相似性和相异性的度量
度量数据的相似性和相异性
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九、余弦相似度
• 文档用数以千计的属性表示，每个属性记录文档中的一个词或短语的频度
• 词频向量通常很长，而且是稀疏的
• 余弦相似性用于度量两个向量间的距离
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九、余弦相似度
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• 正定性：
• 对称性：
• 三角不等式：
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六、数值属性的相异性度量
• 曼哈顿（城市块）距离：（ 1 范数）
• 两点之间的街区距离
• 欧几里得（直线）距离：最流行的距离度量方法（ 2 范数）
• 上确界（ max 范数、 范数）
• 两个向量任意属性间的最大• 通过规格化方法将秩转换到[0,1]区间
• 用区间标度变量的度量方法进行度量
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八、混合类型属性的相异性
• 一个数据对象可能包含各种类型的属性
• 把所有属性转换到共同区间（如：[0,1]），加权计算它们的综合相异度
• 当 f 为二值或标称属性时：属性值相等距离为0，不相等为1
• 当 f 为数值属性时：使用数值距离度量方法
• 使用平均绝对偏差计算Z分数比使用标准差更加鲁棒
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六、数值型数据的距离度量
• 闵可夫斯基距离：一种通用的距离度量方法
• = 1 , 2 , … , 和 = 1 , 2 , … , 是两个p维的数据对象，h 是阶（这样定义的距离
又称为 范数）
• 距离的性质
• 性别是对称属性
• 其余属性是不对称属性
• 设Y和P值为1，其余值为0
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五、数值型数据的标准化
• Z分数（标准分数）
• 是一个数与平均数的差再除以标准差的过程
• 当原始数值大于平均数时 Z分数为负值；大于平均数时Z分数为正值
时间序列分析相似性度量基本方法
时间序列分析相似性度量基本⽅法前⾔时间序列相似性度量是时间序列相似性检索、时间序列⽆监督聚类、时间序列分类以及其他时间序列分析的基础。
给定时间序列的模式表⽰之后，需要给出⼀个有效度量来衡量两个时间序列的相似性。
时间序列的相似性可以分为如下三种：1、时序相似性时序相似性是指时间序列点的增减变化模式相同，即在同⼀时间点增加或者减少，两个时间序列呈现⼀定程度的相互平⾏。
这个⼀般使⽤闵可夫斯基距离即可进⾏相似性度量。
2、形状相似性形状相似性是指时间序列中具有共同的形状，它通常包含在不同时间点发⽣的共同的趋势形状或者数据中独⽴于时间点相同的⼦模式。
两个时间序列整体上使⽤闵可夫斯基距离刻画可能不相似，但是他们具有共同相似的模式⼦序列，相似的模式⼦序列可能出现在不同的时间点。
这个⼀般使⽤DTW动态时间规整距离来进⾏相似性刻画。
3、变化相似性变化相似性指的是时间序列从⼀个时间点到下⼀个时间点的变化规律相同，两个时间序列在形状上可能并不⼀致，但是可能来⾃于同⼀个模型。
这个⼀般使⽤ARMA或者HMM等模型匹配⽅法进⾏评估。
时间序列相似性度量可能会受到如下因素影响：时间序列作为真实世界的系统输出或者测量结果，⼀般会夹杂着不同程度的噪声扰动；时间序列⼀般会呈现各种变形，如振幅平移振幅压缩时间轴伸缩线性漂移不连续点等时间序列之间可能存在不同程度的关联；以上因素在衡量时间序列相似性度量的时候要根据具体情况进⾏具体分析。
闵可夫斯基距离给定两条时间序列：P=(x_1,x_2,...x_n),\ \ Q(y_1,y_2,...y_n)闵可夫斯基距离的定义如下:dist(P,Q) = \left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}注：1. 当p=1时，闵可夫斯基距离⼜称为曼哈顿距离：dist(P,Q)=\sum\limits_{i=1}^n |x_i-y_i|2.3. 当p=2时，闵可夫斯基距离⼜称为欧⽒距离：dist(P,Q) = \left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i-y_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}4. 当p\rightarrow\infty时，闵可夫斯基距离⼜称为切⽐雪夫距离：\lim\limits_{p\rightarrow\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \max\limits_{i}|x_i-y_i|5. 闵可夫斯基距离模型简单，运算速度快。
【数据挖掘】相似性和相异性度量
【数据挖掘】相似性和相异性度量⼀、基础概念1. 相似度(similarity): 两个对象相似程度的数值度量，通常相似度是⾮负的，在[0,1]之间取值相异度(disimilarity): 两个对象差异程度的数值度量，通常也是⾮负的，在[0,1]之间取值，0到∞也很常见我们使⽤邻近度(proximity)表⽰相似度或者相异度: 常见的邻近度有：相关，欧⼏⾥得距离，Jaccard相似性，余弦相似性. 前两者适⽤于时间序列这样的稠密数据，后两者适⽤于⽂本这样的稀疏数据.2. 区间变换: d' = (d-dmin_d)/(max_d - min_d)3. 具有以下三个性质的测度称为度量(metric)(1) ⾮负性(2) 对称性(3) 三⾓不等式⼆、常见相异度和相似性度量函数1. 距离Minkowski distanced(x,y)=(N ∑k=1|x k−y k|r)1/r 1-normal distance/Manhattan distance: ∑n i=1|x i−y i|2-normal distance/Euclidean distance: (∑n i=1|x i−y i|2)1/2p-normal distance: d(x,y)=(∑N k=1|x k−y k|p)1/p∞-nromal distance/Chebyshev distance: lim p→∞(∑N k=1|x k−y k|p)1/p2. 