材料力学 梁 弯曲位移
材料力学位移公式
材料力学位移公式材料力学中的位移公式，那可是个相当有趣且重要的家伙！咱先来说说啥是位移。
想象一下，你有一根长长的木棍，你给它施加了各种力，然后这根木棍的位置发生了变化，这个变化量就是位移啦。
在材料力学里，位移公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开很多结构变形的谜题。
比如说，梁的弯曲变形，柱的压缩伸长等等。
就拿梁来说吧，梁在受到外力作用时，会产生弯曲。
这时候我们就要用到位移公式来计算它的变形量。
这里面有个很关键的概念，叫挠度。
挠度就是梁在弯曲时，某个点沿着垂直方向的位移。
咱们来具体讲讲位移公式是咋来的。
这可不是一拍脑袋就想出来的，而是经过了无数科学家们的努力和研究。
他们通过做实验、观察、分析数据，一点点地总结归纳出来的。
我记得有一次，在给学生们讲解这个知识点的时候，有个特别调皮的小家伙，他眨巴着大眼睛问我：“老师，这公式有啥用啊，我们为啥要学它？”我笑了笑，然后拿起教室里的一把塑料直尺，把一端固定在桌子上，另一端用手往下压。
我问同学们：“你们看，这直尺发生了啥变化？”大家都七嘴八舌地说尺子弯了。
我接着说：“那如果这尺子是一座桥，我们得知道它能承受多大的压力，变形多少才不会出危险，这时候位移公式就派上用场啦！”再说个实际的例子，像我们生活中的大楼，那可都是用各种材料搭建起来的。
如果工程师们不懂得位移公式，不了解材料在受力时的变形情况，那这大楼盖起来可能就歪歪扭扭，甚至还会有倒塌的危险。
在学习位移公式的时候，可别死记硬背哦。
得理解它背后的物理意义，搞清楚每个变量代表的是什么。
比如说，公式里的力的大小、作用点、材料的弹性模量等等，这些都会影响位移的大小。
而且，位移公式不仅仅是在理论上重要，在实际工程中那更是用处多多。
比如设计桥梁的时候，要根据车流量、载重等计算桥梁的位移，确保桥梁在使用过程中的安全和稳定；在制造机械零件的时候，也要考虑零件在工作时的位移，保证零件的精度和可靠性。
总之，材料力学位移公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，去理解，就能发现它的魅力所在，它能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活变得更加安全和美好。
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
梁位移计算公式
梁位移计算公式梁的位移计算公式基于梁的受力平衡和材料力学的基本原理。
在这里，我们将讨论一维梁的位移计算方法，即假设梁只在一个平面内受力，并且假设梁的截面尺寸和材料性质均为均匀的。
我们需要确定梁的边界条件。
常见的边界条件有两种：固定边界条件和自由边界条件。
在固定边界条件下，梁的两端被固定，不允许有任何位移和旋转；而在自由边界条件下，梁的两端可以自由位移。
接下来，我们需要确定梁的受力情况。
通常，梁在两端受到外部荷载作用，这些荷载可以是集中力、均布力或者集中力和均布力的组合。
此外，梁还可能受到自重的影响。
在计算位移时，我们需要将这些荷载转化为梁上的内力分布。
针对不同的受力情况，我们可以使用不同的位移计算方法。
在本文中，我们将重点介绍三种常见的位移计算方法：拉梁法、剪梁法和挠梁法。
拉梁法是一种基于受力平衡的位移计算方法。
它假设梁的变形是由拉伸和压缩引起的，而不考虑剪切变形。
根据拉梁法，我们可以通过梁上任意一点的变形位移和受力来计算梁的位移。
剪梁法是一种基于受力平衡和材料切变变形的位移计算方法。
它假设梁的变形是由剪切引起的，并考虑了横截面的形状和材料的性质。
根据剪梁法，我们可以通过梁上任意一点的切变位移和受力来计算梁的位移。
挠梁法是一种基于弯曲变形的位移计算方法。
它假设梁的变形是由弯曲引起的，并考虑了横截面的形状和材料的性质。
根据挠梁法，我们可以通过梁上任意一点的弯曲位移和受力来计算梁的位移。
在实际应用中，我们可以将以上三种方法结合起来，综合考虑拉伸、压缩、剪切和弯曲等因素，来计算梁的位移。
此外，我们还可以使用计算机辅助工具，如有限元分析软件，来进行更精确和复杂的梁位移计算。
需要注意的是，梁的位移计算是一个复杂的过程，需要综合考虑各种因素和假设。
在实际工程中，我们应该根据具体情况选择适当的位移计算方法，并进行合理的假设和简化，以确保计算结果的准确性和可靠性。
通过以上的讨论，我们可以看到，梁的位移计算是一个重要且复杂的问题。
第五章 梁弯曲时的位移
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能
梁的最大位移计算公式
梁的最大位移计算公式梁的最大位移计算公式是用于计算梁在受力作用下发生的弯曲位移的公式。
梁是指在两个支点之间受力作用的一种结构。
梁的最大位移是指梁在受力作用下最大弯曲的位移值。
梁的位移计算涉及到材料力学和结构力学的知识，其中梁的形状、材料特性、受力情况等都会对最大位移的计算产生影响。
