2.4 二次函数的应用(第2课时)优秀教学设计

第二章二次函数

《二次函数的应用（第2课时）》

教学设计说明

一、学生知识状况分析

通过本章前三节的学习，学生已对二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式等问题有了明确的认识.二次函数应用的第一课时是“何时面积最大”，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决实际问题.

二、教学任务分析

“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.

教学目标

(一)知识与技能

1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.

2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.

(二)过程与方法

经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

(三)情感态度与价值观

1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和

学好数学的信心.

2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

三、教学过程分析

本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨.

第一环节 探究活动一

活动内容：（有关利润的问题）

服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.

请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？

回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是： 销售利润=单件利润×销售量

若设批发单价为x 元，则：

单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则

)14024(5000-2+-=x x

20000)12(50002+--=x

）元（10-x 件)5001

.0-135000(⨯+x )5001

.0135000)(10(⨯-+-=x x y

∵-5000＜0

∴抛物线有最高点，函数有最大值.

当x ＝12元时，y 最大= 20000元.

答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元． 若设每件T 恤衫降a 元，则：

单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则

)32(5000-2--=a a

20000)1(50002+--=a

∵-5000＜0

∴抛物线有最高点，函数有最大值.

当x ＝1元时，即批发单价是12元时，y 最大= 20000元.

答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元． 想一想：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？ 第二环节 探究活动二

活动内容：

某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

分 析：相等关系是

客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数

解：设每间客房的日租金提高x 个10元，则每天客房出租数会减少6x 间，若客房日租金的总收入为y 元，则：

=19440)260

-2+-x （ ）元（1013--a 件)5001

.05000(⨯+a ）（5001

.05000)(1013⨯+--=a a y )

6120)(10160(x x y -+=

∵0

x且

≥x

,0>

6

-

120

∴20

≤x

0<

当x＝2时，y有最大值 19440.

这时每间客房的日租金为180

⨯

+元，客房总收入最高为19440元.

10

2

160=

随堂练习：课本P49练习1

某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？

解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则

y=(30-20+x)(400-20x)

＝-20x2+200x+4000

＝-20(x-5)2+4500.

答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．

第三环节议一议

活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”

本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000.

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？

（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）