简单匹配系数(Simple Matching Coefficient): SMC = 值匹配属性个数/属性个数 =f11+f00f01+f10+f11+f003. Jaccard系数 J = 匹配个数/属性个数 =f11f01+f10+f114. 余弦相似度cos(x,y)=x⋅y||x||||y||(⽂档相似度中最常⽤的度量)5. ⼴义Jaccard系数/Tanimoto系数6. 相关性Pearson's correlation: corr(x,y)=cov(x,y)std(x)∗std(y)=s x ys x s y7. Bregman散度D(x,y)=ϕ(x)−ϕ(y)<Δϕ(y),(x−y)> Processing math: 100%。
智能推荐系统中的相似性度量研究
智能推荐系统中的相似性度量研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式也在不断地发生变化。
在日常生活中，人们需要从大量信息中进行筛选和选择，而这时智能推荐系统的应用就显得尤为重要。
智能推荐系统是指利用计算机算法根据用户的历史行为、偏好和兴趣等信息，推荐用户感兴趣的内容或产品。
对于电商、视频网站、新闻客户端等各类互联网企业而言，智能推荐系统不仅可以提高用户的黏性，还可以增加用户的购买量，进而提高企业的盈利水平。
智能推荐系统的核心问题之一就是相似性度量。
相似性度量是指计算两个对象之间的相似程度的过程，也是智能推荐系统的基础。
不同的相似性度量方法适用于不同的推荐场景，而智能推荐系统的准确性和效果也直接取决于相似性度量的质量。
一、基本概念相似性度量是指计算两个对象之间相似度的过程，其中对象可以是用户、商品、音乐、电影等。
常见的相似性度量方法包括欧几里得距离、余弦相似度、皮尔逊相关系数、曼哈顿距离等。
在应用推荐系统时，相似性度量通常使用在如下两个场景：1.基于物品的协同过滤算法中，需要通过相似性度量来计算不同物品之间的相似性，从而为用户推荐不同的物品。
2.基于用户历史行为的个性化推荐算法中，需要计算不同用户之间的相似度，从而找到好友、推荐社区、进行个性推荐等。
二、常见的相似性度量方法1.欧几里得距离欧几里得距离是指在二维或三维空间中两个点的距离计算方法。
在智能推荐系统中，欧几里得距离可以用来计算物品之间的相似性度量。
欧几里得距离可以表示为：$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-y_{i})^{2}}$在这个公式中，x和y是两个物品，n为两个物品之间的相同特征数。
2.余弦相似度余弦相似度是指两个物品在向量空间的夹角余弦值。
通常来说，余弦相似度的值在-1到1之间。
当两个物品的相似度为1时，表示两个物品完全相同，当相似度为-1时，表示两个物品完全相反。
因此，余弦相似度在智能推荐系统中应用广泛。
聚类分析在行业趋势预测中的应用研究
聚类分析在行业趋势预测中的应用研究随着社会经济的快速发展，越来越多的企业开始注重行业趋势预测，以便更好地制定经营策略。
聚类分析是一种有效的数据挖掘方法，被广泛应用于行业趋势预测中。
本文将重点探讨聚类分析在行业趋势预测中的应用研究。
一、聚类分析的基本原理聚类分析是将数据样本根据一定的统计方法进行分类和分组的过程。
其基本目的是通过对相似性和相异性的度量，将不同的样本划分成若干个簇。
在聚类分析中，主要采用欧氏距离、曼哈顿距离、余弦相似度等方法进行相似性度量。
聚类分析的主要应用领域包括企业管理、市场分析、生物学、心理学等，其中在行业趋势预测中应用最为广泛。
二、聚类分析在行业趋势预测中的优势1. 提高准确度聚类分析的目的是将相似的样本划分到同一类中，并将不同的样本归入不同的簇。
这样一来，在行业趋势预测中，企业可以将同类别的数据信息进行汇总总结，提高预测结果的准确性。
2. 挖掘潜在规律聚类分析可以帮助企业发现数据中存在的某种规律或潜在因素，从而进一步做出适当的调整。
通过分析数据之间的相似性和差异性，企业可以更好地进行行业研究和分析，提升对市场规律的透彻认识。
3. 降低风险聚类分析可以预测市场趋势和潜在风险，从而为企业决策提供有力支持。
企业可以通过对数据进行聚类，分析市场行情和竞争态势，提高规避风险的能力，增强企业的竞争力。
三、聚类分析在行业趋势预测中的应用实践聚类分析在行业趋势预测中有着广泛的应用，下面将以网络游戏行业为例，阐述聚类分析的应用实践。
首先，通过数据采集和整理，获取网络游戏市场的相关信息，包括用户画像、营销数据、竞品分析等。
其次，通过聚类分析方法，对数据进行分析和分类，得到不同类别的数据信息。
最后，将聚类结果反馈给企业决策层和研发人员，以便更好地制定和调整实施策略，以适应市场趋势和用户需求。
四、聚类分析的局限性和不足聚类分析虽然在行业趋势预测中应用广泛且有效，但其局限性和不足也是不可忽视的。
1. 聚类结果具有一定的主观性聚类分析的结果通常需要进行人工评估和修正，因为聚类算法本身存在一定的主观性和随机性，易受到数据质量和特征选择的影响。
数据挖掘知识点归纳
知识点一数据仓库1.数据仓库是一个从多个数据源收集的信息存储库，存放在一致的模式下，并且通常驻留在单个站点上。
2.数据仓库通过数据清理、数据变换、数据集成、数据装入和定期数据刷新来构造。
3.数据仓库围绕主题组织4.数据仓库基于历史数据提供消息，是汇总的。
5.数据仓库用称作数据立方体的多维数据结构建模，每一个维对应于模式中的一个或者一组属性，每一个单元存放某种聚集的度量值6.数据立方体提供数据的多维视图，并允许预计算和快速访问汇总数据7.提供提供多维数据视图和汇总数据的预计算，数据仓库非常适合联机分析处理，允许在不同的抽象层提供数据，这种操作适合不同的用户角度8.OLAP例子包括下钻和上卷，允许用户在不同的汇总级别上观察数据9.多维数据挖掘又叫做探索式多维数据挖掘OLAP 风格在多维空间进行数据挖掘，允许在各种粒度进行多维组合探查，因此更有可能代表知识的有趣模式。
