第二章《幂函数》学案

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新人教A版必修1《幂函数》教案

其次，在实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现出了很高的积极性。他们能够将所学的幂函数知识应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时我也注意到，有些学生在讨论过程中过于依赖公式，缺乏对问题的深入思考。针对这一问题，我计划在今后的教学中，多引导学生从不同角度分析问题，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。

幂函数学案

§6.1 幂函数学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．知识点一一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质21知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象；当0<α<1时，幂函数的图象． 3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从到的顺序排列．1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,211,1α，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．3．当x ∈(0,1) 时，x 2________x －1.(填“>”“＝”或“<”)4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．A.12 B ．1 C.32 D ．2例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．(2)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43 C ．－2，43，34 D.34，43，－2例3 比较下列各组数的大小． (1)5.052⎪⎭⎫ ⎝⎛与5.031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与153-⎪⎭⎫⎝⎛-； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭与1413⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.232⎪⎭⎫ ⎝⎛> 223⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象．1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3 D ．y ＝x ＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x3．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (a －1) <f (b －1) B ．f (a －1) <f (b －1) <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f (b －1) <f (a －1) D ．f (a －1)<f (a )<f (b －1)<f (b ) 4．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．35.如图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－126．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．37．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．9．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．10．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．11．已知幂函数()x f 的图象过点(9,3)，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________，函数⎪⎭⎫⎝⎛-11x f 的定义域为________．。

高中数学新人教版A版精品教案《幂函数》

幂函数
一、教材分析：
《幂函数》是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修一第二章第三单元的内容从本单元所在教材中的地位来看，它起到了承上启下的作用承上：在本章前两单元学习的指数函数和对数函数为本单元学习铺设了研究方法：例如“数形结合”、“从特殊到一般”、“类比”；同时，初
中学习的正比例函数x y =、反比例函数x
y 1=和二次函数2x y =也为本单元的学习提供了基础启
下：幂函数为学生在选修中学习导数做了铺垫
通过对本单元的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待已经接触的函数，进一步熟悉研究一个函数的方法因而本单元是对学生研究函数的方法和能力的综合提升
本单元内容安排1课时二、教学目标：
1通过具体实例，了解幂函数的概念，体会建立一个函数模型的过程
2通过数形结合的研究方法，掌握五个具体幂函数：,,,3
2
x y x y x y ===2
1
x y =，1-=x y 的图象及性质
3经历研究五个具体幂函数的图象及性质的过程，掌握研究一般幂函数的图象及性质的方法，进一步渗透从特殊到一般的思想，培养学生综合归纳、类比的能力三、教学重点：
1幂函数的概念
2五个幂函数的图象及性质四、教学难点：
归纳五个幂函数的图象的共同特征，并由此得到对一般幂函数的图象及性质的研究方法五、教学手段和方式：
本节课主要采用“思考、探究”，问题教学的方式，老师设置问题进行引导，学生自主学习、思考进行概念学习，合作交流、综合归纳进行思想方法的掌握意在充分体现的学生主体地位，教师的主导地位，让学生充分享受学习的兴趣
六、教学过程：
七、板书设计。

高中数学(幂函数)学案4 湘教版必修1 学案

《幂函数》
一、
学习目标
1．知识和技能：
理解幂函数的概念，会画幂函数x y =，2x y =，3x y =，1
-=x y ，2
1
x y =的图象。

2．过程和方法：
（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

（2）使学生进一步体会数形结合的思想。

3．情感态度和价值观：
（1）通过指数式的变化进行设想，并通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实
际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作
用，从而激发学生的学习欲望。

