离散数学第三章 集合

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《离散数学》集合的基本概念和运算

《离散数学》集合的基本概念和运算

(2)若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下:设A={a},
B={{a},b},C={{a},b,{c}},显然AB, BC,但A不是C的子集。因为aA,但aC。
定义3.7 A、B是任意集合,由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集,记
3.2 作 A B 。即

A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2,则12 且12,因此
1=2 全集 在一个具体问题中,如果所涉及的集合都是某个
集合的子集,则称这个集合为全集,记作E
全集具有相对性
在给定问题中,全集包含任何集合,即A (AE )
三、幂集(PowerSet)
定义1.2.2 给定集合A,以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法

- 等价条件法

- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理:把一个等式中的中的∪,∩,E和
的分别代以∩,∪,和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质:
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B=B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C,有:
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C

A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )

离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)

离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)

以上运算律的证明思路:欲证P=Q,即证 x P x Q。
2013-7-10 离散数学
20
Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律:A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x, x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 (在某一问题中,含有所涉及的全部集合的集合。)
2013-7-10 离散数学 6
三、集合的表示方法
列出集合的所有元素,元素之间用逗号 1、列举法: 隔开。如A = { a, b, c } , B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法: 如:A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) },其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
2013-7-10 离散数学 3
§3.1 集合的基本概念
内容:集合,元素,子集,幂集等。 重点:(1) 掌握集合的概念及两种表示法, (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E, (3) 掌握子集及两集合相等的概念, (4) 掌握幂集的概念及求法。
2013-7-10 离散数学 4
2013-7-10
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集: B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集:集合A的全体子集构成的集合,记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。

离散数学第3章 集合

离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x, xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x,xX … xY
注意:在使用方法二的格式时,必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A (吸收律)
元素a属于A,记作aA; 或者a不属于A,记作aA,也可以记作┓(aA)。
(4)任意性:集合的元素也可以是集合。 例:A={1,{2},2,{3,4},{6}} A=5,2A,{2}A,6A,{6}A
6
第三章 集合 例如:A={{a,b},d,{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系,该图分层构成,每一层上的结点都表示一个集 合,它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a,b组成二元组,若它们有次序 之别,称为二元有序组,或称为有序对或序偶,记为<a, b>,称a为第一分量,b为第二分量;若它们无次序区分, 称为二元无序组,或称为无序对,记为(a,b)。
有序对具有如下性质。 (1)有序性:当x≠y时<x,y>≠<y,x>。 (2)<x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 (1)相等关系: • 两集合A和B相等,当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等,记为A=B;否则,记为A≠B。 • 可形式化为:A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合

离散数学 第三章 集合

离散数学 第三章 集合

离散数学
将集合中的元素逐一列出,两端加上花括号。 { 1,2,3,4,5}; { 风,马,牛 }; { 2,4,6,8,10,… }; { 3,7,11,15,19,… }; 比较适合集合中的元素有限(较少或有规律),无限 (离散而有规律)的情况。 (3)谓词表示法: { x:P(x) } 或者{ x︱P(x) } 其中:P表示 x 所满足的性质(一元谓词)。 { x : x I (且) x8} ={…,-3,-2, -1,0,1,2,3,4,5,6 , paradox(1902)): 罗素1902年在集合论中也发现了如下的悖论。他 构造了这样一个集合 S={ x:xx } 然后他提出问题: SS ? 如果SS ,那么,按罗素给S的定义,则应有 SS; 如果S S ,那么,按罗素给S的定义,则应有 SS ; 罗素悖论的发现,几乎毁灭集合论,动摇数学的 基础,倾危数学的大厦。直接引发了数学的第三次 危机。
8
离散数学
第三章 集合 (set)
§1.集合理论中的一些基本概念
个体与集合之间的关系 集合的表示法 集合与集合之间的关系 幂集
§2 .集合代数 集合的基本运算
集合的补运算 集合的交运算和并运算
集合的宏运算
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离散数学
第三章 集合 (set)
§1.集合理论中的一些基本概念 集合概念将作为一个不言自明的元概念(基本概 念)。它不能用别的术语来精确的定义,只能用别的 术语来加以说明。它本身就是用来定义其它概念的概 念。 我们来看看一些关于什么是集合的各种不同的说法, 以便加深对集合这个元概念的理解。 1. 莫斯科大学的那汤松教授说: 凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2. 复旦大学的陈建功教授说: 凡可供吾人思维的,不论它有形或无形,都叫做 物。具有某种条件的物,称它们的全部谓之一集。 3. 南开大学的杨宗磐教授说:

