22列主元消去法
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回代后得到
x1 = 0.00 , x2 = 1.00
－9998
与精确解相比,该结果相当糟糕 与精确解相比 该结果相当糟糕 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数 究其原因 在求行乘数时用了很小的数 在求行乘数时用了很小的数 作除数
资源环境学科 3
如果在求解时将1,2行交换 即 如果在求解时将 行交换,即 行交换
资源环境学科
消去法求解(用 位十进制浮点数计算 位十进制浮点数计算) 用Gauss消去法求解 用3位十进制浮点数计算 消去法求解
2
主元
0.000100 1 1 A = ( A, b ) = 1 1 2
m21 =1.00×10 4
－9999
1 1 0.000100 → 4 4 0 − 1.00 × 10 − 1.00 × 10
资源环境学科
输入A, b , n , EPS
for k = 1 : n − 1
图2-1 列主元消元法算法框图
选取主元素 alk
| alk |≤ EPS
Yes
l≠k
换行 No
消元
No
k ← k +1
Yes
输出无解信息
Yes
| A( n , n )| EPS ≤
No
End
输出解 x
回代求解
8
x1 =
b
( 1) 1
−a x −a x = −0.491 058 20 a
( 1) 12 2 ( 1) 11 ( 1) 13 3
事实上,方程组的准确解为 事实上 方程组的准确解为
资源环境学科
x* = ( −0.491058221,−0.050886077,0.367257387 )T
7
二 、 Gauss
经过回代后可得 列主元消去法
用换行避免小主元作除数,该方法即为 用换行避免小主元作除数 该方法即为Gauss
( b33 ) 0.685 138 54 x3 = ( 3 ) = = 0.367 257 39 a 33 0.186 555 41 × 10
( (2 b22 ) − a23 ) x3 = 0.5 − 0.18015 × 10 × x3 = −0.050 886 07 x2 = (2) 0.3176 × 10 a22
= (A , b )
(0) (0)
绝对值最大 不需换行
→
m32 = 0.629 722 92
m21 = 0.5 m31 = −0.5×10 −8
→ − 2 1.072 5.643 3 (2) (2) = (A , b ) 1.8015 0.5 0 3.176 0 0 0.186 555 41×10 0.685 138 54
1 1 2 A = ( A, b ) → 0.000100 1 1
1 2 1 → 0 1.00 1.00
m21 = 0.000100
0.9999
回代后得到
0.9998
x1 = 1.00 , x2 = 1.00
这是一个相当不错的结果
10 −8 2 3 1 A = ( A, b) = − 1 3.712 4.623 2 − 2 1.072 5.643 3
资源环境学科
10 −8 很小, 绝对值最大 的列元素为a13 = −2 , 因此1,3行交换
5
− 2 1.072 5.643 3 r1 ⇔ r3 → − 1 3.712 4.623 2 10 −8 2 3 1
资源环境学科 6
− 2 1.072 5.643 3 = (A(1) , b(1) ) 0 3.176 1.8015 0.5 0 2 3 1 2.999 999 971
所用的方法是在Gauss消去法的基础上 利 消去法的基础上,利 例2所用的方法是在 所用的方法是在 消去法的基础上
一、Gauss列主元消去法的引入 例1. 消去法解线性方程组(用 位十进制浮 用Gauss消去法解线性方程组 用3位十进制浮 消去法解线性方程组 点数计算） 点数计算）
0.0001 x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x *Байду номын сангаас= ( 0.99989999 ,1.00010001)T
Ax = b
i = 2,3,L, n
a11 a12 L a1n j =1 xi = lii a21 a22 L a2n A= 第二章 解线性方程组的直接法 M M M M an1 an2 L ann
bi − ∑lij xj
i−1
§ 2.2
Gauss列主元消去法 列主元消去法 列主元
资源环境学科 4
例2.