二、
学习的重点和难点
1．重点：幂函数的概念、图象和性质。

2．难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。

三、
学习过程
四、
学习评价表。

幂函数的概念学案

2.3.1 幂函数的概念【学习目标】知识与技能通过具体实例明白幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．【学习重点】幂函数的概念与性质.【难点提示】幂函数的指数对幂函数性质的影响，体会图象的变化规律.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7783P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备在初中，我们已经学习了函数：xy x y x y 1,,2===等函数的图像；并在前面的学习中我们研究了这些函数共同的性质，如：单调性、奇偶性等，请同学们完成下列问题：1.用描点法在同一坐标系下画出上面函数的图像，并指出它们有什么共同特点？2.回顾函数性质主要有哪些内容？指对函数的概念及其性质是怎样的？二、探究新知 1.幂函数的定义●阅读思考请读阅下面5个例子（教材77P （1）～（5））：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；(2)如果一个正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数；(3)如果一个立方体的边长为a ，那么立方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数； (4)如果一个正方形的面积为S ，那么这个正方形的边长12a s =，这里a 是S 的函数； (5)如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝t -1km/s ，这里v 是t 的函数. 请思考以下问题，问题1：每个例子的自变量是什么？问题2：每个例子中的函数关系哪些是我们已经研究过的？问题3：这5个实例中的函数关系有哪些共同特征？ ●归纳概括由教材中5个例子，观察其表达式的结构特征，你能从这几个函数抽象出一个更一般的函数式，并给它取个名字吗？幂函数的概念：●快乐体验判断下列函数是否是幂函数？（1）x y 2=；（2） xy 2=；（3）3)1(--=x y ；（4）212x y =；（5）10x y =．解：●挖掘拓展（1）幂函数有何数量特征？（链接1）3(6)2y x =+（2）你能列举一些幂函数吗？（3）幂函数与指数函数的解析式有何区别与联系？ 2.幂函数的性质 ●观察思考在同一坐标系内做出幂函数xy x y x y x y x y 1,,,,2132=====的图象（链接2），请观察其图象的变化情况（特别是在第一象限的变化情况），它们有那些相同的特征？●归纳概括●快乐体验 1.求下列函数的定义域和值域：(1)2x y =； (2)3y x -=； (3)23y x-=．解：2.比较下列各组数的大小：（1）0.10.11.1,1.02； 0.30.30.2(4)0.2,0.3,0.3; （5）(2＋a 2)－1，2－1；解：●挖掘拓展 1.在第一象限内幂指数的变化与图像的分布、图象的变化、函数性质等有何关系？2.归纳利用指数函数、幂函数的增减性比较两个数的大小的规律与联系（链接4）. 三、典例解析例1函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当()+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，求)(x f 的解析式．思路启迪求)(x f 的解析式就是求m 的值．关键在于①322)1()(-+--=m m xm m x f 是幂函数具有怎样的条件；②当x ＞0时，结合前面幂函数的性质那些函数是增函数，作为入手点，试试能否解决．解：●解后反思解答该题的依据是什么？入手点、关键点、易错点在哪里？ ●变式练习幂函数y ＝(m 2－m －1)12m x，当x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m的值为( )．A ． 2 ；B ．－1 ；C ．－1或2；D ．1±52．例 2.如右图，图中曲线是幂函数ax y =在第一象限的大致图2253(3) 4.1 5.8和5522(2) 3 3.1--和象．已知a 取2,21,21,2--四个值，则相应于曲线4321,,,c c c c 的a 值依次为（） A ．－2，－12，12，2 ；B ．2，12，－12，－2 ；C ．－12，－2，2，12 ；D ．2，12，－2，－12．●解后反思怎样根据幂函数的图象来确定幂指数的，还有无其它方法？●变式练习比较下列各组数的大小：（1）0.52()3与0.53()5；（2）121.2、121.4、21.4；（3）125()3-、32()3-、33()2解：例3.已知幂函数223()mm y f x x --+==（其中22,m m Z -<<∈）满足：（1）是区间(0,)+∞上的增函数；（2）对任意的x R ∈，都有()()0f x f x -+=；求同时满足（1）、（2）的幂函数()f x 的解析式，并求[0,3]x ∈时()f x 的值域.解：●解后反思本题的题型怎样？解决该题的入手点、关键点、易错点在哪里？判定幂函数的单调性、奇偶性的依据与方法是什么？●变式练习已知函数)(x f ＝xx 1-，求证：(1) )(x f 在其定义域上为增函数． (2)满足等式)(x f ＝1的实数x 的值至多只有一个．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：幂函数的概念、常见的幂函数图像形状与性质有哪些?指数函数x y a =(a >0且a ≠1)与幂函数y x α=的区别与联系，你能描述一般的幂函数)(R a x y a ∈=的图像和性质吗？（链接5）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？【学习评价】 1.下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )．A ． 31x y =； B ． y ＝x 2 ； C ． y ＝x 3 ； D ． y ＝x －2．2.幂函数)(x f 的图象过点(4，12)，那么)8(f 的值为( )．A ． 26；B ． 64；C ；24； D ． 164． 3.下列命题中，不正确的是( )． A ．幂函数y ＝x－1是奇函数； B ．幂函数y ＝x 2是偶函数；C ．幂函数y ＝x 既是奇函数，又是偶函数；D ．y ＝12x 既不是奇函数又不是偶函数． 4.幂函数y ＝x n的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( )．A ．一点；B ．两点；C ．三点；D ．四点．5.当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 下方，则a 的取值范围是( )．A ．(0，1)；B ． (－∞，0)；C ．(－∞，1)；D ．不确定．6. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0()0(3)21()(21x x x x f x，且)(a f ＞1，求实数a 的取值范围．解：7.已知x 2＜21x ，则x 的取值范围是________．8.教材79页习题2.3的第3题.◆承前启后到现在为止，我们学习了哪些基本函数及其性质？这些函数在实际生活中还有哪些应用呢？【学习链接】链接 1.幂函数的数量特征有三点：一是均是底数为自变量的指数幂的运算的函数，二是幂指数是常数（可以是任意实数），三是幂的系数为1．链接2.几个特殊的幂函数的图象（如右图）链接4.. (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较两个数的大小； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较两个数的大小；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较上述两个数的大小.链接5. (1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a ＞0，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,＋∞)上是增函数；(3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右侧无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；(4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．。

