高中数学圆锥曲线试题(含答案)

理数

圆锥曲线

1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则

cos∠AF2F1=()

A. B. C. D.

[答案] 1.A

[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,

又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,

∴cos∠AF2F1===.故选A.

2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()

A.+=1

B.+y2=1

C.+=1

D.+=1

[答案] 2.A

[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.

3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()

A. B. C. D.3

[答案] 3.B

[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,

于是

∴m·n=··⇒m=3n.

∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.

4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0

A.焦距相等

B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等

D.离心率相等

[答案] 4.A

[解析] 4.∵00,25-k>0.

∴-=1与-=1均表示双曲线,

又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,

∴它们的焦距相等,故选A.

5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()

A.5

B.+

C.7+

D.6

[答案] 5.D

[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),

则|MQ|=

=

=

=≤5,

故|PQ|max=5+=6.

6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()

A.x±y=0

B.x±y=0

C.x±2y=0

D.2x±y=0

[答案] 6.A

[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为

e1·e2=,所以=,即=,∴=.

故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.

7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

[答案] 7.A

[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为

-=1.

8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点

发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方

向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向

抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线

上的点，经直线反射后又回到点，则

等于（）

A． B． C．D．

[答案] 8. B

[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，

在抛物线方程中，令可得，即

从而可得，，

因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，

所以直线的方程为，

故选B．

9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）

A. B.

C. D.

[答案] 9. D

[解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.

10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.

[答案] 10.

[解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,

+=1②.

①、②两式相减并整理得=-·.

把已知条件代入上式得,-=-×,

∴=,故椭圆的离心率e==.

11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.

[答案] 11.1+

[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,

故C,F,

又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,

从而有即

∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,

又>1,

∴=1+.

12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0

[答案] 12.x2+y2=1

[解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,00).

又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又

c2=1-b2,∴b2=.

故椭圆E的方程为x2+y2=1.

13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

[答案] 13.

[解析] 13.由得A,

由得B,

则线段AB的中点为M.

由题意得PM⊥AB,∴k PM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.

14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.