运筹学整数规划指派问题
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[理学]运筹学教案整数规划与指派问题
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6
x2
6
X1<=3
X1>=3+1
5
4
3
(3.25, 2.5)
2
1
o
1
2
3
4
5
67Fra bibliotekx1加上附加约束将问题分为两枝，即两个线性规划问 题，而且保证不丢失正数解。 7
B1：B
xj<=[bj] 分别求解问题B1与B2
B2：B
xj>=[bj]+1
4、定界：以当前目标值最大而又未分枝的子问题 的目标值为上界，当前最好的整数解目标值（若 还没有则选择为负无穷大）为下界。 5、逐步分枝，并求各分技问题，修改上下界，上 界将逐步减小，下畀将逐步增加，直到二者相等， 则得到原整数规划问题的解。 注意：分枝的优先顺序和剪技（不再继续分技） 的条件。以书上例子加以说明。
运筹学教案
整数规划
陈安明
1
4.1 整数规划问题及特点
4.1.1 整数规划的概念
1、整数规划的定义： 决策变量要求取整数的线性规划。 2、整数规划的分类： 纯整数规划：全部决策变量均要求取整数。 混合整数规划：只要部分决策变量要求取整数。 0,1规划：一类变量只取0,1特殊的整数规划问题。 3、整数规划的性质： （1）可行解域为点集。 （2）整数最优解的目标值劣于同问题非整数最优解 的目标值。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) (3) ( 4)
x2
6
X1<=3
X1>=3+1
5
4
3
(3.25, 2.5)
2
1
o
1
2
3
4
5
67Fra bibliotekx1加上附加约束将问题分为两枝，即两个线性规划问 题，而且保证不丢失正数解。 7
B1：B
xj<=[bj] 分别求解问题B1与B2
B2：B
xj>=[bj]+1
4、定界：以当前目标值最大而又未分枝的子问题 的目标值为上界，当前最好的整数解目标值（若 还没有则选择为负无穷大）为下界。 5、逐步分枝，并求各分技问题，修改上下界，上 界将逐步减小，下畀将逐步增加，直到二者相等， 则得到原整数规划问题的解。 注意：分枝的优先顺序和剪技（不再继续分技） 的条件。以书上例子加以说明。
运筹学教案
整数规划
陈安明
1
4.1 整数规划问题及特点
4.1.1 整数规划的概念
1、整数规划的定义： 决策变量要求取整数的线性规划。 2、整数规划的分类： 纯整数规划：全部决策变量均要求取整数。 混合整数规划：只要部分决策变量要求取整数。 0,1规划：一类变量只取0,1特殊的整数规划问题。 3、整数规划的性质： （1）可行解域为点集。 （2）整数最优解的目标值劣于同问题非整数最优解 的目标值。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) (3) ( 4)
整数规划-案例1-指派问题
i 1 j 1
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
第5章 整数规划(工作指派问题)
36
2. “圈0”：
0 10 16 13 6 0 6 3 2 13 13 0 12 2 0 4
37
可以看到，打圈的0的个数为4，正好是矩阵 的阶数。从而得最优解：
• x11=1,x22=1,x34=1,x43=1
相应地，要使机器发挥的总效率最大，我们 应做如下安排：
• • • • 机器A1安排在工地B1； 机器A2安排在工地B2； 机器A3安排在工地B4； 机器A4安排在工地B3。
0
11 2 0
8
0 3 11
2
5 0 4
5
4 0 5
0 11
2 0
8 0
3 11
2 5
0 4
5ห้องสมุดไป่ตู้4
0 5
10
如果在效率系数矩阵中，位于不同行不同 列的零元素的个数与效率系数矩阵(cij)n×n 的阶数n相同，则只要令对应于这些零元 素位置的xij=1，其余的xij=0 ，则此解就 是问题的最优解。
0 0 0 1
为什么只圈出 三个0？？？
30
匈牙利法求工作指派问题步骤小结
1. 2. 3. 4. 5. 6. 列表 约简（包括行约简和列约简） 圈0（也是检验最优解的过程） 画线（画0元素的最少覆盖线） 增0（矩阵变换） 重复3～5（必要的话）
31
求极大值的匈牙利法（P131）
当目标函数为求极大值时，不能用通常改变 系数的符号而成为极小化问题的办法求解， 即如果指派问题的目标函数为： Max z=ΣΣcijxij 我们不能用求解 Min z’=-ΣΣcijxij 的办法来解剖原问题。因为匈牙利法要求效 率系数矩阵的每个元素都是非负的。
3. xij=1 或 0
运筹学第5章：整数规划
1 xj 0 对项目j投资 对项目j不投资 （j 1， ，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
整数规划指派问题
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