知识点二可以挖掘什么数据1.大量的数据挖掘功能，包括特征化和区分、频繁模式、关联和相关性分析挖掘、分类和回归、聚类分析、离群点分析2.数据挖掘功能用于指定数据挖掘任务发现的模式，分为描述性和预测性3.描述性挖掘任务刻画目标数据中数据的一般性质4.预测性挖掘任务在当前数据上进行归纳，以便做出预测5.数据可以与类或概念相关联6.用汇总、简洁、精确的表达描述类和概念，称为类/ 概念描述7.描述的方法有数据特征化（针对目标类）、数据区分（针对对比类）、数据特征化和区分8.数据特征化用来查询用户指定的数据，上卷操作用来执行用户控制的、沿着指定维的数据汇总。
面向属性的归纳技术可以用来进行数据的泛化和特征化，而不必与用户交互。
形式有饼图、条图、曲线、多维数据立方体和包括交叉表在内的多维表。
结果描述可以用广义关系或者规则（也叫特征规则）提供。
9.用规则表示的区分描述叫做区分规则。
10.数据频繁出现的模式叫做频繁模式，类型包括频繁项集、频繁子项集（又叫频繁序列）、频繁子结构。
R语言第三章 相关性与相似性度量
第三章 相关性与相似性度量本章介绍数据属性的相关性、数据对象的相似性度量方法。
本章的主要内容是：数据对象相似性和数据属性相关性的概念；数据属性相关性的度量方法；数据对象相似性度量的方法；相关性和相似性的R 软件操作。
第一节 数据属性相关性度量一、 相关性与相似性数据对象通常由多个数据属性描述，一个数据集中的所有数据对象通常都具有相同的属性集；因此，每个数据对象可以看作多维空间中的点（向量），其中每个维代表对象的一个不同属性。
这样的数据集可以用一个n ×p 的数据矩阵表示，其中n 行表示n 个对象，p 列表示p 个属性，如图3-1所示。
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X 212222111211 图3-1 数据矩阵数据矩阵表示的数据集中，X ij 表示第i 个对象的第j 个属性值；向量X i =（X i1，X i2，…，X ip ）表示对象X i （称为对象i ）,每一个分量表示对象i 的不同属性取值；向量Y j =（Y 1j ，Y 2j ，…，Y nj ）表示属性Y j （称为属性j ）,每一个分量表示属性j 的不同对象取值。
在第二章，考察了数据的中心趋势、离散程度以及偏度和峰度等一维属性特征。
然而，在许多数据分析会涉及到数据对象的相似性和数据属性的相关性，如聚类分析、异常点检测、最邻近分类等。
数据属性的相关性和数据对象的相似性可以统一称为邻近性。
邻近性的度量常常包含许多主观上的考虑，如属性的性质（离散、连续以及二元性、稀疏性）、测量的尺度（定名的、定序的、定距的、定比的）和属性的重要性程度等。
数据属性的邻近性称为相关性，数据对象的邻近性称为相似性。
数据属性的相关性用相关系数来描述，数据对象的相似性通常由某种距离度量。
由于数据属性的类型不同，数据属性相关性度量的指标可以分为相合系数、等级相关系数、简单相关系数、夹角余弦和相关指数。
常用的相似性和相异性的度量方法
常⽤的相似性和相异性的度量⽅法相似性和相异性被许多数据挖掘技术所使⽤，如聚类、最近邻分类、异常检测等。
两个对象之间的相似度是这两个对象相似程度的数值度量，通常相似度是⾮负值，并常常在0（不相似）和1（完全相似）之间取值。
两个对象之间的相异度是这两个对象差异程度的数值度量，两个对象越相似，它们的相异度就越低，通常⽤“距离”作为相异度的同义词。
数据对象之间相似性和相异性的度量有很多，如何选择度量⽅法依赖于对象的数据类型，数据的量值是否重要，数据的稀疏性等。
1. 欧⽒距离(Euclidean Distance)欧式距离是⾼维空间中两点之间的距离，它计算简单、应⽤⼴泛，但是没有考虑变量之间的相关性，当体现单⼀特征的多个变量参与计算时会影响结果的准确性，同时它对向量中得每个分量的误差都同等对待，⼀定程度上放⼤了较⼤变量误差在距离测度中的作⽤。
两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的欧⽒距离定义为：D(A,B)=[(x11-x21)^2+(x12-x22)^2+…+(x1n-x2n)^2]^0.52. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)，想象在曼哈顿要从⼀个⼗字路⼝开车到另外⼀个⼗字路⼝，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除⾮你能穿越⼤楼。
实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。
两个n维向量A(x11,x12,…,x1n)与B(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离定义为：D(A,B)=|x11-x21|+|x12-x22|+…+|x1n-x2n|3. 切⽐雪夫距离 (Chebyshev Distance )切⽐雪夫距离也称为棋盘距离，国际象棋中，国王⾛⼀步能够移动到相邻的8个⽅格中的任意⼀个，那么国王从格⼦A(x1,y1)⾛到格⼦B(x2,y2)最少需要多少步？你会发现最少步数总是max{|x2-x1|,|y2-y1|}步。
相似度的计算方式
相似度的计算方式相似度是指两个事物之间的相似程度或相似程度的度量。
在计算相似度时，可以使用不同的方法和算法来衡量两个事物之间的相似性。
以下将介绍几种常用的相似度计算方式。
一、余弦相似度余弦相似度是一种常用的相似度计算方法，特别适用于文本数据的相似度计算。
它通过计算两个向量的夹角余弦值来衡量它们之间的相似程度。
夹角余弦值越接近1，表示两个向量越相似；夹角余弦值越接近0，表示两个向量越不相似。
二、欧氏距离欧氏距离是一种用来衡量两个向量之间的距离的方法。
它计算的是两个向量之间的直线距离，即两个向量之间的欧氏距离越小，表示它们之间的相似程度越高。
三、汉明距离汉明距离是一种用来衡量两个等长字符串之间的差异的方法。
它计算的是两个字符串之间对应位置不同的字符个数，即汉明距离越小，表示两个字符串越相似。
四、编辑距离编辑距离是一种用来衡量两个字符串之间的差异的方法。
它计算的是通过插入、删除和替换操作将一个字符串转换为另一个字符串所需要的最小操作次数，即编辑距离越小，表示两个字符串越相似。