高中数学人教版B版精品学案《幂函数》

幂函数【学习目标】1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。

2．结合幂函数=，=2，=3，=错误!，=错误!2－m－1）m2＋m－3是幂函数，且当∈（0，＋∞）时，f（）是增函数，求f（）的解析式。

（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1=1”这一等量关系，导致解题受阻。

（2）幂函数=α（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的。

这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。

幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错。

2．已知幂函数f（）=α的图像经过点（9，3），则f（100）=________。

探究二、幂函数的图像3．如图所示，图中的曲线是幂函数=n在第一象限的图像，已知n取±2，±错误!四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（）A．－2，－错误!，错误!，2B．2，错误!，－错误!，－2C．－错误!，－2，2，错误!D．2，错误!，－2，－错误![规律方法]错误!幂函数图像的特征（1）在第一象限内，直线=1的右侧，=α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线=1的左侧，=α的图像由上到下，指数α由小变大。

（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸。

4．如图是幂函数=m与=n在第一象限内的图像，则（）A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1探究三、比较幂的大小5．比较下列各组数中两个数的大小：（1）错误!错误!2－m－1=1，解得m=2或m=－1，当m=2时，f（）=3在（0，＋∞）上是增函数，当m=－1时，f（）=－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求。

所以f（）的解析式为f（）=3．2．解析：由题意可知f（9）=3，即9α=3，所以α=错误!，所以f（）=\u＜1，n＜－1．5．【解】（1）因为=错误!是[0，＋∞）上的增函数，且错误!＞错误!，所以错误!错误!＞错误!错误!。

高中数学第二章函数 2.5 简单的幂函数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二幂函数的性质【例2】幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三幂函数性质的应用【思路探究】注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】因为函数在(0，＋∞)上递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四函数奇偶性的判断【例4】判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系．【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )，当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)，又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)，所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )．解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2；当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

