数学模型第四版习题3-1答案

1.在3.1节存贮模型的总费用增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订

货批量，证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。

问题分析：增加购买货物本身的费用后，仍符合增加前生产规律，所以必存在一个最佳的周期，使总费用最小。

一般的考察这样的不允许缺货的存货模型：产品需求稳定不变，生产准备费和产品储存费为常数，生产能力无限，不允许缺货，确定生产周期和产量，使总费用最小。

模型假设：为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。根据问题性质作如下假设：

1.产品每天的需求量为常数r

2.每件产品的购买费用为p.

3.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2

4.生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产

出来供给需求，即不允许缺货

模型建立：将贮存量表示为时间的函数q(t)，t=0生产Q件，贮存量q(0)=Q,q(t)以需求速率递减，直到q(t)=0,如图所示

Q=rT

一个周期内的贮存费是c2∫0T q(t)dt,其中积分恰等于图中三角形A的面积QT/2，因为一个周期的准备费为c1，所以可以得到一个周期的总费用为

C=c1+c2QT/2+PQ=c1+c2rT2+prT

于是每天的平均费用为

C=C/T=c1/T+c2rT/2+pr

这就是这个优化模型的目标函数。

模型求解：求T使目标函数的C最小

C′=-c1/T2+c2r/2

令C′=0

T=√2c1/c2r

带入可得Q=√2c1r/c2

所以可以得到C=√2c1c2r

结果解释：当准备费c1增加时，生产周期和产量都变大；当贮存费c2增加时,生产周期和产量都变小；当需求量r增加时，生产周期变小而产量变大。当生产周期T=√2c1/c2r时，总费用最小。