北京市西城区2017-2018学年下学期期末考试

北京市西城区2017-2018学年下学期期末考试

高二 数学试卷（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 在复平面内，复数z=i

31

-对应的点位于 A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 在（x+2）4的展开式中，x 2的系数为 A. 24

B. 12

C. 6

D. 4

3. 已知函数f （x ）=ln2x ，则f'（x ）= A.

x

41

B.

x

21

C.

x

2

D.

x

1 4. 将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为 A.

4

1

B.

8

3

C.

2

1

D.

8

5 5. 函数f （x ）=-2

1

x 2+lnx 的极值点是

A. x=-1

B. x=-2

1

C. x=1

D. x=2

1

6. 5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲、乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为

A. 120

B. 144

C. 216

D. 240

7. 设a ，b ，c 是正整数，且a ∈[70，80），b ∈[80，90），c ∈[90，100]。当数据a ，b ，c 的方差最小时，a+b+c 的值为

A. 252或253

B. 253或254

C. 254或255

D. 267或268

8. 已知函数f （x ）=e x +ax-2，其中a ∈R 。若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1

A. [1，+∞）

B. [2，+∞）

C. （-∞，1]

D. （-∞，2]

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 函数f （x ）=cosx ，则f'（

6

π

）=____________。

10. 定积分⎰-1

1

2dx x 的值为___________。

11. 设（2x+1）3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=__________。 12. 由数字1，2组成的三位数的个数是__________。（用数字作答）

13. 在平面几何里，有勾股定理：“在△ABC 中，若AB ⊥AC ，则AB 2+AC 2=BC 2”。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ABD 、ACD 两两相互垂直，则___________。” 14. 研究函数f （x ）=

x

x

ln 的性质，完成下面两个问题： ①将f （2），f （3），f （5）按从小到大排列为__________； ②函数g （x ）=x x

1（x>0）的最大值为______________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分13分）

在数列{a n }中，a 1=1，a n =n. a n-1，n=2，3，4，…。 （I ）计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；

（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

16. （本小题满分13分） 已知函数f （x ）=x 3+3x 2-9x 。 （I ）求f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c 的取值范围。

17. （本小题满分13分）

甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表。假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立。

（I

（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望。

18. （本小题满分13分）

口袋中装有2个白球和n （n ≥2，n N*）个红球。每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖。

（I ）用含n 的代数式表示1次摸球中奖的概率； （Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；

（III ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f （p ）。当f （p ）取得最大值时，求n 的值。

19. （本小题满分14分）

已知函数f （x ）=x 2e x -b ，其中b ∈R 。

（I ）证明：对于任意x 1，x 2∈（-∞，0]，都有f （x 1）-f （x 2）≤2e

4

； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的零点个数（结论不要求证明）。

20. （本小题满分14分）

设L 为曲线C ：y=e x 在点（0，1）处的切线。

（I ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C 在直线L 的上方；

（Ⅱ）设h （x ）=e x -ax+ln （x+1），其中a ∈R 。若h （x ）≥1对x ∈[0，+∞）恒成立，求a 的取值范围。