在计算梁的最大位移时，一般可以使用梁的弯曲理论来进行计算。
梁的弯曲理论可以通过假设梁是一根弯曲曲线的理论来进行推导。
根据弯曲理论，可以得到梁的最大位移计算公式。
δmax = (5 * Pl^4) / (384 * E * I)其中，δmax表示梁的最大位移；P表示梁上的受力值；l表示梁的长度；E表示梁所采用的材料的弹性模量；I表示梁的截面惯性矩。
这个公式是根据梁的弯曲理论推导得到的，可以用于计算梁在受力作用下的最大位移。
在使用这个公式进行计算时，需要知道梁的受力情况、几何形状和材料特性。
其中，受力情况包括梁上所受到的力和力的位置；几何形状包括梁的长度和截面形状；材料特性包括梁所采用的材料的弹性模量和截面惯性矩。
需要注意的是，这个公式是基于一些简化假设和梁的边界条件推导得到的，只适用于一些特定的情况。
在实际应用中，可能需要考虑更多的因素，如梁的支点、梁的侧向刚度、梁的动态响应等。
因此，在具体应用中需要根据实际情况，结合可能的简化假设和合适的分析方法进行位移计算。
总之，梁的最大位移计算公式用于计算梁在受力作用下的最大弯曲位移，其中涉及到梁的几何形状、受力情况和所采用的材料特性。
使用这个公式进行计算时，需要根据实际情况进行合理的简化和假设，并结合适当的分析方法来进行计算。
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
材料力学第五章 梁的变形
连续条件
xa
wB1 wB2
例题 画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
解： 边界条件
A
C
F
B
wA 0 qA 0
wB 0
两根梁由中间铰连接，挠
曲线在中间铰处，挠度连
续，但转角不连续。
wC左 wC右
qC左 qC右
A
挠曲线的凸向由弯矩的正
负号决定，正弯矩向下凸，
负弯矩向上凸。
例 图示等截面梁，弯曲刚度EI。设梁下有一曲面 y Ax3 ，欲
)
6l
bF l
F
b
C
Bx
x l
aF FRB l
AC段 (0 x a)
EIw1
bF l
x
EIw1
bF 2l
x2
C1
EIw1
bF 6l
x3
C1 x
D1
CB段 (a x l)
EIw2
bF l
x
F(x a)
EIw2
bF 2l
x2
F ( x a)2 2
C2
EIw2
bF 6l
x3
F ( x a)3 6
转角方程，挠度方程
EIw M ( x)
q w m 6lx 3x2 2l 2 6EIl A
m
l
C
w mx 3lx x2 2l 2 6EIl
2 m
y FRA l
l
x B
m FRB l
求 wmax w q 0
3 x0 1 3 l 0.423l
wmax
w
x0
F2 60kN
C
A
F1 200kN
F2
D
材料力学_梁的弯曲问题
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
的代数和。
2、区段叠加法作弯矩图：
设简支梁同时承受跨间荷
MB
载q与端部力矩MA、MB的作用 。其弯矩图可由简支梁受端部
力矩作用下的直线弯矩图与跨
间荷载单独作用下简支梁弯矩
图叠加得到。即：
M x M x M 0x MB
B
l
B
+ MA
+
M0
+ MA M0
1 q(x)=0 FQ x C 1 FQ x 0
F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
M B 0 F1 2.5 F2 1.5 FRA 3 0 Fy 0 FRA FRB F1 F2 0
FRA 15kN FRB 7kN
(2)求1-1截面上的内力
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学笔记(第五章)
材料力学（土）笔记第五章 梁弯曲时的位移1．梁的位移——挠度及转角为研究等直梁在对称弯曲时的位移取梁在变形前的轴线为x 轴，梁横截面的铅垂对称轴为y 轴而xy 平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面梁发生对称弯曲变形后，其轴线将变成在xy 平面内的曲线1AC B度量梁变形后横截面位移的两个基本量是挠度：横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移ω转角：横截面对其原来位置的角位移θ 梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线，且横截面仍与该曲线保持垂直因此横截面的转角θ也就是曲线在该点处的切线与x 轴之间的夹角度量等直梁弯曲变形程度的是曲线的曲率梁的变形还受到支座约束的影响通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况梁轴线弯曲成曲线后，在x 轴方向也将发生线位移 