新教材人教B版必修第二册幂函数学案

4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x ,y=x 2,y=x 3,y=x 12,y=x -1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 自主预习1.一般地,幂函数的表达式为 ,其特征是以幂的为自变量, 为常数.2.幂函数的图像及性质 (1)在同一坐标系中,幂函数y=x ,y=x 2,y=x 3,y=x 12,y=x -1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点 ,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点 ,且在第一象限内单调 ;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像 .(3)若α<0,则幂函数图像过点 ,并且在第一象限内单调 ,在第一象限内,当x 从+∞趋向于原点时,函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴,当x 趋于+∞时,图像在x 轴上方无限逼近x 轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1 (1)下列函数:①y=x 3;②y=(12)x;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=a x (a>1).其中幂函数的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m 2+2m-2)x x 2-2+2n-3是幂函数,求m ,n 的值.跟踪训练1 (1)已知幂函数f (x )=k ·x α的图像过点(12,√22),则k+α等于( )A.12 B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x 2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习α底数指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四课堂探究(1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0, 即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x23在x∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.核心素养专练3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习课堂探究2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1(2)(a 2+2)-13≤2-13 变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.核心素养专练3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。

高中数学第二章函数2.5简单的幂函数学案北师大版必修1(new)

2.5 简单的幂函数[核心必知］1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α,即y＝xα，这样的函数称为幂函数．[提醒］在中学时段只要求关注α＝－1，错误!，1，2,3，共5种幂函数的性质．2．函数的奇偶性（1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数,在奇函数f（x）中,f(x)和f（－x）的绝对值相等，符号相反，即f(－x）＝－f （x）；反之，满足f(－x）＝－f（x)的函数y＝f(x）一定是奇函数．(2）偶函数:一般地,图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f（x）中，f(x）和f（－x)的值相等，即f（－x）＝f(x）；反之,满足f（－x）＝f(x)的函数y＝f（x)一定是偶函数．(3）奇偶性：当函数f（x）是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性．［问题思考]1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称,由奇函数的定义可知f（－x)＝－f（x),故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数,由f(－x)＝f（x)可知，－x,x也均在定义域内．2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗?提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称,又关于y轴对称,所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．3．定义在R上的奇函数f（x），f(0)的值是多少?提示:f(0)＝0。

讲一讲1．已知幂函数f（x）＝(m2－m－1）xm2－2m－3，当x∈（0，＋∞）时为减函数．(1）求函数y＝f（x）的解析式；(2)用描点法作出f(x)的图像;（3)给出y＝f（x)的单调区间及其值域,并判断其奇偶性．［尝试解答] (1）∵f(x)＝（m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解之得m＝－1或m＝2。

当m＝－1时,f（x）＝x0＝1(x≠0)，易知不符合题意．当m＝2时．f(x）＝x－3(x≠0),易知在（0，＋∞)上为减函数．∴f(x)＝x－3（x≠0)．(2)列表：作图：（3)由(2)可知f(x)的单调减区间为（0,＋∞)及(－∞，0),f(x）的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f（x)为奇函数．(1)幂函数y＝xα要满足三个特征：①幂xα的系数为1；②底数只能是自变量x，指数是常数；③项数只有一项．只有满足这三个特征,才是幂函数．（2）幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到．练一练1．(1）若函数f（x)既是幂函数又是反比例函数,则f（x）＝ ________;(2）已知幂函数y＝f（x)的图像过点（2，4)，则f(－1）＝________.解析：(1)∵f(x）为反比例函数，∴设f（x）＝错误!＝k·x－1（k≠0）．又∵f（x)为幂函数,∴k＝1，∴f（x）＝x－1.(2）设y＝xα，把点（2，4)代入得4＝2α，∴α＝2，∴解析式为y＝x2，∴f（－1)＝（－1)2＝1。

(完整word版)24.必修一第二章幂函数正式版

人教版数学学科必修一模块第二章教学案姓名编号:24课题 §2。

3幂函数课型新授学习目标（1）理解幂函数概念，会画幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ,21x y = 的图象；（2)结合常见的幂函数图象,理解幂函数图象的变化情况和性质,并能进行简单的应用。