五、Jaccard相似系数Jaccard相似系数是一种用来衡量两个集合之间的相似性的方法。
它计算的是两个集合交集的大小与并集的大小之间的比值，即Jaccard相似系数越大，表示两个集合越相似。
六、皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种用来衡量两个变量之间相关程度的方法。
它计算的是两个变量之间的协方差与它们各自标准差的乘积之间的比值，即皮尔逊相关系数越接近1或-1，表示两个变量之间越相关。
以上是几种常用的相似度计算方式，不同的相似度计算方法适用于不同的数据类型和应用场景。
在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的相似度计算方法来衡量两个事物之间的相似程度。
同时，也可以根据具体情况对相似度计算方法进行改进和优化，以提高相似度计算的准确性和效率。
相似性度量方法介绍
其值越接近于1说明这两种正相关性越好。
在本程序中，分别计算各个非标准列数据与标准列数据的相关系数，根据求得的相关系数与1的接近程度进行评判。
然，遗憾的是，实验表明，这种方法的评判效果也不尽如人意。
7．其他相似度度量方法
拟合优度R2的计算公式为：
其中，
R2越大，说明拟合效果越好。
在本程序中，将问题看成用不同的拟合方式（各个非标准数据为不同拟合方式的插值y(xi)）对标准数据的拟合，根据拟合优度进行评价。
其值越小，说明该非标准数据与标准数据的差异越小。
3．归一化内积
归一化内积定义：
这里已经对数据进行了归一化处理，因此，对于非标准数据的个数对评价结果没有影响。
这里度量实质是向量（非标准数据）Xk与（标准数据）X0之间的夹角的余弦，因此具有旋转、放大、缩小的不变性。其值越大，说明两者越接近。
2：粗大误差剔除处理都是针对某一非标准数据列自身的，而这里的相似程度度量处理是针对的是非标准数据与标准数据之间相互的关系的处理。在此处的处理过程中，通常是求取各个非标准列与标准列之间的某种度量标准，而后比较各个非标准列之间哪一列更接近于标准列。
1．均方误差评价
处理过程：
求出各个比较列（非标准列）与标准列的各次测量值之差值，再求各次差值的平方和，再求平均。
即：
。
其结果越小说明该非标准数据与标准数据的的差异越小。
2．Camberra距离度量
Camberra距离定义：
因为考虑到各个非标准列（经过剔除粗大误差后）的数据个数不一致，因此，对Camberra距离进行一个平均，即程序中采用的距离为修正后的：
鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。——李苦禅
DM实验报告
实验报告
课程数据挖掘与知识发现学院计算机学院
专业
班级
姓名
指导教师宋华珠
2013 年06 月17 日
实验1有关数据的实验
(2013/6/19,2-6pm, 10楼研究生实验室) 一、实验目的
//自己填写
二、实验内容
包括数据预处理、相似性和相异性的度量。
三、实验环境
需要一台计算机，其中安装有Matlab软件。
四、算法思路
五、实验设计
六、调试过程及实验结果
七、总结
附录（源程序清单）
实验2aprior算法的实现与改进(2013/6/21,2-6pm, 10楼研究生实验室) 一、实验目的
//自己填写
二、实验内容
编程实现原始的aprior算法；然后对其进行分析与改进，并对改进算法进行研究与实现。
三、实验环境
需要一台计算机，其中安装有Matlab软件。
四、算法思路
五、实验设计
六、调试过程及实验结果：
七、总结
附录（源程序清单）：
实验3聚类算法
(2013/6/25,2-6pm, 10楼研究生实验室) 一、实验目的
//自己填写
二、实验内容
研究、学习，并编程实现2种聚类算法，然后对其进行比较。
三、实验环境
需要一台计算机，其中安装有Matlab软件。
四、算法思路
五、实验设计
六、调试过程及实验结果：
七、总结
附录（源程序清单）：。
8种相似度度量方式的原理及实现
8种相似度度量方式的原理及实现相似度度量是比较两个对象之间相似程度的一种方法。
在机器学习、数据挖掘和自然语言处理中，相似度度量广泛应用于聚类、分类、检索等任务。
本文将介绍8种常用的相似度度量方式的原理及实现。
1. 欧氏距离(Euclidean Distance):原理：欧氏距离是最常见的相似度度量方式之一，它衡量两个向量之间的直线距离。
对于给定的向量a和b，欧氏距离的计算公式为：sqrt(sum((a[i]-b[i])**2))，其中i为维度的索引。
实现：可以使用numpy库中的`numpy.linalg.norm`函数来计算欧氏距离。
2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance):原理：曼哈顿距离是另一种常见的相似度度量方式，它衡量两个向量之间的曼哈顿距离或城市街区距离，即两点之间沿坐标轴的绝对距离之和。
对于给定的向量a和b，曼哈顿距离的计算公式为：sum(abs(a[i]-b[i]))，其中i为维度的索引。
实现：可以使用numpy库中的`numpy.linalg.norm`函数，将参数`ord`设置为1来计算曼哈顿距离。
3. 余弦相似度(Cosine Similarity):原理：余弦相似度度量两个向量的夹角余弦值，而不是像欧氏距离一样衡量向量的绝对距离。
余弦相似度的计算公式为：dot(a, b) /(norm(a) * norm(b))，其中dot为向量的点积，norm为向量的范数或长度。
实现：可以使用numpy库中的`numpy.dot`函数和`numpy.linalg.norm`函数来计算余弦相似度。
4. 皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient):原理：皮尔逊相关系数度量两个变量之间的线性关系强度和方向，其取值范围为[-1, 1]。
与余弦相似度不同，皮尔逊相关系数考虑了向量的线性相关性。
皮尔逊相关系数的计算公式为：cov(a, b) / (std(a) * std(b))，其中cov为协方差，std为标准差。
nmds原理
nmds原理非度量多维尺度法（NMDS）是一种数据分析方法，它可以将多维空间的研究对象（如样本或变量）简化到低维空间进行定位、分析和可视化解释，同时又保留对象间原始关系。
