边形的性质解决实际问题，培养学生的运用能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调圆的内接四边形的性质及其运用。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业，让学生进一步巩固所学知识。

九年级数学圆的内接四边形

又一种重要的辅助线
如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B 点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF
•有两个圆的题目D常用的E一种辅助A线：作公共弦。 C•此图形O1是一个考O试2 热门图形。 B
F
思考：若此A 题条件和D C结论不变，只是不给出样E 图证形明O1，吗此？B 题还O能2 这F
EA B
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180°
对角
D ∠EAB＝∠BCD
O
∠FCB＝∠BAD
C 外角
F
内对角
四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求 ∠BAD和∠BCD的度数。
B
A
O D
C
如图，ABCDE是⊙O的内接五边 B 形，∠BAE的补角是哪个角？
当图中线段较多时，圆内 C 接四边形的对角找不准，
如图，四边形ABCD内接于
⊙O，点P在CD的延长线上，
A
且PA∥DB，求证：PD·BC
＝AB·AD
P
D
B O
C
如图，已知半圆的直径AB＝6cm，
P
CD是半圆上长为2cm的弦，当弦
CD在半圆上滑动时，AC和BD延长
C
线的夹角是否为定值？如果不是，
D
说明理由；如果是，求出这个定角
的正弦值。
A
O
B
圆的内接四边形
数一数：图中有多少对相等的角？
找一找：图中有没有互补的角？
想一想：
EA
D
M O
B C
A
A A B
D DDBOOODCBBC

第15课圆内接四边形(学生版)九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版)

第15课圆内接四边形目标导航学习目标1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.知识精讲知识点01 圆内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．知识点02 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．能力拓展考点01 圆内接四边形的性质的应用【典例1】如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB ＝∠CDE．（1）求证：△ABE是等腰三角形；（2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r．【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．分层提分题组A 基础过关练1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（）A．40°B．60°C．100°D．120°2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2C．D．44. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝度．7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是．8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．题组B 能力提升练11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（）A．2m B．C．180°﹣2m D．13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝°．14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝130°．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．其中正确的结论是（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝P A+PB，④若P A＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，（1）证明：圆中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．（3）证明：P A+PB＝PC．22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．题组C 培优拔尖练23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为．24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD（1）求证：AB＝CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．。

24.1.4圆周角圆内接四边形(教案)2021-2022学年九年级数学人教版上册

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在小组讨论环节，我尝试引导学生探索圆周角和圆内接四边形在实际生活中的应用，他们提出了许多有趣的例子。这个环节不仅增强了他们对知识的理解，还激发了他们的创造性思维。然而，我也观察到一些学生在讨论中较为沉默，我需要找到方法来鼓励这些学生更积极地参与到讨论中来。
实践活动是一个亮点，学生们通过动手操作，对理论知识的理解更加深刻。但在活动组织方面，我发现时间分配上可以更加合理，以确保每个小组都有足够的时间来完成实验和分享成果。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的概念和圆内接四边形的性质这两个重点。对于难点部分，如圆周角与圆心角的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆内接四边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用量角器和圆规来验证圆周角和圆心角的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角和圆内接四边形的基本概念。圆周角是由圆上两条半径或其延长线所夹的角，它等于其所对圆心角的一半。圆内接四边形是指四个顶点都在圆上的四边形，具有对角互补、对角线互相平分等重要性质。看一个具体的案例。通过分析圆周角和圆内接四边形在实际中的应用，如建筑设计中的圆拱桥，了解它们如何帮助我们解决问题。

初三数学圆系列讲义八——圆的内接四边形

五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。

判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。

【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例2 如图所示，ABC 是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．A· ABDO例3、如图7-103，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．例4、如图7-104，四边形ABCD内接于⊙O，过AB延长线上一点E作EF∥AD，且与DC延长线交于F，证明四边形BEFC为圆内接四边形．例5、如图7-105，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．例6、如图7-106，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC于E．求证：AD=EC．例8、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．例9、如图7-108，M，N分别是△ABC中AB，AC的中点，过M作AB的垂线交AC于D，过N作AC的垂线交AB于E．求证：B，C，D，E四点共圆．例10、如图7-109，四边形ABCD 内接于圆，AC 平分∠BAD ，延长DC 交AB 的延长线于E 点．若AC=EC ，求证：AD=EB ．【考点速练】1．圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，则∠A= ，∠B= ．5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ． 7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。