重点难点重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

学习过程备忘一预习指导（一）、问题：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，则她需要付款 p （元）与 w (千克）的函数关系式为；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积s 与a 的函数关系式为 ; （3）如果立方体的边长为a,那么立方体的体积v 与a 的函数关系式为； (4）如果正方形场地的面积为s ，那么这个正方形的边长a 与s 的函数关系式为 ; （5）如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v （km/s)与t(s)的函数关系式为 .思考：若这些函数的自变量用x 来表示，函数值用y 来表示,则函数关系式是怎样的？它们有怎样的特点？（二）、幂函数的定义：一般地，函数αx y =叫做幂函数,其中x 为自变量，α为常数。

1：判断下列函数是否为幂函数？42321(1)(2)2(3)(4)(5) 2.3xy x y x y x y y x===-==探究1:怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数？（三）、请在同一坐标系内作出幂函数x y =,2x y =，3x y =,21x y =,1-=x y 的图象。

[来源:学§科§网］(四）、请结合图像总结函数x y =; 2x y =；3x y =； 21x y =; 1-=x y 的性质。

x … —3—2-1123… x y = …… 2x y = … … 3x y = … (2)1x y = … (1)-=x y…[来源:学。

高中数学第二章《幂函数》导学案苏教版必修1

江苏省响水中学高中数学第二章《幂函数》导学案苏教版必修11.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x ,y=x 2,y=x -1,y=的图象,了解它们的变化情况.在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积S 关于边长a 的函数是S=a 2,正方形的边长a 关于面积S 的函数是a=,圆的面积S 关于半径R 的函数是S=πR 2,正方体的体积V 关于棱长a 的函数是V=a 3.问题1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母x 和y 表示后分别是y=x 2,y=,y=πx 2,y=x 3 ,其中符合y=x a形式的函数有个,分别是 , , .(2)一般地,形如的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (3)幂函数的特点是底数是 ,指数是 ,系数是 .问题2:常见的幂函数y=x ,y=x -1,y=x 2,y=x 3,y=的图象和性质是怎样的?函数性质y=x y=x 2y=x 3y=y=x -1定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 (-∞,+∞)[0,+∞)(-∞,+∞)[0,+∞)(-∞,0) ∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0]减,[0,+∞)增增增(-∞,0)减,(0,+∞)减定点(0,0),(1,1)(1,1)问题3:幂函数的性质主要有哪些?(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有意义,并且图象都过点 .(2)当α>0时,则幂函数的图象都过点 ,并且在区间[0,+∞)上为 ;当α为奇数时,幂函数为 ;当α为偶数时,幂函数为 .(3)当α<0时,则幂函数图象都过点 ,在区间(0,+∞)上是 ,在第一象限内,当x 从右边趋于原点时,图象在y 轴右方无限地逼近轴,当x 趋向+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近轴.问题4:如何比较两个幂的大小?比较两个幂的大小,需观察两个幂的结构特征.(1)若两个幂的指数相同,构造幂函数,根据函数的比较大小;(2)若两个幂的底数相同,构造指数函数,利用指数函数的比较大小;(3)若两个幂的底数和指数均不同,找一个中间幂,使之与一个幂的 ,与另一个幂的 ,分别将此幂与它们比大小.1.下列函数①y=2x 2;②y=x 2+1;③y=;④y=2x,其中是幂函数的是 .2.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 . 3.幂函数f (x )的图象过点(4,2),则f (9)= . 4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性. (1)y=x -2;(2)y=.幂函数的概念已知y=(m 2+2m-2)·+2n-3是幂函数,求m ,n 的值.幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小:(1)()0.5与()0.5;(2)(-)-1与(-)-1;(3)(与(.幂函数的定义域、值域问题求下列函数的定义域和值域.(1)y=;(2)y=.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.