这种方法在无法获得研究对象间精确的相似性或相异性数据，仅能得到他们之间等级关系数据时，具有很好的应用效果。
NMDS的原理基于以下步骤：1.数据预处理：首先，NMDS对原始数据进行预处理，包括数据清洗、标准化等操作。
数据清洗的目的是去除异常值、缺失值和重复值，保证数据的质量和可靠性。
标准化则是将不同变量的尺度进行调整，使其在同一尺度上，以便进行比较和分析。
2.构建距离矩阵：NMDS根据预处理后的数据，计算样本间的距离，并构建一个距离矩阵。
这个距离矩阵反映了样本间的相似性或相异性，数值越小表示两个样本越相似。
3.非度量降维：NMDS通过非度量降维的方法，将高维空间中的样本映射到低维空间中。
在这个过程中，NMDS保留了样本间的原始距离关系，尽可能地保留了原始数据的结构和信息。
4.优化低维空间布局：在降维后的低维空间中，NMDS会进一步优化样本的位置和布局，使得样本间的距离关系更加直观和易于理解。
这个优化过程可以采用多种方法，如迭代算法、模拟退火等。
5.可视化解释：最后，NMDS将优化后的低维空间中的样本进行可视化解释，以图像或图表的形式呈现结果，方便用户进行直观的理解和分析。
NMDS的优势在于它能够保留原始数据的结构和信息，同时将高维空间中的样本映射到低维空间中进行可视化解释。
这种方法适用于无法获得精确相似性或相异性数据的情况，仅能得到等级关系数据时，具有很好的应用效果。
此外，NMDS还可以用于研究不同样本间的差异程度和分类关系，为数据分析提供了一种有效的工具。
需要注意的是，NMDS也存在一些局限性。
例如，它对初始样本间的距离矩阵较为敏感，不同的初始矩阵可能会导致不同的结果。
此外，NMDS在处理大规模数据集时可能会遇到计算效率和内存消耗的问题。
相似度和相异度度量的评价方法
相似度和相异度度量的评价方法一、相似度和相异度的概念相似度和相异度是用于度量两个对象之间相似程度和差异程度的指标。
相似度指的是两个对象在某个特定方面的相似程度，值越大表示两个对象越相似；相异度指的是两个对象在某个特定方面的差异程度，值越大表示两个对象越不相似。
相似度和相异度是一对相互补充的指标，可以综合评价两个对象之间的关系。
二、相似度和相异度的度量方法1. 欧氏距离：欧氏距离是计算两个对象间的相异度的常用方法，它通过计算两个对象在每个维度上的差异程度，并求其平方和再开根号得到。
欧氏距离越小表示两个对象越相似。
2. 余弦相似度：余弦相似度是计算两个对象间的相似度的常用方法，它通过计算两个对象的向量间的夹角来衡量相似程度。
余弦相似度的取值范围为[-1, 1]，值越接近1表示两个对象越相似。
3. Jaccard相似系数：Jaccard相似系数是用于计算两个集合之间的相似度的方法，它通过计算两个集合的交集与并集之间的比例来衡量相似程度。
Jaccard相似系数的取值范围为[0, 1]，值越接近1表示两个集合越相似。
4. 编辑距离：编辑距离是用于计算两个字符串之间的相似度的方法，它通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小编辑操作次数来衡量相似程度。
编辑距离越小表示两个字符串越相似。
三、相似度和相异度的应用1. 信息检索：在信息检索中，相似度用于计算查询词与文档之间的相关性，从而确定文档的排名顺序。
常用的相似度度量方法包括余弦相似度和BM25算法。
2. 数据挖掘：在数据挖掘中，相似度用于寻找数据集中的相似样本或发现数据集中的异常样本。
常用的相似度度量方法包括欧氏距离、余弦相似度和Jaccard相似系数。
3. 图像处理：在图像处理中，相似度用于图像的匹配和检索。
常用的相似度度量方法包括结构相似性(SSIM)指数、峰值信噪比(PSNR)和归一化互相关(NCC)。
4. 自然语言处理：在自然语言处理中，相似度用于计算两个文本之间的语义相似度或句子相似度。
相似性和相异性的度量
相似性和相异性的度量相似性和相异性是重要的概念，因为它们被许多数据挖掘技术所使用，如聚类、最近邻分类和异常检测等。
在许多情况下，一旦计算出相似性或相异性，就不再需要原始数据了。
这种方法可以看作将数据变换到相似性（相异性）空间，然后进行分析。
首先，我们讨论基本要素--相似性和相异性的高层定义，并讨论它们之间的联系。
为方便起见，我们使用术语邻近度（proximity）表示相似性或相异性。
由于两个对象之间的邻近度是两个对象对应属性之间的邻近度的函数，因此我们首先介绍如何度量仅包含一个简单属性的对象之间的邻近度，然后考虑具有多个属性的对象的邻近度度量。
这包括相关和欧几里得距离度量，以及Jaccard和余弦相似性度量。
前二者适用于时间序列这样的稠密数据或二维点，后二者适用于像文档这样的稀疏数据。
接下来，我们考虑与邻近度度量相关的若干重要问题。
本节最后简略讨论如何选择正确的邻近度度量。
1)基础1. 定义两个对象之间的相似度（similarity）的非正式定义是这两个对象相似程度的数值度量。
因而，两个对象越相似，它们的相似度就越高。
通常，相似度是非负的，并常常在0（不相似）和1（完全相似）之间取值。
两个对象之间的相异度（dissimilarity）是这两个对象差异程度的数值度量。
对象越类似，它们的相异度就越低。
通常，术语距离（distance）用作相异度的同义词，正如我们将介绍的，距离常常用来表示特定类型的相异度。
有时，相异度在区间[0, 1]中取值，但是相异度在0和之间取值也很常见。
2. 变换通常使用变换把相似度转换成相异度或相反，或者把邻近度变换到一个特定区间，如[0, 1]。
例如，我们可能有相似度，其值域从1到10，但是我们打算使用的特定算法或软件包只能处理相异度，或只能处理[0, 1]区间的相似度。
之所以在这里讨论这些问题，是因为在稍后讨论邻近度时，我们将使用这种变换。
此外，这些问题相对独立于特定的邻近度度量。
传统相似度量方法
传统相似度量方法嘿，咱今儿来聊聊传统相似度量方法。
你说这东西就像一把神奇的尺子，能衡量各种事物之间的相似程度呢！想象一下，世界上那么多千奇百怪的东西，要怎么知道它们是不是相似呀？这时候传统相似度量方法就派上用场啦！就好比你要找一个和你兴趣相投的朋友，你得从各种方面去比较，看看是不是有共同话题、爱好啥的，这其实就是一种相似度量呀。