离散数学 教案 集合论—基本概念部分(2)

离散数学 教案  集合论—基本概念部分(2)
西南科技大学
(分配律 分配律) 分配律
(已知代入) (已知代入) 已知代入
∀x∈C ⇒x∈(A∩B)∪C ∈ ∈ ∩ ∪
8
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 试证: ∪ 例4. 试证:(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) ∩ ∪ 证明:左边 ∩∼(A∩ 证明:左边=(A∪B)∩∼ ∩B) ∪ ∩∼ =(A∪B)∩(∼A∪∼ ∪ ∩ ∼ ∪∼ ∪∼B) =∅∪ ∩∼ ∪(B∩∼ ∪∅ ∅∪(A∩∼ ∩∼A)∪∅ ∅∪ ∩∼B)∪ ∩∼ =(A-B)∪(B-A) ∪ 故原等式成立,证毕。 故原等式成立,证毕。 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 =(A∩∼ ∪(A∩∼ ∪(B∩∼ ∪(B∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B)∪ ∩∼ ∩∼A)∪ ∩∼ ∩∼B) (分配律 分配律) ∩∼ 分配律 (互补律 互补律) 互补律
Discrete Mathematics
第三章 集 合
3.3 集合的基本运算律
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 交换律: ∪ 交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A ∪ , ∩ ∩ 结合律: ∪ ∪ 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ∪ ∪ (A∩B)∩ C=A(B∩ C) ∩ ∩ ∩ 分配律: ∪ ∩ 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ∪ ∩ ∪ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ 等幂律: ∪ 等幂律:A∪A=A,A∩A=A , ∩ 同一律: ∪∅ ∪∅=A, ∩ 同一律:A∪∅ ,A∩U=A 零一律: ∩∅ ∩∅=∅ 零一律:A∩∅ ∅,A∪U=U ∪
Discrete Mathematics
第三章 集 合

《离散数学》课件-第3章集合的基本概念

《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
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例题
计算以下幂集:
,{};{,{}}
解:
P()={} P({})={,{}} P({,{}})= {, {},{{}},{,{}}}
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3.3 集合的运算
集合的运算 并,交,补(绝对补),差(相对补-),和对称差等。
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集合的并运算
• 定义3.3.1 设A,B为集合,由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集, 可表示为: AB={x|xAxB} 其文氏图:
其文氏图如下:
~E = , ~ = E, ~(~A)= A A ~A = , A ~A = E
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德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A,B为任意二个集合,则有: • (1) (AB)= A B • (2) (A B)= A B • 证明 设E为全集,显然有AE=A,AE=E成立。 • (1) (AB)= {x | xEx(AB)}= {x |
据的增加、删除、修改、排序,以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如,全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素,或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质,也可以表面上看起来不相干。
• 如{2,Tom,计算机,广州}
• 在集合论中,规定元素之间是彼此相异的,并且是没有次序关 系的。
例如,{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如,A={3,4,5},

离散数学第3章-集合与关系

离散数学第3章-集合与关系
(1) 任一对象a,对某一集合A来说,a属于A或a不属于A, 两者必居其一,且仅居其一。并且当a属于A时,称a是A的成
员,或A包含a,a在A之中,a属于A。即 a A a A
(2)集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个,具有有限个元素的集 合的为有限集,否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合,如
称为A和B的笛卡尔积,记作:A B
例:A {、、 、、
则:
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积:
A1 A2 A3是集合,A1 A2是笛卡尔集,也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧(xB)}
={x∣(x∈A)∧ (x∈B)}
3-2 集合的运算
b)集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补,记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E)∧(x A)}
~ A有下列性质: ⑴ ~( ~A)=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理:对任一Set A, A
3-1 集合的概念和表示法
例:若A={a,b,c},写出其所有子集。 解:Ø 、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c}均是A的子 集