24.1.5圆内接四边形(教案)-2021-2022学年九年级数学上册人教版(安徽)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在学生小组讨论环节，我尝试提出一些开放性的问题，引导学生思考和探究。从成果分享来看，学生们对于圆内接四边形在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现部分学生的思考深度和广度仍有待提高。在接下来的教学中，我会进一步加强引导，培养学生独立思考和批判性思维的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接四边形的基本概念。圆内接四边形是指四边形的四个顶点都在同一圆上的四边形。它是几何学中的一个重要概念，因为它具有独特的性质和广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆内接四边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆内接四边形的基本概念、性质和判定定理，以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对圆内接四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.圆内接四边形的判定定理：四边形ABCD内接于圆O的充分必要条件是它的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。

北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计1

北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》是本节课的主要内容。

通过学习，学生能够了解圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和四边形的性质。

但对于圆的内接四边形的性质，可能较为陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而发现和证明圆的内接四边形的性质。

三. 教学目标1.理解圆的内接四边形的性质。

2.能够运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和探究能力。

四. 教学重难点1.圆的内接四边形的性质。

2.如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、探究法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，发现和证明圆的内接四边形的性质。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、图片、例题和练习题。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些关于圆的内接四边形的图片，引导学生关注圆的内接四边形，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现圆的内接四边形的性质，引导学生观察、思考，发现其中的规律。

在此过程中，教师引导学生进行探究，培养学生自主学习的能力。

3.操练（10分钟）通过一些例题，让学生运用圆的内接四边形的性质解决问题。

教师引导学生进行讨论，解答疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。

教师进行个别辅导，帮助学生解决问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆的内接四边形的性质是否只适用于圆的内接四边形？能否推广到其他类型的四边形？从而激发学生的探究欲望。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调圆的内接四边形的性质及其运用。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生回家后巩固所学知识。

九年级数学圆的内接四边形

半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边长的情况下，通过边长比例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角度的情况下，通过三角函数和边长比例关系求解未知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题，综合运用边长比例关系、三角函数和相似三角形等知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所有外角之和等于360°。对于圆内接四边形，每个外角都等于相邻的内对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆，即这个四边形是某个圆的内接四边形。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直角，则其对角也是直角。

北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》说课稿1

北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》这一节的内容，是在学生已经掌握了圆的基本性质，以及四边形的性质的基础上进行讲解的。

本节内容主要介绍了圆的内接四边形的性质，包括圆的内接四边形的对角互补，以及圆的内接四边形的不稳定性。

这部分内容在高考中经常出现，对于学生来说，既是重点，也是难点。

二. 学情分析九年级的学生，已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和四边形的性质都有了一定的了解。

但是，由于圆的内接四边形的性质比较抽象，学生理解和接受的难度较大。

因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，逐步让学生理解和掌握。

三. 说教学目标1.让学生理解圆的内接四边形的性质，能够熟练运用圆的内接四边形的性质解决相关问题。

2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。

3.通过对圆的内接四边形的性质的学习，激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆的内接四边形的性质，以及如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

2.教学难点：圆的内接四边形的性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、问答法、小组合作探究法等多种教学方法。

同时，利用多媒体课件，直观展示圆的内接四边形的性质，帮助学生理解和掌握。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的内接四边形的性质。

2.讲解：详细讲解圆的内接四边形的性质，引导学生进行思考和讨论。

3.练习：让学生通过练习，巩固对圆的内接四边形的性质的理解。

4.拓展：引导学生思考圆的内接四边形的性质在其他领域的应用。

七. 说板书设计板书设计简洁明了，主要包括圆的内接四边形的性质，以及如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现，练习题的完成情况，以及学生的学习反馈来进行。