§5 指派问题
Assignment Problem
有n项任务，分派给n个人承担，每人承担一项。
第i 人完成第j 项任务的花费(时间或费用等)为cij， 如何分派使总花费最省？
nn
minz cijxij
第j项工作只由 一个人完成
i1 j1
n
xij 1
( j 1,,n)
i1
4 增加0元素的个数，但不出现负元素
设无直线覆盖的元素中最小的元素为a，对 所有打“√”的行中各元素减去a； 所有打“√”的列中各元素加上a。
再重新试派，直至得到最优解。
整理ppt
8
例8．求表中所示效率矩阵的指派问题的最小解。
任务 A
B
C
D
E
人
甲 12
7
9
6
6
6
丙
7
17 12 14
9
丁 15 14
§5 指派问题
Assignment Problem
例 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四 种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、 丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书 所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所 需总时间最少？
任务
人员
E
J
G
R
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
经行运算即可得每行每列都有 0 元素的系数矩阵，
试派：
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
第五讲-整数规划与指派问题_图文
固定成本及总运输费用最小的目标为
产量限制约束条件：
销量限制约束条件： （2）增加约束条件
二、整数规划的求解方法概述
整数线性规划，是要求整数解的线性规划， 包括上班的人数、设备的台数、材料的件数等 。
问题：
最优整数解是否可以对非整数 解进行四舍五入法或者去尾法呢？
线性规划的最优解为： 整数规划的最优解为：
同解变化
四、匈牙利解法（续）
定理：覆盖一个方阵内所有0元的最小直线数 等于该阵中位于不同行、列的0元的最多个数 ；
基本思想（反复应用同解变换）
成本矩阵（效益矩阵）的每一行及每一列减去该行或列的 最小数，使每行每列至少有一个0，假如能够从中找出n个位 于不同行、列的0元，则为最优阵，对应最优解。
设
分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学
规划模型如下：
一、整数规划的案例（续 ）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
资源
小号容器
中号容器
大号容器
金属板
2
4
8
劳动力
2
34Biblioteka 机器设备12
3
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润
三、指派问题
指派问题（Assignment problem）
又称分配问题，研究如何给n个人（或单位） 分配n项工作，使得完成全部工作所消耗的总资 源（时间、费用）最少。
s.t.
例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、 乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不 同语种的说明书所需时间如表所示。问应指派 何人去完成何工作，使所需总时间最少?
产量限制约束条件：
销量限制约束条件： （2）增加约束条件
二、整数规划的求解方法概述
整数线性规划，是要求整数解的线性规划， 包括上班的人数、设备的台数、材料的件数等 。
问题：
最优整数解是否可以对非整数 解进行四舍五入法或者去尾法呢？
线性规划的最优解为： 整数规划的最优解为：
同解变化
四、匈牙利解法（续）
定理：覆盖一个方阵内所有0元的最小直线数 等于该阵中位于不同行、列的0元的最多个数 ；
基本思想（反复应用同解变换）
成本矩阵（效益矩阵）的每一行及每一列减去该行或列的 最小数，使每行每列至少有一个0，假如能够从中找出n个位 于不同行、列的0元，则为最优阵，对应最优解。
设
分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学
规划模型如下：
一、整数规划的案例（续 ）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
资源
小号容器
中号容器
大号容器
金属板
2
4
8
劳动力
2
34Biblioteka 机器设备12
3
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润
三、指派问题
指派问题（Assignment problem）
又称分配问题，研究如何给n个人（或单位） 分配n项工作，使得完成全部工作所消耗的总资 源（时间、费用）最少。
s.t.