但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，梁变形后的轴线是一条平坦的曲线横截面形心沿x 轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不记因此在选定坐标后，梁变形后的轴线可表达为()f x ω=式中，x 为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；ω为该点的挠度梁变形后的轴线称为挠曲线，在线弹性范围内，也称为弹性曲线上述表达式则称为挠曲线（或弹性曲线）方程由于挠曲线为一平坦曲线，故转角θ可表达为''tan ()f x θθω≈== 称为转角方程即挠曲线上任一点处的切线斜率'ω可足够精确地代表该点处横截面的转角θ 由此可见，求得挠曲线方程后，就能确定梁任一横截面挠度的大小，指向及转角的数值 正值的挠度向下，负值的挠度向上正值的转角为逆时针转向，负值的转角为顺时针方向2．梁的挠曲线近似微分方程及其积分为求得梁的挠曲线方程，利用曲率κ与弯矩M 间的物理关系，即 1M EIκρ== 式中曲率κ为度量挠曲线弯曲程度的量，是非负的这是梁在线弹性范围内纯弯曲情况下的曲率表达式在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩M 外尚有剪力S F 但工程用梁，其跨长l 一般均大于横截面高度的10倍剪力S F 对于梁位移的影响很小，可略去不计，故该式子依然适用式中的M 和ρ均为x 的函数，即1()()()M x x x EIκρ== 在数学中，平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有'''23/21()(1)x ωρω=±+ 取x 轴向右为正，y 轴向下为正时曲线凸向上时''ω为正，凸向下时为负而按弯矩的正、负号规定，梁弯曲后凸向下时为正，凸向上为负，符号相反于是得到 '''23/2()(1)M x EIωω=-+ 由于梁的挠曲线为一平坦曲线，因此，'2ω与1相比十分微小可以略去不计故上式可近似的写为 ''()M x EIω=-上式略去了剪力S F 的影响，并略去了'2ω项 故称为梁的挠曲线近似微分方程若为等截面直梁，其弯曲刚度EI 为一常量，上式可改写为''()EI M x ω=-对于等直梁，上式进行积分，并通过由梁的变形相容条件给出的边界条件确定积分常数 即可求得梁的挠曲线方程当全梁各横截面上的弯矩可用单一的弯矩方程表示时，梁的挠曲线近似微分方程仅有一个 将上式的两端各乘以dx ，经积分一次，得'1()EI M x dx C ω=-+⎰再积分一次，即得12[()]EI M x dx dx C x C ω=-++⎰两式子中积分常数1C 、2C 可通过挠曲线的边界条件确定例如在简支梁中，左右铰支座处的挠度均等于零在悬臂梁中，固定端处的挠度和转角均等于零确定积分常数1C 、2C 后，就分别得到梁的转角方程和挠曲线方程从而可以确定任一横截面的转角和挠度1C 和2C 的几何意义 由于以x 为自变量，在坐标原点即0x =处的定积分恒等于零因此，积分常数'100x C EI EI ωθ===，20C EI ω=式中，0θ和0ω分别表示坐标原点处截面的转角和挠度若梁上的荷载不连续即分布荷载在跨度中间的某点处开始或结束，以及集中荷载或集中力偶作用处梁的弯矩需分段写出，各段梁的挠曲线近似微分方程也随之不同在对各段梁的近似微分方程积分时，均将出现两个积分常数为确定这些积分常数，除需利用支座处的约束条件外还需利用相邻两段梁在交界处位移的连续条件例如左、右两段梁在交界处的截面应具有相等的挠度和转角不论是约束条件和连续条件，均发生在各段挠曲线的边界处故均成为边界条件，即弯曲位移中的变形相容条件遵循两个原则①对各段梁，都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的外力列出弯矩方程所以后一段梁的弯矩方程包括前一段的弯矩方程的新增的()x a -项②对()x a -项的积分，以()x a -作为自变量于是由x a =处的连续条件，就能得到两段梁上相应的积分常数分别相等的结果 对于弯矩方程需分为任意几段的情况，只要遵循上述规则同样可以得到各梁段上相应的积分常数分别相等的结果从而简化确定积分常数的运算3．按叠加原理计算梁的挠度和转角梁在微小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系 在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比当挠度很小时，曲率与挠度间呈线性关系梁的挠度和转角均与作用在梁上的荷载成线性关系在这种情况下梁在几项荷载（如集中力、集中力偶或分布力）同时作用下某一横截面的挠度或转角 就分别等于每项荷载单独作用下该截面的挠度或转角的叠加，即为叠加原理 已知梁在每项荷载单独作用下的挠度和转角表则按叠加原理来计算梁的最大挠度和最大转角将较为方便4．