对于掌握较好的学生，可以适当给予表扬和鼓励，提高学生的学习积极性。

九年级数学下册《圆的内接四边形》教案、教学设计

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆的内接四边形的性质及其应用，特别是对角互补定理的理解和应用。
2.难点：将圆的内接四边形的性质与实际问题相结合，解决复杂的几何问题。
（二）教学设想
1.引入新课：通过生活中常见的圆形物体（如硬币、圆桌等）引导学生观察和思考，激发学生对圆的内接四边形的兴趣。接着展示一些内接四边形的实例，让学生初步感知内接四边形的特点。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，确保解题过程清晰、简洁。
2.培养良好的学习习惯，书写规范，保持作业整洁。
3.遇到问题要积极思考，可以与同学讨论，也可以向教师请教。
4.家长要关注学生的学习进度，鼓励孩子独立完成作业，培养自主学习能力。
5.课堂练习：布置一定数量的课堂练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。教师及时批改并给予反馈，针对学生的错误进行有针对性的讲解。
6.拓展延伸：针对学有余力的学生，提供一些拓展性的问题和实际应用案例，激发学生的探究欲望，培养他们的创新思维。
7.评价反思：在教学过程中，注重过程性评价，关注学生的参与度、合作交流能力、问题解决能力等方面。课后，教师和学生共同反思教学效果，为下一步教学提供参考。
1.基础巩固题：完成课本第56页的练习题第1、2、3题，要求学生在理解圆的内接四边形性质的基础上，正确解答相关问题。
2.能力提升题：完成课本第57页的练习题第4、5题，鼓励学生运用对角互补定理解决实际问题，提高解题技巧。
3.拓展思考题：思考并解答以下问题：
a.除了对角互补定理，你还能发现圆的内接四边形的其他性质吗？
二、学情分析
九年级学生已经具备了一定的几何基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能够运用这些知识解决一些简单问题。在此基础上，学生对圆的内接四边形的学习将更具挑战性。他们需要将已知的圆的性质与四边形的性质相结合，理解圆的内接四边形的独特性质，并学会运用这些性质解决实际问题。在这个过程中，学生可能会遇到一些困难，如对内接四边形对角互补性质的理解、解决实际问题时思路的拓展等。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，提供适当的引导和帮助，激发学生的学习兴趣，提高他们的自信心，使他们在探索和解决问题中不断成长。