例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、 乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不 同语种的说明书所需时间如表所示。问应指派 何人去完成何工作，使所需总时间最少?
运筹学第五章 整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020max x x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96max ,0,8.421===z x x 。
50用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下图）。
整数规划2-指派问题
原来的 0 元素不变。这样得到新系数矩阵（其最优解和原问
题相同）。若得到 n 个独立的 0 元素，则已得最优解，否则 重复该步骤继续变换系数矩阵。
匈牙利解法的一般步骤：
5 2 0 9 0
0 3 10 8 6
2 0 5 0 3
0 0 7 0 6
2 0 2 4 5
7 4
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
匈牙利解法:
匈牙利解法的关键是利用了指派问题最优解的如下性质： 若从指派问题的系数矩阵 C = （ cij ）n×n 的某行（或某列）
各元素分别减去一个常数 k ，得到一个新的系数矩阵C’ = （ c’ij ）,
则以 C 和 C’ 为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。
匈牙利解法的一般步骤:
步骤一： 变换系数矩阵。使其每行及每列至少有一个零元素，同 时不出现负元素。 步骤二： 进行试指派，即确定独立零元素。 步骤三： 继续变换系数矩阵，然后返回步骤二。
5)
对没有打√号的行画一横线，对打√号的列画一竖线， 这样就得到能覆盖所有零元素的最少直线数目的直 线集合。
匈牙利解法的一般步骤：
5
0
2
0
2
2
0
3
10
0
5
0
7
02√源自9086
0
3
0
6
4
5
√
√
匈牙利解法的一般步骤：
继续变换系数矩阵。其方法是在未被直线覆盖的元素中
找出一个最小元素。然后在打√号行各元素都减去这一最小 元素，而在打√号列的各元素都加上这一最小元素，以保证
11 10 7 4 4
2 11 4 2 2
0 6 0 0
06运筹学教案(整数规划与指派问题)
第一步：变换目标函数和约束方程组
B1 A1 A2 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 年生产能力 400 600
A3
A4 年需求量
7
4 350
6
5 400
1
2 300
2
5 150
200
200
23
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为 1200万或1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是 A4，才能使今后每年的总费用最少。 解：由于事先不知选择A3还是A4，故可引入0，1 决策变量表述。
即
17
用上述方法构造的线性规划问题的割平面具有 P51两个性质。 4.3.3 割平面法求解整数规划问题的计算步骤： 一、求解其伴随规划问题 若得到整数最优解则终止，否则，选择任一不取 整数的基所在约束行构造割平面方程 二、将此约束标准化，加到最优表中，整理得 一可用对偶单纯形法求解的计算表 三、用对偶单纯形法求解 转一步。 详细见P51~P53例子。
28
y y
i 1
i
i
求解方法： （1）穷举法：以各种组合情况代入约束，计算 约束成立的组合解的目标函数，并得到最优解， 但此法因计算量太大而无效。 （2）各种隐枚举法：增加过滤（约束）条件， 隐去大量不满足过滤条件的组合，减少枚举数量 的方法。
以下介绍一种方法
29
按目标值从优到劣依次列出组合，逐个检验其 可行性，最先满足所有约束据条件的组合为最优解 ，劣于最优解的组合，即使可行，也不列出检验， 隐去。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) (3) ( 4)
整数规划-指派问题
也是一个独立零元素组。
5 0 2 0
C
2 0 4
3 5 8
0 6 0
0 70
不是一个独立零元素组。
根据以上对效率矩阵中零元素的分析，对效率矩阵C中出 现的的独立零元素组中零元素所处的位置，在决策变量矩
阵中令相应的 xij =1，其余的 xij =0。就可找到指派问题的
一个最优解。
就上例中
