数学模型第四版习题3-1答案

数学建模习题和答案解析课后习题

第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。

将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。

用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。

试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。

解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。

若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

数学建模题目及答案

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地，故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

数学建模第四版答案

数学建模第四版答案【篇一：数学建模课后答案】t>第二章(1)（2012年12月21日）1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑n=10的分配方案，p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）?pi?13i?1000.q1?p1n?pi?13?2.35,q2?p2ni?pi?13?3.33, q3?p3ni?pi?13?4.32i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1?2,n2?3, n3?4第10个席位：计算q值为235233324322q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.22?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5方法三（d’hondt方法）此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得?tvdt?2?k?(r?wkn)dnn2?rk?wk22n22vv第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系.解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=mlt2?3, [v]=lt?1,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲.2?3量纲矩阵为：1?2?10a=????3?1(p)(v)齐次线性方程组为：2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(???2y1?y2?2y3?3y4?0??y1?y4?0??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，0-1-3[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2量纲矩阵为?1?3?11?(l)?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组ay=0 ，即? y1-3y2-y3?y4?0??0 ?y2?y3?-y-y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理得*??v?3??1?g. ?v???g，其中?是无量纲常数. ?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，[g]=lmt0-1-3-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为?1?0a=????1(v)齐次线性方程组ay=0 即1?3?100101?(l)10??(m) ?1?2??(t)(?)(?)(?)(g)?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0?的基本解为11?y?(1,?,0,0,?)?122 ?31?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量??1?v??1/2g?1/2??3/2?1?1/2??g??2??即 v??1) g1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2? ??g(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)?0其量纲表达式为：[t]?l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt?1 )?1?l0mt?1，其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为?0?0a=???1(t)100?(l)0101??(m) 00?2?1??(t)1(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y2?y4?0??y3?y5?0 ??y?2y?y?045?1的基本解为11?y?(1,?,0,,0)?122 ?11?y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量?tl?1/2g1/2??1?1/2?1?1/2?lmgk??2∴t?kl1/2l?1, ?1??(?2), ?2?1/2gmg∴t?lkl1/2(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为lkl?1/2() t,t；l,l;m,m. 又t??1/2gm?g当无量纲量m?lt?lgl时，就有 ?. ???mltgll《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．【篇二：数学模型第四版课后习题4—1答案】题：某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。

管理运筹学(第四版)第三章习题答案

3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。

由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解

第3章中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（、）中值定理名称条件结论罗尔中值定理)(xfy=：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b内可导；（3）)()(bfaf=至少存在一点)(a,bξ∈使得)(/=ξf拉格朗日中值定理)(xfy=：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b内可导至少存在一点)b,a(∈ξ使得)(/ξfabafbf--=)()(柯西中值定理)(xf、)(xg：（1）在][a,b上连续，在)(a,b内可导；（2）在)(a,b内每点处0)(/≠xg至少存在一点)(a,bξ∈使得abafbfξgξf--=)()()()(//洛必达法则基本形式型与∞∞型未定式通分或取倒数化为基本形式1）∞-∞型：常用通分的手段化为型或∞∞型；2）∞⋅0型：常用取倒数的手段化为型或∞∞型，即：001/0⋅∞⇒⇒∞或01/0∞∞⋅∞⇒⇒∞；取对数化为基本形式1）00型：取对数得00ln00e⋅⇒，其中000ln001/0⋅⇒⋅∞⇒⇒∞或0ln001/0∞∞⋅⇒⋅∞⇒⇒∞；2）∞1型：取对数得ln11e∞∞⋅⇒，其中00ln101/0∞⋅⇒∞⋅⇒⇒∞或ln101/0∞∞∞⋅⇒∞⋅⇒⇒∞；3）0∞型：取对数得∞⋅=∞ln00e，其中000ln01/0⋅∞⇒⋅∞⇒⇒∞或0ln01/0∞∞⋅∞⇒⋅∞⇒⇒∞。

课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

(完整版)数学模型(第四版)课后详细答案

数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。

解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。

我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。

至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。

我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。

即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。

因此，有必要改进模型。

如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。

数学模型(第四版)课后详细答案

数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV 。

我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。

至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。

我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。

即：V=k 1L 3，因此，模型为：33111M V k l K L ρρ===……………………………模型一利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。

因此，有必要改进模型。

如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。

数学模型第四版课后规范标准答案姜启源版

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为
《数学模型》作业解答
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
S取最大值.
由解得
此时＝20 ＝350（元）
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
A
B
C
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得
《数学模型》作业解答
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）

数学建模课后习题答案

第一章课后习题6.利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：)()0(mg M x =由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程M x x dtdx=-=)0(,λ （1）原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。

由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程：0)0(,=-=y y x dtdyμλ （2）方程（1）可转换为：tMe t x λ-=)(带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμλλ----=将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得：t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t针对孩子求解，得：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=；致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987=课后习题7.对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。