人教版九年级数学上册：圆内接四边形性质在解题中的具体应用

圆内接四边形性质在解题中的应用圆的内接四边形具有如下性质：性质1：圆内接四边形对角互补.性质2：圆内接四边形的外角等于内对角.当遇到圆内接四边形时，能为问题的解决从角的层面提供最有效的帮助，下面就具体展示一下性质的灵活应用，供学习借鉴.1.直接应用性质，求对角的大小例1 (2019年甘肃兰州）如图1，四边形ABCD 内接于⊙0，若∠A=40°，则∠C=（）A.110°B.120°C.135°D.140°解析：因为四边形ABCD 内接于⊙0，且∠A 与∠C 是对角，所以∠A+∠C=180°，因为∠A=40°，所以∠C=140°，所以选D.点评：这是性质的直接性应用，应用时，抓住四点：一是确定四边形是圆的内接四边形；二是确定对角是哪一对；三是准确布列对角和为180°的等式；四是代入求值计算即可2.用性质，联手菱形，求角的大小例2（2019年甘肃天水）如图2，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°解法1：因为四边形ABCD 是菱形，∠D=80°所以∠ACB=21∠DCB=21（180°﹣∠D ）=50°，因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEB=∠D=80°，所以∠EAC=∠AEB ﹣∠ACE=30°，所以选C ．解法2：因为四边形ABCD 是菱形，∠D=80°所以∠ACB=21∠DCB=21（180°﹣∠D ）=50°，因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEC=180°-∠D=100°，所以∠EAC=180°-∠AEC ﹣∠ACE=30°，所以选C ．点评：解答时，有如下几点体会：一是熟练掌握菱形的性质，这是解题的基础；二是熟练掌握圆内接四边形的性质，这是解题的关键；三是灵活运用性质，性质选择不同，就会得到不同的解法，这是解题的灵魂和创新点所在.3.创造条件用性质，求两角的和例3（2019年南京市）如图3，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A+∠C ＝．解析：如图3，连接AB ，因为四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠BAD+∠C=180°. 因为PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，所以PA=PB ，因为∠P ＝102°，∠PAB=21（180°﹣∠P ）=39°，所以∠PAD+∠C=∠BAD+∠C+∠PAB=180°+39°=219°. 点评：构造圆内接四边形为性质应用创造条件是解题的关键，其次，熟练运用切线长的性质，等腰三角形的性质也是解题的有效支撑.4.创造条件用性质，求线段的长例4（2019年十堰市）如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD=5，CE=13，则AE= （）A ．3B ．32C ．43D ．23解析：如图4，连接AC ，因为BA 平分∠DBE ，所以∠1=∠2，因为∠1=∠CDA ，∠2=∠3，所以∠3=∠CDA ，所以AC=AD=5，因为AE ⊥CB ，所以∠AEC=90°，所以 AE=2222)13(5-=-CE AC =23,所以选D ．点评：解答时，把握好五条脉络：一是角平分线得到的两个等角；二是圆内教师必须外角等于内对角得到的两个等角；三是同弧上的圆周角相等得到的两个等角；四是逻辑推理得到的两个等角；五是等腰三角形的判定和勾股定理的应用.5.用性质，探求三角之间的关系例5 如图5矩形ABCD 中，AD=8,DC=6，在对角线AC 上取点O ，以OC 为半径的圆切AD 于E,交BC 于F ，交CD 于G.（1）求⊙O 的半径R ；（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．解析：（1）如图5，连接OE ，则OE ⊥AD.因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D=90°，根据勾股定理，得AC=10.因为OE ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以OE ∥CD ，所以△AOE ∽△ACD ，所以CD OE AC AO =，所以61010R R =-,解得R=415；（2）因为四边形EFCG 是圆的内接四边形，所以∠BFE=∠EGC ，因为∠GED=90°-∠EGD, ∠EGD=180°-∠EGC ,所以∠GED=∠EGC-90°即∠GED=∠BFE-90°，所以α，β，90°三者之间的关系式为α=β+90°．点评：本题是矩形与圆及圆内接四边形相结合的开放型的综合题[2]，解答时，注意如下几点：一是熟练应用切线的性质，为平行线的生成创造条件；二是熟练驾驭平行线与相似三角形的关系，用相似渗透方程的思想确定线段的长度；三是活动圆内接四边形的性质，互余的性质，邻补角的定义综合推理确定三角之间的关系，这是解题的关键.6.用性质，探求三线段之间的关系或线段比值例6（2019年湖北天门）已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图6，当∠BAC ＝120°时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：；（2）如图7，当∠BAC ＝90°时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图8，若BC ＝5，BD ＝4，求的值．解析：（1）解法1：如图9，在AD 上截取AE=AB ，连接BE ，因为∠BAC=120°，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△ABE和△BCD都是等边三角形，所以∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，所以△BED≌△BAC，所以DE=AC，所以AD=AE+DE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：此法的灵魂是在较长的线段上截取一段等于其中一条线段，证明余长等于另一条线段，简称截长法，要熟练掌握.解法2：如图10，延长AB到E，使BE=AC，连接DE，因为∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△BCD是等边三角形，所以BD=CD，因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBE=∠DCA，所以△BED≌△CAD，所以DE=DA，因为∠BAD=60°，所以△DAE都是等边三角形，所以AD=AE=AB+BE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：这种证明的方法叫做等量延长法，实质是构造两线段的和，证明和线段等于所求线段.解答时，有三个关键要把握好：一是用好圆内接四边形的外角等于内对角，为三角形的全等提供条件；二是熟练用好等边三角形的判断，为等线段的构造奠定基础；三是灵活运用三角形全等，为问题的解决提供等线段支撑.（3）AB+AC=2AD．理由如下：解法1：如图11，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠MBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，所以△MBD≌△ACD，所以MD=AD，∠M=∠CAD=45°，所以MD⊥AD．所以AM=2AD，即AB+BM= 2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法是顺延第一问中的解法2，关键是构造直角三角形，基础是三角形全等.解法2：如图12，过点D作ED⊥AD，垂足为D，交AC的延长线于点E,因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，∠AED=45°,所以AD=DE，所以AE=2AD.因为四边形ABDC内接于⊙O，ED⊥AD，CD⊥BD，所以∠ECD=∠ABD，∠BDA=∠CDE，所以△ABD≌△CED，所以AB=CE，所以AE=AC+CE=AC+AB=2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法的最大特点是直角构造出了一个等腰直角三角形，让结论直接生成，利用圆内接四边形性质，互余性质得到全等三角形，从而实现解题目标.（3）如图13，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠NBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD，所以BD=CD，所以△NBD≌△ACD，所以ND=AD，∠N=∠CAD，所以∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，所以△NAD∽△CBD，所以，所以，因为AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，所以=．点评：用性质，特别是渗透了三角形相似，使得问题求解非常有情趣，有数学味道，从而体会数学解题的乐趣.解后反思：通过对圆内接四边形性质解题应用的探究，深深体会到如下几点：1.学习时，要重视对教材上的每一条性质的掌握，务必从准确记忆，科学把握，灵活应用三个维度去掌握和学习，确实夯实数学基础；2.通过学习，努力更多地去掌握数学的基本解题思路和基本的解题方法，掌握常见题型解题时需要构造的辅助线，使得解题方法更加灵活多样，有生命力，充满解题生机；3.通过学习，要锻炼自己的发散思维能力，通过解题的变式思考，一题多解的思维训练等方式，启迪自己的思维，在解题过程中碰撞数学智慧，探索发现数学解题智慧，切实提高自身数学素养和数学能力；4.通过学习，要牢牢树立数学知识一盘棋的思想，构建起适合自己的数学知识网，让数学知识，数学方法，数学思思，数学智慧都融入这个大棋盘，做到知识选择灵活自如，方法选择灵活自如，思想选择灵活自如，为数学创新思维点燃创新的火花.。