离散数学-集合

离散数学-集合

例题
利用上例中的公式可以证明对称差A⊕B下列的性质。 设A,B是任意的集合。 ① A⊕A = φ ② A⊕φ = A ③ A⊕E = ~A 证明: ① A⊕A = (A-A)∪(A-A) = φ⊕φ = φ ② A⊕φ = (A-φ)∪(φ-A) = A∪φ = A ③ A⊕E = (A-E)∪(E-A)= φ∪~A = ~A
有限集合的计数
例8 某班有50名学生,第一次考试中26人成绩为优,第二次考试中21人 成绩为优,已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为 优的有多少人? 解:设A,B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。 画出文氏图,如图3.7所示。 首先填A∩B中的人数,这正是要求 的,设为x。 A-B中的人数是26-x,B-A中的人数 是21-x,分别填入对应的区域。并 列出如下方程: (26-x)+x+(21-x)+17=50 解得:x=14
对称差
定义3-2.5 设A,B是集合,由 A中元素或B中元素, 但不是A与B的公共元素组成的集合,称为A和B的对 称差,记为A⊕B。 A⊕B=⎨x|x∈A ∨ x∈B⎬=(A∪B)-(A∩B) A⊕B的定义如图所示。 例6 令A=⎨1,2,3,4⎬,B= ⎨1,2,5,6⎬, 则 A⊕B = A∪B-A∩B = ⎨1,2,3,4,5,6⎬-⎨1,2⎬ = ⎨3,4,5,6⎬
3-2 集合的运算
定义3-2.1 设A,B是集合,由A与B的公共元素组成的集合,称 为A和B的交集,记为A∩B。 A∩B=⎨x|x∈A∧x∈B⎬ 交集的定义如图所示。 从交集的定义可以得到: A∩B⊆A,A∩B⊆B 如果A与B无公共元素,即 A∩B=φ, 称A和B是互不相交的。 例1 令A=⎨a,b,c⎬,B=⎨d,e⎬, 则A∩B=φ,A和B是互不相交的。

武汉大学离散数学第3章 集合

武汉大学离散数学第3章 集合
∴A∩CB∩D
l)若AB, 那么, A∩B=A ∵AB,又AA,根据(h)A∩AA∩B,即A A∩B,另一
方面,A∩BA ∴A=A∩B
推论: a)A∪U=U b)A∩U=A
3.2.2 补运算
1.补运算定义 设U是全集,A的补集为 A~=U-A={xxU∧xA}={xxA}
U
2.补运算性质 定理1:a)A∪A~=U
b)A∩A~=
A A~
证:a)xA∪A~xA∨xATxU ∴A∪A~=U
b)xA∩A~xA∧xAFx ∴A∩A~=
举例
1)若全集为{1,2,3,4,5,6,7,8} 而A={1,2,3,4} 则A~ = {5,6,7,8}
注意:属于关系和包含关系都可以是两个集合之间的 关系,对于某些集合可以同时成立这两种关系。
例如A={a,{a}}和{a},既有{a}∈A,又有{a} A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合,后者把它 们看成是同一层次上的两个集合,都是正确的。
3.1.5 全集
讨论的某个具体问题中,所涉及的集合都是某个集合的 子集,此集合称为全集U。
∵x(xxA)永真,∴A。 定理5:空集是唯一的。
证:设有两个空集,,’, 则’,’, ∴=’。
注:与{}不同,前者没有元素,后者是以空集为一个元素 的集合。
3.1.7 幂集
定义:设A是一个集合,A的所有子集的集合,称为A的幂集, 并记为ρ (A)或2A
例1:试求出集合{p,q}的幂集。 解:,{p},{q},{p,q}是{p,q}的子集 ∴ ρ ({p,q})={,{p},{q},{p,q}}是{p,q}的幂集。
(3)称元素可以出现多次的集合为多重集,称某元素出现 的次数为该元素的重复数。 {a,b,a,c,a,b}