(1)(-,(-,(-的大小关系为.(2)已知幂函数y=x p-3(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.求下列函数的定义域、值域.①y=x6;②y=;③y=;④y=x-5.1.下列幂函数①y=x-1;②y=;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数的个数为.2.下列幂函数①y=;②y=x4;③y=x-2;④y=,其中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是.3.若幂函数y=(m2+3m-17)·的图象不过原点,则m的值为.4.比较下列各组数的大小:(1)1.,1.,1;(2)3.,3.,(-1.8;(3)31.4,51.5.设a=0.40.5,b=0.60.5,c=0.60.3,则a,b,c的大小关系是.考题变式(我来改编):第8课时幂函数知识体系梳理问题1:(1)3y=x2y=y=x3(2)y=xα(3)x常数 1问题3:(1)(1,1)(2)(0,0),(1,1)增函数奇函数偶函数(3)(1,1)减函数y x问题4:(1)单调性(2)单调性(3)底数相同指数相同基础学习交流1.③根据幂函数的定义知,①②④均不是幂函数,③函数y=化为y=x-2,符合幂函数的定义.2.1,3当α=1,3时,函数y=xα的定义域为R,且为奇函数.当α=-1时,y=的定义域是{x|x∈R且x≠0}.当α=时,y==的定义域是{x|x≥0}.3.3设f(x)=xα,由图象过点(4,2),∴有4α=2,∴α=,∴f(x)=,则f(9)==3.4.解:(1)y=x-2=,定义域是{x|x≠0},是偶函数.(2)y==,定义域是R,是偶函数.重点难点探究探究一:【解析】由题意得解得∴m=-3,n=即为所求.【小结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数α,且α为任意实常数;②底数为自变量;③系数为1.探究二:【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又>,∴()0.5>()0.5.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-<-,∴(-)-1>(-)-1.(3)∵函数y1=()x为减函数,又>,∴(>(,又∵函数y2=在(0,+∞)上是增函数,且>,∴(>(,∴(>(.【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究三:【解析】(1)y==.定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为(0,+∞).(2)y==定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自变量的取值范围.思维拓展应用应用一:(1)若f(x)为正比例函数,则⇒m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则⇒m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则⇒m=.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.应用二:(1)(->(->(-(1)∵y=,>0,∴y=在(0,+∞)上单调递增.∵<<,∴(<(<(.又∵(-=-(,(-=-(,(-=-(,∴(->(->(-.(2)∵幂函数y=x p-3在(0,+∞)上是减函数,∴p-3<0,∴p<3,又∵p∈N*,∴p=1或2.∵幂函数y=x p-3图象关于y轴对称,∴函数y=x p-3为偶函数,∴p=1.∴(a+1<(3-2a.∵y=在R上是增函数,∴a+1<3-2a,∴a<.即a的取值范围为(-∞,).应用三:①y=x6的定义域为R,值域为[0,+∞).②y==的定义域为R,值域为R.③y==的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).④y=x-5=的定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为{y|y∈R且y≠0}.基础智能检测1.3由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.2.②函数y=,y=不是偶函数,故排除①④;函数y=x-2是偶函数,但其图象不过点(0,0),故排除③;函数y=x4的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选②.3.-6由⇒m=-6.4.解:(1)比较幂1.、1.、1的大小就是比较1.、1.、的大小,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而可以比较出它们的大小,即(-1.8<<3..(3)由于它们的底数和指数都不同且大于1,故可插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5,故31.4<51.5.全新视角拓展a<b<c 因为y=x0.5在[0,+∞)上为增函数,且0.4<0.6,所以0.40.5<0.60.5,又y=0.6x在R上为减函数,且0.5>0.3,所以0.60.5<0.60.3,所以a<b<c.。