min Z 4x11 8x12 10x54 8x55
5
xij 1
i 1,2,5
j1
s.t. 5 xij 1 j 1,2,5
i1
xij
0
或1
B1 B2 B3 B4 B5
A1 4 8 7 15 12
C A2
A3
7
6
9 9
17 12
14 6
7
10
A4 6 7 14 8 10
ik
nn
n
nn
n
n
cij xij (ckj t)xkj
cij xij ckj xkj t xkj
i1 j1
j 1
ik
i1 j1
j 1
j 1
ik
n
注意到
xij 1
j 1
nn
所以原式
cij xij t.1 Z t
i1 j1
因此有 min Z min(Z t) min Z t
cn1 cn2 cnn
c11 c21
c12 c22
c1n c2n
C ck1 t
ck 2 t
ckn t
cn1
cn2 cnn
记新指派问题的目标函数为 Z ，则有
nn
nn
整数规划-指派问题
预期成绩为：
130.5（秒）
1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
or
0 0 1 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
注意问题
1、当指派问题的系数矩阵，经过变换得到了同行和 同列中都有两个或两个以上0元素时。这时可以任 选一行（列）中某一个0元素，再划去同行（列） 的其他0元素。这时会出现多重解。 2、对极大化的问题，即求
当问题要求极小化时的数学模型：
min z =
∑∑c
i j
ij
xij
∑x
i
ij
= 1, j = 1, 2, … m = 1, i = 1, 2, … n
∑x
j
ij
xij = 1或 0
当上述模型中m=n时，该模型即为指派问题的 标准型。
•指派问题的求解——匈牙利法
匈牙利法的基本步骤： 第一步：变换系数矩阵 （1）将问题化为标准型的指派问题； （2）从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素； （3）从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小 元素； 第二步:进行试指派，寻求最优解 （1）对只有一个0元素的行（列）中的0加圈，划 去该行（列）中的其他0元素，直到所有的0元素 都已标记过； （2）加圈的0元素的个数等于矩阵的阶数时，得到 最优解，否则继续第三步；
为大人带来形象的羊生肖故事来历为孩子带去快乐的生肖图画故事阅读
整数规划问题的特点
1、整数规划 （1）整数规划：决策变量要求取整数的线性规 划。 （2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规 划。 （3）整数规划的可行域为离散点集。 2、建模步骤 整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的 建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制 为整数。
第五讲 整数规划及指派问题
1 当Ai 厂址被选中时 yi 0 当Ai 厂址没被选中时
固定成本及总运输费用最小的目标为
Min z 175y2 +300y3 +375y 4 +500y 5 +8x11 +4x12 +3x13 5x21 +2x22 3 x23 4 x31 3 x32 4 x33 9 x41 7 x42 5 x43 10 x51 4 x52 2 x53
B1 8 5 4 9 10 30
B2 4 2 3 7 4 20
B3 3 3 4 5 2 20
产量/千箱 30 10 20 30 40
运筹学（整数规划问题）
李琳 7
（1）应该在哪几个地方建厂，在满足销量前提 下，使得其总固定成本和总运输费用之和最小？ （2）由于政策要求必须在A2，A3 地建一个厂 ，应在哪几个地方建厂？ 解：设 xij 为从 Ai 运往 B j的运输量，
Max z 2 x1 3 x2
195 x1 273 x2 1365 4 x 40 x 140 1 2 x1 4 x1 , x2为整数
2018/11/12
运筹学（整数规划问题）
李琳 3
一、整数规划的案例（续）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
2018/11/12 运筹学（整数规划问题） 李琳 8
产量限制约束条件：
x11 x12 x13 30 x21 x22 x23 10 y2 x31 x32 x33 20 y3 x x x 30 y 42 43 4 41 x51 x52 x53 40 y5
固定成本及总运输费用最小的目标为