《离散数学》第三章集合的基数

《离散数学》第三章集合的基数
第三章 集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题;但只限于对基数作一简 单介绍;如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/2/14
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义; 2.基数的概念:基数是集合的一种性质,一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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本章小结
本章的主要内容有:集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少,它是集合的一种性 质,一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质,即任何两个集合,如果它 们等势,它们便有相同的基数 (Von.Neumann的观点); 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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2 2020/2/14
第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种,本节把无 限集区分为可数集与不可数集,主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集; 3.可数集的任意无限子集是可数集; 4.可数集与有限集的并集是可数集; 5.两个(因而有限个)可数集的并集仍是可数
集; 6.可数个可数集的并集是可数集; 7.两个(因而有限个)可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
Hale Waihona Puke 返回本章首页返回本章首页
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3 2020/2/14

离散数学 教案 第3章 集合

离散数学 教案  第3章 集合

当n无限增大时,可以记为
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics
例1 集合A={x-2<x<2,xR}, B={x0≤x≤4,xR}
求A∪B,A∩B 。 解:A∪B={x-2<x<2或0≤x≤4,xR} ={x-2<x≤4,xR} A∩B={x-2<x<2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x<2,xR}
把集合的所有元素写在花括号内,元素之间用逗 号分开;一般用于有限集和有规律的无限集合。
2.描述法 用谓词来概括集合中元素的属性。通常用 { xA(x)}来表示具有性质A的一些对象组成的集合。
例:D={(x,y)x2+y2≤1∧x∈R∧y∈R}
西南科技大学
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 常用集合的表示方法和表示符号 (1)自然数集N={0,1,2,…}
由定义可知,广义交和广义并是针对集族而言的, 对于非集族来说,其广义交和广义并为空集。
西南科技大学
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 下面以n个集合为例说明:
例如:
西南科技大学
26
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 可以把n个集合的并和交简记为: 和 ,即:
(2)整数集合I={…-2,-1,0,1,2,…}
(3)有理数集合Q={xx=Pq∧p,qZ}
(4)实数集合R={ x x是实数
(5)复数集合C={x x=a+bi∧a,bR∧i2=-1}
西南科技大学
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics
3. 归纳定义法

离散数学第三章集合的基本概念和运算

离散数学第三章集合的基本概念和运算
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
3.1 集合的基本概念
1.子集:若 B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A),则称B为A的子集. 2.真子集:若 B⊆A ∧ B≠A,则称B为A的真子集. 3.集合相等: B⊆A ∧ A⊆B⇔A=B,称集合A与B相等. 4.空集:不含任何元素的集合称为空集.记作φ. 空集是一切集合的子集;空集是唯一的. 5.n元集:含有n个元素的集合称为n元集. 6.全集:如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集 合为全集(E). 7.幂集:设A为集合,把A的全体子集构成的集合,称为A的幂集 记作P(A),P(A)={x|x⊆A}. 若A是n元集,则P(A)有2n个元集(n元集有2n个子集).
二.集合运算的算律 幂等律:A∪A=A, A∩A=A;
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 交换律: A∪B=B∪A , A∩B=B∩A; 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 同一律: A∪φ=A, 排中律: A∪~A=E; A∩E=A; 零律: A∪E=E, A∩φ=φ;
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论: 推论:在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
二.包含排斥原理 包含排斥原理

