高中数学学案：数列的概念及简单表示

高中数学学案:数列的概念及简单表示1. 数列的概念及数列与函数的关系(A 级要求).2. 数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)(A 级要求).1. 阅读:必修5第31～34页.2. 解悟:①读懂数列的定义,并与函数的定义作比较；②写出数列的通项公式,就是寻找a n 与n 的对应关系a n ＝f(n)；③重解第33页例3,体会方法.3. 践习:在教材空白处,完成第34页习题第7、8、9题.基础诊断1. 数列1,2,7,10,13,…中的第26解析:因为a 1＝1＝1,a 2＝2＝4,a 3＝7,a 4＝10,a 5＝13,所以a n ＝3n －2,所以a 26＝3×26－2＝76＝219.2. 下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列{a n }的前4项,则这个数列的一个通项公式为 a n ＝3n －1 .(1) (2) (3) (4)解析:由图可知前4个图中着色三角形的个数分别为1,3,32,33,…,猜想第n 个图的着色三角形的个数为3n －1,所以这个数列的通项公式为a n ＝3n －1.3. 已知在数列{a n }中,a 1＝12,a n ＝1－1a n －1(n ≥2),则a 16＝ 12 .解析:由题意知a 2＝1－1a 1＝－1,a 3＝1－1a 2＝2,a 4＝1－1a 3＝12,所以此数列是以3为周期的周期数列,所以a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.4. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1,则a n ＝ ⎩⎨⎧2， n ＝1，2n －1， n ≥2.解析:当n ＝1时,a 1＝S 1＝2；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1,故a n ＝⎩⎨⎧2， n ＝1，2n －1， n ≥2.范例导航考向❶ 数列的通项公式例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1) －1,7,－13,19,…；解析:(1) 数列中各项的符号可通过(－1)n 表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(2) 1,0,13,0,15,0,17,…；解析:(2) 分母依次为1,2,3,4,5,6,7,…,分子依次为1,0,1,0,1,0,1,…,把数列改写成11,02,13,04,15,06,17,…,因此数列的一个通项公式为a n ＝1＋（－1）n －12n.(3) 0.9,0.99,0.999,….解析:(3) 数列可改写成1－110,1－1102,1－1103,…,可得该数列的一个通项公式为a n ＝1－110n .数列12,14,－58,1316,－2932,6164,…,的一个通项公式是 a n ＝(－1)n·2n －32 .解析:各项的分母分别为21,22,23,24,…,从第2项起,每一项的绝对值的分子分别比分母小3,因此把第1项变为－2－32,原数列化为－21－321,22－322,－23－323,24－324,…,故a n ＝(－1)n·2n －32n .【注】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略:(1) 常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2) 具体策略:①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况,可用(－1)k 或(－1)k ＋1,k ∈N *进行处理. 考向❷ 由a n 与S n 的关系求通项公式例2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ,求数列{a n }的通项公式.(1) a 1＝1,S n ＝n ＋23a n ； (2) S n ＝3n ＋b ； (3) S n ＝23a n ＋13.解析:(1) 由题设知a 1＝1.当n ≥2时,有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13·a n －1,整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1,于是a 1＝1,a 2＝31a 1,a 3＝42a 2,…,a n －1＝nn －2a n －2,a n ＝n ＋1n －1a n －1.将上面n 个等式两端分别相乘,整理得a n ＝n （n ＋1）2,显然,当n ＝1时也满足上式.综上可知,数列{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.(2) 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋b ；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b)－(3n －1＋b)＝2×3n －1. 当b ＝－1时,a 1＝2,满足上式；当b ≠－1时,a 1≠2,不满足上式, 所以当b ＝－1时,a n ＝2×3n －1；当b ≠－1时,a n ＝⎩⎨⎧3＋b ， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.(3) 由S n ＝23a n ＋13,得当n ≥2时,S n －1＝23a n －1＋13,两式相减,得a n ＝23a n －23a n －1, 所以当n ≥2时,a n ＝－2a n －1,即a na n －1＝－2. 又当n ＝1时,a 1＝S 1＝23a 1＋13,即a 1＝1, 所以a n ＝(－2)n －1.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1(n ∈N *).(1) 求a 3的值；(2) 求数列{a n }的前n 项和T n .解析:(1) 由题意得3a 3＝(a 1＋2a 2＋3a 3)－(a 1＋2a 2)＝4－3＋223－1－⎝⎛⎭⎪⎫4－2＋222－1＝34, 所以a 3＝14.(2) 由题设知当n ≥2时,na n ＝(a 1＋2a 2＋…＋na n )－[a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1]＝4－n ＋22n －1－⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n 2n －1,所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.当n ＝1时,a 1＝4－1＋220＝1满足上式, 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1,所以数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,故T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.【注】 已知S n ,求a n 的步骤: ①当n ＝1时,a 1＝S 1； ②当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1；③对n ＝1时的情况进行检验,若满足n ≥2的通项公式则可以合并；若不满足则写成分段函数形式.这种转化是解决这种题型的基本思路,要重点掌握. 考向❸ 数列的性质例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *),则数列{a n }有没有最大项？若有,求出最大项；若没有,请说明理由.解析:因为a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n11,所以当n <9时,a n ＋1>a n ；当n >9时,a n ＋1<a n ,则当n <9时,数列{a n }是递增数列；当n >9时,数列{a n }是递减数列；当n ＝9时,a n ＋1＝a n ,所以当n ＝9或10时,数列取得最大项a 9＝a 10＝1010119.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是 0 .解析:因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,由二次函数的性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大值为0.【注】 (1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法:①用作差比较法,根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法,根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断. (2) 解决数列周期性问题的方法:先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. (3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.自测反馈1. 数列0.8,0.88,0.888,…,的一个通项公式是 a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110 .解析:数列变为89×(1－110),89×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102,89×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103,…,故a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3,则数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎨⎧－1， n ＝1，2n －1， n ≥2.解析:当n ＝1时,a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －1,所以a n ＝⎩⎨⎧－1， n ＝1，2n －1， n ≥2.3. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ,a 8＝2,则a 1＝ 12 .解析:因为a n ＋1＝11－a n ,所以a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2,n ≥3,所以数列{a n }是以T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3为周期的周期数列,所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.又a 2＝11－a 1,所以a 1＝12. 4. 若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ， 0≤a n ≤12，2a n －1， 12<a n <1，a 1＝35,则数列的第2 015项为 25 .解析:由已知可得a 2＝2×35－1＝15,a 3＝2×15＝25,a 4＝2×25＝45,a 5＝2×45－1＝35,所以数列{a n }为周期数列且T ＝4,所以a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.1. 数列是一种特殊的函数,因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.2. 通项公式a n 与前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点,运用时,不要忘记对a n ＝S n －S n －1的条件的验证.3. 你还有那些体悟,写下来:。