Min z 175y2 +300y3 +375y 4 +500y 5 +8x11 +4x12 +3x13 5x21 +2x22 3 x23 4 x31 3 x32 4 x33 9 x41 7 x42 5 x43 10 x51 4 x52 2 x53
B1 8 5 4 9 10 30
B2 4 2 3 7 4 20
B3 3 3 4 5 2 20
产量/千箱 30 10 20 30 40
运筹学（整数规划问题）
李琳 7
（1）应该在哪几个地方建厂，在满足销量前提 下，使得其总固定成本和总运输费用之和最小？ （2）由于政策要求必须在A2，A3 地建一个厂 ，应在哪几个地方建厂？ 解：设 xij 为从 Ai 运往 B j的运输量，
Max z 2 x1 3 x2
195 x1 273 x2 1365 4 x 40 x 140 1 2 x1 4 x1 , x2为整数
2018/11/12
运筹学（整数规划问题）
李琳 3
一、整数规划的案例（续）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
2018/11/12 运筹学（整数规划问题） 李琳 8
产量限制约束条件：
x11 x12 x13 30 x21 x22 x23 10 y2 x31 x32 x33 20 y3 x x x 30 y 42 43 4 41 x51 x52 x53 40 y5
运筹学-0-1规划 指派问题
Max { 6 , 8 } = 8。于是，本0-1规划的
最优值ymax= 8
最优解（x1，x2，x3，x4）=（0，1，0，1）。
这表明，该同学还要带诱饵和食物。
从提高隐枚举法的效率着想，当求解最 大（小）化0-1规划时，若遇到y 值大（小） 于（0）的右边，应随即让（0）的右边改取
这个y 值。求解0-1规划，不要墨守成规，应
☞
（ x1， x2 ， x3 ， x4 ） （0, 0, 0, 0 ） ( 0, 0, 0, 1 ) ( 0, 0 ,1, 0 ) ( 0, 0, 1, 1 ) ( 0, 1, 0, 0 ) ( 0, 1, 0, 1 ) ( 0, 1, 1, 0 ) ( 0, 1, 1, 1 ) ( 1, 0, 0, 0 ) ( 1, 0, 0, 1 ) ( 1, 0, 1, 0 ) ( 1, 0, 1, 1 ) ( 1, 1, 0, 0 ) ( 1, 1, 0, 1 ) ( 1, 1, 1, 0 ) ( 1, 1, 1, 1 )
大于bj的最小整数），因而得到两枝新的线
性规划，然后计算每枝的最优解和最优值。
第三步
定界
具体做法为：进行定界（由各枝的最 优值中选最大值），找出界枝。若界枝的 最优解就是原整数规划的最优解，则计算
过程便告结束；否则，回到第二步。
返回
第四节
0-1 规 划
一、0-1 规划的概念 二、隐枚举法
一、0-1 规划的概念
最小化指派问题的求解步骤如下：
第一步：在效率矩阵[bij]中，让每行（列）元素减去该
行（列）元素的最小值，从而得到矩阵[ Cij ]。
37.3 32.9 bi j 33.8 37.0
每行每 列都有 零
最优值ymax= 8
最优解（x1，x2，x3，x4）=（0，1，0，1）。
这表明，该同学还要带诱饵和食物。
从提高隐枚举法的效率着想，当求解最 大（小）化0-1规划时，若遇到y 值大（小） 于（0）的右边，应随即让（0）的右边改取
这个y 值。求解0-1规划，不要墨守成规，应
☞
（ x1， x2 ， x3 ， x4 ） （0, 0, 0, 0 ） ( 0, 0, 0, 1 ) ( 0, 0 ,1, 0 ) ( 0, 0, 1, 1 ) ( 0, 1, 0, 0 ) ( 0, 1, 0, 1 ) ( 0, 1, 1, 0 ) ( 0, 1, 1, 1 ) ( 1, 0, 0, 0 ) ( 1, 0, 0, 1 ) ( 1, 0, 1, 0 ) ( 1, 0, 1, 1 ) ( 1, 1, 0, 0 ) ( 1, 1, 0, 1 ) ( 1, 1, 1, 0 ) ( 1, 1, 1, 1 )
大于bj的最小整数），因而得到两枝新的线
性规划，然后计算每枝的最优解和最优值。
第三步
定界
具体做法为：进行定界（由各枝的最 优值中选最大值），找出界枝。若界枝的 最优解就是原整数规划的最优解，则计算
过程便告结束；否则，回到第二步。
返回
第四节
0-1 规 划
一、0-1 规划的概念 二、隐枚举法
一、0-1 规划的概念
最小化指派问题的求解步骤如下：
第一步：在效率矩阵[bij]中，让每行（列）元素减去该
行（列）元素的最小值，从而得到矩阵[ Cij ]。
37.3 32.9 bi j 33.8 37.0
每行每 列都有 零
管理运筹学第四章整数规划与指派问题
货物运输路线选择案例
案例描述