比如说，在数学里，我们常用的距离度量就是一种传统相似度量方法。
就像两点之间的距离，简单直观吧！通过计算这个距离，我们就能判断这两个点是不是离得近，是不是有点相似呢。
这就好像在茫茫人海中，通过一些特征去找到和自己比较近的人一样。
还有啊，在图像处理中，也经常用到相似度量方法呢。
比如两张图片，我们怎么判断它们像不像呢？可以从颜色、形状、纹理这些方面去考量呀。
这就像是分辨两个苹果是不是长得差不多，颜色是不是一样红，形状是不是一样圆。
再说说文本处理。
两篇文章，怎么知道它们主题是不是相似呢？那就要看里面的关键词、语句结构啥的啦。
这和我们判断两个人说话风格像不像有点类似呢。
传统相似度量方法可不只是在这些领域有用哦，在很多其他地方都能看到它的身影呢。
它就像一个默默无闻的小助手，在背后悄悄地帮忙。
你想想看，要是没有这些方法，我们怎么能快速准确地找到相似的东西呢？那岂不是像无头苍蝇一样乱撞啦！而且哦，这些方法还在不断发展和完善呢。
就像我们人一样，会不断学习进步，变得越来越好。
它们也在随着科技的发展，变得越来越厉害，能解决更多更复杂的问题。
总之呢，传统相似度量方法可真是个了不起的东西呀！它让我们的世界变得更加有序，让我们能更好地理解和处理各种事物之间的关系。
你说它是不是很神奇呀？咱可得好好感谢那些发明和研究这些方法的人呢，是他们让我们的生活变得更加方便和有趣啦！。
09 相异性度量 (1)
因此： d(A,C)<=d(A,B)+d(B,C)
11
第九讲 结束
数据挖掘
12
其中：A和B是集合，A-B是集合差 证明: (1) d(x,y)>=0
if A=B, then A-B=B-A=空集，因此 d(x,y)=0 (2) d(A,B)=size(A-B)+size(B-A)=size(B-A)+size(A-B)=d(B,A) (3) size(A∩B)<=size(B) 并且 size(B∩C)<=size(B)
x
y
p1
0
2
p2
2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp3
3
1
p4
5
1
p1
p2
p3
p4
p1
0 2.828 3.162 5.099
p2
2.828
0 1.414 3.162
p3
3.162 1.414
0
2
p4
5.099 3.162
2
0
5
数据对象的相异度:闵可夫斯基距离
• 欧式距离可用闵可夫斯基距离推广
d (x, y) n | xk yk |r 1/r
• 邻近度 ：相似度和相异度的统称，是两个对象对应属性简单邻近度 的函数
数据挖掘
2
相似性和相异性 --变换
• 相似性和相异性间的转换 • 变换的目的
标称属性的相似性度量
标称属性的相似性度量数值数据是有大小顺序的，距离公式非常适合计算不同维度的数值数据的邻近度。
但是，离散的标称属性数据间并不存在大小顺序关系，不能直接用距离来计算相似度或相异度。
标称属性取值是代表事物状态的若干值，只包含了相异性信息。
标称类型可以通过编码方案转换成二元数据类型，然后使用数值计算方法来计算邻近度。
如果一个标称类型数据有M个不同的状态值，那么将该标称数据转换成M个二元属性值，每个标称状态值对应一个二元属性，这些二元属性中有一个值为1，剩余的值全为0。
这样标称属性相似度计算就可以通过编码方式转化为多个二元属性的相似度计算。
简单二元属性的状态值为布尔值，可以用数字0和1分别来表示。
例如，在某图书管理系统中描述图书对象的借出情况，可以用0表示在馆，用1表示借出。
考虑数据对象只有一个属性情况下：如果两个标称属性值匹配，则相似度为1，否则为0；相异度的值刚好相反，如果两个标称属性匹配，则相异度为0，否则为1。
一般地，二元属性相似度可以通过对属性匹配值求和来计算，即首先分别求解对应单个属性间的相似度，然后对所有相似度数值进行直接累加：式中，d代表对象的属性总数。
更为直接地理解，相似度可用“取值相同的同位属性数/属性总位数”标识对于包含多个二元属性的数据对象相似度计算。
设有X={1,0,0,1,0,0,1,0,1,1},Y={0,0,0,1,0,1,1,1,1,1}，两个对象共有7个属性取值相同，3个取值不同，那么相似度可以标识为3/10=0.3。
这种方法非常简单，缺点是没有考虑不同属性的概率差异。
上面所说的二元属性的两个状态具有同等价值和相同的权重，称为对称二元属性。
对于非对称二元属性，我们只关心两者都取1的情况，而认为两者都取0的属性并不意味着两者更相似。
例如，在根据病情对患者聚类时，如果两个人都患有肺癌，我们认为这两个人增强了相似度，但如果两个人都没患肺癌，并不觉得这两个人增强了相似度，即同为0值的负匹配对相似度计算不起作用，而同为患肺癌结果包含了明显的统计信息。
数据属性与其邻近性度量
数据属性与其邻近性度量⼀、数据的矩阵表⽰
n个对象，每个对象含p个属性，则数据矩阵表⽰如下：
⼆、数据属性
三、数据统计描述
四、数据邻近性度量
相似性与相异性称为邻近性，表⽰如下：
对象i与对象j的相异性，写作d(i,j)
对象i与对象j的相异性，写作sim(i,j)
相似性与相似性：
sim(i, j) = 1 - d(i, j)
1.数据相异性度量⽅法
标称属性采⽤列联表（类似混淆矩阵）计算度量
q，t 描述了对象i与对象j的相同点；r，s 描述了对象i与对象j的不同点，则相异性计算，
d(i, j) = ( r + s ) / ( q + r + s + t ) ，对于⾮对称的⼆元属性的计算需要去除 t 值。
数值属性根据距离度量两者间的相似性，⽐如采⽤欧⽒距离、曼哈顿距离
序数属性需要⽤排位数代替，标准化处理后采⽤距离度量的⽅法
混合属性则需要获得单个属性的相异性矩阵后指定⼀个权值，乘以各属性的相异性值，然后取计算的平均值作为整体相异性值。
2. 余弦相似性
计算公式：
特性：
余弦相似性，关注两个⽂档共有的属性出现的频率，忽略与0匹配的度量。
sim(x, y)越接近1，则两者间越相似
适⽤情形：
适⽤于稀疏结构（矩阵中有太多0值），⽐如词频统计、⽂本⽂档聚类、信息检索、⽣物学分类等。
分类的原理及应用
分类的原理及应用一、分类的原理分类是一种常见的知识组织和信息检索方式，其原理基于对事物属性的相似性或相异性进行判断和归类。