解线性方程组(用8位十进制浮点数计算)
10 −8 2 3 x1 1 − 1 3.712 4.623 x2 = 2 − 2 1.072 5.643 x 3 3
一样,若用 解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 : 这个方程组和例1一样 若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧 若采用换行的技巧,则可避免 小数作除数的现象 若采用换行的技巧 则可避免
x1 = 0.00 , x2 = 1.00
－9998
与精确解相比,该结果相当糟糕 与精确解相比 该结果相当糟糕 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数 究其原因 在求行乘数时用了很小的数 在求行乘数时用了很小的数 作除数
资源环境学科 3
如果在求解时将1,2行交换 即 如果在求解时将 行交换,即 行交换
资源环境学科
消去法求解(用 位十进制浮点数计算 位十进制浮点数计算) 用Gauss消去法求解 用3位十进制浮点数计算 消去法求解
2
主元
0.000100 1 1 A = ( A, b ) = 1 1 2
m21 =1.00×10 4
－9999
1 1 0.000100 → 4 4 0 − 1.00 × 10 − 1.00 × 10
资源环境学科
输入A, b , n , EPS
for k = 1 : n − 1
图2-1 列主元消元法算法框图
选取主元素 alk
| alk |≤ EPS
Yes
l≠k
换行 No
消元
No
k ← k +1
Yes
输出无解信息
Yes
| A( n , n )| EPS ≤
No
End
输出解 x
回代求解
8
x1 =
b
( 1) 1
−a x −a x = −0.491 058 20 a
( 1) 12 2 ( 1) 11 ( 1) 13 3
事实上,方程组的准确解为 事实上 方程组的准确解为
资源环境学科
x* = ( −0.491058221,−0.050886077,0.367257387 )T
7
二 、 Gauss
经过回代后可得 列主元消去法
用换行避免小主元作除数,该方法即为 用换行避免小主元作除数 该方法即为Gauss
( b33 ) 0.685 138 54 x3 = ( 3 ) = = 0.367 257 39 a 33 0.186 555 41 × 10
( (2 b22 ) − a23 ) x3 = 0.5 − 0.18015 × 10 × x3 = −0.050 886 07 x2 = (2) 0.3176 × 10 a22
= (A , b )
(0) (0)
绝对值最大 不需换行
→
m32 = 0.629 722 92
m21 = 0.5 m31 = −0.5×10 −8
→ − 2 1.072 5.643 3 (2) (2) = (A , b ) 1.8015 0.5 0 3.176 0 0 0.186 555 41×10 0.685 138 54
1 1 2 A = ( A, b ) → 0.000100 1 1
1 2 1 → 0 1.00 1.00
m21 = 0.000100
0.9999
回代后得到
0.9998
x1 = 1.00 , x2 = 1.00
这是一个相当不错的结果
10 −8 2 3 1 A = ( A, b) = − 1 3.712 4.623 2 − 2 1.072 5.643 3
资源环境学科
10 −8 很小, 绝对值最大 的列元素为a13 = −2 , 因此1,3行交换
5
− 2 1.072 5.643 3 r1 ⇔ r3 → − 1 3.712 4.623 2 10 −8 2 3 1
资源环境学科 6
− 2 1.072 5.643 3 = (A(1) , b(1) ) 0 3.176 1.8015 0.5 0 2 3 1 2.999 999 971
所用的方法是在Gauss消去法的基础上 利 消去法的基础上,利 例2所用的方法是在 所用的方法是在 消去法的基础上
一、Gauss列主元消去法的引入 例1. 消去法解线性方程组(用 位十进制浮 用Gauss消去法解线性方程组 用3位十进制浮 消去法解线性方程组 点数计算） 点数计算）
0.0001 x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x *Байду номын сангаас= ( 0.99989999 ,1.00010001)T
Ax = b
i = 2,3,L, n
a11 a12 L a1n j =1 xi = lii a21 a22 L a2n A= 第二章 解线性方程组的直接法 M M M M an1 an2 L ann
bi − ∑lij xj
i−1
§ 2.2
Gauss列主元消去法 列主元消去法 列主元
资源环境学科 4
例2.
解线性方程组(用8位十进制浮点数计算)
10 −8 2 3 x1 1 − 1 3.712 4.623 x2 = 2 − 2 1.072 5.643 x 3 3
一样,若用 解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 : 这个方程组和例1一样 若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧 若采用换行的技巧,则可避免 小数作除数的现象 若采用换行的技巧 则可避免