某物流公司需要为其客户提供从起点到终点的货物运 输服务。在运输过程中，有多种可能的路线可以选择 ，每条路线都有不同的运输成本和时间。此外，客户 对货物的运输时间和成本也有一定的要求。
整数规划应用
该案例可以通过整数规划来解决。首先，将每条路线的 选择定义为整数决策变量，1表示选择该路线，0表示 不选择。然后，根据每条路线的运输成本和时间，构建 目标函数，即最小化总运输成本和时间。接下来，根据 客户的要求和路线的特点，构建约束条件，如运输时间 限制、成本限制和路线连通性等。最后，使用整数规划 求解算法，找到满足所有约束条件的最优路线组合，即 最小化总运输成本和时间的路线选择方案。
展望
未来，整数规划与指派问题将在更多领域得到应用和推广 ，为实际问题的解决提供更加有效的方法和工具。同时， 随着相关技术的不断发展，整数规划与指派问题的求解方 法将更加高效和精确，为相关领域的发展提供更加有力的 支持。
THANKS
感谢观看
要点一
Xpress
Xpress是一款功能强大的数学优化求 解器，适用于线性规划、整数规划等 多种问题。它提供了丰富的算法和工 具，支持大规模问题的求解和分析。
要点二
LINGO
LINGO是一款易于使用的数学优化建 模工具，具有直观的语法和丰富的函 数库。它可以帮助用户快速构建和求 解线性规划、整数规划等问题，并提 供详细的解决方案和报告。
原理
通过添加割平面约束条件，逐 步缩小问题的可行域，从而找 到整数最优解。
添加割平面
根据松弛问题的最优解，构造 一个割平面约束条件，添加到 原问题中。
迭代
重复添加割平面和求解新问题 的步骤，直到找到整数最优解 或确定无整数最优解为止。
运筹学4(整数规划)
x2 ① ② 10
由于Z 3 Z1，选择LP3进行分枝，增加约束 x1 4及x1 5，到线性规划 4及LP5： LP
max Z 4 x1 3x2
A
LP4:X=(4,6),Z4=34 1.2 x1 0.8 x2 10
6
LP1 LP3
2 x1 2.5 x2 25 LP 4 : x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4 x1 3x2
max Z 4 x1 3x2 1.2 x1 0.8 x2 10 2 x1 2.5 x2 25 x1 , x2 0
线性规划的可行域如图5—1中的阴影部分所示。
图5－1
用图解法求得点B为松弛问题最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝35.7。
由于x1，x2必须取整数值，整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那 些整数点。 用凑整法来解时需要比较四种组合，但（4，7）、（4，8）（3，8）都不是可行 解，（3，7）虽属可行解，但代入目标函数得Z=33, 并非最优。
工作 人员 甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
B 92 87 83 90
C 73 78 79 80
D 90 95 90 88
【解】此工作分配问题可以采用枚举法求解，即将所有分配方案 求出，总分最大的方案就是最优解。本例的方案有 4！＝4×3×2×1＝24种，当人数和工作数较多时，方案数是人数 的阶乘，计算量非常大。用0－1规划模型求解此类分配问题显得非 常简单。 工作 A B D C
运筹学
Operations Research
Hale Waihona Puke Chapter 5 整数规划
管理运筹学 第四章整数规划与指派问题
AX b
s
.
t
.
X
0
X 为 整 数 向 量
m ax z CX
AX b
s
.t
.
X
0
如果最优解x
i中某个分量
x
0 i
非整
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ]
max z CX
AX b
s.t .
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ] 1
25
例5：求解下列整数线性规划问题
（ IL P0） m ax z x1 5 x 2
x1 x2 2
s
.
t
.
5 x
x
1
16 4
x2
30
x1 , x 2 0, 且 为 整 数
解：先求与之对应的线性规划问题（放松问题）
（
L
P
）
0
m ax z x1 5 x2
x1 x2 2
s
.
t
1. 引例
例1（装载问题）
有一辆卡车的最大载重量为b 吨,现有n 种货物可供装 载。设第j 种货物每件重aj 吨,每件的装载费用为cj 元 (j=1,…n)。问应该采用怎样的装载方案才能使卡车一 次装载货物的收入最大?