主要的分类原理包括：1.相似性原理：根据事物的相似属性来进行类别划分。
这种原理认为，具有相似属性的事物往往具有相似的特征和行为。
在进行分类时，通过比较事物的属性值，并建立相应的相似度指标来度量事物之间的相似性，从而进行分类。
例如，在图像识别领域，采用相似性原理可以对图像进行分类。
通过比较图像的特征向量，计算图像之间的相似度，然后根据相似度大小将图像归类到相应的类别。
2.差异性原理：根据事物的差异属性来进行类别划分。
这种原理认为，具有差异属性的事物往往具有相异的特征和行为。
在进行分类时，通过比较事物的属性值，并建立相应的差异度指标来度量事物之间的差异性，从而进行分类。
例如，在航空领域，可以根据飞机的差异属性（如航程、载客量、飞行速度等）将其分类为不同型号和种类的飞机。
二、分类的应用分类在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.文本分类：通过对文本内容进行分类，可以实现文本自动整理和信息检索。
例如，在新闻分类中，可以将新闻按照不同的主题进行分类，以方便用户浏览和检索。
2.商品分类：通过对商品的属性和特征进行分类，可以实现商品的归类和推荐。
例如，电商平台可以根据商品的性质、用途、材质等属性对商品进行分类，从而提供更精准的商品推荐和搜索功能。
3.图像分类：通过对图像进行分类，可以实现图像识别和图像搜索。
例如，在智能驾驶系统中，可以对道路、交通信号灯等不同的图像进行分类，以实现智能辅助驾驶和交通规划。
4.音频分类：通过对音频进行分类，可以实现音乐分类和音频检索。
例如，音乐流媒体平台可以对音频进行分类，以提供用户个性化的音乐推荐和播放列表。
5.数据挖掘：分类是数据挖掘中常用的任务之一，可以用于发现数据中的模式和规律。
例如，在客户关系管理中，可以将客户按照不同属性进行分类，以实现客户分类和营销策略的制定。
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相似性和相异性的度量相似性和相异性是重要的概念，因为它们被许多数据挖掘技术所使用，如聚类、最近邻分类和异常检测等。
在许多情况下，一旦计算出相似性或相异性，就不再需要原始数据了。
这种方法可以看作将数据变换到相似性（相异性）空间，然后进行分析。
首先，我们讨论基本要素--相似性和相异性的高层定义，并讨论它们之间的联系。
为方便起见，我们使用术语邻近度（proximity）表示相似性或相异性。
由于两个对象之间的邻近度是两个对象对应属性之间的邻近度的函数，因此我们首先介绍如何度量仅包含一个简单属性的对象之间的邻近度，然后考虑具有多个属性的对象的邻近度度量。
这包括相关和欧几里得距离度量，以及Jaccard和余弦相似性度量。
前二者适用于时间序列这样的稠密数据或二维点，后二者适用于像文档这样的稀疏数据。
接下来，我们考虑与邻近度度量相关的若干重要问题。
本节最后简略讨论如何选择正确的邻近度度量。
1)基础1. 定义两个对象之间的相似度（similarity）的非正式定义是这两个对象相似程度的数值度量。
因而，两个对象越相似，它们的相似度就越高。
通常，相似度是非负的，并常常在0（不相似）和1（完全相似）之间取值。
两个对象之间的相异度（dissimilarity）是这两个对象差异程度的数值度量。
对象越类似，它们的相异度就越低。
通常，术语距离（distance）用作相异度的同义词，正如我们将介绍的，距离常常用来表示特定类型的相异度。
有时，相异度在区间[0, 1]中取值，但是相异度在0和之间取值也很常见。
2. 变换通常使用变换把相似度转换成相异度或相反，或者把邻近度变换到一个特定区间，如[0, 1]。
例如，我们可能有相似度，其值域从1到10，但是我们打算使用的特定算法或软件包只能处理相异度，或只能处理[0, 1]区间的相似度。
之所以在这里讨论这些问题，是因为在稍后讨论邻近度时，我们将使用这种变换。
此外，这些问题相对独立于特定的邻近度度量。
通常，邻近度度量（特别是相似度）被定义为或变换到区间[0, 1]中的值。
这样做的动机是使用一种适当的尺度，由邻近度的值表明两个对象之间的相似（或相异）程度。
这种变换通常是比较直截了当的。
例如，如果对象之间的相似度在1（一点也不相似）和10（完全相似）之间变化，则我们可以使用如下变换将它变换到[0, 1]区间：s' = (s-1)/9，其中s和s'分别是相似度的原值和新值。
一般来说，相似度到[0, 1]区间的变换由如下表达式给出：s'=(s-min_s) / (max_s - min_s)，其中max_s和min_s分别是相似度的最大值和最小值。
类似地，具有有限值域的相异度也能用d' = (d - min_d) / (max_d - min_d) 映射到[0, 1]区间。
然而，将邻近度映射到[0, 1]区间可能非常复杂。
例如，如果邻近度度量原来在区间[0 1000]上取值，则需要使用非线性变换，并且在新的尺度上，值之间不再具有相同的联系。
对于从0变化到1000的相异度度量，考虑变换d' = d / (1 + d)，相异度0、0.5、2、10、100和1000分别被变换到0、0.33、0.67、0.90、0.99和0.999。
在原来相异性尺度上较大的值被压缩到1附近，但是否希望如此则取决于应用。
另一个问题是邻近度度量的含义可能会被改变。
例如，相关性（稍后讨论）是一种相似性度量，在区间[ -1, 1]上取值，通过取绝对值将这些值映射到[0, 1]区间丢失了符号信息，而对于某些应用，符号信息可能是重要的。
将相似度变换成相异度或相反也是比较直截了当的，尽管我们可能再次面临保持度量的含义问题和将线性尺度改变成非线性尺度的问题。
如果相似度（相异度）落在[0, 1]区间，则相异度（相似度）可以定义为d = 1 - s（或s = 1 - d）。
另一种简单的方法是定义相似度为负的相异度（或相反）。
例如，相异度0，1，10和100可以分别变换成相似度0,- 1,- 10和- 100。
负变换产生的相似度结果不必局限于[0, 1]区间，但是，如果希望的话，则可以使用变换s = 1/(d + 1)，。
对于变换s = 1/(d + 1)，相异度0, 1, 10, 100分别被变换到1, 0.5, 0.09, 0.01；对于，它们分别被变换到1.00, 0.37, 0.00, 0.00；对于s=，它们分别被变换到1.00, 0.99, 0.00, 0.00。