离散数学 教案 第3章复习总结

离散数学 教案  第3章复习总结
discretemathematics第三章集合复习总结复习总结西南科技大学计算机科学与技术学院1discretemathematics一本章主要内容及学习要求?集合表示法?元素与集合的关系?集合与集合间的关系?集合的基本运算?集合的基本运算西南科技大学计算机科学与技术学院2?集合运算的文氏图表示?有穷集合的计数问题
答案: 答案:(1). ③ (2). ⑦ (3). ⑤ 供选择的答案: 供选择的答案: ①(S∩M)-T; ②S∪M ; ③ (S∪M)-T; ; ∪ ∪ ; ④ (T⊕M) -S;⑤S∩(T∪M);⑥ (T∪M) -S;⑦T-(S∪M); ⊕ ; ∪ ; ∪ ; ∪ ; ⑧T-(S-M); ⑨(S-T)∩M; ⑩(S∩M)∪(S-T); ; ; ∪ ;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案: (5). ④ 答案:(4). ⑩ 供选择的答案: 供选择的答案: ①(S∩M)-T; ②S∪M ; ③ (S∪M)-T; ; ∪ ∪ ; ④ (T⊕M) -S;⑤S∩(T∪M);⑥ (T∪M) -S;⑦T-(S∪M); ⊕ ; ∪ ; ∪ ; ∪ ; ⑧T-(S-M); ⑨(S-T)∩M; ⑩(S∩M)∪(S-T); ; ; ∪ ;
Discrete Mathematics
第三章 集合
复习总结
西南科技大学
1
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 一、本章主要内容及学习要求 集合表示法 元素与集合的关系 集合与集合间的关系 集合的基本运算 集合运算的文氏图表示 有穷集合的计数问题。 本章重点是集合表示法,集合间的关系,集合 重点是集合表示法,集合间的关系, 重点是集合表示法 运算,有穷集合的计数。 运算,有穷集合的计数。
西南科技大学
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《离散数学》第3章 集合

《离散数学》第3章  集合

P ( A) = {φ , A}
第二节 集合的运算 内容: 内容:集合的运算,文氏图,运算律。 重点: 重点:(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算, (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合的运算。 集合 A, B 的并集 A ∪ B, 交集 A ∩ B,相对补集
三 包含排斥定理 设A和 B是两个有限集合,则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ,
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数.
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定 理表述: 设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合,其元数分别为 A , A ,⋯, A ,则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。 空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。 、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合,若 A ∈ B 且B ∈ C , 、 有可能 A ∈ C 吗,有可能 A ∉ C 吗? 解:两种情形都有可能。 设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} , 则 A ∈ B, B ∈ C ,有 A ∈ C 。 又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}, 则 A ∈ B, B ∈ C ,但 A ∉ C 。
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别地,以集合为元素的集合称为集合族或集合类,
如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。
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2. 子集、全集与空集 子集是描述一个集合与另一个集合之间的 关系,其定义如下。

定义3.1.1 设A和B是任意两个集合,如果集合 A 的每个元素,都是集合 B 中的一个元素,则
称A是B的子集,或称A被包含于B中,或者说
正则公理的一个自然推论是: 对任何集合S, {S} S (否则有…SSS),
从而规定了集合{S}与 S的不同层次性。
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集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合 的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集
合, 但不能是本集合自身。
因为一个集合是由它的成员构成的, 是先有
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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表示一个特定集合,基本上有两种方法:

一是枚举法,在可能时列出它的元素,元素之 间用逗号分开,再用花括号括起。如 A={a,e,i,o,u}
表明集合A是由字母a, e, I ,o和u为元素构成的。
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二是谓词法,用谓词公式来确定集合。即个体 域中能使谓词公式为真的那些元素,确定了一 个集合,因为这些元素都具有某种特殊性质。 若P(x)含有一个自由变元的谓词公式,则 {x|P(x)}定义了集合S,并可表为 S={x|P(x)}
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定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每 一个集合,则称该集合为全集,记为U或E。 它可形式地表为 U={x|P(x)∨┐P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
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显然,全集U即是第二章中的全总论域。于
是,每个元素x都属于全集U,即命题(x)(xU)
B包含A,并记为AB。
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子集定义也可表成 AB(x)(xA→xB) 这表明,要证明AB,只需对任意元素x,有 下式 xA→xB 成立即可。 此外,若集合B不包含集合A,记为A /B。
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定义3.1.2 设A和B是两个集合,若AB且AB, 则称A是B的真子集,记为AB,也称B真包含 A。该定义也可表为 AB(AB∧AB)
例 在一个住着一些人家的僻静孤岛上 , 岛上只有一 个理发师a, a给且只给岛上所有不能自己理发的人 理发。问谁给a理发? 解: 设 S = {x | x 是不能自己理发的人}。 (1) 若aS, 则a给自己a理发。又由题意知, a只给不 能自己理发的人理发, 所以a是不能自己理发的人, 即aS, 矛盾。 (2) 若aS, 则a是不能自己理发的人。又由题意知, a只给集合S中的人理发, 所以a要给a理发, 即aS , 矛盾。 无论如何, 都有aS和aS同时成立。 这是著名的罗素悖论paradox。
由此可见,P(c)为真当且仅当cS。从而有 xSxP(x)
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例如, A={a,e,i,o,u} 可表为 A={x|x是英文字母表中元音字母}
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应该指出的是:集合的元素可以是具体事物, 可以是抽象概念,也可以是集体,不是集合的元 素称为本元。如,一本书,一支笔,集合{1,2,3} 可以组成集合B={一本书,一支笔,{1,2,3}} 。特
成员后才形成集合, 所以一个正在形成中的集合
便不能作为一个实体充当本集合的成员。否则在 概念上将产生循环, 从而导致悖论。 正则公理也消除了悖论。
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3.1 集合论基础
1. 集合与元素 所谓集合,是指某些可辨别的不同对象的 全体,将用大写字母 A , B , X , Y , … 表示之。 组成集合的对象称为集合的元素或成员,将用 小写字母a,b,x ,y ,…表示之。 a是A的元 素或 a 属于 A ,记作 aA ; a 不属于 A 或 a 不是 A 的元素,记作aA,或者┐(aA)。
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集合的特性

集合论依赖于三大基本原理, 它们从根本上规定 了集合概念的意义。 集合的元素一旦给定, 这一集合便完全确定, 这一 事实被形式地叙述为外延性公理。

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1. 外延 (extension) 公理--两个集合A和B相 等的充分必要条件是它们有相同的元素。 外延公理刻划了集合的下列特性: A. 互异性: 一个集合的各元素是可以互相 区分开的, 即每一元素只出现一次。 B. 无序性: 集合中元素排列次序无关紧要, 即集合表示形式的不唯一性。
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2. 概括 (comprehension) 公理 -- 构成一个集 合应符合两个要求: I. 纯粹性: 凡该集合中的元素都具有某种性质 II. 完备性: 凡具有某种性质的元素都在该集合 中 概括公理规定了集合描述法的理论依据和集合 元素的确定性。
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C. 确定性: 任一事物是否属于一个集合, 回 答是确定的。

对于界限不分明的情况, 在经典集合论中绝
对不容许存在。

不确定的事物构成的集合属于模糊(fuzzy)
集合的研究范畴。

例 :“好书”的全体不构成集合, 因为难以
对每一本书的好坏作出确定的判断。
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3. 正则 (regularity) 公理: 不存在集合A, B, C, …, 使得 …CBA。(即任何一个非空集合都有一 个极小元)
为真。由定义易知,对任意集合A,都有AU。
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集合的元素一旦给定,这一集合便完全确立。
这一事实被形式地叙述为外延公理。
外延公理:两集合A和B相等,当且仅当它们 有相同的元素。
若A与B相等,记为A=B;否则,记为AB。
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外延公理可形式表为: A=B(x)(xA↔xB) 或者 A=B(x)(xA→xB)∧(x)(xB→xA) 顺便指出,在应用外延公理证明集合A与B相等时, 只需考察: 对于任意元素x,应有下式 xA↔xB 成立即可。 这就是说,证明两集合相等时可按此法行事。
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