解:设xj为卡车装载第j 种货物的件数(j=1,2,…,,n), z表 示卡车一次装载的收入,则该问题的数学模型为
编辑版pppt
24
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
☺如何定界？
• 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
运筹学整数规划指派问题
4 8 7 15 12 -4 7 9 17 14 7 -7
0 4 3 11 8 0 2 10 7 3
C
6
9 12
6
10
-6
0
3
6
2
1
6 7 14 8 10 -6
0 1 8 0 4
6
9
6
10
8
-6
0
3
6
4
0
-1 -3
✓
0 0
3 1
0 7
11 7
8 3
✓
C1
0
2
3
2
1
✓
0 0 5 0 4
这样安排能使总的建造费用最少，总的建造费用为 7+9+6+6+6=34（万元）。
三 非标准形式的指派问题
处理方法：化成标准形式，再按匈牙利方法求解。 ⒈ 目标函数最大化指派问题
例 有4名工人A1,A2,A3,A4分别操作4台机床B1,B2,B3,B4。每 人操作每台机床的单位产量见下表。求产值最大的指派方案。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中 一个加圈，然后划去同行、同列其他未被标记的零元素。
例
5 0 2 0
C
2 0 0
3 0 8
0 6 0
0
7 0
步骤3： 若矩阵所有零元素都被标记的，但圈零的个数m < n ， 作最少直线覆盖当前零元素。
已知5家建筑公司承建5家商店系数矩阵
⒈变换系数矩阵
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
07整数规划2(指派问题)
1） 对没有的行打“”号；
2） 在已打“”号的行中，对 所在列打“” 3）在已打“”号的列中，对所在的行打“”号；
4）重复2）3），直到再也找不到可以打“”号的行或列为止；
5）对没有打“”的行划一横线，对打“”的列划一纵线，这样就得 到覆盖所有0元素的最少直线数。
步4：继续变换系数矩阵，目的是增加独立0元素的个数。方法是在
若人少事多，则添上一些虚拟的“人”。这些虚拟的人作各事的费用系数可 取0，理解为这些费用实际上不会发生。若人多事少，则添上一些虚拟的“事”, 做这些虚拟事的费用系数同样也取0。
• 一个人可做几件事的指派问题 若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指派。这几个人 作同一件事的费用系数当然都一样。 • 某事一定不能由某人做的指派问题
3. 一般的指派问题
在实际应用中，常会遇到各种非标准形式的指派问题。通常的处理方法是先 将它们转化为标准形式，然后用匈牙利解法求解。
• 最大化指派问题 设最大化指派问题系数矩阵C中最大元素为m。令矩阵B=(bij)=(m-cij), 则以B 为系数矩阵的最小化指派问题和以C为系数矩阵的原最大化指派问题有相同的最 优解。 • 人数和事数不等的指派问题
元素的个数m=4，而n=5，进 行第三步。
第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵的下一个 变换。
5 2 0 9 0
0 10
2 0 5 7
3 0 0 8 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素的个数。方法是 在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素 中都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以 保持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优 解和原问题相同，为什么？）
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c11 c12
C
c21
c22
c1n c2n
cn1 cn2 cnn
则指派问题的数学模型为
nn
min Z
cij xij
i1 j 1
n
xij 1
i 1,2,n
j1
s.t. n xij 1 j 1,2,ni1源自xij0或1
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。
cij xij ckj xkj t xkj
i1 j1
j 1
ik
i1 j1
j 1
j 1
ik
n
注意到
xij 1
j 1
nn
所以原式
cij xij t.1 Z t
i1 j1
因此有 min Z min(Z t) min Z t
推论 若将指派问题的效率矩阵每一行及每一列分别减去各 行各列的最小元素，则得到的新的指派问题与原指派问题有 相同的最优解。
指派问题的数学模型
引进0-1变量
1 表示安排第i个人完成第j项工作 xij 0 表示不安排第i个人完成第j项工作
决策变量矩阵可表示为：
x11
X
x21
x12
x22
x1n x2n
xn1 xn2 xnn
用 cij 表示第i个人完成第j项工作所需的资源数，称之为效率
系数（或价值系数）。表示为