解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μut e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---=1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dtdzt 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t用matlab 画图:图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。

管理组织运筹学(第四版)第三章知识题目解析

3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。

由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a aP B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a ()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c 所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：→j c -5 5 13 0 0B CB X b '1x2x3x4x5x5 2x 20 -1 1 3 1 0 05x10 16 0 -2 -4 1100-2-5（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。

姜启源编《数学模型》第四版第三章简单的优化模型

C C 0, 0 T Q
为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T´, Q记作Q´.
T
2c1 c2 c3 rc2 c3
Q
2c1r c3 c2 c2 c3
允许 T ' 2c1 c2 c3 rc2 c3 缺货 2c1r c3 模型
Q'
不允许缺货模型
T
要求
不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元. 每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元. 平均每天费用2550元
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
60 S (t , r ) 3 40 r 60
2
2.5
r
3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.
敏感性分析
4r 40g 2 t 估计r=2， g=0.1 rg
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 3 20g • 设r=2不变 t , 0 g 0.15 g t 对g的（相对）敏感度
r B
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）

数学建模习题及答案课后习题

数学建模习题及答案课后习题第⼀部分课后习题1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。

学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。

（2）节中的Q值⽅法。

（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种⽅法的道理吗。

如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。

将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。

（4）你能提出其他的⽅法吗。

⽤你的⽅法分配上⾯的名额。

2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。

⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的元，⼆者单位重量的价格⽐是：1。

试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。

解释实际意义是什么。

3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。

假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：⾝长（cm）重量76548211627374821389652454（g）胸围（cm）先⽤机理分析建⽴模型，再⽤数据确定参数4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应多⼤（如图）。

若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

数学建模习题及答案

可得，若d一定，w趋于0，趋于 /2；w趋于 d，趋于0。若管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为 d /w，若考虑两端影响，则应加上 dw/sin 。对于其它形状管道，只需将 d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
若 ,则 , 是平衡点; 的平衡点为 . 的平衡点为 ,其中 ,此时的差分方程变为
.
由可得平衡点 .
在平衡点处,由于 ,因此, 不稳定.
在在平衡点处,因 ,所以
(i) 当时,平衡点不稳定;
(ii) 当时,平衡点不稳定.
第
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）单位重量价格，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长的立方成正比，即，为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。

数学建模习题答案

数学建模习题答案中国地质⼤学能源学院华⽂静1.在稳定的椅⼦问题中，如设椅⼦的四脚连线呈长⽅形，结论如何？解：模型假设（1）椅⼦四条腿⼀样长，椅脚与地⾯接触处视为⼀点，四脚的连线呈长⽅形（2）地⾯⾼度是连续变化的，沿任何⽅向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学⾓度来看，地⾯是连续曲⾯。

这个假设相当于给出了椅⼦能放稳的必要条件（3）椅⼦在任何位置⾄少有三只脚同时着地。

为了保证这⼀点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度⽽⾔，地⾯是相对平坦的。

因为在地⾯上椅脚间距和椅腿长度的尺⼨⼤⼩相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是⽆法同时着地的。

模型建⽴在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅⼦四只脚同时着地表⽰出来。

⾸先，引⼊合适的变量来表⽰椅⼦位置的挪动。

⽣活经验告诉我们，要把椅⼦通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅⼦两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然⽽，平移椅⼦后问题的条件没有发⽣本质变化，所以⽤平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅⼦就地旋转，并试图在旋转过程中找到⼀种椅⼦能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长⽅形，长⽅形是中⼼对称图形，绕它的对称中⼼旋转180度后，椅⼦仍在原地。

把长⽅形绕它的对称中⼼旋转，这可以表⽰椅⼦位置的改变。

于是，旋转⾓度θ这⼀变量就表⽰了椅⼦的位置。

为此，在平⾯上建⽴直⾓坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长⽅形ABCD,以对⾓线AC 所在的直线为x 轴，对称中⼼O 为原点，建⽴平⾯直⾓坐标系。

椅⼦绕O 点沿逆时针⽅向旋转⾓度θ后，长⽅形ABCD 转⾄A1B1C1D1的位置，这样就可以⽤旋转⾓）0（πθθ≤≤表⽰出椅⼦绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地⽤数学形式表⽰出来。

当椅脚与地⾯的竖直距离为零时，椅脚就着地了，⽽当这个距离⼤于零时，椅脚不着地。

由于椅⼦在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地⾯的竖直距离也是θ的函数。

由于椅⼦有四只脚，因⽽椅脚与地⾯的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，⽽由假设（3）可知，椅⼦在任何位置⾄少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值⾄少有三个同时为0。

《数学模型》习题参考解答

《数学建模》习题解答第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r me x t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。

甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。

问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

管理运筹学(第四版)第三章习题答案

3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。

由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-021********10212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。