奇异函数·梁挠曲线的初参数方程5．梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施5.1 梁的刚度校核对于梁的挠度，其许可值通常用许可挠度与跨长之比值[]l ω作为标准 梁的刚度条件可表达为 max[]ll ωω≤ max []θθ≤ 一般土建工程中的构件，强度要求是主要的刚度要求一般处于从属地位但当对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时刚度条件也可能起控制作用5.2 提高梁的刚度的措施由梁的位移表可见梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关还与其弯曲刚度EI 成反比，与跨长l 的n 次幂成正比减小梁的位移，可采取下列措施①增大梁的弯曲刚度EI②调整跨长和改变结构5．梁内的弯曲应变能当梁弯曲时，梁内将积蓄应变能梁在线弹性变形过程中弯曲应变能V ε在数值上等于作用在梁上的外力所作的功W梁在纯弯曲时各横截面上的弯矩M 为常数，并等于外力偶矩e M当梁处于线弹性范围内e EI EI θρ=== θ与e M 呈线性关系直线下的三角形面积就代表外力偶所作的功W ，即12e W M θ=从而得纯弯曲时梁的弯曲应变能 12e V M εθ=即得2222e M l M l V EI EIε== 横力弯曲时，梁内应变能包含两个部分：与弯曲变形相应的弯曲应变能和与切应变形相应的剪切应变能对于弯曲应变能，取长为dx 的梁段，其相邻两横截面的弯矩应分别为()M x 和()()M x dM x +在计算微段的应变能时，弯矩的增量为一阶无穷小，可略去不计 计算器弯曲应变能为2()2M x dV dx EIε= 全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为2()2l M x V dx EIε=⎰ 式中，()M x 为梁任一横截面上的弯矩表达式 当各段梁的弯矩表达式不同时，积分需分段进行梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可略去不计。
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D点的连续条件： x = a， 1' 2 ' 1 2
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
M1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(
x
a)
转角方程
EI
'
1
F b l
x2 2
C1
EI
2'
F
b l
x2 2
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
1、边界条件
A
l A= 0
B
B= 0
A
A= 0
B
B= 0
在简支梁或外伸梁中， 铰支座处的挠度 都应等于零。
A 0 B 0
A
B
l A= 0 A= 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 和转角 都应等于零。
A 0, A 0
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
x3 6
F
(x 6
a)3
D1
x
D2
x = 0 ， 1 = 0
x = l ， 2= 0
再将边界条件代入方程可解得:
C2 D2 0
C1
D1
Fb 6l
(l 2
b2)
1 (0 x a)
1 1' Fb
2lEI
[1 (l2 b2) x2] 3
F
A
C
B
a
b
l
F
RA
RB
C
B
A
a
b
l
解: 梁的支反力为
RA
F
b l
RB
F
a l
x
RA
1
A
F
RB
C2 B
x
a
b
l
两段梁的弯矩方程分别为
M1
RA x
F
b l
x
(0 x a)
M2
F
b l
x
F(x
a)
(a x l)
两段梁的挠曲线方程分别为
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
2 (a x l)
2 2' Fb
2lEI
l b
(
x
a)2
x2
1 3
(l
2
b2)
2 Fb
6lEI
l b
(
x
a)3
x3
(l
2
b2)
x
RA
1
A
F
RB
C2 B
a
2、连续性条件 在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。
A
B
A
B
例题 ：图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 max 和 最大转角 max。
F
A
x
B
l
y
F
A x
l
x B
EI M (x)
y
解：弯矩方程为
M(x) F(l x)
x y