人教版九年级上册数学第24章圆圆内接四边形

【思路点拨】先连接 EF，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝ ∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，则 ∠A＝∠CEF＋∠CFE，最后根据三角形内角和定理有∠A＋ ∠CEF＋∠CFE＋∠AEB＋∠AFD＝180°，即 2∠A＋α＋β＝180°，即可得出结果．
解：如图，连接 EF. ∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠ECD＝∠A. ∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2. ∵∠A＋∠1＋∠2＋∠AEB＋∠AFD＝180°， ∴2∠A＋α＋β＝180°. ∴∠A＝90°－α＋2 β.
(1)求⊙O 半径的长；解：如图，连接 OA，OC，过点 O 作 OH⊥AC 于点 H. ∵∠ABC＝120°， ∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°. ∴∠AOH＝12∠AOC＝60°. ∴∠OAH＝90°－∠AOH＝30°. ∴OA＝2OH. 易得 AH＝12AC＝ 3，且在 Rt△OAH 中，OA2＝OH2＋AH2， ∴OA＝2，即⊙O 半径的长为 2.
2．(2019·兰州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( D ) A．110° B．120° C．135° D．140°
3．(2019·德州)如图，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B ) A．130° B．140° C．150° D．160°
∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM.
14．(2018·绥化)已知关于 x 的一元二次方程 x2－5x＋2m＝0 有实数根．
(1)求 m 的取值范围；解：∵方程有实数根， ∴Δ＝(－5)2－4×1×2m≥0，则 m≤285.

九年级上册数学教案《圆的内接四边形》

九年级上册数学教案《圆的内接四边形》教材分析《圆内接四边形》是在学生学习了圆周角和圆心角的关系以及圆内接三角形的基础上，进一步学习圆内接四边形的概念和性质。

学生观察圆内接四边形的两组对角与其所对的弧之间的关系，发现每组对角所对的弧都恰好组成整个圆，从而根据圆周角定理，得圆内接四边形的对角互补。

这一性质充分揭示了作为直线形的圆内接四边形与圆的内在联系，它是今后证明与圆有关的角互补的重要依据。

依据同角的补角相等，得圆内接四边形的任何一个外角和与它相邻的那个内角所对的角是相等的，这个推理在证明与圆有关的角相等时经常用到。

学情分析学生已经掌握了圆周角定理的内容，一方面，学生具备了研究圆内接四边形概念及性质定理的预备知识，但学生的识图能力有待进一步提高。

由于以往对四边形的研究都是限于在直线型当中，缺少将与四边形的边角关系有关的知识融合在圆中进行分析的能力，因而遇到如何研究圆内接四边形的性质时，学生会无从下手。

为了解决这一问题，教师要注意引导学生将有关四边形的角的问题与圆中角的问题联系起来，从而转化到利用圆周角定理解决。

另一方面，为了教给学生解题的方法，训练学生的解题思维，教学中采用问题探究式教学，创设问题情境，启发学生思考，运用学过的知识分析探究，寻找结论与已知之间的联系，自主探索出定理与结论。