在这里的讨论中，我们关注将相异度变换到相似度。
一般来说，任何单调减函数都可以用来将相异度转换到相似度（或相反）。
当然，在将相似度变换到相异度（或相反），或者在将邻近度的值变换到新的尺度时，也必须考虑一些其他因素。
我们提到过一些问题，涉及保持意义、扰乱标度和数据分析工具的需要，但是肯定还有其他问题。
2) 简单属性之间的相似度和相异度通常，具有若干属性的对象之间的邻近度用单个属性的邻近度的组合来定义，因此我们首先讨论具有单个属性的对象之间的邻近度。
考虑由一个标称属性描述的对象，对于两个这样的对象，相似意味什么呢？由于标称属性只携带了对象的相异性信息，因此我们只能说两个对象有相同的值，或者没有。
因而在这种情况下，如果属性值匹配，则相似度定义为1，否则为0；相异度用相反的方法定义：如果属性值匹配，相异度为0，否则为1。
对于具有单个序数属性的对象，情况更为复杂，因为必须考虑序信息。
考虑一个在标度{poor, fair, OK, good, wonderful}上测量产品（例如，糖块）质量的属性。
一个评定为wonderful的产品P1与一个评定为good的产品P2应当比它与一个评定为OK的产品P3更接近。
为了量化这种观察，序数属性的值常常映射到从0或1开始的相继整数，例如，{poor = 0, fair =1, OK = 2, good = 3, wonderful = 4}。
于是，P1与P2之间的相异度d(P1, P2) = 3-2 = 1，或者，如果我们希望相异度在0和1之间取值，d(P1, P2) = (3-2)/4 = 0.25；序数属性的相似度可以定义为s = 1-d。
序数属性相似度（相异度）的这种定义可能使读者感到有点担心，因为这里我们定义了相等的区间，而事实并非如此。
如果根据实际情况，我们应该计算出区间或比率属性。
值fair与good的差真和OK与wonderful的差相同吗？可能不相同，但是在实践中，我们的选择是有限的，并且在缺乏更多信息的情况下，这是定义序数属性之间邻近度的标准方法。
对于区间或比率属性，两个对象之间的相异性的自然度量是它们的值之差的绝对值。
例如，我们可能将现在的体重与一年前的体重相比较，说"我重了10磅。
"在这类情况下，相异度通常在0和x之间，而不是在0和1之间取值。
如前所述，区间或比率属性的相似度通常转换成相异度。
表2-7总结了这些讨论。
在该表中，x和y是两个对象，它们具有一个指明类型的属性，d(x, y)和s(x, y)分别是x和y之间的相异度和相似度（分别用d和s表示）。
其他方法也是可能的，但是表中的这些是最常用的。
表2-7 简单属性的相似度和相异度下面两节介绍更复杂的涉及多个属性的对象之间的邻近性度量：(1)数据对象之间的相异度；(2)数据对象之间的相似度。
这样分节可以更自然地展示使用各种邻近度度量的基本动机。
然而，我们要强调的是使用上述技术，相似度可以变换成相异度，反之亦然。
3) 数据对象之间的相异度本节，我们讨论各种不同类型的相异度。
我们从讨论距离（距离是具有特定性质的相异度）开始，然后给出一些更一般的相异度类型的例子。
距离我们首先给出一些例子，然后使用距离的常见性质更正式地介绍距离。
一维、二维、三维或高维空间中两个点x和y之间的欧几里得距离（Euclidean distance）d由如下熟悉的公式定义：其中，n是维数，而xk和yk分别是x和y的第k个属性值（分量）。
我们用图2-15、表2-8和表2-9解释该公式，它们展示了这个点集、这些点的x和y 坐标以及包含这些点之间距离的距离矩阵（distance matrix）。
公式（2-1）给出的欧几里得距离可以用公式（2-2）的闵可夫斯基距离（Minkowski distance）来推广：其中r是参数。
下面是闵可夫斯基距离的三个最常见的例子。
r = 1，城市街区（也称曼哈顿、出租车、L1范数）距离。
一个常见的例子是汉明距离（Hamming distance），它是两个具有二元属性的对象（即两个二元向量）之间不同的二进制位个数。
r = 2，欧几里得距离（L2范数）。
r =，上确界（Lmax或L 范数）距离。
这是对象属性之间的最大距离。
更正式地，L 距离由公式（2-3）定义：注意不要将参数r与维数（属性数）n混淆。
欧几里得距离、曼哈顿距离和上确界距离是对n的所有值（1, 2, 3,...）定义的，并且指定了将每个维（属性）上的差的组合成总距离的不同方法。
表2-10和表2-11分别给出表2-8数据的L1距离和L 距离的邻近度矩阵。
注意，所有的距离矩阵都是对称的，即第ij个表目与第ji个表目相同，例如，在表2-9中，第4行第1列和第1行第4列都包含值5.1。
距离（如欧几里得距离）具有一些众所周知的性质。
如果d(x, y)是两个点x和y之间的距离，则如下性质成立。
(1) 非负性。
(a) 对于所有x和y，d(x, y)≥0，(b) 仅当x = y时d(x, y) =0。
(2) 对称性。
对于所有x和y，d(x, y) = d(y, x)。
(3) 三角不等式。
对于所有x，y和z，d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
满足以上三个性质的测度称为度量（metric）。
有些人只对满足这三个性质的相异性度量使用术语距离，但在实践中常常违反这一约定。
这里介绍的三个性质是有用的，数学上也是令人满意的。
此外，如果三角不等式成立，则该性质可以用来提高依赖于距离的技术（包括聚类）的效率。
尽管如此，许多相异度都不满足一个或多个度量性质。
下面我们给出两个这种测度的例子。
例1非度量的相异度：集合差。
基于集合论中定义的两个集合差的概念举例。
设有两个集合A和B，A-B是不在B中的A中元素的集合。
例如，如果A = {1, 2, 3, 4}，而B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}，而B-A = 空集。
我们可以将两个集合A和B之间的距离定义为d(A, B) = size(A-B)，其中size是一个函数，它返回集合元素的个数。
该距离测度是大于或等于零的整数值，但不满足非负性的第二部分，也不满足对称性，同时还不满足三角不等式。