人教高中数学必修一第二章幂函数教学设计

人教高中数学必修一第二章幂函数教学设计一、课程规范要求1.了解幂函数的概念；2.结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解它们的变化状况.二、教材剖析教材内容是高中数学人教A 版教材必修1课本§2.3幂函数.幂函数作为基本初等函数之一，之前先生曾经系统的学习了函数的基本概念、性质，研讨了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研讨函数曾经有了明晰的思绪和方法．从教材的全体编排来看，环环紧扣，十分紧凑，充沛表达了知识的发作、开展进程，编者想经过幂函数的教学主要是使先生进一步较系统的掌握幂函数的图象性质和研讨函数的普通方法，为今后学习三角函数等其他函数打下一个良好的基础．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,缘由有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，先生在没有学习分数指数幂之前，不能从基本上了解此式；第二，先生在初中曾经学习了12,,-===x y x y x y 三个复杂的幂函数，在第一章中也经过信息技术运用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质曾经有了一定的直观认知，如今明白提出幂函数的概念，有助于先生构成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习进程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研讨方法，浸透分类讨论、数形结合的数学思想，到达培育先生归结、概括的才干的目的，使先生熟练的应用它们处置一些实践效果，体会从特殊到普通的研讨进程，进一步树立应用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研讨一个未知函数的看法，以便能为研讨普通函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对先生研讨函数的方法和才干的综合评测，是对之前研讨函数的一个升华.三、教学目的鉴于课程规范的要求以及上述对教材的剖析，制定如下的教学目的： 1.知识与技艺目的了解幂函数的概念, 会画五个复杂的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能依据图象概括出幂函数的普通性质，同时能运用幂函数的图象和性质处置相关的复杂效果； 2.进程与方法目的引导先生从详细幂函数的图象与性质中归结出特性，培育先生的识图才干和笼统概括才干，培育先生数形结合的看法；经过对幂函数的学习，了解类比法在研讨效果中的作用，使先生进一步熟练掌握研讨普通函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目的经过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导先生自动参与作图、剖析图象的特征，培育先生协作、交流、探求的意志质量，并在研讨函数变化的进程中体会事物的质变、质变规律，感受数学的对称美、谐和美，同时信息技术的运用也会激起先生的求知愿望.四、教学重难点：重点：经过详细实例看法幂函数的概念，研讨其性质，体会图象的变化规律．难点：幂函数的图象与性质的复杂运用重、难点打破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：效果开题，扣人心弦；层层探求中：分类探求，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、笼统展现幂函数的指数与图象之间的关联，打破重难点.五、设计理念与义务剖析本节课遵照教员为主导，以先生为主体的原那么，采用先生自主探求式的教学方法，注重思想发作的进程，注重提高先生的数学思想才干，注重开展先生的创新看法，注重信息技术与数学课程的有效整合，充沛表达数学的运用价值、思想价值.围绕本节课的教学重点，教学进程中以〝效果串〞的方式展开教学，逐渐引导先生观察、思索、归结、总结。

幂函数教学设计(优秀5篇)

幂函数教学设计（优秀5篇）1、总体设计说明幂函数是函数教学的最后一个函数，在通过学习了指数函数与对数函数之后，同学们已经基本掌握了研究函数的一般方法，因此幂函数是交给学生自主研究的一个重要的契机。

函数的学习，目的在于通过对几个基本初等函数的研究让学生掌握研究一个陌生函数的方法。

基于以上认识，确定本节课的教学目标如下（1）引导学生从具体实例中概括典型特征，形成幂函数的概念，并用数学符号表示。

（2）运用数学结合的思想，让学生经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，运动研究函数的一般方法，掌握幂函数的图像特征与性质。

（3）能够利用幂函数的性质比较两个数的大小教学重点与难点如下教学重点：通过让学生经历几个特殊幂函数的研究过程，抽象概括幂函数的图像与性质教学难点：根据具体的幂函数的图像与性质归纳出一般幂函数的图像与性质本节课的教学采用开放式的自主学习方式，通过引导学生对几个具体的幂函数的研究让学生归纳出一般幂函数的图像与性质。

本节课的教学过程分为三个阶段：一是概念建构；二是实验探究；三是性质应用2、教学过程剖析2.1创设情境建构概念问题1(1)正方形的边长a与面积S之间是函数关系吗？（2）正方体的边长a与体积V之间是函数关系吗？学生找到两个变量之间的函数关系，并给出函数的解析式：和师：我们把形如的函数称为幂函数。