在运用时，为了训练学生的灵活运用能力，教学采用开放式提问的形式，训练学生的发散思维；采用一题多解，训练学生从不同角度进行思考，发现解决问题的方法；采用一题多变，训练学生解题的灵活性，从而提高学生分析、解决几何问题的能力。

教学目标1、理解圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆。

2、能证明圆内接四边形的性质，能应用这个性质解决简单的计算和证明问题。

教学重点圆内接四边形的性质的运用。

教学难点圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用，以及如何添加辅助线。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习引入1、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。

九年级圆内接四边形知识点

九年级圆内接四边形知识点圆内接四边形是九年级数学中的重要知识点之一。

它是指一个四边形的所有四个顶点都在同一个圆的周边上的特殊图形。

在学习圆内接四边形之前，我们先来了解一下相关的基本概念和性质。

一、圆的基本概念圆是平面几何中的一种特殊图形，由一条不断延伸的曲线组成。

圆由圆心、半径和圆周组成。

圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。

半径是从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

二、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的所有四个顶点都在同一个圆的周边上。

其中，圆心是该四边形对角线的交点。

三、圆内接四边形的性质1. 对角线互相垂直：在一个圆内接四边形中，两条对角线相互垂直。

2. 对角线相等：在一个圆内接四边形中，两条对角线的长度相等。

3. 对边和相对角相等：在一个圆内接四边形中，相对的两条边和对应的两个角相等。

4. 任意一条边都是两条对角线和半径的和：在一个圆内接四边形中，任意一条边的长度都等于两条对角线的长度和两个半径的和。

掌握了以上的基本概念和性质，我们可以用它们来解决一些与圆内接四边形相关的问题。

例题1：已知一个圆内接四边形的半径为5 cm，求它的面积。

解：由于这个四边形是圆内接四边形，所以它的对角线相等且垂直。

设一条对角线的长度为d，则可以得知d=2r=2*5=10 cm。

根据性质3可知，这个四边形是一个矩形，所以它的面积可以通过对角线的长度计算得到。

利用矩形的面积公式S=长*宽，其中长和宽分别是两条对角线的长度，那么这个圆内接四边形的面积为S=10*10=100 cm²。

例题2：已知一个圆内接四边形的面积为36 cm²，求它的半径。

解：设这个圆内接四边形的半径为r。

根据性质4可知，这个四边形的任意一条边的长度等于两条对角线的长度和两个半径的和。

由于它是一个矩形，所以两条对角线的长度相等，即2d=2r。

根据矩形的面积公式S=长*宽，可得d*r=36。

将d=2r代入得3r²=36，整理得r²=12，再开平方得r=√12=2√3 cm。

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》教案3

浙教版数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》教案3一. 教材分析《圆内接四边形》是浙教版数学九年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握圆内接四边形的性质。

通过学习，学生能理解和运用圆内接四边形的对角互补性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了基本的几何知识，对图形的性质有一定的了解。

但是，对于圆内接四边形的性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的几何知识出发，逐步探索和发现圆内接四边形的性质。

三. 教学目标1.理解圆内接四边形的性质；2.学会运用圆内接四边形的性质解决问题；3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.圆内接四边形的对角互补性质；2.如何运用圆内接四边形的性质解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生观察、思考、探索和发现圆内接四边形的性质，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关的基本几何图形；2.准备一些关于圆内接四边形的例子；3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用提问方式引导学生回顾基本的几何知识，如平行四边形的性质、矩形的性质等。

通过复习，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）展示一些圆内接四边形的图形，让学生观察并思考：这些图形的对角有什么特点？引导学生发现圆内接四边形的对角互补性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出一些圆内接四边形的例子，验证对角互补性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目难度可以适当增加，以挑战学生的思维。

教师及时批改，给予反馈。

5.拓展（10分钟）引导学生运用圆内接四边形的性质解决实际问题，如在给定的条件下，判断一个四边形是否为圆内接四边形。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学内容，教师补充并进行点评。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关圆内接四边形的练习题，要求学生在课后完成。

九年级数学圆的内接四边形

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