2、度量梁变形后横截面位移的两个基本量 （1）挠度（ ）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴 方向的线位移，称为该截面的挠度。
x
y
（2）转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性
轴的转动）, 称为该截面的转角。
y
x
挠曲线
（3）挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
曲线向上凹 时 ： w'' < 0 , M > 0
M 与 w'' 的正负号正好相反，
所以 或
d 2w dx 2
M (x) EI z
M (x) w' '
EI z
w" M ( x) EI z
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程式
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了(w /)2 项。
x 0, ' 0
l
EI' EI
Flx Fx2 2
C1
EI
Flx 2 2
Fx3 6
C1
x
C2
A x
l
F
x B
边界条件为 :
x 0, 0 x 0, ' 0
y
将边界条件代入两式中： C1 = 0， C2 = 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
' Flx Fx2
EI 2EI Flx2 Fx3
2EI 6EI
' Flx Fx2
EI 2EI
Flx 2 Fx3
2EI 6EI
A x
l
y
F
x B
max 及 max都发生在自由端截面处
F
A x
l
x B
y
max
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl2 2EI
max
|xl
Fl 3 3EI
（） （）
例题 ：图示一抗弯刚度为 EI的简支梁, 在 C点处受一集中力 F 的 作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大的挠度 和最大的转角。
梁的挠曲线近似微分方程
EI" M (x)
（二）、积分法计算梁的位移 上式积分一次得转角方程
EI EI ' M (x)dx C1
再积分一次, 得挠度方程
EI [ M (x)dx]dx C1x C2
EI EI ' M (x)dx C1
EI [ M (x)dx]dx C1x C2
由几何关系知, 一根平缓的曲线 = (x) ，其斜率 1/ (x) 近似地
等于 (x) 对于 x 的二阶导函数，即
1
( x)
d 2
dx2
o
x
M
M
y
M< 0
w" 0
o
M
x
M
y
M>0
w" 0
图 6—2
根据以上两式可得：
d 2w M (x) dx2 EIz
这就是梁的挠曲线的近似微分方程式。
曲线向下凹 时 : w'' > 0 , M < 0
挠曲线方程为 (x)
y
x
挠曲线
3、挠度与转角的关系
(x) (x)
二、梁的挠曲线近似微分方程式 （一）推导公式
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M
EI z
横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响, 则
1 M(x)
( x) EI z
1 M(x)
( x) EI z
M
1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(x
a)
转角方程
EI
'
1
F
b l
x2 2
C1
EI
2'
F b x2 l2
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1
x
C
2
EI
2
F
b l
x3 6
F
(
x 6
a)3
D1
x
D2
RA
1
A
F
RB
C2 B
a
b
l
边界条件：
x = 0 ， 1 = 0
x = l ， 2= 0
x3 6
F
(x 6
a)3
D1
x
D2
x = a， 1' 2 ' 1 2
先将连续条件代入方程可解得: C1 D1, C2 D2
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
M1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(
x
a)
转角方程
EI
'
1
F b l
x2 2
C1
EI
2'
F
b l
x2 2
挠曲线的近似微分方程为
EI'' M (x) Fl Fx
EI Fl Fx
对挠曲线近似微分方程进行积分
EI' EI
Flx Fx2 2
C1
EI
Flx2 2
Fx3 6
C1 xLeabharlann C2A xy
EI' EI
Flx Fx2 2
C1
EI
Flx 2 2
Fx3 6
C1
x
C2
F
x B
边界条件为 :
x 0, 0