直接给出定义，这里其实可以让学生再举几个类似的函数的例子，通过多个实例再让学生抽象幂函数的定义会更好。

师：我们研究问题一般是从特殊到一般，具体到抽象的一个过程，因此我们可以先研究几个特殊的幂函数，比如最特殊，图像长什么样子？生：是一条直线。

师：你确定是一条直线吗？生：是一条直线去掉一个点师：为什么？生：定义域中x不能取到0。

师：我们研究函数一般先看函数的定义域。

师：我们可以先研究的情况，你打算研究为哪些值？【设计意图】引导学生思考如何选取的研究起来比较方便，一般学生会选择为1,2,3来进行研究，实际操作中因为笔者的课堂利用了图形计算器，也可以让学生多取一些值，借助于图形计算器让学生绘制更多幂函数的图像，从而概括得到一般幂函数的图像与性质，这样学生的学习自主性更强，教师可以减少一些介入。

高一数学《幂函数》学案

高一数学《幂函数》学案班级: 姓名:课前预习案1.课程标准：理解幂函数的定义，会用描点法画幂函数的图象.掌握幂函数的性质及简单运用2.学习重点：幂函数的定义、性质，用描点法画幂函数的图象3.学习难点：幂函数单调性的证明，幂函数的图象4.问题解决：渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法.提高归纳与概括能力5.情感态度：培养积极思考、自主探索新知识的学习习惯和科学严谨的学习态度6.前置补偿：1：复习函数的单调性的定义及证明, 分别采用作差法和作商法证明y=在(0,)+∞上是增函数○1请用作差法证明○2请用作商法证明2：完成下列7个小问○1如果某人购买了每个1元的包子x个，那么他支付的钱y= 元。

○2如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=○3如果正方体的边长为x，那么这个正方体的体积y=○4如果正方形纸片的面积为x，那么这个正方形的边长y=○5如果正方体盒子的体积为x，那么这个正方体的边长y=○6如果正方体盒子的体积为2x，那么这个正方体的边长y=○7如果某人x秒内骑车行进了1Km，那么他骑车的平均速度y=思考：是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？你的回答：3：121.1，121.4，131.1的大小关系为4：判断下列函数的奇偶性1 y x-=12y x=2y x=3y x=你的回答：,y x=2,y x=3,y x=13,y x=1y x-=一：创设情境：教师出示投影○1：将预习案2中的7个小问的答案给出，让学生检查并订正，并引导学生进行总结,得出这七个函数解析式有什么样的共同特征？你的回答：二：概念形成：以引出的实例出发、归纳：幂函数的定义：幂函数的特点是：幂函数与指数函数的区别：你学过的幂函数有哪些，还能举一些幂函数的实例吗？下列函数中哪些是幂函数？21y x=2y x x =+ 3y x =- 212y x=3xy = 45y x =你的回答：三：概念深化引导：有了概念，接下来做什么？探究性质，对不熟悉的函数通过什么方式探索性质？（要求学生回答）用PPT 展示在同一坐标系下,y x =2,y x =3,y x =13,y x =1y x -=的草图为使作图准确：(老师提醒)1）可先分析函数的什么？2）怎样便于看幂函数的定义域（写成根式）3）观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？你的回答：通过预习案订正P78探究中的表格后引导学生一起讨论、回答幂函数的性质有引导学生注意应用图像归纳性质的一般步骤有拓展提升由00∂>∂< 判断幂函数的单调性是由∂得奇偶性判断幂函数的奇偶性四：迁移拓展，能力提升1：订正预习案中第一题2:幂函数2(33)m y m m x =--在区间(0,)+∞上是增函数，求m 的值？3：已知1122(1)(32)a a +<-，求a 的取值范围？4：幂函数的图象过（2,8）点，求该幂函数？五：总结反思 1：知识点 2：题型3：思想方法课后巩固案必做作业：课本习题P79 1、2题选做作业: 练习册P59-60（自己取舍）。