0
4
1
-4 -7 -6 -6
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
-7 从而导出匈牙利解法的思想：
二匈牙利解法 1955年,由库恩（W.W.Kuhn）根据匈牙利数学家狄·考尼 格（d.konig)关于矩阵中独立零元素的定理发明的。
匈牙利法的基本原理： 定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去 同一个常数t (t可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为 效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最 优值比原最优值减少t 。 解：设效率矩阵C为
c11 c21
c12 c22
c1n c2n
C ck1
ck 2
ckn
cn1 cn2 cnn
c11 c21
c12 c22
c1n c2n
C ck1 t
ck 2 t
ckn t
cn1
cn2 cnn
记新指派问题的目标函数为 Z ，
nn
B1 B2 B3 B4 B5
A1 4 8 7 15 12
C
A2 A3
7
6
9 9
17 12
14 6
7
10
A4 6 7 14 8 10
A5
6
9
6
10
8
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij 0
当 Ai 承建 B j 时 当 Ai 不承建 B j 时
则问题的数学模型为
min Z 4x11 8x12 10 x54 6x55
注：当 cij=0 时，从第i行看，它表示第i人去干第j项工作 效率（相对）最好，而从第j列来看，它表示第j项工作让第i 人来干效率（相对）最高。
问题是：能否找到位于不同行、不同列的n个0元素？ 定义 在效率矩阵C中，有一组处于不同行、不同列的零元素， 称为独立零元素组，此时其中每个元素称为独立零元素。
5
xij 1
i 1,2,5
j1
s.t. 5 xij 1 j 1,2,5
i1
xij
0
或1
B1 B2 B3 B4 B5
A1 4 8 7 15 12
C A2
A3
7
6
9 9
17 12
14 6
7 10
A4 6 7 14 8 10
A5
6
9
6
10
8
如何分派工作?
1 0 0 0 0
nn
n
Z
cij xij
cij xij ckj xkj
i1 j1
i1 j1
j 1
ik
nn
n
nn
n
n
cij xij (ckj t)xkj
cij xij ckj xkj t xkj
i1 j1
j 1
ik
i1 j1
j 1
j 1
ik
nn
n
nn
n
n
cij xij (ckj t)xkj
也是一个独立零元素组。
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
不是一个独立零元素组。
定理 效率矩阵C中独立零元素的最多个数等于能覆盖所 有零元素的最少直线数。
本定理由匈牙利数学家狄·考尼格证明的。
例 已知矩阵
5 0 2 0
C
2 0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
7 03
例 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
2 15 13 4
C
10
9 7
4 14 8
14 16 11
15 193
求解该指派问题。
步骤1：变换系数矩阵，使得每行及每列至少产生一个零元 素。
2 15 13 4
第三节 0－1型整数规划
0－1变量： 在整数规划问题中，有一类特殊的整数规
划，不仅要求解为整数，而且要求只能取得0 和1两个整数值，这类整数规划称之为0－1型 整数规划，该类解称为0－1变量。
一 指派问题
由n项不同的工作或任务，需要n个人去完成（每人只 能完成一项工作）。由于每人的知识、能力、经验等 不同，故各人完成不同任务所需的时间（或其它资源） 不同。 问应指派哪个人完成何项工作所消耗的总资源最少？
例 已知
5 0 2 0
C
2 0 4
3 5 8
0 6 0
0 70
则 {c12 0, c24 0, c31 0, c43 0} 是一个独立零元素组，
c12 0, c24 0, c31 0, c43 0 分别称为独立零元素。
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
B1 B2 B3 B4 B5
A1
C A2
A3 A4
4
7
6
6
8 9 9 7
7 17 12 14
15 14 6 8
12 7
10 10
0
3
2
2
1 2 2 0
1 11 6 8
9 8 0 2
5 0
3 3
A5
6
9
6
10
8
2
2
目前认为最简洁的方法—匈牙利法。
例 某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai (i 1,2,,5) 对新商店 Bj ( j 1,2,,5) 的建造
报价（万元）为cij (i, j 1,2,,5) ，商业公司应当对5
家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建筑费用最 少？